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Publicado el
20 de Septiembre, 2020, 18:18
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Publicado el
19 de Septiembre, 2020, 12:24
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Publicado el
13 de Septiembre, 2020, 10:44
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Publicado el
10 de Septiembre, 2020, 12:27
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Sigue la cuarentena en Buenos Aires. Antes de escribir las resoluciones del nuevo mes, repaso de las del mes anterior:
- Escribir sobre Matemáticas [completo] ver post ver artículo
- Escribir sobre Física [completo] ver post
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
OKR (Objectives, Key Results) personales del trimester Junio, Julio, Agosto:
Objetivo: Aprender y compartir matemáticas
Resultado clave: Escribir tres artículos sobre geometría algebraic repositorio artículo parcial
Resultado clave: Escribir tres artículos sobre ecuaciones elípticas artículo 1 repositorio
Resultado clave: Escribir seis artículos sobre teoría de números
Objetivo: Aprender y compartir física
Resultado clave: Escribir tres artículos de física cuántica
Resultado clave: Escribir tres artículos de física clásica
Así que quedaron varios OKR pendientes. Voy a seguir con la misma lista en el próximo trimester (Septiembre, Octubre, Noviembre)
Mis resoluciones para el nuevo mes:
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Física
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
6 de Septiembre, 2020, 11:20
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En estos días de "lockdown" en Buenos Aires, estoy aprovechando para leer bastante de distintos temas, especialmente de matemáticas, pero también de física, historia de la ciencia, e historia en general. Quiero hoy hacer comentarios breves sobre algunos capítulos de libros que leí últimamente.
Primero, descubrí el Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals, Second Edition, de Kerson Huang. Teoría de campos es un tema en el que tengo aprendizaje pendiente (incluso en teoría de campos clásica). En general, los libros de teoría de campos cuántica introducen conceptos clásicos, y este libro no es la excepción. En el primer capítulo describe la cuerda clásica, como límite de una cadena discreta. Para llegar a las ecuaciones de movimiento de las masas (elementos discretos de la cadena) recurre a plantear lagrangiano entre masa qj y masa qj+1. Considera casos donde los extremos están fijos, y caso sin esa restricción. Tengo que entender major la justificación del lagrangiano que usa, y algunas operaciones de paso al límite. UN TEMA INTERESANTE: en el paso al límite, menciona que SE DEBE apelar a una "cutoff frequency": cortar los cálculos en alguna frecuencia. Lo hace, y consigue la descripción de la cuerda continua. Y eso es la renormalización: "the high-frecuency cutoff is a theoretical necessity".
Para cuantizar la cuerda, parte de hamiltonianos, sobre cuerda discreta, y luego pasando al límite continuo. La discusión de características de los campos cuánticos las posterga para el capítulo 2, donde aparecen la ecuación de Klein-Gordon, Dirac, y también el "viejo truco" de pasar de una ecuación clásica a una cuántica, cambiando energía y momento por operadores. Así consigue rápidamente la ecuación Schrödinger.
Volviendo al capítulo 1, Huang expone la segunda cuantización: que no es una operación a HACER sobre la primera, sino una alternativa SEPARADA para obtener un campo cuántico (tengo la impresión que es la más común de encontrar en los libros). Se parte de una colección de partículas idénticas descriptas por la mecánica cuántica. Y se consigue un campo que es una DESCRIPCION EQUIVALENTE de ese sistema. Así, partículas y campo están en igualdad de importancia, lo que va a tener su importancia cuando en el libro se describa la dualidad onda partícula. Aparecen operadores de aniquilación y de creación. También plantea los temas de estadística de Fermi y Bose, según los autovalores de operadores sean simétricos o antisimétricos ante el cambio de coordenadas. Es un tema muy interesante de investigar, y que funda todo el comportamiento de los fermiones y el principio de Pauli, gracias a lo cual temenos materia, y no solamente fotones y luz.
En los próximos posts, espero comentar sobre otras lecturas a la que me llevó la lectura del libro de Huang:
A Story of Light, A Short Introduction to Quantum Field Theory of Quarks and Leptons, de M.Y.Han.
Facts and Misteries in Elementary Particle Physics, de Martinus Veltman
Inward Bound: of Matter and Forces in the Physical World, de Abraham Pais
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
5 de Septiembre, 2020, 12:44
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Publicado el
30 de Agosto, 2020, 17:03
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Publicado el
29 de Agosto, 2020, 18:08
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Publicado el
23 de Agosto, 2020, 11:28
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Publicado el
22 de Agosto, 2020, 14:15
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Publicado el
17 de Agosto, 2020, 13:05
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En estos días de aislamiento en Buenos Aires, mi rutina de lecturas cambió, pero poco. Sigo leyendo bastante sobre temas de matemáticas, quizás ahora con mayor concentración y empeño. Podría escribir posts por cada tema leído, pero prefiero ahora escribir brevemente para no olvidarme de temas ni de fuentes.
En la semana pasada, volví a visitar el excelente "The Princeton Companion to Mathematics" editado por Timothy Gowers (ya mencioné el libro en ¿De qué tratan las matemáticas?). Esta vez, me sumergí en su parte II The Origins of Modern Mathematics.
