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Publicado el 26 de Agosto, 2015, 7:10

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Publicado el 24 de Agosto, 2015, 7:45

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"Bounded gaps between primes" by Yitang Zhang now available | The Aperiodical
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Publicado el 23 de Agosto, 2015, 18:50

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Veamos el primer contacto de Dirac con el trabajo de Heisenberg:

I received an early copy of Heisenberg's first work a little before publication and I studied it for a while and within a week or two I saw that the noncommutation was really the dominant characteristic of Heisenberg's new theory. It was really more important than Heisenberg's idead of building up the theory in terms of quantities closely connected with experimental results. So I was led to concentrate on the idea of noncommutation and to see how the ordinary dynamics which peaplo had been using until then should be modified to include it.

Es muy importante esta etapa en la vida de Dirac. Pasó de ser un estudiante aventajado a ser un reconocido físico teórico, y comenzó su carrera al premio Nobel.

El trabajo de Heisenberg (todavía no publicado) lo envío éste a Fowler, el supervisor de Dirac en aquel entonces. Fowler se lo pasa a Dirac y éste lo encontró inicialmente algo abtruso, pero luego comenzó a captar las ideas novedosas de Heisenberg. Escribí algunos detalles (incluso parte de este discurso) en:

Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y la teoría de Heisenberg

Es interesante leer cómo Dirac se consideraba preparado para extender el trabajo de Heisenberg:

At this stage, you see, I had an advantage over Heisenberg because I did not have his fears. I was not afraid of Heisenberg's theory collapsing. It would not have affected me as it would have affected Heisenberg. It would not have meant that I would have had to start again from the beginning.

I think it is a general rule that the originator of a new idea is not the most suitable person to deveop it because his fears of something going wrong are really too strong and prevent his looking at the method from a purely detached point of view in the way that he ought to.

Y también es interesante que ya estuviera al tanto de las ideas de Hamilton, y notablemente, recordaba que ahí había un germen de no conmutatividad, como en la teoría de Heisenberg.

I had this advantage over Heisenberg. I also had other great advantages. I was a research student at that time with no other duties except research. I can thank the fact that I was born at just the right time. A fre years older or younger and I would have missed that opportunity. But everything seemed to be in my favor.

Also, with regard to the problem of modifying the ordinary dynamics to bring in noncommutation, I had become used to the earlier theory of Bohr and Sommerfeld - the theory of atomic orbits - and this theory had been found to be closely connected with a form of mechanics due to Hamilton, which he had discovered nearly a hundred years previously. It was found that Hamilton's form of dynamics was just the form which was most suitable for bringing in noncommutation, and it was not a very difficult problem to work out how these two ideas should be fitted together.

En el próximo post sigo compartiendo y comentando este interesante relato de Dirac.

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Publicado el 22 de Agosto, 2015, 20:05

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Ya comenzamos a explorar que un sistema físico puede tener una función de las coordenadas, velocidades y tiempo, llamada lagrangiana:

que describe el sistema. Las coordenadas pueden ser tres, sean x, y, z o x1, x2, x3, si estamos hablando de una partícula, o pueden ser seis coordenadas si el sistema tiene dos partículas y así.

Lo bueno de la lagrangiana es que permite obtener n ecuaciones diferenciales, una por cada coordenada:

que, si es posible resolverlas, nos darán las ecuaciones de movimiento, es decir, cómo expresar todas las coordenadas como función del tiempo. Ese es el gran poder de la física clásica desde tiempos de Newton: dar una descripción de la evolución en el tiempo de un sistema físico, sea una partícula o sea el sistema solar. Newton fue el primer gran unificador de la física, uniendo bajo el mismo modelo la descripción de los movimientos celestes y de los movimientos terrestres. Antes, desde cerca de Aristóteles, se veían a ambos fenómenos como esencialmente diferentes.

Pero ¿por qué usarn el formalismo lagrangiano, si tenemos a nuestra disposición el de Newton? Bueno, acá viene el meollo: si cambiamos las coordenadas, por ejemplo a las coordenadas q, donde cada qi viene expresada en función de las otras coordenadas:

Siendo estas expresiones son invertibles:

Entonces, de la lagrangiana original, expresada en función de las coordenadas originales x, podemos pasar a una nueva función lagrangiana, expresada en función de las coordenadas nuevas:

En general la expresión de esta nueva función (su forma, su desarrollo) no es la misma que la función original. Por eso no la llamé L, sino L prima. No se preocupen que vamos a ver ejemplos concretos de esto en próximo post. Pero lo notable de la formulación lagrangiana, es que se siguen cumpliendo las ecuaciones diferenciales:

Donde ahora tomamos las derivadas parciales según las coordenadas q y sus velocidades. ESO ES LO IMPORTANTE: podemos cambiar de coordenadas, buscar quizás un sistema de coordenadas más adecuado para el sistema que estamos tratando (por ejemplo, pasar a coordenadas polares en algún caso que implique rotaciones alrededor de un centro), y conseguir nuevas ecuaciones diferenciales para resolver el movimiento del sistema. Tal vez, esas ecuaciones son más manejables que las que hubiéramos obtenido si hubiéramos persistido en utilizar las coordenadas originales.

Tengo que mostrar un ejemplo concreto, tarea que como escribí más arriba, queda para próximo post. Pero también queda pendiente DEMOSTRAR esta GRAN afirmación. Hay dos caminos para demostrarla, y espero poder mostrar ambos:

- Hacer la sustitución algebraica de las viejas coordenadas a las nuevas en las ecuaciones diferenciales y deducir las nuevas

- Mostrar que las ecuaciones diferenciales son consecuencia de un principio variacional

No queda muy claro el segundo camino por ahora, pero se basa en el principio de Hamilton, que tendremos que examinar. Curiosamente, Lagrange no llegó a su formalismo por el segundo camino, sino por otro, más relacionado con el principio de D"Alembert. También tenemos pendiente exponer ese camino. Con respecto al principio variacional, déjenme adelantarles que las ecuaciones diferenciales que vimos son NECESARIAS para afirmar que una integral especial de la lagrangiana es un maximal (general un mínimo). Este es un concepto geométrico que se mantiene al cambiar las coordenadas, de ahí que la nueva lagrangiana también cumple con el mismo principio.

