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Publicado el
2 de Marzo, 2015, 14:10
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Se fue otro mes, y llegó la hora de trabajar en las resoluciones del nuevo mes. Antes, un repaso del resultado de las de Febrero
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger [pendiente]
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [completo] ver post
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg [pendiente]
- Continuar mi serie sobre Hacia la Mecánica Cuántica [completo] ver post
- Iniciar serie sobre Series de Fourier [completo] ver post
- Iniciar serie sobre El Ultimo Teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre La Hipótesis de Riemann [pendiente]
Además hubo posts como:
El teorema de la base de Hilbert (4)
Bertrand Russell, Smith y el Papa
Series de Fourier, Heine y Cantor
David Hilbert en Gotinga, por Courant
Resoluciones para el nuevo mes:
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg
- Iniciar serie sobre Series de Fourier
- Iniciar serie sobre El Ultimo Teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre La Hipótesis de Riemann
- Continuar mi serie sobre particiones
- Continuar mi serie sobre funciones aritméticas
De nuevo, un mes matemático, y alguna orientación científica. Necesito dominar algunos temas, y esta serie de posts me están ayudando a pasarlos en limpio.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
1 de Marzo, 2015, 13:33
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Las leyes de la mecánica clásica fueron reunida y expuestas en 1686 por Isaac Newton (1642-1727) en su famoso libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (ver Los Principia de Newton, Mecánica Clásica) Durante los dos siglos siguientes fue extendida y usada para explicar todos los fenómenos de la física y la astronomía. Fue la primera "gran unficación": la de los cielos y la tierra, separados en explicación desde los tiempos de Aristóteles. Newton mostró que lo que hacía que un proyectil siguiera una trayectoria y no otra, tenía la misma explicación que las órbitas de la Luna y los planetas.
Muchos después de Newton fueron extendiendo la mecánica clásica, incluso en formas que pienso le hubieran parecido extrañas al propio Newton (recordemos el planteamiento lagrangiano, ver Lagrangianos y Hamiltonianos). Pero con todo el triunfo de la mecánica clásica para explicar los fenómenos físicos, iba apareciedo, con el correr de los años, temas y conceptos que no encajaban en el gran esquema newtoniano. Uno era la luz: tratada de explicar como movimiento de partículas, chocó con la prueba experimental de la interferencia, y la explicación ondulatoria. Luego el calor también apareció, ligado a la luz en la explicación de la radiación. En el siglo XIX además aparecieron cuestiones como la constitución de la materia en estructura atómica y molecular (hay que admitir que era sólo una explicación tentativa, no todos aceptaban este modelo, hasta entrado el siglo XX hubo quienes no aceptaron la explicación atómica) y más sobre la naturaleza de la luz, como la ausencia experimental de detección de cambio de velocidad relativa (esto originó la primera teoría de la relatividad). Y todavía más: la electricidad y el magnetismo se fueron descubriendo como caras de la misma moneda, y desde Faraday a Maxwell vemos el avance del electromagnetismo.
Pero vayamos apuntando al nacimiento de la mecánica cuántica. Como apunta Max Jammer, la teoría cuántica, en su primera formulación, tuvo su origen en la incapacidad de la física clásica de dar cuenta de lo observado experimentalmente en la distribución de la energía en el espectro continuo de la radiación de cuerpo negro.
No era un problema fácil: era la cuantificación de la energía en vibraciones electromagnéticas armónicas, ligadas a una estructura atómica que todavía no estaba clara. Tal vez se hubiera avanzado más si la atención se hubiera detenido en otro fenómenos, como el calor específico. O que se hubiera descubierto la cuantización de la energía atómica al ver que la energía agregada siempre iba a la energía cinética de los átomos y no era absorbida internamente, en su energía de ligadura.
Pero eso es especulación. En el próximo post, veremos el estado de la teoría del calor y la radiación, con la llegada de las leyes de Kirchoff.
Fuente adicional consultada: Quantum Mechanics, A Conceptual Approach, por Hendrik A. Hameka
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
28 de Febrero, 2015, 16:58
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Hace tiempo que no escribo del tema, pero hay terminar la demostración. Sea el ideal que conseguimos en los posts anteriores:
El generado por los polinomios:
Que no se podían generar desde:
Repitamos el proceso con el ideal Q-barra. Sus polinomios tienen un coeficiente principal (el coeficiente del término de mayor grado) y el conjunto de TODOS los coeficientes principales es un IDEAL del anillo original X. Como suponemos que X es noetheriano (todos sus ideales tienen base finita), entonces, el ideal de los coeficientes principales es generado finitamente, digamos por
Por cada uno de estos coeficientes, elijamos un polinomio de Q-barra que lo tenga como coeficiente principal:
....
Donde entonces cada Pi es del ideal que encontramos en el anterior post:
Esto es, cada Pi es fruto de la combinación de algunos de los Qj base finita de Q-barra. Hay una cantidad finita m de polinomios Pi, y una cantidad finita entonces de polinomios Qj que generan a los Pi, llamemos a este último conjunto Q2, y formemos el ideal generado por ellos:
Como Q2 tiene cardinalidad finita, hay un grado mayor en sus polinomios elementos. Digamos que el grado mayor es m2. Se puede demostrar, como antes con P, que todos los polinomios del ideal Q-barra de grado mayor o igual a m2, quedan alcanzados por el ideal Q2-barra.
Ahora bien, algo importante. Teníamos el conjunto finito P de polinomios, digamos con un grado mayor m. Ahora tenemos Q2, también finito, con un grado mayor m2. Por la construcción que seguimos para llegar a Q2, desde Q, m2 es MENOR que m. ¿Por qué? Porque todos los Q eran "el resto" del ideal I "dividido" por el ideal generado por P. Entonces, todos los Q tenían grado menor que m, y todos los Q2 SALEN de los elementos de Q. Ergo, m2 es menor que m.
