Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 23 de Junio, 2017, 10:25

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Gamifying algebra? « What’s new
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The Julia Language
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Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90193x/f97

D. I. Falikman, “Proof of the van der Waerden conjecture regarding the permanent of a doubly stochastic matrix”
https://del.icio.us/url/673384c3c71aa4e8957831a95025b38c

Computing the permanent - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Computing_the_permanent

JSTOR: Mathematics Magazine, Vol. 42, No. 3 (May, 1969), pp. 146-148
http://www.jstor.org/pss/2689132

Permanent - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Permanent

A Course in Universal Algebra
http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html

Exterior algebra - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wedge_product

Most striking applications of category theory? - MathOverflow
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Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
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Primeras construcciones con regla y compás en imágenes - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/primeras-construcciones-con-regla-y-compas-en-imagenes/

Algebraic Topology Online Course
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Particle physics and representation theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_physics_and_representation_theory

geometry - Is this Batman equation for real? - Mathematics - Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/54506/is-this-batman-equation-for-real

Linear dynamical systems over finite rings « Rod Carvalho
http://stochastix.wordpress.com/2011/07/18/linear-dynamical-systems-over-finite-rings/

Lie Algebras from Associative Algebras « The Unapologetic Mathematician
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Cyclotomic polynomial - Wikipedia, the free encyclopedia
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Hall algebras are Grothendieck groups « Secret Blogging Seminar
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Publicado el 19 de Junio, 2017, 11:44

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The Algebra of Data, and the Calculus of Mutation » Lab49 Blog
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A Categorified Supergroup for String Theory | The n-Category Café
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Division Algebras and Quantum Theory
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The Cayley-Dickson Construction
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Introduction to Clifford Algebra
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What ARE Clifford Algebras and Spinors?
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Octonions
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The Three-Fold Way (Part 2) | The n-Category Café
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Clifford Algebra
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Clifford Algebras
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Publicado el 16 de Junio, 2017, 11:48

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clifford.pdf (application/pdf Object)
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Clifford algebra - Wikipedia, the free encyclopedia
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Algebra as Quantum Language
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Achilleas Passias Dissertation.pdf (application/pdf Object)
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Clifford_Report.pdf (application/pdf Object)
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Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics
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Amazon.com: A Course in Commutative Algebra (Graduate Texts in Mathematics)
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The decline of quantum algebra (QA) « Secret Blogging Seminar
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(Fake) Frobenius Reciprocity « The Unapologetic Mathematician
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The Dimension of the Space of Tensors Over the Group Algebra
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The Endomorphism Algebra of the Left Regular Representation
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Hilorama de E8 « Juegos topológicos
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Amazon.com: Higher Structures in Geometry and Physics
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State-Observable Duality (Part 3) | The n-Category Café
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Solèr's Theorem | The n-Category Café
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The Geometry of the MRB constant
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Strongly dense free subgroups of semisimple algebraic groups « What"s new
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Tensor Products over Group Algebras « The Unapologetic Mathematician
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Tensors Over the Group Algebra are Invariants « The Unapologetic Mathematician
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Trigonometric functions and rational multiples of pi « Division by Zero
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Consequences of Orthogonality « The Unapologetic Mathematician
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Amazon.com: An Introduction to Galois Cohomology and its Applications
http://www.amazon.com/Introduction-Cohomology-Applications-Mathematical-Society/dp/0521738660

Computer algebra for Clojure - Stack Overflow
http://stackoverflow.com/questions/3963556/computer-algebra-for-clojure

Dimensional Reduction - Apache Mahout - Apache Software Foundation
https://cwiki.apache.org/confluence/display/MAHOUT/Dimensional+Reduction

ConciseRevised.pdf (application/pdf Object)
http://www.math.uchicago.edu/%7Emay/CONCISE/ConciseRevised.pdf

Amazon.com: Monomial Ideals (Graduate Texts in Mathematics)
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Amazon.com: Algebra and Number Theory: An Integrated Approach
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Symbolmania
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Modules « The Unapologetic Mathematician
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The Group Algebra « The Unapologetic Mathematician
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Exceptional object - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Exceptional_object