Pero todo quedará más claro con ejemplo y demostración.

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Publicado el 21 de Agosto, 2015, 6:43

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Richard Feynman - Session V | American Institute of Physics
https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/5020-5

Mandelstam variables - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables

On shell and off shell - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/On_shell_and_off_shell

Perturbation theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Perturbation_theory

The Feynman Lectures on Physics, The Most Popular Physics Book Ever Written, Now Completely Online | Open Culture
http://www.openculture.com/2014/08/the-feynman-lectures-on-physics-the-most-popular-physics-book-ever-written-now-completely-online.html

Introducing quantum mechanics: One-particle interference
http://depts.washington.edu/jrphys/ph331/share/mach2.pdf

Courage vs. Cargo Cults | 8th Light
http://blog.8thlight.com/will-warner/2014/01/21/courage-vs-cargo-cults.html
craftmanship history science feynman millikan programming
2014-01-24T10:27:30Z

What if every electron in the universe was all the same exact particle?
http://io9.com/5876966/what-if-every-electron-in-the-universe-was-all-the-same-exact-particle

Richard Feynman - No Ordinary Genius (Documentary) - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=e9tanx_0pqQ

Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/

The Feynman Lectures on Physics -- Preface to the New Millennium Edition
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_90.html

The Famed Feynman Lectures, Now in HTML - Zach Schonfeld - The Atlantic Wire
http://www.theatlanticwire.com/entertainment/2013/09/feynman-lectures-released-as-free-html/69391/

Programming The Feynman Way
http://www.infoq.com/presentations/Feynman-Way

There Are Four Lights » Blog Archive » Feynman Day Drawings!
http://www.saramayhew.com/blog/index.php/2013/05/feynman-day-drawings/

"If you can't explain it..." - Straight Dope Message Board
http://boards.straightdope.com/sdmb/showthread.php?t=159936

One-electron universe - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/One-electron_universe

The Art of Ofey: Richard Feynman's Sketches and Drawings | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/01/17/richard-feynman-ofey-sketches-drawings/

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Publicado el 20 de Agosto, 2015, 7:29

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The History of Mathematics
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/

History of Mathematics Home Page
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/

Math Forum: Famous Problems in the History of Mathematics
http://mathforum.org/isaac/mathhist.html

MacTutor History of Mathematics
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

The Story of Mathematics - A History of Mathematical Thought from Ancient Times to the Modern Day
http://www.storyofmathematics.com/

Hilbert–Pólya conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya_conjecture

Euler E41
http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e041tr.pdf

Euler
http://www.17centurymaths.com/contents/eulercontents.html

E41 -- De summis serierum reciprocarum
http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html

empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf
http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

Mathematician to know: Emmy Noether | symmetry magazine
http://www.symmetrymagazine.org/article/june-2015/mathematician-to-know-emmy-noether

Season of the Witch | The Renaissance Mathematicus
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Publicado el 19 de Agosto, 2015, 7:41

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Comienza el tema del desarrollo de la mecánica cuántica:

Let us pass on to consider the development of quantum mechanics. This started with a brilliant idea of Heisenberg. Heisenberg's idea was that one should try to construct a theory in terms of quantities which are provided by experiment, rather than building it up, as people had done previously, from an atomic model with involved many quantities which could not be observed. By this brilliant idea Heisenberg really started a new philosophy, a philosophy that physics - physical theory - should keep close to the experimentally obtained data and should not depart into the use of quantities which are only very remotely connected with observation.

Dirac comienza por MECANICA cuántica, mas que por la teoría cuántica antigua, que llevaba un cuarto de siglo desarrollándose cuando en 1925 Heisenberg publica las ideas mencionadas arriba. Estoy escribiendo del tema en: Entendiendo a Heisenberg. Es un tema fascinante, por un lado toda la historia que lo precede, los distintos caminos tomados en la actividad científica, los modelos propuestos, los actores que intervienen, y por otro, sencillamente entender el "paper" de Heisenberg, que pega varios "saltos mágicos" en su razonamiento. El tema de la nueva "filosofía" es para discutir, pero es interesante. Heisenberg siempre insistió en eso, pero no es evidente que la física tenga que avanzar de esa manera. Conceptos como posición no fueron abandonados, sino refinados en la nueva teoría.

This was a wonderful idea of Heisenberg's and, in putting together the various experimentally provided data concerned with atomic spectra, he was led to matrices, and then was led to consider that matrices represent the physical variables ocuyrring in an atom, physical variables like the positions and velocities of the electrons. Heisenberg had not proceeded very far with this idea before he notices that it would lead to his physical quantities not satisfying the commutative law of multiplication. Two such quantities A and B would usually be such that A multiplied by B is different from B multiplied by A.

Este punto es el que destaca Dirac, y con razón: la no conmutabilidad de algunas expresiones relacionadas con las variables físicas. Para Heisenberg, las variables dejaron de ser simples números y comienzan a ser matrices. Su multiplicación es multiplicación de matricas, que no es conmutativa. Curiosamente, Heisenberg no conocía lo que era una matriz en matemática.

Now when Heisenberg noticed that he was really scared. It was such a foreign idea. Physicists from the earliest times had always thought of the variables that they were using as quantities satisfying the ordinary laws of algebra. It was wuit inconceivable that two physical things when multiplied in one order should not give the same result as when multiplied in the other order. It was thus most disturbing to Heisenberg. He was afraid this was a fundamental blemish in his theory and that probably the whole beautiful idea would have to be given up.

Pero Heisenberg siguió adelante. Ese fue su mérito. En el próximo post veremos cómo Dirac recibe y evalúa el trabajo de Heisenberg en tiempos tempranos.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 18 de Agosto, 2015, 7:44

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Vimos en el anterior post que Thomson obtuvo un valor para la razón entre la carga del electrón y su masa, e/m.  Y encontró que era más de mil veces mayor que los valores correspondientes a los iones en electrólisis. Esto lo llevó a pensar que los rayos catódicos estaban compuestos por partículas con masa mucho menor que los iones, y con una carga negativa. Fueron las primeras partículas elementales conocidas.

