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16 de Septiembre, 2019, 16:54
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Publicado el
15 de Septiembre, 2019, 14:03
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14 de Septiembre, 2019, 12:47
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Publicado el
9 de Septiembre, 2019, 11:28
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Ya se acerca fin de año. Repaso de las resoluciones del mes anterior:
- Escribir sobre Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Física [pendiente]
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [completo] ver post
- Estudiar blues en guitarra [completo]
- Estudiar dibujo/pintura [completo] evidencia
Resoluciones para el nuevo mes:
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Física
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra
- Estudiar dibujo/pintura
Nos leemos!
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
8 de Septiembre, 2019, 11:40
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Newton pensaba escribir una versión ampliada de De Motu, pero el proyecto fue creciendo hasta terminar en los famosos Principia. Pero para llegar a ellos, Newton tenía que resolver algunos problemas.
Uno, quizás el principal, es que en su deducción de las leyes del movimiento y la gravedad, había supuesto que el Sol, la Luna y la Tierra eran masas puntuales. Pero eso era claramente sólo una aproximación. ¿Seguirían siendo válidas sus deducciones con cuerpos que no fueran puntos? No era fácil encontrar una respuesta satisfactoria. Algunos especulan que fue éste problema el que motivó a Newton a abandonar sus anteriores investigaciones sobre la gravedad en 1679. Si consideraba el caso de la manzana, en lugar de la luna, el caso era peor: era evidente que una gran parte de la masa de la Tierra estaba mucho más cerca de la manzana que el radio que usaba para sus cálculos. ¿Esto no afectaría la atracción neta de la Tierra a la manzana? Herbert Hall Turner (1861-1930)´, astrónomo, describe así la lucha de Newton, en un artículo del 19 de marzo de 1927 publicado en el Times de Londres:
En aquella época se le ocurrió la idea general de la atracción variable como el cuadrado inverso de la distancia, pero vió graves obstáculos en su aplicación completa, obstáculos de los que otras mentes menos preclaras no eran conscientes. La más importante de estas dificultadas no pudo superarla hasta 1685… Se trataba de relacionar la atracción de la Tierra sobre un cuerpo tan lejano como la Luna y la atracción que ejerce sobre una manzana situada a corta distancia de la superficie. En el primer caso, las diversas partículas que componen la Tierra (a la que Newton esperaba ampliar su ley, haciéndola así universal) se encuentran a distancias no muy distintas de la Luna en cuanto a la magnitud o dirección; pero sus distancias con respecto a la manzana diferían de forma conspicua, tanto en tamaño como en dirección. ¿Cómo se podrían combinar o sumar las diversas atracciones del segundo caso para obtener una única resultante? ¿Y en qué “centro de gravedad”, en su caso, se concentrarían?
Finalmente, en la primavera de 1685, Newton logró demostrar un teorema fundamental: tomando cuerpos esféricos, toda la fuerza que atrae una esfera hacia otra, es inversamente proporcional a la distancia de sus centros. Es decir, cuerpos esféricos se pueden considerar como puntuales, concentrados en sus centros. Leo al matemático James Whitbread Lee Glaisher (1848-1928):
En cuanto Newton pudo demostrar su soberbio teorema - y con sus palabras sabemos que no tenía esperanzas de obtener un resultado tan bello hasta que éste surgió de su investigación matemática -, todo el mecanismo del universo se mostró de repente ante él. ¡Qué distintas debieron aparecer estas proposiciones a los ojos de Newton cuando se dió cuenta de que sus resultados, que había tomado por aproximados al aplicarlos al sistema solar, eran en realidad exactos! … Podemos imaginar el efecto que esta súbita transición de aproximación a exactitud tuvo para estimular la mente de Newton a la consecución de logros aún mayores. Ahora tenía en sus manos la capacidad de aplicar con total precisión el análisis matemático a las cuestiones reales de la astronomía.