Seguimos en el próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
26 de Febrero, 2015, 11:12
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Hay unos libros excelentes de la editoral española RBA, que acá en Argentina aparecen de vez en cuando publicados en series semanales. Actualmente, el diario La Nación está publicando una serie de biografías, cada sábado, y son verdaderamente aprovechables. Ya aparecieron varios, como Einstein, Newton, Schrödinger, Heisenberg, Planck, Euclides, Pitágoras, Laplace, Copérnico, Feynman, Kepler, Turing, Arquímedes, y más, bien escritos, con detalles matemáticos y científicos, y también con datos del desarrollo histórico y personal del biografado. No es común eso: en general, aparecen biografías para "legos" donde no se tratan los términos técnicos, o biografías técnicas, sin adentrarse en la persona y el grupo que los generó.
Este último sábado apareció la biografía "Godel, los teoremas de la incompletitud", de Gustavo Ernesto Piñeiro (que ya mencioné en otro post). Leo ahí una conocida anécdota de Bertrand Russell, que expongo en mis palabras.
En una conferencia para público general, Russell expuso que si un sistema de axiomas es inconsistente (puede demostrar una afirmación y su contraria) entonces cualquier afirmación es demostrable a partir de ellos (al parecer, en la conferencia Russell se apoyó en la versión semántica de este tema, en vez de usar inconsistencia, afirmó que partiendo de una premisa falsa puede demostrarse cualquier cosa). Inmediatamente Russell fue desafiado por la audiencia a demostrar que si 1=0 entonces Smith (uno de los asistentes del público) era el papa. Russell razonó así: si 1=0, sumemos uno a ambos lados, quedando 2=1. Sean el conjunto de dos elementos Smith y el papa, pero como 2=1, los dos elementos son uno, y Smith es el papa :-)
Desconozco si la anécdota es real o no, no pude confirmarla. La explicación de Russell es para zafar de la pregunta, y se apoya en conceptos semánticos de conjunto, elemento, etc. Piñeiro expone claramente la diferencia entre lo semántico y lo sintáctico, y que consistencia es un en tema sintáctico, casi mecánico, que se apoya en el concepto de cadena de demostración manipulando símbolos con reglas del sistema en cuestipon. Subraya también que la demostración de Godel de su primer teorema fue cuidadosamente urdida para apoyarse en una autoreferencia sintáctica, en lugar de una autoreferencia´semántica, como la que había señalado el propio Russell en 1902 sobre la teoría de conjuntos de Frege.
Tengo entonces pendiente de explicar en un próximo post la afirmación de Russell, pero desde el punto de vista sintáctico, de cómo desde una manipulación de símbolos, y considerando P y no-P como demostrables desde un conjunto de axiomas, y en un sistema donde se admiten las cualidades de la implicación, entonces se puede probar cualquier afirmación Q.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
25 de Febrero, 2015, 16:00
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Publicado el
24 de Febrero, 2015, 13:04
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En el post de ayer escribí sobre las series de Fourier, mencionando que ese desarrollo había influido en muchos temas, incluso en el desarrollo de la teoría de conjuntos de Cantor. En estos días, me encuentro leyendo el excelente libro "Godel, los teoremas de la incompletitud", de Gustavo Ernesto Piñeiro (apareció en la serie de libros española, distribuida acá en Argentina por el diario La Nación, cada sábado). Y leo, la página 25, sobre "El infinito de Cantor" una breve historia:
Cuando un matemático investiga, su objetivo es siempre la resolución de un problema específico. Incluso hoy en día, si se le pregunta a un matemático en qué tema está trabajando, su respuesta seguramente consistirá en el enunciado del problema que está intentando resolver. Para entender el problema que estudiaba Cantor en 1870 [en la universidad alemana de Halle] debemos hablar brevemente de las series de Fourier.
A principios del siglo XIX el matemático francés Joseph Fourier desarrolló un método que le permitía descomponer cualquier onda periódica en una sumatoria de ondas elementales específicas (todas las cuales resultan de modificar la amplitud, la frecuencia o la fase de una onda inicial única). Fourier utilizó este método con gran éxito para estudiar fenómenos ondulatorios como la propagación del calor o la vibración de una cuerda. Como estas sumatorias normalmente involucran una cantidad infinita (en potencia) de ondas, y en matemáticas a una sumatoria infinita se le suele llamar una "serie", a este método se le dio el nombre de "series de Fourier". Actualmente sigue siendo una herramienta esencial en muchas ramas de las matemáticas, así como de la física y de la ingeniería.
Y acá viene la relación con el infinito de Cantor:
En la década de 1860, también en Halle, el matemático alemán Eduard Hene trabajaba en el problema de determinar si la descomposición de una onda periódica en una sumatoria de ondas elementales es siempre única
La pregunta sobre la unicidad de una cierta descomposición es muy común en matemáticas ....
Recordemos el tema de la factorización única del anillo de enteros en factores primos (QUE NO SE DA en todos los anillos)
... Heine se preguntaba si existiría un vínculo similar entre una onda periódica y sus ondas elementales. ¿Sería única esa descomposición, así como es única la descomposición en primos? En la década de 1860, Heine logró demostrar que para ciertos tipos de ondas periódicas (por ejemplo, para aquellas que no tienen "saltos" o discontinuidades), la descomposición en ondas elementales es realmente única. Sin embargo, no había encontrado una demostración general que abarcara todas las situaciones posibles. Entre otras cosas, no había podido demostrar la unicidad en el caso d que en cada período la onda tuviera una cantidad infinita (en potencia) de salto. De modo que cuando Cantor llegó a Halle en 1870, Heine le propuso que trabajar en esta pregunta: ¿es siepre única la descomposición de una onda periódica, aun cuando la cantidad de saltos e cada período pudiera crecer indefinidamente?
Y eso es lo que hizo que Cantor creara la teoría de conjuntos.
Cantor se abocó a estudiar el problema y en 1871 obtuvo una primera respuesta: la descomposición de una onda periódica es única, aun cuando la cantidad de saltos o discontinuidades crezca ilimitadamente, siempre y cuando esos saltos estén distribuidos de una determinada manera. Es decir, para que se garantizara la unicidad, la forma en que los saltos iban apareciendo debía cumplir ciertas condiciones específicas. Pero encontró algunas dificultades a la hora de expresar esos requisitos de una manera concreta, exacta y elegante. Seguramente tenía una intuición muy precisa de cuáles eran las particularidades que quería enunciar, pero se le espcaba el modo de transmitirla en palabras claras y precisas.