En otros experimentos Thomson y sus estudiantes encontraron el valor de las cargas +e transportadas por los iones. Entonces formó un modelo de los átomos, cuya existencia todavía estaba en debate. Es lo que se hace frecuentemente en ciencia: dar un modelo de algo aunque no se tenga evidencia directa. Es parte del gran juego de la investigación científica. Sirva esto para desmitificar la idea de la ciencia como "búsqueda de leyes" solamente. Es algo más: busca modelos explicativos de los fenómenos.

Para Thomson, entonces, un átomo estaba compuesto de Z electrones, con carga -e, engarzados en posiciones de equilibrio dentro de una distribución continua de carga positiva, por un total de +eZ. Es de notar que no se le ocurrió que pudiera haber otras partículas de carga positiva. Era común entonces considerar continuos que ocupaban el espacio, desde el éter, hasta otros modelos de materia basados en fluidos. Desde Aristóteles, Descartes y hasta Maxwell, se pensaba en fluidos que ocupaban todo el espacio, y Thomson parece no haber escapado a la idea, aunque modificada por los átomos. Tampoco tenía evidencia directa de la existencia de otras partículas, ya bastante sorpresa había sido hallar electrones.

Pero no quedó ahí el modelo propuesto. Thomson también pensó en explicar la emisión de luz, un tema que habría de indicar un camino inicial hacia la física cuántica. La emisión y absorción de luz por la materia, si se aceptaba la teoría atómica, debía ser adscrita de alguna forma a los propios átomos. Como se sabía desde Maxwell que la luz era una onda electromagnética, y que las cargas eléctricas en movimiento emitían esas ondas, Thomson supuso que cuando los electrones eran perturbados de su estacionamiento dentro del átomo, su movimiento era causa de emisión de radiación. Notable idea, que empapó la teoría atómica por años. Quería sacar todas las conclusiones posibles de su modelo, y encontrar explicaciones de fenómenos que le dieran más plausibilidad a su idea.

Partiendo de una distribución uniforme de los electrones dentro de un átomo, y contando con las frecuencias detectadas en el espectro de esos átomos, calculó las frecuencias de oscilación de sus átomos y llegó a una bastante precisa conclusión: el tamaño de los átomos era de alrededor de 10-8 centímetros de radio.

En el próximo post comenzaremos a estudiar el siguiente gran avance: los descubrimientos de Rutherford y sus estudiantes, sobre la estructura de los átomos.

Nos leemos!

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Publicado el 17 de Agosto, 2015, 17:24

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Dirac decide comentar sobre cómo es el trabajo de un investigador, tratando su caso y el de otros:

I would like to speak to you in a general way about my scientific work and I think on an occasion like this my talk should be completely nontechnical. So I will put this talk on rather different lines and try to give you some idea of the feelings of a research worker when he is hot on the trail and has hopes of attaining some important result which will have a profound influence on the development of physics. You might think that a good research worker in this situation would review the situation quite calmly and unemotionally and with a completely logical mind, and proceed to develop whatever ideas he has in an entirely rational way. This is far from being the case. The research worker is only human and, if he has great hopes, he also has great fears. (I do not suppose one can ever have great hopes without their being combined with great fears.) As a result, his course of action is very much disturbed. He is not able to fix his attention on the correct logical line of development.

I shall be talking to you mainly about my own experience in this connection, but from talks which I have had with other physicists, soe of them very eminent, I feel that what I have to say is fairly common and you can accept it as a general rule applying to all research workers who are concerned with the foundations of physical theory. They are influenced by their fears to quite a dominating extent.

Y toma como ejemplo a Lorentz. Dirac era un gran estudioso de la relatividad desde sus primeros años de estudio de la física.

I expect similar fears applied to other cases where we do not have any direct evidence of events. In this connection I would like to refer particularly to Lorentz. Any of you who have studied relativity must surely have wondered why it was that Lorentz succeeded in getting correctly all the basic equations needed to establish the relativity of space and time, but he just was not able to make the final step establishing relativity. He did all the hard work - all the really necessary mathematics - but he was not able to go beyond that and you will ask yourself, 'Why'?

I think he must have been held back by fears, some kind of inhibition. He was really afraid to venture into entirely new ground, to question ideas which had been accepted from time immemorial. He preferred to stay on the solid ground of his mathematics. So long as he stayed there his position was unassailable. If he had gone further, he would not have known what criticism he might have run into. It was the desire to stay on perfectly safe ground which I presume was dominating him.

It needed several years and the boldness of Einstein to take the necessary step forward and say that time and space are connected. What seems to us nowadays a very small step forward was very difficult for the people in those days.

What I have said is just conjecture of course, but I feel that it must correspond rather closely to the facts. I do not see any other explanation of how one can get so near to a great discovery and yet fail at the last, and rather small, step.

Bueno, no veo que sea un paso pequeño el que faltaba. Realmente, hacía falta toda la agudeza de Einstein para llegar a la teoría de la relatividad restringida, aún teniendo las fórmulas de Lorentz. Y Lorentz tenía una explicación clásica alternativa a sus fórmulas, que lo satisfacía, y no le hizo falta otra. Vean que pasaron años desde las fórmulas de Lorentz hasta el avance de Einstein. No fue evidente para nadie ese "pequeño" paso que faltaba.