The Brauer Groupoid « Secret Blogging Seminar
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Galois Connections « The Unapologetic Mathematician
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Orthogonal Complementation is a Galois Connection
http://unapologetic.wordpress.com/2009/05/19/orthogonal-complementation-is-a-galois-connection/

How can we construct abelian Galois extensions of basic number fields?
http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/Ribet12.3.pdf

Lebesgue Measure and Affine Transformations « The Unapologetic Mathematician
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Homological Algebra Puzzle | The n-Category Café
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Lattices and their invariants « Secret Blogging Seminar
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Convergence in Measure and Algebra « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/05/21/convergence-in-measure-and-algebra/

Course Notes - J.S. Milne
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/

The Weil conjectures : Curves « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2010/04/19/the-weil-conjectures-curves/

Measuring Measures - blog - Matrix Benchmarks: Fast Linear Algebra on the JVM
http://measuringmeasures.com/blog/2010/3/28/matrix-benchmarks-fast-linear-algebra-on-the-jvm.html

Monotone Classes « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/03/18/monotone-classes/

Maxima, a Computer Algebra System
http://maxima.sourceforge.net/

Why Arel? « Magic Scaling Sprinkles
http://magicscalingsprinkles.wordpress.com/2010/01/28/why-i-wrote-arel/

Sheaves Do Not Belong to Algebraic Geometry | The n-Category Café
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Weyl Chambers « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/02/03/weyl-chambers-2/

Root Systems « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/01/20/root-systems/

Reflections « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/01/18/reflections/

Size, Yoneda, and Limits of Algebras | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2009/12/size_yoneda_and_limits_of_alge.html

Residues and Integrals « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2010/01/12/residues-and-integrals/

Algebra Representations « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2008/10/24/algebra-representations/

Memoizing Polymorphic Functions with High School Algebra and Quantifiers
http://blog.sigfpe.com/2009/11/memoizing-polymorphic-functions-with.html

GAP System for Computational Discrete Algebra
http://www.gap-system.org/

MIT Linear Algebra, Lecture 1: The Geometry of Linear Equations
http://www.catonmat.net/blog/mit-linear-algebra-part-one/?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+catonmat+%28good+coders+code%2C+great+reuse%29

The Hodge Star
http://unapologetic.wordpress.com/2009/11/09/the-hodge-star/

The Cross Product and Pseudovectors
http://unapologetic.wordpress.com/2009/11/10/the-cross-product-and-pseudovectors/

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Publicado el 8 de Junio, 2017, 7:34

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Varios de estos enlaces han sido publicados en mi serie de recursos sobre Matemáticas. Pero ya ameritan una categoría aparte, para compartir y repasar. Estoy estudiando bastante de algunos temas algebraicos, y es interesante volver a algunos puntos esenciales de las matemáticas.

The Jacobian
http://unapologetic.wordpress.com/2009/11/11/the-jacobian/

Functoriality of Tensor Algebras
http://unapologetic.wordpress.com/2009/10/28/functoriality-of-tensor-algebras/

Tensor Algebras and Inner Products
http://unapologetic.wordpress.com/2009/10/29/tensor-algebras-and-inner-products/

Inner Products on Exterior Algebras and Determinants
http://unapologetic.wordpress.com/2009/10/30/inner-products-on-exterior-algebras-and-determinants/

Computer Algebra Systems
http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calc5.html

MATH3711 Lecture Notes
http://web.maths.unsw.edu.au/~danielch/algebra07a/qinnotes.pdf

Free Algebra Books Download | Algebra Ebooks Online Algebra Tutorials
http://www.freebookcentre.net/Mathematics/Algebra-Books-Download.html

Scientific Computing Software Library (SCSL) User's Guide
http://www.nacad.ufrj.br/sgi/007-4325-001/sgi_html/index.html

Blas
http://www.netlib.org/blas/

Algebraic Areas of Mathematics
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/tour_alg.html