Para poder expresar esas condiciones de forma adecuada, Cantor creó los fundamentos de la teoría de conjuntos, separando los infinitos en distintas clases, que había infinitos "más grandes" que otros, y donde se cumplía (como ya había señalado Galileo) que el todo no es mayor que las partes.
Y todo esto, a partir de un problema de las series de Fourier :-)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
23 de Febrero, 2015, 8:07
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Uno de los temas de matemáticas que uno se encuentra a cada momento en muchas aplicaciones físicas (calor, ondas, cuántica) es el de las series de Fourier. Comienzo hoy una serie de posts para exponer lo principal de las ideas subyacentes a este tema, y tratar de entender mejor su trascendencia y relaciones con otros instrumentos matemáticos. También tienen su importancia en matemática pura. Pero históricamente, están relacionadas con Fourier, matemático francés que expuso la teoría a principios del siglo XIX.
Veamos, a los matemáticos les gusta expresar una función, digamos de una variable x (real o compleja):
Como una función que se pueda expresar de alguna forma, como:
Pronto se vió (desde la época del surgimiento del análisis moderno) que hay funciones que no pueden expresarse simplemente, y hay que recurrir a desarrollos en serie infinita de potencias de x, de la forma general:
Una nota: el concepto moderno de función (a cada x le corresponde un valor y, sin necesidad de expresarlo con una fórmula) sólo surgió en la segunda mitad del siglo XIX (pero eso es otra historia).
Lo que encontró Fourier que muchas funciones, incluso algunas no expresables por serie de potencias de x, se podían expresar como una serie:
Donde las fn son funciones trigonométricas seno, coseno, que vamos a examinar. Es concreto:
Y no sólo encontró esto, sino que además descubrió la forma de conseguir los coeficientes an, bn, de ese desarrollo en serie, de una forma notable, que abrió nuevas ideas en matemáticas. Voy a proponer una analogía. ¿Vieron cuando un quiere determinar las coordenadas de un punto en un espacio n dimensional? Se apela a ejes coordenados (ortogonales y no) y la coordenada del punto con respecto a un eje, es la distancia al origen de la "sombra del punto sobre ese eje"? Bueno, algo así encontró Fourier: una expresión para expresar "la sombra" de una función cualquiera (con algunas condiciones) con respecto a una serie infinita de "ejes", expresados por funciones trigonométricas. Vamos a ver que para la expresión de Fourier de los coeficientes, es fundamental que esos "ejes"/funciones sean "ortogonales" entre sí. Pero no quiero adelantarme. Igual me parece interesante expresar esta analogía porque fue fruto de otros desarrollos. Incluso algunos temas de convergencia y de las condiciones de las funciones expresables en Series de Fourier dieron lugar a la moderna teoría de conjuntos.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
19 de Febrero, 2015, 11:05
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Comparto nuevamente por acá la actividad del Café Filosófico de Buenos Aires. Para más información, lugar, horarios, modalidad, costos, ver:
http://www.filosofiaparalavida.com.ar/
Lo comparto como vino (sin acentos):
Durante la primera hora de exposicion teorica analizaremos situaciones en las que ciertos pensamientos inutiles nos alejan de nuestros propositos de vida y brindaremos metodos practicos que cuentan con evidencia cientifica destinados a cambiar las emociones y las conductas con las que nos perjudicamos a
nosotros mismos. Que es lo que hace que las personas se comporten de una forma que las lleva a frustrar sus propios objetivos? Los analisis y las estrategias que abordaremos son el resultado de la dilatada experiencia del Dr Albert Ellis y el Dr Robert Harper, y han sido respaldados por centenares de estudios e investigaciones cientificas. Albert Ellis es Doctor en Filosofia y uno de los psicologos de mayor prestigio mundial por ser uno de los dos creadores de la Terapia Cognitiva. Harper tambien es Doctor en Filosofia y se especializa en psicologia, antropologia y sociologia. Compartiremos sus ideas sobre
como es posible llevar a cabo un profundo autoanalisis de nuestros pensamientos y emociones.
Que podemos hacer para dejar de fustigarnos a nosotros mismos con creencias irracionales y fortalecer nuestras emociones positivas? Estrategias para disipar la ansiedad. Como librarse de emociones autodestructivas como la ira, la depresion, la culpabilidad o la ansiedad. Como librarse de los pensamientos que suelen generar ansiedad a la hora de hablar en publico? Como superar las influencias
del pasado.Es racional racionalizar? Que entendemos por racional? Por que cada persona entiende algo diferente por el termino racional. De que manera el pensamiento racional puede compatibilizar con una emocionalidad intensa?
Compartiremos los jugosos y, en algunos casos, desopilantes ejemplos que da Albert Ellis para ilustrar la posibilidad de librarse de pensamientos inutiles. Los pensamientos negativos que destruyen y los que ayudan a sobrevivir.De que forma Shakeaspeare comenta el pensamiento de Epicteto. La propuesta de reflexion esta basada en el presupuesto de que se vivira de manera mas satisfactoria, creativa y con menos malestar si se revisan algunos de nuestros pensamientos. Que habitos favorecen la generacion de pensamientos inutiles? De que manera los pensamientos pueden agravar un dolor fisico. Es racional el ser humano? Hacemos maravillas con nuestras mentes, somos racionales, pero tambien tenemos una fuerte tendencia a comportarnos de la forma mas ridicula, llena de prejuicios: somos por naturaleza sugestionables y supersticiosos, fanaticos y manifiestamente estupidos, incluso cuando sabemos que nos estamos comportando de forma saboteadora y que seriamos mas felices actuando de otro modo. Los efectos de la busqueda de perfeccion. Por que David Bourland, especialista en semantica (disciplina que estudia el significado de las palabras), dice que cada vez que uno usa alguna forma del verbo "sera" esta en cierto sentido hablando de forma incorrecta. Cuales son los pensamientos mas frecuentes que estan implicitos en las emociones negativas persistentes? Librarse de pensamientos inutiles e irracionales no se opone a una existencia apasionada sino a una emotividad abrumadoramente negativa que sabotea nuestros propios objetivos. Estrategias para librarse de pensamientos inutiles. La riqueza fundamental de esta charla residira en la aplicacion de las estrategias para librarse de pensamientos inutiles a diversos casos concretos que plantea Albert Ellis en sus trabajos, de modo de ver fundamentalmente como funcionan estas tecnicas en la practica.