En el próximo post, Dirac comenta sobre el desarrollo de la física cuántica.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 16 de Agosto, 2015, 20:06

Las simetrías juegan un rol importantísimo en las matemáticas modernas, siendo lo que subyace en la teoría de grupos. He escrito:

Simetría, primeros pasos

Pero también cumplen un papel fundamental en la física. No siempre queda claro esto en los textos de divulgación, donde, al no querer escribir una fórmula, por miedo a espantar lectores, el tema simetría tiene que ser abordado de una manera que no pone de manifiesto su real meollo. Inicio hoy esta serie de posts para explicar (y explicarme) este gran tópico. Ya comienza a aparecer en:

Teoría de Grupos y Partículas Elementales

y va a comenzar a aparecer en mis posts de mecánica clásica, y los de física cuántica. Pero pienso que el tema simetrías en física es tan importante que amerita una serie aparte. Por ejemplo, tenemos que investigar cómo se relaciona simetría e invariancia, qué es eso de invariancia por transformaciones de Galileo, y luego, de Lorentz, qué es rotación en un espacio, y cómo las invariancias ponen de manifiesto cantidades que se conservan.

Veamos de ir definiendo, aunque sea de manera aproximada, que vamos a entender por simetría. Sea una estructura, que puede ser un sistema físico o de naturaleza geométrica, un conjunto de puntos en el espacio, o una ecuación. Requerimos que pueda ser descripta matemáticamente. Tendrá elementos, sean "electrón", "partícula", "ángulo", "punto" o "vector". Pero también, y no menos importante, tendrá relaciones entre esos elementos. Hasta podemos tener dos estructuras, con distintos elementos, pero las mismas relaciones entre ellos. Podríamos considerar a ambas como instancias de una estructura más abstracta. Hasta podríamos considerar las relaciones como elementos de una estructura de más alto nivel. De todas formas, tenemos elementos y relaciones. Imaginemos por un momento que los elementos los mapeamos a puntos en un espacio abstracto. Consideremos las transformaciones en ese espacio. Entre todas las transformaciones posibles, habrá algunas que dejan inalteradas las relaciones entre los puntos. Diremos que las relaciones son invariante ante ese grupo particular de transformaciones y lo llamamos grupo de simetría de nuestra estructura.

Por ejemplo, para poner un ejemplo concreto. Sean los elementos los puntos de un plano. Sean las relaciones entre dos puntos, su distancia, la distancia que los separa. Las transformaciones como rotaciones alrededor de un punto, traslaciones, reflexiones por un punto o por una recta, todas esas transformaciones dejan invariantes las distancias. Quiere decir que si d(p,q) es la distancia entre dos puntos cualesquiera p, q, hay transformaciones T del plano que hacen que d(p,q) = d(T(p), T(q)), es decir que la distancia entre los puntos transformados ES LA MISMA que la distancia entre los puntos originales. Pero vayamos más allá. Supongamos que tenemos un sistema de coordenadas, donde el punto p tiene coordenadas x1, y1, mientras que el punto q tiene coordenadas x2, y2. Cuando transformamos el plano (o cuando cambiamos el sistema de coordenada) aplicando una de las transformaciones del grupo de simetría (que conserva las distancias), las nuevas coordenadas pueden ser x1', y1', y también x2', y2'.

Pero acá aparece algo interesante para nuestro tema. El cuadrado de la distancia entre p y q originales se puede escribir como:

(x1-x2)2+(y1-y2)2

Y notablemente, el cuadrado de la distancia para los nuevos puntos p', q', se calcula con:

(x'1-x'2)2+(y'1-y'2)2

Es decir, usando una fórmula QUE TIENE LA MISMA FORMA. No sólo no cambió la distancia, sino que la fórmula para calcularla sigue siendo la misma, cambian los valores que se entregan, las variables, de x a x', pero la forma de la fórmula es la misma.

Este es el principio del camino a explorar: ver de encontrar leyes matemáticas (fórmulas y modelos) aplicados a sistemas físicos que conserven los valores resultado Y LA FORMA al aplicar un grupo de transformaciones que nos interese (como las transformaciones de Galileo o las de Lorentz). Veremos que muchas veces exigiremos que una fórmula sea invariante ante rotaciones o traslaciones, incluso en un espacio extendido como el que se usa en relatividad. Y ahí mencionaremos a qué se denomina simetría en este contexto.

Fuentes consultadas:

M. Chaichian, R. Hagedorn Symmetries in Quantum Mechanics From Angular Momentum to Supersymmetry
J J Sakurai Invariance Principles and Elementary Particle
Quantum Mechanics Symmetries, Greiner Walter
Symmetries of Equations of Quantum Mechanics

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Agosto, 2015, 15:30

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Publico hoy el comienzo del discurso de Dirac, donde recuerda afectuosamente a Oppenheimer. Primero, una foto del joven Oppenheimer:

Ahora, el discurso de Dirac:

I am very grateful to be chosen to be the first recipient of the Oppenheimer Award. I am grateful to the University of Miami for honoring me in this way. I am grateful to Dr. Kursunoglu for the very kind things that he has said about me. I shall perhaps be able to explain to some extent what underlies what he has been saying.

I am especially happy to be awarded the Oppenheimr Prize because I was a great friend and admirer of Oppenheimer. I knew him for more than forty years. There was a time when we were young students together at Gottingen...

Ah, no sabía que se habían conocido en Gotinga.

... We both stayed in the same pension. We both had the same interests, going to the same lectures and we found that we also had interests outside the lectures. We both likes to go for long walks an doccasionally took a day-long walk across country togehter.

Son conocidas las largas caminatas de domingo de Dirac cuando estaba en Cambridge. También son conocidas por su soledad: le gustaba caminar solo. El que compartiera caminatas con Oppenheimer habla de la buena relación que tuvieron.

Since these early days, I have met Oppenheimer on many occasions and I have been able to see what admirable qualities he had, particularly as a chairman for a discussion or a colloquium. He had a very quick mind which enabled him to pick on the main point at issue and if there was something which the lecturer couldn't explain very well, or if some member of the audience was asking a question which he could not formulate very clearly, Oppenheimer would frequently jump into the breach and explain in lucid language just what was needed in order to bring the point clearly home to everybody and enable the discussion to proceed on clarified lines.  It is a great loss to science and to us all that he died so young and I especially feel his loss because of the great personal friendship I had for him.

En el próximo post, comienza el comentario de Dirac sobre su propio trabajo.