Abstract Algebra Online
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/

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Publicado el 5 de Junio, 2017, 19:26

Ya comienza otro mes. Hora de repasar las resoluciones del mes pasado:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia [completo] ver post
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Gödel [pendiente]
- Continuar mi serie Estudiando Curvas Elípticas [completo] ver post
- Continuar mi serie Estudiando Geometría Algebraica [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

También escribí sobre

Geometría Algebraica (2)

Y tiempo de escribir las nuevas:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Continuar mi serie sobre Gödel
- Continuar mi serie Estudiando Curvas Elípticas
- Continuar mi serie Estudiando Geometría Algebraica
- Estudiar blues en guitarra

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Publicado el 4 de Junio, 2017, 12:43

Alguna vez ya publiqué una demostración de una proposición de Fermat, sobre la no existencia de triángulos rectángulos de lados enteros con área cuadrada, aplicando el método de descenso infinito. Ver:

El Ultimo Teorema de Fermat (4)
Fermat y el Descenso Infinito
Descenso Infinito

Fermat estaba muy orgulloso de haber inventado y aplicado ese método. No escribió muchas demostraciones de sus afirmaciones, aunque declaraba por escrito que estaba más que dispuesto a compartirlas si alguien lo requería. Pero, consciente o inconscientemente, Fermat no daba fácilmente explicación de su demostraciones. La proposición de arriba fue inspirada por una proposición de Bachet, el editor de la aritmética de Diofanto. Y de nuevo en esta demostración usa descenso infinito. Hoy leo un texto de Fermat dando alguna idea de su demostración:

If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number. Consenquently there would exist two square numbers the sum and difference of which would both be squeares. Therefor we should have a square number which would be equal to the sum of a square and the double of another square, while the squares of which this sum is made up would themselves have a square number for their sum. But if a square is made up of a square and the double of another square, its side, as I can very easily prove, is also similarly made up of a square and the double of another square. From this we conclude that the said side is the sum of the sides about the right angle in a right-angled triangle, and that the simple square contained in the sum is the base and the double of the other square is perpendicular.

This right-angled triangle will thus be formed from two squares, the sum and differences of which will be squares. But both these squares can be shown to be smaller than the squares originally assumed to be such that both their sum and difference are squares. Thus if there exist two squares such that their sum and difference are both squares, there will also exist two other integer squares which have the same property but have a smaller sum. By the same reasoning we find a sum still smaller than that last found, and we can go on ad infinitum finding integer square numbers smaller and smaller which have the same property. This is, however, impossible because these cannot be an infinite series of numbers smaller than any given integer we please. Tha margin is too small to enable me to give the proof completely and with all detail.

Es un texto traducido del latín al inglés por Health. No encuentro en qué lugar está el original, pero sospecho que está en las anotaciones de Fermat a Diofanto. Es curioso que de nuevo acá vuelva a mencionar lo estrecho del margen, aunque su texto es bastante largo.

Pero la demostración que explica parte de una frase algo misteriosa: "If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number" En próximo post intentaré explicar de donde parte Fermat, qué quiere indicar con esta afirmación.

Encuentro el texto citado en el excelente libro Fermat's Last Theorem, A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, de Harold M. Edwards.

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Publicado el 3 de Junio, 2017, 18:23

En el mundo de la ciencia siempre ha habido personas que se destacan en su ámbito, como los "top" de su ámbito, sea física, química, economía, etc. Pero es raro encontrar que esa fama llegue al público no generalmente interesado en ciencia. Una notable excepción es el caso de Einstein, que en el siglo XX se convirtió en un personaje "pop", reconocido por el gran público. Se llegó a verlo ser recibido como una estrella en un auto recorriendo Nueva York.

Como contraste, veo que Dirac o Heisenberg, contemporáneos de Einstein, tuvieron menos exposición pública.