Hubo otro problema que tuvo que encarar, a tratar en próximo post. Fuente consultada para los textos de arriba: el libro de Mario Livio, "¿Es Dios un Matemático?".
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
7 de Septiembre, 2019, 16:09
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Publicado el
1 de Septiembre, 2019, 12:17
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Publicado el
25 de Agosto, 2019, 12:56
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Publicado el
24 de Agosto, 2019, 11:11
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Publicado el
18 de Agosto, 2019, 11:48
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Publicado el
17 de Agosto, 2019, 10:45
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14 de Agosto, 2019, 15:24
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Publicado el
12 de Agosto, 2019, 13:50
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Publicado el
9 de Agosto, 2019, 13:09
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4 de Agosto, 2019, 11:33
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De nuevo se acerca navidad. Primero, revisión de las resoluciones del mes pasado:
- Escribir sobre Matemáticas [pendiente]
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- Escribir sobre Historia de la Ciencia [completo] ver post
- Estudiar blues en guitarra [completo]
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Las resoluciones para el nuevo mes:
- Escribir sobre Matemáticas
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Nos leemos!
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
28 de Julio, 2019, 14:49
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Publicado el
27 de Julio, 2019, 18:38
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Publicado el
22 de Julio, 2019, 13:57
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Publicado el
21 de Julio, 2019, 12:12
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Es conocido que Isaac Newton había llegado a la conclusión que las órbitas de los planetas, sujetas a una atracción gravitatoria desde el Sol, con una intensidad inversa del cuadrado de la distancia, eran elipses. Era un resultado al que había llegado, pero no publicado. Fue gracias a una visita de Edmond Halley (sí, el del cometa), que este resultado derivó en la publicación de los famosos Principia Mathematica. Leo a Mario Livio, "¿Es Dios un Matemático?";
El matemático Abraham de Moivre (1667-1754) relata esta historia en uno de sus escritos...
El relato de de Moivre:
En 1684, Halley fue a visitarlo [a Newton] a Cambrigde; al cabo de un tiempo de estar juntos, el doctor le preguntó qué curva pensaba que describirían los planetas suponiendo que la fuerza de atracción hacia el Sol fuese recíproca al cuadrado de la distancia de él. Sir Isaac replicó de inmediato que sería una Elipsis [elipse]; el Doctor, impresionado y pletórico, le preguntó cómo lo sabía, a lo que él [Newton] repuso que lo había calculado. El doctor Halley le pidió que le mostrase sus cálculos sin demora; sir Isaac, después de buscar entre sus papeles, no pudo encontrarlos, pero le prometió que los volvería a hacer y se los enviaría.
Pero resulta que Newton al rehacer los cálculos, no pudo reproducir el resultado. Halley lo visita en noviembre del mismo año, 1684; cuenta de Moivre:
A fin de cumplir su promesa, sir Isaac se puso de nuevo al trabajo, pero no pudo alcanzar la conclusión que creía haber examinado meticulosamente antes; sin embargo, probó una nueva forma que, aunque en más tiempo que la primera, le llevó de nuevo a su antigua conclusión, y luego examinó con atención cuál podría haber sido la razón por la que los cálculos que había realizado no demostraron ser correctos, y … hizo que ambos cálculos coincidiesen.