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Agosto, 2015, 7:14

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Encuentro en estos días el discurso de aceptación de Dirac al premio en memoria de Oppenheimer. Fue el primero en recibirlo, en 1969. Es interesante compartirlo, porque muchas veces me he encontrado con citas parciales del discurso, y ahora tengo la oportunidad de compartirlo completo. Agregaré algunos comentarios cuando pueda. Primero, antes del discurso, transcribo la introducción de Dirac al público presente, por parte de Behram Kursunoglu, profesor y director del Centro de Estudios Teóricos, de la Universidad de Miami. Una foto de Dirac en aquel entonces, con el profesor Kursunoglu:

Decía la presentación:

I consider it a great honor to introduce to you rather briefly Professor Dirac. (I have to do this since all of us here are not physicists.) What I have to tell you is a representative opinion of Professor Dirac by the world of science.

He was born in 1902 in Bristol, England. He graduated from Bristol University and obtained his Ph.D. from Cambridge University, decided to study theoretical physcis at Cambridge and contributed tremendously to the then developing subject of quantum theory. Heisenberg matrix mechanics could hardly be regarded as laws of nature without the fundamental formulation of Dirac. The quantum theory as we know it and apply it today is as formulated by Dirac.

The 1920's were very exciting years for the world of physics. Great discoveries were being made almost overnight. A very rich and rewarding path was opened with the advent of quantum theory. One of the Meccas for the leading physicists of that time was in Gottingen. Young Paul Adrien Maurice Dirac was one of the members of this team - the most versatile one. By the age of 23 he had already written his classic papers which put the concepts of quantum theory on a sound mathematical basis. He reconciled the ideas of relativity with the ideas of quantum theory and invented the well-known relativistic wave equation predicting the existence of a magnetic moment of electron and hence a new fact, the spin.

He further predicted that every elementary particle with a spin 1/2 h has its counterpart with the same mass but opposite electric charge, or that a particle has an antiparticle. It was a prophetic prediction. To the electron, the corresponding system is the positron, which was observed after the prediction in cosmic ray experiments by Anderson in 1932.

Sin embargo, Dirac no predijo el positrón en su primer "paper" del tema. Tardó unos años en proponer una partícula nueva: al principio, pensó que la contrapartida del electrón era el ya conocido protón, aunque no podía explicar la diferencia notable de masa.

Later, electron and positron pairs were actually produced in laboratory experiments. In the same way the proton and neutron should also have their corresponding antiparticles. In view of their mass content being nearly 2000 times that of the electron, experimental observation had to await construction of a large accelerator to produce such particles by collisions of protons with nuclei. This was accomplished in 1955.

Pasaron más de veinte años para conseguir evidencia experimental de antiprotones y antineutrones. Y en este siglo, hemos seguido buscando más partículas en aceleradores: todos podemos recordar la búsqueda del bosón de Higgs, por ejemplo.

His formulation of the statistics of fields and particles, his work on gravitational waves and also his prediction of magnetic monopoles stand as further monuments to his originilaty and deep understanding of natural phenomena.

The impact of Dirac's at the fundamental level has been far reaching, since even now our research in theoretical physics is guided by Dirac's ideas and his formulations. It is often customary, when one has a new idea, to ask if Dirac hasn't done something in this area.

Un caso notable fue el uso del lagrangiano en cuántica por Feynman, que comenzó a usarlo sin conocer el trabajo previo de Dirac. Al conocerlo, lo extendió de manera original.

It turns out that in most instances the subject matter has been dealt with by Dirac in depth, with calarity and originality.

La claridad de Dirac está algo en entredicho. Por un lado, si uno tiene la guía de comentaristas, se encuentra que los artículos de Dirac van al punto y explican el tema. Pero sin esa guía, para muchos físicos contemporáneaos de Dirac, sus artículos eran algo indescifrable y mágico.

His work, besides bringing him the Nobel Prize and coutless other honors and priczes, had been instrumental in many others being awarded the Nobel Prize for the work they have done on his ideas and in the paths opened by Dirac. To cite just a few examples: Willis Lamb, Julian Schwinger, Eugene Wigner, Richard Feyman, S.Tomonaga, C.D.Anderson, E.Segre, O.Chamberlain and many others. (Some of these gentlemen have been guests of the Center.) What he achieved in his early 20's formed the basis on which the Nobel Foundation awarded him the Nobel Prize in 1933 at the age of 31.

Professor Dirac is known as a man, not only in physics but also in ordinary conversations, who dows not make trivial remarks. There is a definite deep and well defined meaning in his every sentence, even though the sentences are not very frequent. He is endowed with all the great virtues of a great man; has no enmities, no dislikes for any human being.

Un ejemplo típico de personalidad de Dirac en Entrevista a Dirac. Ver también Dirac según Gamow.

Professor Dirac is a free man in the true sense of the word. This makes him also very courageous. It is a great honor for us to participate tonight in these modest ceremonies in awarding Professor Dirac the J. Robert Oppenheimer Memorial Prize.

En el próximo post, comenzaremos con el discurso del propio Dirac.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 12 de Agosto, 2015, 7:05

El sábado pasado estaba leyendo el excelente libro "Matemáticas, una historia de amor y de odio", de Reuben Hersh y Vera John-Steiner. Me encuentro con una cita de Eugene Wigner. A los once años estaba internado en un sanatario de Austria, diagnosticado de tubercolosis. Se dedicó entonces a problemas de geometría:

Sentado en mi tumbona, intenté construir un triángulo, dadas solamente las longitudes de tres alturas. Se trata de un problema muy sencillo que ahora puedo resolver en sueños, pero en aquel momento, encontrar la solución me costó varios meses de trabajo muy concentrado.

Es interesante el problema. Creo que hoy yo no tardaría meses, pero tampoco lo resolvería en un sueño. Ese problema me llevó a plantearme la existencia de la intersección de las alturas de un triángulo en UN SOLO PUNTO. Traté de demostrarlo, pero luego de unas dos horas, no pude.

Comencé a averiguar si era cierta la existencia de ese punto. Descubrí que se llama ortocentro, y encontré enlaces como:

http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.shtml

donde menciona:

This is a matter of real wonderment that the fact of the concurrency of altitudes is not mentioned in either Euclid's Elements or subsequent writings of the Greek scholars. The timing of the first proof is still an open question; it is believed, though, that even the great Gauss saw it necessary to prove the fact.