Normalmente vemos las cosas que vemos y escuchamos las que escuchamos, sin distorsionarlas demasiado. Lo que nos lleva a diversos errores de percepcion es el proceso normal de rellenar los vacios. Hacemos esto de un modo rutinario, suponiendo, infiriendo, adivinando, proyectando, especulando, deduciendo, extrapolando, conjeturando, haciendo hipotesis y leyendo entrelineas. Es un privilegio de nuestro intelecto humano el de ver mas alla de lo que alcanzan a percibir nuestros organos sensoriales. Algunas personas fracasan con mas frecuencia de la habitual en esta empresa. Elevan a nivel de certeza sus mas descabelladas conjeturas y sus mas infundadas suposiciones sobre lo que ven y escuchan. Cuando se les pide un relato objetivo de los acontecimientos, sustituyen esta descripcion por sus valores morales y opiniones personales. Guiados por sus sospechas,atribuyen a los demas intenciones poco hostiles sin evidencia, y no tienen inconveniente en acusar a grupos enteros, incluso raciales o sexuales.
Bueno, como otras veces, gran cantidad de temas a explorar, con cita de los autores que tratan esos temas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
17 de Febrero, 2015, 17:53
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Es tiempo de iniciar esta serie de post, visitando el último teorema de Fermat, su historia matemática, los caminos que se exploraron para su solución, hasta llegar a su demostración final. Este teorema fue planteado por Pierre de Fermat, al leer un problema de Diofanto en su Aritmetica, traducida por Bachet de Meziriac. El problema de Diofanto era:
Divide un cuadrado dado en otros dos cuadrados
Diofanto daba una solución ilustrativa, no general. En realidad, pedía números racionales, no necesariamente enteros. Para la solución general, ver el post Ternas Pitagóricas. Citando el artículo de D’Alembert en la Enciclopedia de 1750:
El método de Diofanto consistía en reducir la situación a una ecuación en una incógnita mediante una serie de transformaciones
Fermat anotó en esa copia del libro de Diofanto:
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet
Traducido como
Descomponer un cubo en otros dos cubos, una cuarta potencia, y en general una potencia arbitraria en dos potencias del mismo grado arriba del segundo, es una cosa imposible y ciertamente he encontrado una prueba admirable. Este estrecho margen no puede contenerla
Esta es la afirmación que se convirtió en el Ultimo Teorema de Fermat. Sólo sabemos de él gracias a esta nota en el margen del libro, publicada por una reedición del hijo mayor de Fermat, Clement Samuel, publicada en 1670, luego de la muerte de Fermat. No parece encontrarse en ninguna de sus numerosas cartas con colegas, ni tampoco se encontró traza, pista de la supuesta “prueba admirable” de la que habla. Lo que sí se ha encontrado el desafío para n=3 y n=4, enviado a Mersenne, Pascal y John Wallis. Tal vez tenía una prueba para n=4, basada en el descenso infinito. Hoy, dado el nivel de nuevas matemáticas que insumió la prueba final de Wiles a fines del siglo pasado, casi podemos estar seguros que esa “prueba admirable” estaba equivocada. Varios intentos a lo largo de siglos, han puesto de manifiesto que es improbable que Fermat tuviera una prueba real, y lo más plausible es que se hubiera dejado llevar por su entusiasmo, aportando una prueba con fallas.
En lenguaje moderno, podemos poner, que para n > 2, la ecuación:
Cumpliendo con
No tiene solución
Principal fuente consultada. El excelente libro: “Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles”, de Yves Hellegouarch.
Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Nos leemos!
Angel “Java” Lopez
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Publicado el
16 de Febrero, 2015, 12:30
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Publicado el
15 de Febrero, 2015, 19:00
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Ya mencionamos que, experimentalmente, una magnitud f puede tener valores discretos o continuos (o discretos en un rango, y continuos en otros, puede darse el caso mixto). Sigamos estudiando el caso discreto. En física cuántica sólo conocemos la probabilidad de que dado un estado físico, la magnitud f tenga el valor fn. A los físicos les gusta igual manejar un valor para la magnitud f, el llamado valor medio:
Lo expresamos con una f con una raya horizontal encima. Vemos que cada valor posible discreto fn está ponderado por su probabilidad. Cada estado cuántico tendrá un valor medio de cada magnitud f. En vez del valor absoluto al cuadrado de cada an, podemos recordar lo equivalente:
Recordemos que los coeficientes an, vienen de expresar el estado completo como suma de los estados n
Nos gustaría poder expresar al valor medio f, no con los coeficientes, sino con la propia función de estado. Para eso, los físicos descubrieron un concepto matemático útil, el operador. Un operador es una función que recibe como "entrada" una función (en lugar de recibir un valor numérico), y devuelve una función como resultado. Por ejemplo, la derivada puede considerarse un operador. Los operadores los vamos a indicar con un "sombrero" encima de su letra. Entonces, los físicos DEFINEN un operador f, como el operador que hace que la expresión de la derecha, en la siguiente fórmula, DE EL VALOR MEDIO de f:
La expresión bajo la integral tiene la función de estado conjugada Y LA FUNCION DE ESTADO LUEGO de aplicarle el operador f. El operador f se DEFINE (y es un tema de matemáticas demostrar la existencia y unicidad) como el operador que hace que esta integral RESULTE ENTREGANDO el valor medio. Es decir, debería dar los mismos valores que nuestra expresión del valor medio solamente usando los coeficientes an, sin las función de estado.