Es un resumen que no hace justicia a todo lo que hizo Newton entre las dos visitas de Halley. Escribió un tratado De Motu Corporum in Gyrum, y a pedido de Halley, comenzó a pensar en una versión ampliada del mismo. En ese tratado no sólo demostraba la forma elíptica de las órbitas de dos cuerpos, sino también las tres leyes de Kepler, e incluso el movimiento de una partícula que se mueve en un medio con resistencia como el aire. Pero para llegar a los Principia, Newton todavía tenía que resolver dos problemas, a discutir en próximos posts.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
20 de Julio, 2019, 14:29
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Esta es una anécdota conocida de Gödel, pero no había encontrado la Fuente original. La encontré finalmente en el libro "¿Es Dios un Matemático?" de Mario Livio. Leo:
Como persona, Gödel era tan complejo como sus teoremas. En 1940 huyó con su esposa Adele de la Austria nazi para ocupar un puesto en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, New Jersey. Allí trabó una estrecha amistad con Albert Einstein, a quien solía acompañar en sus paseos. Cuando Gödel solicitó la nacionalización como ciudadano americano en 1948, fueron Einstein y el matemático y economista de la Universidad de Princeton Oskar Morgenstern (1902-1977) quienes le acompañaron a la oficina del Servicio de Inmigración y Naturalización (INS). Lo que acontenció en esta entrevista es de sobra conocido, pero revela hasta tal punto la personalidad de Gödel que relataré los hechos con todo detalle, exactamente como los registró Morgenstern el 13 de septiembre de 1971. Doy las gracias Ms. Dorothy Morgenstern-Thomas, la viuda de Morgenstern, y al Instituto de Estudios Avanzados por haberme facilitado una copia del documento.
Este es el relato de Oskar Morgenstern (conocido también por haber fundado matemáticamente a la teoría de juegos, junto con John von Neuman):
Corría el año 1946 cuando Gödel iba a convertirse en ciudadano americano. Me pidió que fuese su testigo; como segundo testigo propuso a Albert Einstein, que también aceptó de buen grado. Einstein y yo nos habíamos visto ocasionalmente, y ambos teníamos grandes expectativas sobre lo que podía ocurrir antes del proceso de naturalización e incluso durante dicho proceso.
Gödel, a quien veía con frecuencia en los meses previos al acontecimiento, empezó a prepararse de forma muy concienzuda. Gödel era una persona meticulosa, así que empezó a estudiar la historia de la colonización de Norteamérica por el ser humano. Eso le condujo al estudio de la historia de los indios americanos, sus diversas tribus, etc. Me llamó numerosas veces por teléfono para que le aconsejase libros, que leía con suma atención. Gradualmente surgieron muchas preguntas y dudas sobre la corrección de estas historias y las peculiares circunstancias que en ellas se revelaban. A partir de ahí y durante las semanas posteriores, Gödel pasó a estudiar historia americana, haciendo particular hincapié en temas de derecho constitucional. Esto le condujo a su vez al estudio de Princeton, y en especial quiso que yo le explicase donde estaba la frontera entre el distrito y el municipio. Por supuesto, yo intenté hacerle comprender que esto era totalmente innecesario, pero fue en vano. El insistía en averiguar todos aquellos datos que quería saber, de modo que le proporcioné la información pertinente, incluso acerca de Princeton. Entonces quiso saber cómo se elegía el Consejo de Distrito, el Consejo Municipal, quien era el alcalde y cómo funcionaba el Consejo Municipal. Pensaba que era posible que le preguntasen acerca de esos asuntos y que, si demostraba que no conocía la ciudad en que vivía, causaría una mala impresión.
Intenté convencerlo de que esas preguntas nunca surgían; de que la mayor parte de las preguntas eran una simple formalidad y él las podría responder sin dificultad alguna; de que, como máximo, podrían preguntarle qué sistema de gobierno teníamos en este país, cómo se llamaba la más alta instancia judicial o cosas así. De todos modos, él siguió con su estudio de la Constitución.
Y entonces sucedió algo interesante. Con cierta excitación me dijo que, al examinar la Constitución y para su disgusto, había hallado contradicciones internas y que podía demostrar cómo, de forma perfectamente legal, era posible que alguien se convirtiese en dictador e instaurase un régimen facista que aquellos que redactaron la Constitución nunca pretendieron. Le dije que era muy improbable que algo así sucediese nunca, aún suponiendo que tuviese razón, cosa que yo, desde luego, dudaba. Pero él era una persona insistente, así que charlamos muchas veces de este asunto concreto. Yo intenté persuadirlo de que evitase referirse a estos temas ante el tribunal de Trenton, y también se lo comenté a Einstein que, horrorizado de que a Gödel se le hubiese ocurrido una idea así, también le señaló que no debía preocuparse por estas cuestiones ni referirse a ellas.
Pasaron varios meses y, finalmente, llegó la fecha del examen en Trenton. Aquel día pasé a recoger a Gödel en mi coche. Se sentó en el asiento posterior y luego pasamos a recoger a Einstein por su casa de Mercer Street, desde donde nos dirigimos a Trenton. Durante el viaje, Einstein se volvió levemente y preguntó: “Y bien, Gödel, ¿estás realmente bien preparado para el examen?” Por supuesto, ese comentario alertó profundamente a Gödel, que era lo que Einstein pretendía; su semblante de preocupación de Gödel le pareció muy gracioso. Cuando llegamos a Trenton nos hicieron entrar en una gran sala y, aunque en general se interroga a los testigos por separado del candidato, se hizo una excepción en deferencia a Einstein y nos invitaron a los tres a sentarnos juntos, con Gödel en el centro. El examinador preguntó primero a Einstein y luego a mí si opinábamos que Gödel sería un buen ciudadano. Le aseguramos que sin duda alguna era así, que se trataba de una persona distinguida, etc. Entonces se volvió hacia Gödel y dijo:
- Bien, mister Gödel, ¿de dónde viene Ud?
- ¿que de dónde vengo? De Austria.
- ¿Qué forma de gobierno tenían en Austria?
- Era una república, pero debido a la constitución la forma cambió a una dictadura.
- ¡Vaya! Qué mala fortuna. Eso no podría en este país.
- Claro que sí. Y puedo demostrarlo.
Así que, de todas las posibles preguntas, el examinador tuvo que formular precisamente la más delicada. Einstein y yo nos mirábamos horrorizados durante esta conversación; el examinador fue lo bastante inteligente para tranquilizar enseguida a Gödel diciendo “Dios mío, no entremos en ese terreno” y para nuestro alivio, interrumpió el examen en ese mismo momento. Cuando por fin salimos y ya nos dirigimos hacia los ascensores, un hombre se acercó corriendo hacia nosotros con una hoja de papel y pidió un autógrafo a Einstein, que lo firmó con mucho gusto. Mientras bajábamos en el ascensor, le dije a Einstein “Debe de ser terrible que tantas personas le persigan a uno de ese modo”, Einstein respondió: “En realidad se trata simplemente de los últimos vestigios de canibalismo”. Desconcertado, le pregunté: “¿En qué sentido?”. El me dijo: “Verás, antes querían tu sangre, ahora quieren tu tinta”.
Luego regresamos a Princeton y, al llegar a la esquina de Mercer Street, le pregunté a Einstein si quería ir al Instituto o a casa, a lo que él contestó: “Llévame a casa, de todos modos mi trabajo ya no tiene valor alguno”. Y prosiguió con una cita de una canción política americana (por desgracia no recuerdo sus palabras; es posible que la tenga en mis notas, y sin duda la reconocería si alguien sugiriese esa frase en particular). Así que fuimos hacia la casa de Einstein de nuevo. Einstein se volvió de nuevo hacia Gödel y le dijo:
- Bueno, Gödel, éste ha sido tu penúltimo examen.
- Cielos, ¿es que aún queda otro? - dijo él de nuevo azorado.
Y Einstein le contestó:
- Gödel, el próximo examen cuando entres andando en tu tumba.
- Pero Einstein, yo no entraré andando en mi tumba.
A lo que Einstein repuso:
- ¡Ahí está la gracia precisamente, Gödel! - y se fue. Luego llevé a Gödel a su casa. Todo el mundo sintió un gran alivio al resolver de una vez por todas este peliagudo asunto; ahora, Gödel tenía de nuevo la cabeza libre para cavilar sobre problemas de filosofía y lógica.
No encontré referencia a cuál era el mecanismo que había encontrado Gödel para poder instaurar una dictadura en EE.UU.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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