Yo hubiera pensado que la demostración ya estaba publicado en Euclides. No sé por qué no es mencionada. Puede ser que no fuera conocida, o tal vez, que los métodos de demostración no fueran los que Euclides quería mostrar en sus Elementos. También es de destacar que no se encontró prueba entre otros escritos griegos de la antiguedad. ¿Se habrá perdido? Parece improbable que no hubieran conocido la existencia de este teorema y su demostración.

No ví las demostraciones del enlace de arriba, para seguir investigando por mi cuenta. Lo que sí encontré fue un esbozo de la demostración de Euler de una afirmación más grande, en:

http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Orthocenter

(un sitio muy interesante, a explorar más en detalle), donde afirma que el circumcentro, el centroide, y el ortocentro de un triángulo cualquiera yacen sobre una misma línea. Notable propiedad!

El domingo volví al problema del ortocentro, y conseguí una demostración. Parece que es la demostración más conocida, reduciendo el problema a la existencia de punto de concurrencia de las medianas (el llamado circumcentro) en otro triángulo. Luego traté de demostrar la existencia de este nuevo punto, el circumcentro, pero me enredé, hasta que me di cuenta que el problema era más fácil. Veremos las demostraciones de existencia del punto de intersección de las medianas (el circumcentro) y de las alturas (el ortocentro) de un triángulo cualquiera, en los próximos dos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 9 de Agosto, 2015, 16:51

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Hay algo más que van a tener nuestros vectores. Cada vector representa el estado físico de un sistema, y no tenemos todavía un ejemplo concreto, sólo estamos desplegando la base matemática. Dirac eligió vectores porque era la forma más interesante para representar superposición de estados. Pero necesitaba algo más: en física es también importante obtener valores, como el valor de la energía, el momento y otras magnitudes físicas. ¿Cómo podemos pasar de un vector a un valor? Bueno, apenas estamos a comenzar a ver el proceso para esto, pero lo primero es entender que estos espacios vectoriales de la teoría de la transformación tienen definido un producto entre ellos, un producto entre dos vectores, que da como resultado un número, un escalar. NO es el producto inicialmente tomado por Dirac, pronto vamos a ver la relación. Dirac tomó un producto entre DOS espacios vectoriales, en general distintos, pero asumió correspondencia uno a uno entre los vectores de uno y otro espacio. Pero paciencia, luego veremos su camino.

Ahora, nos basta saber que los espacios vectoriales sobre el cuerpo de los complejos que vamos a usar, tienen definido un producto interno:

Entre dos cualesquiera vectores, del que resulta un número del cuerpo de los complejos. Entonces se le piden las siguientes propiedades (el "exponente asterisco" significa conjugado complejo):




De b) y c) resulta:

Veamos algunos ejemplos, basados en los ejemplos de vectores del post anterior.

Sea

El vector columna con elementos:

Sea

El vector columna con elementos:

Entonces, un producto interno que cumple con las propiedades anteriores es:

Si en cambio, esos vectores son funciones de x, un producto interno apropiado es:

Donde w(x) es una función real no negativa no completamente nula.

El producto interno es una generalización de la longitud y el ángulo entre vectores geométricos. Si el producto interno entre dos vectores es cero, se les dice ortogonales.

Este es el primer paso para obtener valores desde vectores de estado. En el próximo post comentaremos el "segundo espacio vectorial", el llamado espacio dual, más cercano al espacio vectorial que tomó Dirac inicialmente, y aparecerá su notación original.

Nos leemos!

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Publicado el 8 de Agosto, 2015, 18:40

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Hace dos post apareció el concepto matemático de operador:

Matemáticas y Física Cuántica (5) Valor Medio y Operadores

Es una función que recibe como argumento una función de onda, y devuelve una función de onda. Vimos que la motivación para su introducción es el cálculo del valor medio de una magnitud física. En física cuántica no podemos obtener SIEMPRE UN VALOR de una magnitud, conociendo la función de onda, sino sólo el valor medio. Pero hay un caso donde sí podemos obtener UN solo valor de esa magnitud: cuando la función de onda representa un estado de base de la magnitud entre manos.

Matemáticamente, el valor medio da siempre un valor determinado en este caso:

Para que esto se cumpla, basta que:

En este caso, a la función de onda:

Se la llama función propia de la magnitud f, y a:

Se le llama valor propio. En el caso discreto, es uno de los posibles valores que puede tomar la magnitud f (sea f la energía, el momento o cualquier otra magnitud física). En el anterior post:

Matemáticas y Física Cuántica (6) Operadores Hermíticos

Vimos que para que los valores propios fueran reales, el operador f-sombrero tenía que cumplir algunas condiciones. Cuando eso pasa, se dice que el operador es hermítico. La condición que tiene que cumplir es que su traspuesto sea igual a su conjugado complejo (temas que tratamos levemente en el anterior post):

Veamos una propiedad muy importante de las funciones propias, una propiedad que da sentido y coherencia a varios fórmulas derivadas que tenemos que ver. Sean dos funciones propias de f, operador hermítico, con dos valores propios REALES DISTINTOS:


Tomemos el conjugado complejo de la última igualdad:

Multipliquemos a la izquierda la primera igualdad por Psi-n conjugada, y a la última igualdad por Psi-m:


Restemos una igualdad de otra:

Tomemos integración por dq:

Y recordando que el operador f-sombrero es hermítico, entonces su conjugado complejo es igual a su operador traspuesto, dando:

Con lo que se anula la primera parte de la igualdad:

Y entonces, se anula la segunda parte:

Como fm es distinto de fn, entonces el integral se debe anular, para cualquier n diferente de m:

Se dice entonces que funciones propias de f con valores propios distintos SON ORTOGONALES (su "producto" se anula). Si también sabemos que una función propia está normalizada:

Entonces podemos obtener el coeficiente correspondiente a cualquier componente básico de una función de onda. Sea una función de onda una superposición de las funciones propias de f:

Calculando:


Esto es notable, y muestra la potencia de conocer las funciones de onda propias de un operador. Todo esto nos permite también calcular:



Las integrales se anulan para n distinto de m, y son igual a 1 para n igual a m, quedando:

Esto ya lo sabíamos: el desarrollo anterior muestra la coherencia de nuestro modelo matemático con la ortogonalidad de las funciones propias. El valor medio es el valor ponderado de los valores propios. El peso de ponderación es el cuadrado del módulo de cada coeficiente an, donde recordemos que esos coeficientes pueden ser complejos.