Ahora, para que todo esto sea compatible con el principio de superposición de estados, los físicos piden que el operador sea línea, es decir, espera que cumpla:
Y que cumpla:
Este es uno de los principios del formulismo matemático cuántico: a cada manginud física le corresponde un operador lineal.
Recordemos que una función de estado puede ser la que corresponda al estado fn. En ese caso, esperamos que:
Para que esto ocurra basta que el operador lineal cumpla, para cada función de estado n, con:
Es decir, que aplicado el operador al estado n (de esos estados "básicos" que tenemos asociados a los valores posibles fn), nos devuelva LA MISMA función de estado, multiplicada POR UN NUMERO, el valor de la magnitud fn.
Estas funciones base se llaman funciones propias, y los valores fn son los valores propios. Son las soluciones a la expresión:
Donde el f de la izquierda es un operador (ver el "sombrero") y el f de la derecha es una constante a determinar.
Bueno, bastante por hoy, aparecieron conceptos nuevos, que espero quede claro su aplicación en los próximos posts. Por ejemplo, ¿se podrá descubrir el operador funcional asociado a la energía, al momento, a la posición? ¿qué expresión concreta tienen? También hay que investigar que el mismo operador puede cambiar de expresión al cambiar las coordenadas que usamos en la función de estado, debiendo igual representar LA MISMA magnitud física.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
14 de Febrero, 2015, 19:43
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Ya escribí varias veces sobre David Hilbert, en:
David Hilbert, Enlaces y Recursos
Métodos de Física Matemática, Courant, Hilbert, Prefacio de Courant
David Hilbert, según Jean Dieudonné
Los problemas de Hilbert
Imágenes y símbolos, según Hilbert
David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1)
Los problemas de Hilbert (1)
La semana pasada encuentro este texto de Richard Courant, comentando cómo Hilbert se comportó como catedrático en Gotinga:
Si leemos las antiguas crónicas, un catedrático de Gotinga era un semidiós muy consciente de su rango, el de catedrático y también lo era, en particular, la esposa del catedrático.
No sólo en Gotinga, sino en otros lugares de estudio de la Alemania de entonces. Tengo que comentar en algún post, como consiguió Max Planck acercarse a Helmholzt, que era "inalcanzable" para sus alumnos. Hoy, ese "alejamiento" está prácticamente olvidado en muchos ámbitos: las matemáticas son cada vez más colaborativas, y donde los jóvenes son la nueva sangre que trae ideas novedosas a ámbitos ya visitados
La llegada de Hilbert a Gotinga resultó muy molesta. Algunas de las esposas de los catedráticos de más edad se reunieron y dijeron: "¿Te has enterado de este nuevo matemático que ha llegado? Está alterando toda la situación. Se ve que la otra fue visto en un restaurante jugando al billar con algunos de los "Privat dozent" [El Privat dozent ocupaba un rango más bajo que el de profesor ayudante actual, puesto que la universidad no le pagaba nada; solamente recibía el dinero que se le permitía cobrar directamente a sus alumnos en pago de sus clases.] Se consideraba totalmente inaudito que un catedrático se rebajara a entablar amistad personal con personas más jóvenes. Sin embargo, Hilbert rompió esa tradición, lo que significó un enrome paso adelante hacia la creación de la vida científica; los jóvenes estudiantes le visitaban en su casa y tomaban el té o cenaban con él. Frau Hilbert preparaba grandes y copiosas cenas para los profesores ayudantes, estudiantes y otros. Hilbert salía con sus estudiantes, y con quien quisiera acompañarle, a realizar largas excursiones en los bosques durante las cuales se hablaba de matemáticas, de politíca y de economía.
Hilbert también recibía visitas en su jardín, donde trabajaba todo el tiempo que podía, y entre tarea y tarea de jardinería, o pequeñas tareas caseras, acudía a una larga pizarra que tal vez medía más de seis metros de largo, y que estaba cubierta para poder recorrer toda su longitud incluso bajo la lluvia, en la que trabajaba en sus matemáticas en sus descansos entre los arreglos de los parterres de flores. Uno podía pasar todo el día observándolo.
... Era un profesor único y estimulante... teníamos la suerte de poder observarle forcejeando contra problemas matemáticos, en "ocasiones muy sencillos", y ver cómo encontraba la solución, y eso estimulaba más que una clase magistral perfectamente ejecutada. Lo más impresionante era la gran variedad, el amplio espectro de sus intereses... Era un matemático muy concreto e intuitivo que inventó un principio y lo aplicó de forma muy escrupulosa, a saber, si quieres resolver un problema, retira primero del problema todo lo que no es esencial. Simplifícalo, especialízalo tanto como puedas, sin sacrificar su núcleo. Así, el problema se hace sencillo, tan sencillo como puede sea posible sin que pierda su garra, y entonces lo resuelves. La generalización es una trivialidad a la que no se debe prestar demasiada atención. Este principio de Hiilbert demostró ser extremadamente útil para él y también para otros que aprendieron de él; por desgracia, ha sido olvidado.
Tengo que el libro de ambos, Hilbert y Courant, el famoso Métodos de Física Matemática, que tanto influyó en los físicos de principios del siglo pasado. También tengo pendiente leer las biografías de ambos, escritas por Constance Reid.
Encuentro el texto de arriba, en el excelente libro Matemáticas, una historia de amor y odio. Una cita más corta de Courant sobre Hilbert, la había publicado en David Hilbert, por Richard Courant.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
12 de Febrero, 2015, 14:53
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Vuelvo a compartir el tema que se va a tratar esta semana en el Café Filosófico de Buenos Aires. Más datos sobre ubicación, costo, actividades y horarios, en:
http://www.filosofiaparalavida.com.ar/
Lo comparto como vino (sin acentos):
EL TEMA Y CONTENIDO SERÁ UN ESTRENO:
FORMAS DEL AMOR: SUS BASES BIOLOGICAS Y FILOSOFICAS
NEUROCIENCIA Y AMOR (A partir de los ultimos trabajos científicos sobre el tema, en dialogo con la tradicion filosofica sobre el amor de Platon, Aristoteles, Schopenhauer y otros filosofos)
Que nos hacer sentir atraccion por una persona y no por otras? Por que nos enamoramos? ¿Qué procesos se desarrollan en el cerebro durante el enamoramiento? ¿Es un fenomeno centralmente biologico o cultural? Que influencias no conscientes operan en la eleccion de pareja? Tres formas del amor: la lujuria, el amor romantico y el apego. Su análisis neurocientifico y su analisis filosofico a la luz de los conceptos griegos de eros, agape y philia. Como operan mediante tres circuitos cerebrales distintos. Que cambios fisiologicos se generan en el enamoramiento y en las buenas relaciones duraderas? Los resultados de un estudio realizado por la maxima experta en neurociencia y amor, Helen Fisher, en la pagina web de citas mas grande del mundo. La musica, la compulsion a las compras y el cortejo: su relacion con el amor. Se reseñara tambien el articulo "Sexo, citas y amor: diferencias entre hombres y mujeres", escrito por Roxana Kreimer para un libro que saldra en abril en Estados Unidos ("Women in Philosophical Counseling: The Anima of Thought in Action", Lexington Books, April 15, 2015, "Mujeres en la practica filosofica: el pensamiento en accion"). El articulo parte de la base de que hombres y mujeres no tienen usualmente las mismas prioridades cuando buscan sexo casual o formar una pareja. La investigacion cientifica ha brindado valiosas evidencias sobre los factores irracionales que influyen en la eleccion de pareja. Los resultados son fascinantes y sorprendentes. La filosofia puede jugar un papel importante en la reflexion sobre estas influencias biologicas no conscientes, por un lado volviéndolas conscientes, y por el otro, sugiriendo de que manera el amor puede ser comprendido como un arte, algo que aprendemos y perfeccionamos, y no solo como el resultado de lo que "nos ocurre".
Los siete principios para hacer que la pareja funcione, a partir de los estudios empiricos de John Gottman (hemos dedicado un Café Filosofico entero a este autor, ahora enumeraremos los principios brevemente en virtud de que son el resultado de años de investigación en el unico laboratorio del mundo en el que las parejas concurren para ser estudiadas en sus interacciones cotidianas). Habra chistes sobre el amor y el enamoramiento como prolegomeno para el banquete y la presentacion musical.
Termina con:
Por que estudiar filosofia? Porque la filosofia es un proceso que cultiva habilidades cruciales para que sean fructiferas la educacion, la carrera, la ciudadania, las relaciones y el crecimiento personal. Estas habilidades incluyen la capacidad para razonar criticamente, resolver problemas con creatividad, comprender lo que se lee y lo que se oye, analizar los principios abstractos y aplicarlos a cuestiones concretas, expresarse con claridad y eficacia, apreciar puntos de vista diferentes a los propios, entablar un dialogo constructivo y darse cuenta que la opinion personal nunca es la ultima palabra sobre un tema, clarificar los presupuestos de las opiniones y estar preparado para cambiarlos a la luz de la evidencia. La buena vida es la que guia la razón e inspira el amor. (Bertrand Russell)
"Hay una sola pregunta filosófica valiosa: ¿cómo hemos de vivir?
(Sócrates)
Me gusta que en un ambiente filosófico se hable de neurociencias (en otros ambientes filosóficos, semejante actitud sería tildada de "cientificista", "reduccionista" y demás). Como siempre, hay que tener cuidado en sacar conclusiones muy amplias en el estado actual de la neurociencia.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
10 de Febrero, 2015, 15:22
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Hay tantos temas interesantes para investigar. En estos días estoy volviendo a leer sobre geometría algebraica. En los de enlaces de hoy, hay otros tópicos, como la densidad de secuencias de números (ver Schnirelmann abajo), y temas de teoría de números como la suma de cuadrados. En estos días, se nos fue René Lavan, veamos el tema de las matemáticas de la mezcla de cartas. Y siempre aparece la teoría de grupos.
Depth- and Breadth-First Search | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/01/22/depth-and-breadth-first-search/
Why there is no Hitchhiker’s Guide to Mathematics for Programmers | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/02/08/why-there-is-no-hitchhikers-guide-to-mathematics-for-programmers/
The Mathematics of Perfect Shuffles
http://www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf
M13 | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/m13.html
Presentations and Representations in Foundations | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/presentations_and_representati.html
(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular
Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos
http://gaussianos.com/encontrado-un-error-en-el-trabajo-de-carl-cowen-y-eva-gallardo-sobre-el-problema-del-subespacio-invariante
La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/
The Aperiodical | Talk: Computability of Bass-Serre structures in the Grzegorczyk hierarchy
http://aperiodical.com/2013/02/talk-computability-of-bass-serre-structures-in-the-grzegorczyk-hierarchy/
The Aperiodical | Collaborative Mathematics: kids (and non-kids) work together on problems over YouTube
http://aperiodical.com/2013/02/collaborative-mathematics/
Fracción polinómica - Gaussianos
http://gaussianos.com/fraccion-polinomica/
Lagrange's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem
Jacobi's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_four-square_theorem
15 and 290 theorems - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems
Brun sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brun_sieve
Natural density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density
Schnirelmann density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density
FINE ASYMPTOTIC DENSITIES FOR SETS OF NATURAL NUMBERS
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/24.pdf
THE ASYMPTOTIC DENSITY OF SEQUENCES
http://www.ams.org/journals/bull/1951-57-06/S0002-9904-1951-09543-9/S0002-9904-1951-09543-9.pdf
Subsets of Products of Positive Density on van der Waerden sets
http://arxiv.org/abs/1301.4297
48th Known Mersenne Prime Discovered
http://www.mersenne.org/various/57885161.htm
Mis Enlaces
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
2 de Febrero, 2015, 14:11
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Tiempo de revisar los resultados de las resoluciones de enero, y plantear las nuevas para este mes de febrero. Este mes pasado hubo menos días libres, y se notó en el resultado:
- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger [pendiente]
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [pendiente]
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [completo] ver post
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg [pendiente]
- Continuar mi serie sobre Hacia la Mecánica Cuántica [pendiente]
- Iniciar serie sobre Series de Fourier [pendiente]
- Iniciar serie sobre El Ultimo Teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre La Hipótesis de Riemann [pendiente]
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica [parcial]
En compensación, inicié nuevas series como:
Teoría de Categorías (1)
Particiones (1)
Funciones Aritméticas (1)
Descenso Infinito (2)
También escribir sobre:
Kepler y la gravitación
Bien, lo prometido es deuda, así que este mes me concentro en completar lo que faltó:
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg
- Continuar mi serie sobre Hacia la Mecánica Cuántica
- Iniciar serie sobre Series de Fourier
- Iniciar serie sobre El Ultimo Teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre La Hipótesis de Riemann
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
1 de Febrero, 2015, 18:32
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Ya estuvimos viendo rotaciones alrededor de un eje (en tres dimensiones), podemos ahora escribir:
A la izquierda tenemos multiplicar. A la derecha, tenemos sumar. Esto nos recuerda a lo que tenemos en exponenciación:
Aunque hay que tener cuidado: en la primera expresión de arriba, estamos multiplicando matrices, y en la segunda expresión, estamos operando con números, como exp(x) y el propio x.