El primer artículo de esa parte es: From Numbers to Number Systems, escrito por Fernando Q. Gouvêa. Es un tema que me interesa, si leyeron artículos de este blog: los "fields" de números, que aparecen tanto en la teoría de Galois como en algebra conmutativa (preludio a geometría algebraica), teoría de números algebraicos y temas relacionados. La historia de la idea de número es una construcción en el tiempo de los naturales, enteros, reales (que ya encontraron los griegos en forma controversial con la inconmensurabilidad de la raíz cuadrada de dos) y la larga lucha para aceptar los números complejos. Bien, este artículo nos lleva desde la antigüedad a las estruturas de campo en el siglo XX. Es interesante ver las fracciones egipcias (solo admitían el 1 como numerados, idea que encontré hace décadas en un libro elemental de Vinogradov (parece que aceptaban el 2/3 también) y los sistemas babilónicos, basados en posición pero con base 60. Todo parecía poder expresarse en números, hasta que los griegos (al menos los primeros de los que temenos noticia) vieron que las longitudes "no son números ni razones de números" (para ellos, una fracción no es un número). El autor luego comenta la aparición de la base 10 en India con nueve dígitos y posición (aun sin el cero).
Al llegar en Europa la edad media y el renacimiento, poco a poco se fue forjando el concepto de número, incluyendo las fracciones. Y si bien los números negativos se tomaban como "no números" no dejaron de tener influencia en sociedades comerciales, para representar el concepto de deuda. El sistema decimal fue promovido por Stevin, matemático, físico e ingeniero militar, quien escribió De Thiende (podría traducir como El Décimo). Usó el sistema de posición aún para las fracciones, y tuvo la idea de que aún las longitudes se pueden expresar de esta manera, lo mismo las raíces cuadradas, cúbicas, etc (tendría que escribir alguna vez sobre sus ideas en física, por ejemplo, una demostración de la no existencia de movimiento perpetuo, y nuevas aproximaciones a la estática de Arquímedes).
Si bien de esta manera se incluían soluciones reales, había problemas que planteaban otro tipo de soluciones, que se les llamó ficticias o imaginarias, como la raíz cuadrada de un número negative. Es larga la historia de esta incorporación de los números complejos a la matemática. Habría para nombrar a varios matemáticos (Tartaglia, dal Ferro, Cardano, …) pero recuerdo ahora a Bombelli, que escribió un Algebra, notablemente en italiano. Y además, con un estilo de investigación, como desarrollando sus ideas, sus problemas y soluciones encontradas, en vez de acudir a solo teoremas.
El tema es que el estudio de las soluciones de polinomios se vió completada (y en manera armónica) cuando se aceptaron los números complejos, cosa que no ocurrió completamente hasta bien avanzado el siglo XIX. Gauss es uno de los primeros que los usa, como enteros. Abel y Galois, precedidos por Lagrange y otros, se enfrentan a la quíntica (solución de polinomio de quinto grado). Se especifican los números irracionales, pero también los trascendentes, con Lambert, Liouville. Cantor muestra que la mayor parte de los números reales son en realidad trascendentes. Hamilton descubre los cuaterniones, primer "sistema" de números que no cumple con la conmutatividad de la multiplicación. En semanas, son seguidos por los octoniones.
Pero hay un tema que descubrí en este artículo: fue la aparición de los números p-ádicos de la mano de Kurt Hensel, el que motívó la creación de una teoría de campos ("fields"). Eran los primeros números que no eran una extension de los ya conocidos. Fue Ernst Steinitz el que formalizó el concepto de "field" y creó su teoría abstracta, ya en el siglo XX. Esta y otras estructuras fueron estudiadas, en especial por Emmy Noether. No olvidemos la aparición del Algebra Moderna de van der Waerden.
Dejo para próximo post, seguir exponiendo la lectura de este volumen y de otros libros, mencionados en la bibliografía de cada artículo.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
16 de Agosto, 2020, 18:49
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Publicado el
15 de Agosto, 2020, 11:56
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Publicado el
10 de Agosto, 2020, 18:28
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Sigue la cuarentena acá en Buenos Aires. Tiempo de escribir las resoluciones del nuevo mes, pero antes una revision de las del mes anterior:
- Escribir sobre Matemáticas [completo] ver repositorio
- Escribir sobre Física [pendiente]
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
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Objetivo: Aprender y compartir matemáticas
Resultado clave: Escribir tres artículos sobre geometría algebraic repositorio
Resultado clave: Escribir tres artículos sobre ecuaciones elípticas artículo 1 repositorio
Resultado clave: Escribir seis artículos sobre teoría de números
Objetivo: Aprender y compartir física
Resultado clave: Escribir tres artículos de física cuántica
Resultado clave: Escribir tres artículos de física clásica
Mis resoluciones para el nuevo mes:
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Física
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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Publicado el
9 de Agosto, 2020, 19:53
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Publicado el
8 de Agosto, 2020, 20:50
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Publicado el
2 de Agosto, 2020, 10:06
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Publicado el
1 de Agosto, 2020, 11:57
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Publicado el
26 de Julio, 2020, 14:13
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Publicado el
25 de Julio, 2020, 11:54
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Comentarios (1)