En próximo post, veremos una propiedad importante de operadores que conmutan entre sí.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 3 de Agosto, 2015, 6:50

Ya se nos va yendo el año. Y es hora de publicar mis resoluciones para el nuevo mes de agosto. Mientras, escribo el resultado de las del mes pasado.

- Continuar mi serie sobre la historia de las partículas elementales [completo] ver post
- Continuar mi serie hacia la mecánica cuántica [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemann [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además, publiqué:

Leyendo a Aristóteles (5) Las causas
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (9)
Teoría de la Transformación de Dirac, un desarrollo moderno (2)
Superposición de Estados, por Dirac (3)
Superposición de Estados, por Dirac (2)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (8)
Superposición de Estados, por Dirac (1)
Teoría de la Transformación de Dirac, un desarrollo moderno (1)

Mis resoluciones para el nuevo mes:

- Continuar mi serie sobre electrodinámica cuántica
- Continuar mi serie hacia la mecánica cuántica
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemann
- Continuar mi serie sobre las series de Fourier
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Estudiar blues en guitarra

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 2 de Agosto, 2015, 17:40

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En el anterior post hemos encontrado, siguiendo las ideas de Euler, que:

Para eso vimos cómo Euler iguala una suma infinita con una multiplicación infinita, e iguala los coeficientes. Algo como:

Es un "gran truco" que usa Euler en varias de sus demostraciones, un "truco" para tener en nuestro baúl matemático. Le bastó desarrollar el producto, e igualar los coeficientes de x al cuadrado en ambos desarrollos, el de la suma y el del producto.

Pero Euler no se quedó ahí. También igualó los coeficientes de x a la cuarta, x a la sexta y demás. Y notablemente, obtuvo un resultado interesante, tan poco evidente como el primero.

Veamos en este post primero un concepto general. Sea una suma infinita de términos, que sabemos que converge a un valor:

O sea, lo llamamos alfa. Sea el cuadrado de esta suma, desarrollado usando una generalización del binomio de Newton:


O sea, es la suma infinita de los cuadrados de los términos iniciales, más dos veces la suma de esos términos tomados de a dos distintos. Llamemos a la suma de a dos como beta:

Esto muestra que la suma de los cuadrados de los términos iniciales es:

No es una relación evidente, pero nos sirve para calcular la suma de los cuadrados de los términos de una serie original. Claro, tenemos que averiguar beta, la suma infinita de los términos tomados dos a dos. Y aquí Euler los encontró, encontró beta como de regalo. Tomemos:




Entonces, ya sabemos alfa:

¿Dónde está beta? Veamos el coeficiente para x a la cuarta cuando desarrollamos el producto infinito original (tienen que hacer el desarrollo, combinando de a dos los factores que tengan x al cuadrado):

Y ahí está beta: es el coeficiente que está entre paréntesis, esa suma infinita de los términos originales (los recíprocos de los cuadrados) TOMADOS DE A DOS.

Ahora, en la suma infinita original, el coeficiente de x a la cuarta potencia es:

Con lo que queda:

Y obtenemos:

Como sabemos que alfa es la suma de los recíprocos, tomamos el valor que deducimos en el anterior post. Un pasito más que ya llegamos a:


Es decir, llegamos al valor de la suma de los recíprocos de las cuartas potencias:

>

Notable resultado. En el próximo post veremos el desarrollo para las siguientes potencias pares. Euler consiguió todos estos resultados en su "paper" E41:

http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html

Pueden ver algunos de esos "papers" de Euler en inglés en: (los originales eran en latín)

http://www.17centurymaths.com/contents/eulercontents.html

Y lo que estamos desarrollando está en inglés en:

http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e041tr.pdf

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Publicado el 30 de Julio, 2015, 8:03

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Lemon Wallet, la app de Wenceslao Casares, fue adquirida por LifeLock por US$ 50 millones | Negocios | Infotechnology
http://www.infotechnology.com/negocios/Lemon-Wallet-la-app-de-Wenceslao-Casares-fue-adquirida-por-LifeLock-por-US-50-millones-20131212-0001.html

Como (evitar) ser programador y llevar adelante un negocio | BRYANTAFEL.NERD
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Desafios Mobile Introduccion | BRYANTAFEL.NERD
http://bryantafel.me/desafios-mobile-intro/

Desafios Mobile generales | BRYANTAFEL.NERD
http://bryantafel.me/desafios-mobile-generales/

Desafios Mobile Tecnicos | BRYANTAFEL.NERD
http://bryantafel.me/desafios-mobile-tecnicos/

KidoZen Finds Right Fit With Enterprise Backend That Connects To Developer Platforms | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/12/10/kidozen-finds-right-fit-with-enterprise-backend-that-connects-to-developer-platforms/?ncid=twittersocialshare

KidoZen
http://www.kidozen.com/

Leandro Boffi » Blog Archive » Kidozen Raises 5 Million in Series A Funding
http://leandrob.com/2013/12/kidozen-raises-5-million-in-series-a-funding/

Ow.ly - image uploaded by @NXTPLabs
http://ow.ly/i/3ZIJ8

10 Extreme Bootstrapping Ideas | Inc.com
http://www.inc.com/christina-desmarais/10-extreme-bootstrapping-ideas.html

The 5×5 Trick To Make Life Better Altucher Confidential
http://www.jamesaltucher.com/2013/12/the-5x5-trick-to-make-life-better/