¿Cómo se llegó a este caso con Einstein? Todo parece haber comenzado luego de la confirmación de sus ideas de relatividad general, con la confirmación del desplazamiento de estrellas en un eclipse. Habiendo terminado la terrible primera guerra mundial, el mundo estaba ávido de noticias por lo menos no malas, y el genio de la idea de Einstein, con una teoría que se promocionaba como "entendida por muy pocos" y que "revolucionaba la física", prendió como una buena historia. Tan buena, que hizo de Einstein un personaje popular.

Hoy encuentro el texto de unos de los primeros reportajes de Einstein. Leo en el artículo del 2 de diciembre de 1919 del New York Times:

"Einstein expone su nueva teoría. Espacio y tiempo no tienen un carácter absoluto, sino a un sistema en movimiento [...] Como Newton, se inspiró en una caída, pero no la de una manzana, sino la de un hombre de un tejado".

En reportaje Einstein explica el origen de su teoría general, pero también expone las ideas de la teoría especial. El periodista pone a las dos como "nueva teoría". El trabajo de principios de siglo no ha impactado en la prensa, recién esta confirmación del resultado del eclipse es el que pone a Einstein en palestra pública. Es interesante que éste cuente la anécdota del hombre cayendo:

"Años atrás, por la ventana de su biblioteca, Einstein vió despeñarse a un hombre de un tejado. El hombre contó después que durante la caída no había experimentado experimentado la sensación que normalmente asociamos a la gravedad, la cual, según la teoría de Newton, le habría atraído violentamente hacia el suelo"

No conocía que Einstein hubiera contado esta anécdota, por esta época, en reportaje para el público. Hay más para comentar sobre su relación con la prensa.

Fuente consultada: Einstein y la prensa: una relación tumultuosa de Jean-Marc Ginoux y Christian Gérini, Investigación y Ciencia, Diciembre 2016

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 2 de Junio, 2017, 10:40

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Stokes biography
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Top Ten Partial Differential Equations Books
http://www.topmathbooks.com/top-ten-partial-differential-equations-books/

Lebesgue measure as the invariant factor of Loeb measure | What's new
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Palmström: The Lambda Calculus for Absolute Dummies (like myself)
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[Vídeo] Derive me baby - Gaussianos | Gaussianos
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Pat'sBlog: On This Day in Math - March 17
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Integrando por partes like a boss - Gaussianos | Gaussianos
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Witch of Agnesi -- from Wolfram MathWorld
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Extreme Outfit Fridays: Get On The Damn Unicorn!
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Christmas Trilogy 2013 Part I: The Other Isaac [1]
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Bernoulli_Johann biography
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What to Know Before Trading Monero
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Spanish Banks Form New Blockchain Consortium
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Bitcoin: The New Gold Standard
https://www.youtube.com/watch?v=yPIvqJsCOSo

Cashless system did not catch on
http://www.straitstimes.com/asia/south-asia/cashless-system-did-not-catch-on

Why The Bitcoin Dominance Index Is Deceiving
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Quorum
https://www.jpmorgan.com/country/US/EN/Quorum

Bitcoin is valued for Fast and Cheap Payments
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Publicado el 18 de Mayo, 2017, 8:42

Todas las semanas hay una reunión del Café Filosófico en Buenos Aires. Más información (lugar, horarios, aranceles,.. ) en:

http://www.filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm

Recibo el tema de esta semana:

La neurociencia está revelando los secretos de nuestras emociones. Compartiremos el contenido de un libro reciente e inédito en el país sobre este tema, escrito por el investigador Giovanni Frazzetto.  ¿Puede la ciencia explicar por sí misma por qué sentimos lo que sentimos? La filosofía es un buen complemento para el análisis de las emociones, que invaden cada porción de nuestra vida. Un minuto estamos tristes, enseguida sentimos esperanza. Algunas emociones nos persiguen, otras nos eluden. Nos transportan lejos. Por eso es que a veces pensamos cómo podríamos librarnos de algunas de ellas. ¿Es el dolor psíquico similar al dolor físico? ¿Tienen aspectos comunes en la configuración cerebral que corresponde a cada uno de ellos? ¿Qué puede revelarnos sobre las emociones el escaneo del cerebro? Haremos un viaje a través de algunas de las emociones más comunes de la vida cotidiana. El impacto emocional de drogas paliativas  como los opiáceos o la morfina. Las experiencias de exclusión y su impacto a nivel neural. Un análisis de Wittgenstein sobre las emociones. La serotonina (hormona "del placer") y los estados emocionales. La ansiedad: el miedo a lo desconocido.  William James y la relación de las emociones con el cuerpo. La diferencia entre el miedo y la ansiedad: ¿comparten la misma estructura cerebral, responden a los mismos circuitos neuronales o funcionan en forma independiente? La lectura que Giovanni Franzzetto hace del análisis de Heidegger sobre el tema de la ansiedad. ¿Cómo podemos huir de la ansiedad? ¿Cómo es posible que el cerebro aprenda a desviar la atención? El contraste entre racionalidad y sentimientos, ciencia y poesía. Cómo enfrentando este contraste podemos entendernos mejor a nosotros mismos y a los demás. Cómo se ve el efecto de la psicoterapia en el escaneo del cerebro.
La neurociencia tiene tanto para revelarnos sobre nuestra vida que algunos de sus términos ya ingresaron al lenguaje popular: solemos decir que "necesitamos adrenalina", que la dopamina estimula el cerebro y que las endorfinas son opiáceos "hechos en casa". ¿Podremos algún día grabar los sueños y comprar experiencias artificiales (películas para la mente)? ¿Cómo puede el cerebro aprender a desviar la atención? La plasticidad del cerebro: cómo podemos condicionarnos a nosotros mismos para no ser dominados por la ansiedad.
Cómo transitar el proceso del duelo. ¿Cuál es el propósito del llanto? ¿Por qué lloramos de alegría? ¿Es posible divorciar las categorías psiquiátricas de su contexto social? Veremos algunos aspectos particulares del placer, y algunas rutas que pueden ayudarnos a alcanzar la alegría. Los rasgos de la risa. El estudio de Robert Provine sobre los componentes de la risa. Las neuronas espejo y la risa. ¿Por qué suele ser contagiosa y no es sólo un signo de alegría  y entretenimiento? ¿Qué animales ríen? Cómo lidiar mejor con las emociones, construyendo nuevas rutas en nuestro cerebro.

Giovanni Frazzetto. Darwin. William James. Wittgenstein.

Hay mucho para investigar, y para discutir. Pienso que estamos recién en los albores de aplicar la neurociencia a la conducta compleja humana. Pero por algunos puntos hay que comenzar. Por ejemplo, es clara la influencia de muchas drogas sobre nuestros estados de ánimo, y ahí hay un tema para seguir investigando. Las neuronas espejo son interesantes, pero tal vez se ha puesto mucha expectativa en ellas, para explicar conductas complejas. No conocía a Giovanni Frazzetto. Es interesante como Darwin se interesó por las expresiones usadas en nuestros estados de ánimo, y encontró relación en expresiones de primates.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 16 de Mayo, 2017, 13:36

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What is a gauge?
https://terrytao.wordpress.com/2008/09/27/what-is-a-gauge/

Chebyshev"s Paradoxical Mechanism
http://www.futilitycloset.com/2015/01/03/chebyshevs-paradoxical-mechanism/

Una demostración visual (explicada) del teorema de Ptolomeo | Gaussianos
http://gaussianos.com/una-demostracion-visual-explicada-del-teorema-de-ptolomeo/

Pat'sBlog: Circles and Equilateral Triangles
http://pballew.blogspot.com.ar/2014/01/circles-and-equilateral-triangles.html

Problemas abiertos | Microsiervos (Ciencia)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/problemas-abiertos.html

Mathematicians invent new way to slice pizza into exotic shapes
https://www.newscientist.com/article/dn28743-mathematicians-invent-new-way-to-slice-pizza-into-exotic-shapes/

Art of Problem Solving
http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Orthocenter

Existence of the Orthocenter
http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.shtml

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Publicado el 15 de Mayo, 2017, 8:26

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Exploremos el tema desde un punto más algebraico. Sea k un campo (un cuerpo conmutativo, ver Cuerpos y Campos), y sea An(k) o simplemente An, el producto cartesiano de k por sí mismo n veces. Entonces  An(k) es el conjunto de n-tuplas de elementos de k. A An(k) la llamamos n-espacio afín. A sus elementos los llamamos puntos (como analogía a los puntos geométricos del plano o del espacio). En particular A1(k) es la línea afín, A2(k) es el plano afín (dejo para otro momento investigar el origen del uso "afín" para estos espacios).

Este es origen de "geometría" en lo que estamos estudiando: los resultados los vamos a obtener en conjuntos de esos "puntos" de espacios afines. Veamos de dónde viene lo "algebraico".

Recordemos que k[X1, ..., Xn] es el conjunto de los polinomios en n variables, con coeficientes en (ver El anillo k[X]) Sea F uno de esos polinomios. Se dice que un punto P de An(k) es un cero de F si F(P) = 0. Es decir, si P=(a1,....,an), entonces P es cero si F(a1,....,an) queda valuado en cero. Si F no es un polinomio constante, entonces se llama al conjunto de sus ceros la hipersuperficie definida por F. La denominamos V(F). Un hipersuperficie en A2(k) se llama curva plana afín. Si F es un polinomio de grado uno, V(F) se denomina hiperplano de An(k). Si n=2, es una línea.

Este es el punto de partida de toda la geometría algebraica: comenzar a estudiar los conjuntos de ceros de conjuntos de polinomios. Esos conjuntos tienen propiedades muy interesantes.

Además de considerar los ceros de un polinomio, podemos considerar los ceros de un CONJUNTO de polinomios de k[X1, ..., Xn]. En este caso, consideramos que P es un punto cero si "se anula" en TODOS los polinomios de ese conjunto.

Hay resultados elementales que se deducen de las propiedades de los polinomios. Por ejemplo, el conjunto de ceros de un polinomio F = QP (que es producto de otros dos polinomios) es la UNION de los ceros de Q y los ceros de P, es decir V(F) = V(QP) = V(Q) unión V(P),

El conjunto de ceros del conjunto compuesto por dos polinomios F y G, es el conjunto INTERSECCION de los ceros de F y los ceros de G. Es decir, V({F, G}) = V(F) intersección V(G).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Mayo, 2017, 15:34

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El tema de las curvas elípticas es tan fascinante como amplio. Es a veces difícil saber por dónde empezar, que leer al principio, que investigar. Uno de los libros que me ayudaron a empezar a entender de qué va el tema y sus aplicaciones es:

Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets

de William Stein. Hay versión para bajarse en http://wstein.org/ent/, actualizado a enero de 2017. Podemos estudiar desde los elementos de la teoría de números, llegando a curvas elípticas en el último capítulo. Además se puede estudiar reciprocidad cuadrática, fracciones continuas, y toda la base elemental de teoría de números. El capítulo 3 es interesante porque explica el uso en criptografía de varios resultados de la teoría de números.

(Recordemos acá a Hardy, el "descubridor" de Ramanujan, cultivador de la teoría de números de la que orgulloso decía que no tenía aplicación práctica; se asombraría hoy de cuánto se usa en criptografía).

Al principio, Stein escribe:

The systematic study of number theory was initiated around 300B.C. when Euclid proved that there are in nitely many prime numbers, and also cleverly deduced the fundamental theorem of arithmetic, which asserts that every positive integer factors uniquely as a product of primes. Over a thousand years later (around 972A.D.) Arab mathematicians formulated the congruent number problem that asks for a way to decide whether or not a given positive integer n is the area of a right triangle, all three of whose sides are rational numbers. Then another thousand years later (in 1976), Duffie and Hellman introduced the first ever public-key cryptosystem, which enabled two people to communicate secretely over a public communications channel with no predetermined secret; this invention and the ones that followed it revolutionized the world of digital communication. In the 1980s and 1990s, elliptic curves revolutionized number theory, providing striking new insights into the congruent number problem, primality testing, public key cryptography, attacks on public-key systems, and playing a central role in Andrew Wiles' resolution of Fermat's Last Theorem.

Al principio del capítulo sobre curvas elípticas, escribe:

Elliptic curves are number theoretic objects that are central to both pure and applied number theory. Deep problems in number theory such as the congruent number problem: which integers are the area of a right triangle with rational side lengths? translate naturally into questions about elliptic curves. Other questions, such as the famous Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, describe mysterious structure that mathematicians expect elliptic curves to have. One can also associate nite abelian groups to elliptic curves, and in many cases these groups are well suited to the construction of cryptosystems. In particular, elliptic curves are widely believed to provide good security with smaller key sizes, something that is useful in many applications, for example, if we are going to print an encryption key on a postage stamp, it is helpful if the key is short! Morover, there is a way to use elliptic curves to factor integers, which plays a crucial role in sophisticated attacks on the RSA public-key cryptosystem

Ver la conjetura:

https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture

Es notable que el problema de saber si un número es congruente o no, carece de solución general:

https://en.wikipedia.org/wiki/Congruent_number

Para sus ejemplos usa http://www.sagemath.org/ Stein primero define cómo es una curva elíptica dando ejemplo gráfico sobre los reales (no trata las curvas elípticas sobre complejos). Define las curvas elípticas en su forma corta, dependiendo de dos parámetros a, b, sin puntos singulares, y evitando los campos K de característica 2 y 3. Para incluir estos campos, define la forma más general de curvas elípticas, con cinco coeficientes.

La primera propiedad no trivial es la estructura de grupo de los puntos de una curva elíptica. Y cómo ese grupo se conserva entre los puntos de coordenada racional. Stein señala que el punto difícil para demostrar la existencia de grupo es probar la asociativada de la "suma de puntos" que define. Menciona tres métodos para demostrarla: apelando a la descripción geométrica, calculándola a partir de las fórmulas para calcular el tercer punto, o sino, desarrollar una teoría general de "divisores de curvas algebraicas" por la cual la asociatividad del grupo sale como un corolario natural.

Otro tema que presenta es el uso de curvas elípticas en la factorización de enteros. Enuncia un resultado de Lenstra, el Elliptic Curve Method, inspirado en un método de Pollard (p-1). De ambos da ejemplos. Del método de Lenstra da, más que una demostración rigurosa, una explicación heurística. 

El tema siguiente es la aplicación de curvas elípticas en criptografía, tema introducido independientemente por Neil Koblitz y Victor Miller a mediados de los ochenta del siglo pasado. Primero discute el análogo de Diffie-Holman, en vez de sobre Z/Zp sobre la curva E(Z/Zp). Luego discute el sistema criptográfico ElGamal. Presenta el problema del logaritmo discreto en curvas elípticas.

El tema final es curvas elípticas sobre números racionales, con el importante resultado de Mordell: el grupo de puntos racionales de una curva elíptica tiene base finita, enunciado sin demostración. Menciona el método "de descenso" para calcular esa base, aclarando que no está demostrado que siempre termine exitosamente. Enuncia también un resultado de Mazur, 1976, sobre el grupo de torsión de E(Q), dándolo isomorfo a uno de 15 grupos. El grupo cociente E(Q)/E(Q)tor es un grupo abeliano finitamente generado, entonces es isomorfo a una potencia de Z. Esa número potencia es el rango de E(Q). Hay una conjetura, parte del folclore matemático no asociado a ningún autor en particular, que dice que hay curvas elípticas de cualquier rango arbitrario. Presenta el record mundial de una curva con rango 28. Y notablemente, presenta la relación entre curvas elípticas y números congruentes (números naturales que son la superficie de un triángulo rectángulo de lados racionales).

En fin, un libro para comenzar a tomarle el gusto a esto de las curvas elípticas. No discute el caso complejo, ni da todas las demostraciones, pero sirve para introducirse en este mundo interminable,

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 13 de Mayo, 2017, 17:10

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