Recordemos que
Eso es una rotación FINITA de ángulo dado theta, alrededor del eje z. ¿Cómo podemos expresar una rotación INFINITESIMAL, que sirva de base "generadora" para todas las rotaciones de ese eje?
Si calculamos la derivada por theta, en el valor 0, quedar:
Entonces, podemos usar esa derivada como el primer factor en su expresión en serie. Como aproximación podemos escribir:
Donde en segundo término de la derecha llega a ser la derivada encontrada multiplicada por delta theta, el incremente infinitesimal del ángulo (hay que justificar el uso de i, la raíz de -1 imaginaria). Debería ser para eso:
Una rotación finita puede componerse (en principio) de sucesivas rotaciones infinitesimales (digo en principio, para mostrarlo formalmente hacia dónde vamos; dos rotaciones infinitesimales, si realmente son INFINITESIMALES, solo dan una rotación infinitesimal):
Tomando:
Para N rotaciones, si tomamos N tendiendo a infinito, queda:
En el desarrollo de arriba, operamos formalmente, PORQUE NO HAY DEFINICION DIRECTA de e elevado a matrices. Solamente porque Mz es una matriz que CONMUTA CONSIGO MISMA (como todas las matrices), podemos hacer esa ANALOGIA con respecto a la exponencial: lo que conocemos, es la exponencial de un número real, lo de arriba es "algo de magia" para expresar la exponencial de una matriz.
Con todo lo plausible que es la igualdad de arriba, hay que probar que:
Sea igual a lo que da el desarrollo infinito de la exponenciación:
Este desarrollo se expande a:
Las dos primeras matrices son la matriz desdoblada. Las potencias PARES de Mz son igual a la segunda matriz (con dos unos y un cero en la diagonal), y las potencias IMPARES de Mz son iguales a Mz.
Queda, reagrupando, y resolviendo los signos de i potencia:
Los dos desarrollos de potencias de theta son los desarrollos de coseno y seno en serie, queda:
Quedando al fin:
Como se quería probar.
En próximo post, revisaremos que condiciones cumple Mz, mencionaremos la expresión de Mx, Mz (que se pueden deducir como las de Mz), y veremos si Rz(theta) es unitaria.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
31 de Enero, 2015, 13:59
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En el anterior post mostré la ecuación diferencial:
Y mencioné dos soluciones:
Y
Además de comprobarlas y luego, combinarlas linealmente. Pero ¿cómo podemos obtener esas dos soluciones particulares? Primero, podemos hacer que la diferencial de y sea escrita como:
Es simplemente un cambio de notación. Para ser más precisos, D no es un número que se multiplica por la función y, sino que podemos escribirlo mejor como:
Como una función, que aplicada a la función y, nos devuelve otra función, la derivada de y en la variable independiente x. D no es una función que se aplica a un número y devuelve un número, sino que es lo que los matemáticos llaman un funcional u operador funcional: algo que le damos una función y devuelve una función.
Una vez hecho ese cambio de notación podemos expresar nuestra ecuación como:
Y “estirando” la notación, poner:
Y de nuevo, estirando la notación, hacer que esto equivalga a:
Para cualquier y. D es un operador funcional. Si lo tratamos “como si fuera la incógnita de un número” , podemos resolver la ecuación anterior como una ecuación de segundo grado en D, dando como soluciones
Y
Pero D no es un número, es un funcional que podemos aplicar a y ( una función). Queda:
Y
Con lo que llegamos a las soluciones particulares:
Y
Todo esto es “malabarismo” sobre operadores funcionales, tratándolos formalmente como si fueran “números”. Pero funcionan. El pionero en este tratamiento fue Heaviside, ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus
Nos leemos!
Angel “Java” Lopez
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Publicado el
27 de Enero, 2015, 18:13
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Como lo mío es un apostolado :-) vuelvo hoy a compartir un tema que se tratará en la próxima reunión del Café Filosófico de Buenos Aires. Ver lugar, horarios, costos, formato más en detalle en:
www.filosofiaparalavida.com.ar
Leo en email que me enviaron (sin acentos):
La neurociencia esta revelando los secretos de nuestras emociones.
Compartiremos el contenido de un libro reciente e inedito en el pais sobre este tema, escrito por el investigador Giovanni Frazzetto. Puede la ciencia explicar por si misma por que sentimos lo que sentimos? La filosofia es un buen complemento para el analisis de las emociones, que invaden cada porcion de nuestra vida. Un minuto estamos tristes, enseguida sentimos esperanza. Algunas emociones nos persiguen, otras nos eluden. Nos transportan lejos. Por eso es que a veces pensamos como podriamos librarnos de algunas de ellas. Es el dolor psiquico similar al dolor fisico? Tienen aspectos comunes en la configuracion cerebral que corresponde a cada uno de ellos? Que puede revelarnos sobre las emociones el escaneo del cerebro? Haremos un viaje a traves de algunas de las emociones mas comunes de la vida cotidiana. El impacto emocional de drogas paliativas como los opiaceos o la morfina.
Las experiencias de exclusion y su impacto a nivel neural. Un analisis de Wittgenstein sobre las emociones. La serotonina (hormona "del placer") y los estados emocionales. La ansiedad: el miedo a lo desconocido. William James y la relacion de las emociones con el cuerpo. La diferencia entre el miedo y la ansiedad: comparten la misma estructura cerebral, responden a los mismos circuitos neuronales o funcionan en forma independiente? La lectura que Giovanni Franzzetto hace del analisis de Heidegger sobre el tema de la ansiedad. Como podemos huir de la ansiedad? Como es posible que el cerebro aprenda a desviar la atencion? El contraste entre racionalidad y sentimientos, ciencia y poesia. Como enfrentando este contraste, podemos entendernos mejor a nosotros mismos y a los demas. Como se ve el efecto de la psicoterapia en el escaneo del cerebro.
La neurociencia tiene tanto para revelarnos sobre nuestra vida que algunos de sus terminos ya ingresaron al lenguaje popular: solemos decir que "necesitamos adrenalina", que la dopamina estimula el cerebro y que las endorfinas son opiaceos "hechos en casa". Podremos algun dia grabar los sueños y comprar experiencias artificiales (peliculas para la mente)? Como puede el cerebro aprender a desviar la atencion? La plasticidad del cerebro: como podemos condicionarnos a nosotros mismos para no ser dominados por la ansiedad.
Como transitar el proceso del duelo. Cual es el proposito del llanto? Por que lloramos de alegria? Es posible divorciar las categorias psiquiatricas de su contexto social? Veremos algunos aspectos particulares del placer, y algunas rutas que pueden ayudarnos a alcanzar la alegria. Los rasgos de la risa. El estudio de Robert Provine sobre los componentes de la risa. Las neuronas espejo y la risa. Por que suele ser contagiosa y no es solo un signo de alegria y entretenimiento? Que animales rien? Como lidiar mejor con las emociones, construyendo nuevas rutas en nuestro cerebro.
Giovanni Frazzetto. Darwin. William James. Wittgenstein.
(Adjuntamos un par de fragmentos sobre el tema)
La felicidad es buena para el cuerpo, pero es el dolor lo que desarrolla las fuerzas de la mente. Marcel Proust.
Cuando hacemos terapia en el cerebro se producen cambios en las conexiones sinapticas y se establece una nueva realidad mental. Un estudio con resonancias magneticas revelo que cuatro semanas de psicoterapia normalizan la hiperactividad de la amigdala (la region que regula las emociones) en pacientes que experimentan ataques de panico.
Abordar las emociones con una estrategia distinta es como tomar otro camino para llegar al mismo lugar. No se trata solo de una metafora. En el escaneo del cerebro se ven estas nuevas rutas.
Recomendaría para el tema emociones y neurociencia, los libros de Antonio Damasio, en especial "En busca de Spinoza". Para una muy buena introducción a un tema central en neurociencia, conciencia y cerebro, leer "De palacios y cavernas", de Diego Golombek.
Interesantes los temas planteados, por ejemplo, el tema risa en los animales. Soy algo excéptico al tema "nuevas rutas" como identifcadas como una estrategia distinta cada vez a las emociones. No sabemos realmente mucho de la importancia de lo que escaneamos. Es como examinar un auto andando por su temperatura, y darle importancia entonces al caño de escape. Tal vez las operaciones más importantes no son las más aparentes en un escaneo cerebral. Estamos dando recién los primeros pasos para comprender cómo funciona nuestro cerebro.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
26 de Enero, 2015, 15:53
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Publicado el
25 de Enero, 2015, 16:23
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Hace unas decádas, comenzaron a aparecer conceptos que dieron lugar a un nuevo fundamento de las matemáticas. Si bien se basaban en trabajos de miles de años, el lenguaje empleado era nuevo y aún hoy es un tema que no está muy difundido. Gracias al trabajo seminal de Eilenberg y MacLane de "A general theory of natural equivalences", fue que apareció una definición precisa de "categoría" y se hizo explícito que las relaciones entre ellas eran parte básica de las matemáticas.
Comienzo hoy esta serie de posts, para estudiar los conceptos de esta teoría, que no es difícil pero sí nueva y distinta. Comenzemos con algo que pasó hace siglos.
Galileo estudió el movimiento de cuerpos en el espacio. Para eso, se dió cuenta de la importancia de asociar el tiempo con la posición en el espacio de un cuerpo en movimiento. Podemos graficar:
Tenemos un conjunto de instantes de tiempo a la izquierda. Cada punto en el tiempo le corresponde un punto en el espacio, el conjunto de la derecha (estamos manejando conjunto de manera intuitiva, como una colección de cosas). Lo importante es que a cada elemento del conjunto de la izquierda (el dominio que le dicen los matemáticos) LE CORRESPONDE UNO Y SOLO UN elemento en el conjunto de la derecha (el codominio). Esta aplicación es nuestro primer ejemplo de lo que los matemáticos llaman MORFISMO.
Lo que notó también Galileo es que cada punto el espacio se puede mapear a un punto en el plano (dado por "la sombra" del punto en el espacio sobre "el piso") y a un punto en una línea (su altura):
Pudo entonces separar el estudio del movimiento en el espacio a un estudio en simultáneo pero separado, del movimiento en el plano y el movimiento en la línea de altura:
Entonces, la aplicación de tiempo a espacio, luego pudo combinarse con la aplicación de espacio a plano, y la de espacio a línea, quedando:
Esta composición de morfismos, sugiere que ESPACIO = PLANO X TIEMPO, una especie de multiplicación. Tenemos por ahora, tres conceptos a estudiar:
- Los morfismos
- Su composición (dos morfismos (uno atrás de otro como cachetada de loco ;-) originan otro morfismo)
- La multiplicación de conjuntos
Seguimos en el siguiente post. Fuentes consultadas: "Matemáticas conceptuales, una primera introducción a categorías", de Lawvere, Shanuel, editorial Siglo XXI.
Nos leemos!
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