The Tooth Altucher Confidential
http://www.jamesaltucher.com/2011/04/the-tooth/

cuboclick.com : Principal
http://www.cuboclick.com/

The Brilliant Hack That Brought Foursquare Back From the Dead
http://www.wired.com/business/2013/12/the-brilliant-foursquare-hack

Avenida
http://www.avenida.com.ar/

Se viene Avenida.com!!! - Santiago Bilinkis
http://bilinkis.com/2013/12/se-viene-avenida-com/

Big Data Company Palantir Is Raising $58M At A Hefty $9B Valuation | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/12/05/big-data-company-palantir-is-raising-58m-at-a-hefty-9b-valuation/

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Coquimbo: El mar del emprendimiento - Coquimbo - 24horas
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StudentUniverse Acquires WeHostels: Diego Saez-Gil on What's NextPulsoSocial
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Publicado el 27 de Julio, 2015, 7:10

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Mencionaba en el anterior post que en 1897, casi al terminar el siglo XIX, Joseph John Thomson llevaba a cabo su experimento con rayos catódicos. En ese experimento, Thomson pudo determinar la razón e/m entre la carga y la masa de los componentes de esos rayos.

Con ese experimento demostró que los rayos catódicos estan compuestos de partículas, hasta ese entonces desconocidas. Vió que eran más pequeñas que los átomos, y con alta razón carga/masa. Con este descubrimiento apareció por primera vez evidencia de que los átomos no son indivisibles, que puede haber partículas subatómicas.

Tomo de la Wikipedia la imagen original de Thomson describiendo su aparato:

El cátodo C emanaba rayos catódicos (hoy sabemos que eran electrones). A las placas D y E se les cargaba eléctricamente y entonces, el haz se desviaba hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de la carga de cada placa. Cuando la placa D se cargaba negativamente, el haz era desviado hacia abajo. De ahí dedujo Thomson que los componentes del haz tenían carga negativa. Antes de este experimento, también había detectado que el haz se desviaba bajo un campo magnético. Combinando ambos resultados, pudo calcular la razón entre carga y masa de cada uno de los elementos de los rayos.

Curiosamente, al cambiar la composición del cátodo, la razón carga/masa seguía siendo la misma, lo que mostraba que los componentes descubiertos eran parte de toda la materia, no importaba la composición del cátodo. Cuando Thomson estudió la emisión de ánodos, ahí descubrió que la razón carga/masa variaba según la materia del ánodo usado. Eso se debía a que en este caso, lo emitido eran iones positivos, con distinta composición según el material del ánodo.

Notablemente, Hertz ya había intentado el experimento de arriba, pero sin detectar ninguna desviación del rayo, llegando a la conclusión de que era neutro eléctricamente. Thomson también al inicio no detectó ninguna desviación, pero reconoció que se debía al insuficiente vacío dentro del tubo. Cuando ese vacío fue mejorado pudo comenzar a detectar la desviación del rayo.

El valor de e/m que Thomson obtuvo era miles de veces más grande que los valores correspondientes para los iones bajo electrólisis. Llegó a la conclusión de que los rayos catódicos estaban compuestos por partículas más pequeñas que los iones y de carga negativa. Los llamó "corpúsculos", y a su carga, la llamó "electrón". Más tarde, las partículas mismas pasaron a llamarse electrones.

Veremos en el próximo post, como todo esto y otros resultados llevaron a Thomson a postular un modelo atómico.

Ver también:

http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_3/node1.html

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Publicado el 26 de Julio, 2015, 19:01

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En el anterior post apareció el concepto matemático de operador lineal para obtener valores medios de magnitudes físicas de cada función de estado. Estudiamos por ahora el caso discreto. No podemos obtener más que valores medios, porque un estado cuántico es una superposición de estados. En el caso discreto, los estados de base representan uno de los valores discretos posibles. Entonces vimos que para la función de estado que representa ese estado discreto n de una magnitud física, su valor medio es:

Es decir, que coincide con el valor de la magnitud física que ese estado representa.

Un físico espera que los valores de una magnitud física (energía, momento, posición) sean valores reales, no complejos. Recordemos que las funciones de estado devuelven valores complejos. Entonces, para un físico, el valor de arriba, fn, debe ser real. Eso pone una restricción adicional a los operadores para poder considerarlos como operadores que nos permiten obtener valores medios de magnitudes físicas.

Para entender el tipo de restricción que tenemos que imponer a los operadores, examinemos el concepto de operador traspuesto. Dadas dos funciones arbitrarias, tenemos la aplicación del operador a las mismas con la integral:

Si invertimos las funciones, podemos definir el operador traspuesto de f como aquel que cumple, para cualesquiera par de funciones:

Donde representamos el operador traspuesto con una tilde arriba. La existencia y unicidad de ese operador traspuesto de f para cada f es una cuestión matemática, pero la igualdad de arriba es la DEFINICION de ese operador traspuesto.

Todas estas integrales dan como resultado un número, que puede ser real o complejo. Tomemos el conjugado complejo de la integral original:

Podemos considerar el resultado de la integral como la "suma" de la expresión que está bajo el signo integral. Pasemos la conjugación complejo, indicada por un asterisco,  adentro de ese signo.

Definimos el operador complejo conjugado de f por aquel que cumple con la igualdad:

Lo indicamos con un asterisco.

Cuando el resultado de la integral debe ser igual a su conjugado, debe ser:

Pero ya sabemos que, por definición de operador traspuesto, se tiene:

Igualando los términos derechos de ambas igualdades queda:

Para toda función de estado. Es decir, que los operadores traspuestos y complejo conjugado DEBEN coincidir para que los autovalores del operador sean reales:

Los operadores lineales que cumplen con esta condición se llaman hermíticos.

Veremos en el próximo post que las autofunciones del operador que corresponden a distintos autovalores son, en algún sentido, ortogonales. Tenemos que estudiar qué es eso de ortogonalidad.

Todo lo anterior ha sido bastante matemático. Pero ya vamos viendo que los operadores que importan son los operadores hermíticos. Esos son operadores que permiten tener autovalores que son valores reales, no complejos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia