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Publicado el
31 de Mayo, 2020, 18:00
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30 de Mayo, 2020, 13:18
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25 de Mayo, 2020, 15:07
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Publicado el
24 de Mayo, 2020, 11:44
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Publicado el
23 de Mayo, 2020, 12:28
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En estos días vuelvo a leer a Max Jammer, a quien mencioné en:
Uhlenbeck, Goudsmit y el spin del electron
Max Jammer y el Formalismo de la Mecánica Cuántica
Estoy leyendo su excelente libro "The Conceptual Development of Quantum Mechanics", edición 1966. Leo:
It is the purpose of this study to trace the conceptual development of quantum mechanics from its inception to its formulation as a full-fledged theory of atomic physics, from its status as a rather doubtful ad hoc hypothesis to that of an imposing intellectual structure of great beauty.
Trata de la mecánica cuántica no relativista de una cantidad finite de grados de libertad, que abarca los primeros desarrollos exitoso, digamos, hasta parte de la tercera década del siglo XX. Las primeras preguntas que nos aparecen son: ¿qué es el desarrollo conceptual? ¿es necesario en este tema?.
All the great theories in the history of physics—from Aristotelian mechanics and its medieval elaborations, through Newtonian dynamics with its Lagrangian or Hamiltonian modifications, to Maxwellian electrodynamics and* Einsteinian relativity—have been subjected repeatedly to historico-critical investigations, and their conceptual foundations have been thoroughly analyzed. But no comprehensive scholarly study of the conceptual development of quantum mechanics has heretofore appeared. The popular or semiscientific publications available hardly skim the surface of the subject. And the few, though important, essays on the topic written by the originators of the theory themselves are mostly confined to a particular aspect or to the defense of a specific philosophical position. The publication of a comprehensive and coherent analysis of the conceptual development of quantum mechanics, the only consistent theory of atomic processes, and hence a foundation of modern science, seems therefore to fill an important lacuna in the literature on the history and philosophy of physics.
Primero, es un libro sobre el desarrollo de las ideas. No es un libro de texto para APRENDER mecánica cuántica, sino para entender cómo se fue desarrollando. Por otro lado, no es un libro solamente con el desarrollo histórico: habrá ocasiones donde Jammer se concentra en el desarrollo de una idea, sin importar que ese desarrollo se superponga en años históricos con otro desarrollo de otra idea.
Such a study, however, should not be regarded as an end in itself. Never before has a theory been treated in so many excellent texts within so short a period of time. Since every additional text, as is natural in a developing branch of science, attempts to construct the theory on the basis of an ever more concise logical structure, the traditional texts presenting the material in the order of its historical development are gradually losing ground. Students, it is rightfully claimed, may be saved much trouble "if they are not led through all the historical pitfalls, and instead acquainted from the very beginning with concepts, such as the spin, that cannot be grasped except by quantum mechanical means." [cita 1] Admittedly, a good working knowledge, even a high standard of efficiency and competence in applying the theory to physical problems may be obtained by this method of instruction. But as long as it is true that "however far the phenomena transcend the scope of classical physical explanation, the account of all evidence must be expressed in classical terms," [cita 2] a profound comprehension of quantum mechanics requires more than a study of the subject in its shortest possible logical formulation. "It is impossible to understand the methods of modern quantum mechanics without a knowledge of the way in which the theory has been developing." [cita 3] Indeed, some knowledge of the dramatic struggle of ideas that preceded the formation of quantum conceptions and of the intricate ways of reasoning that led to the generally accepted formulation of the theory is indispensable for a profound comprehension of its physical significance, for an intelligent appreciation of its philosophical implications, and even for an enlightened understanding of its logical structure. Duhem's statement "faire l'histoire d'un principe physique, c'est en meme temps en faire l'analyse logique" is particularly meaningful for the science of quantum mechanics.
Hoy aprendemos física clásica, digamos la mecánica newtoniana, sin estudiar ni su desarrollo histórico ni conceptual (¿cómo surgió el concepto de energía? ¿y el de momento angular?). Pero en cuántica, y en especial en mecánica cuántica, pasa que si bien se puede aprenderla sin necesitar de la historia o el desarrollo, sus conceptos, operaciones y formalismos son tan extraños a la intuición que para realmente comprenderla, atraparla en su esencia, puede que no haya otro camino que el emprendido por Jammer: el desarrollo de las ideas, para explicar fenómenos que no cuajan en el marco "clásico". Es cierto que hay muy buenos libros para comenzar a entender la mecánica cuántica (y luego la física cuántica) desde algunos principios, sin tener que seguir todo el desarrollo ni histórico ni conceptual. Pero es como que se pierde algo. Un excelente libro que recuerdo ahora, que sigue un desarrollo histórico, más que conceptual, es el Física Cuántica, de Eisberg y Resnick, que era un clásico en mis días de estudiante universitario.
La cita 1 es F.A.Kaempffer, Concepts in Quantum Mechanics. La cita 2 es de Niels Bohr, "Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics". La cita 3 es A.March, Quantum Mechanics of Particles and Wave Fields.
Seguiré citando y comentando algunos temas de este libro. Es interesante, por ejemplo, cómo plantea que los desarrollos de Jordan y de Dirac, a partir de 1925, son como un contrapunto: mientras el primero se concentra en teorías de campo, el segundo prefirió una vision desde el modelo de partículas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
17 de Mayo, 2020, 10:02
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Publicado el
10 de Mayo, 2020, 13:21
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Por estos lares seguimos en cuarentena. Mucho trabajo y estudio, pero pudo escribir poco. Repaso de las resoluciones del mes pasado:
- Escribir sobre Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Física [pendiente]
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Tengo que poner voluntad para pasar por escrito lo que estuve aprendiendo de matemáticas y física. Así que sigo insistiendo con estas resoluciones para mayo:
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Física
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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Publicado el
3 de Mayo, 2020, 14:36
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Publicado el
2 de Mayo, 2020, 17:55
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Publicado el
25 de Abril, 2020, 16:42
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Publicado el
21 de Abril, 2020, 20:39
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Publicado el
18 de Abril, 2020, 11:05
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Publicado el
10 de Abril, 2020, 13:11
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Publicado el
5 de Abril, 2020, 19:51
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En estos días estuve leyendo temas de teoría algebraica de números. Algo publiqué por acá en Números Irreducibles y Primos. Hoy leo en el libro Algebraic Number Theory de Romyar Sharifi:
At its core, the ancient subject of number theory is concerned with the arithmetic of the integers. The Fundamental Theorem of Arithmetic, which states that every positive integer factors uniquely into a product of prime numbers, was contained in Euclid’s Elements, as was the infinitude of the set of prime numbers. Over the centuries, number theory grew immensely as a subject, and techniques were developed for approaching number-theoretic problems of a various natures. For instance, unique factorization may be viewed as a ring-theoretic property of Z, while Euler used analysis in his own proof that the set of primes is infinite, exhibiting the divergence of the infinite sum of the reciprocals of all primes.
Es importante conocer que la factorización única NO SIEMPRE está presente en otros anillos. Es parte de lo que la teoría algebraica de números tiene para ofrecernos.
Algebraic number theory distinguishes itself within number theory by its use of techniques
from abstract algebra to approach problems of a number-theoretic nature. It is also often considered, for this reason, as a subfield of algebra. The overriding concern of algebraic number theory is the study of the finite field extensions of Q, which are known as number fields, and their rings of integers, analogous to Z.
Curiosamente las extensions de campos comenzaron a aparecer en los trabajos para resolver los ecuaciones de grado mayor que 2. Pero si en esas extensions, definimos algo como "enteros", se nos abre la puerta a estudiar nuevos sistemas de números.
The ring of integers O of a number field F is the subring of F consisting of all roots of all
monic polynomials in Z[x]. Unlike Z, not all integer rings are UFDs, as one sees for instance
by considering the factorization of 6 in the ring Z[√−5]. However, they are what are known
as Dedekind domains, which have the particularly nice property that every nonzero ideal factors uniquely as a product of nonzero prime ideals, which are all in fact maximal. In essence, prime ideals play the role in O that prime numbers do in Z.
UFD es Unique Factorization Domain, dominio con factorización única. El caso del 6 mencionado se refiere a que 6 = 3 * 2 pero también en ese anillo Z[√−5] el 6 es igual a (1 + √−5)(1 - √−5) y esos dos pares de factores no se dividen entre sí. Es un resultado un tanto inesperado, pero sumamente interesante.
Para recuperar la factorización única, hay que reemplazar los enteros por ideales, conjuntos de elementos de un anillo.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
https://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
4 de Abril, 2020, 17:42
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Publicado el
31 de Marzo, 2020, 11:04
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Publicado el
29 de Marzo, 2020, 12:31
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Publicado el
28 de Marzo, 2020, 18:22
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Publicado el
22 de Marzo, 2020, 13:00
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Publicado el
21 de Marzo, 2020, 13:02
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Hoy leo en la introducción del excelente "Algebraic number theory and Fermat's last theorem", de Ian Stewart y David Tall
For organizational reasons rather than mathematical necessity, the book is divided into four parts. Part I develops the basic theory from an algebraic standpoint, introducing the ring of integers of a number field and exploring factorization within it. Quadratic and cyclotomic fields are investigated in more detail, and the Euclidean imaginary fields are classified. We then consider the notion of factorization and see how the notion of a 'prime' p can be pulled apart into two distinct ideas. The first is the concept of being 'irreducible' in the sense that p has no factors other than 1 and p. The second is what we now call 'prime': that if p is a factor of the product ab (possibly multiplied by units—invertible elements) then it must be a factor of either a or b. In this sense, a prime must be irreducible, but an irreducible need not be prime. It turns out that factorization into irreducibles is not always unique in a number field, but useful sufficient conditions for uniqueness may be found. The factorization theory of ideals in a ring of algebraic integers is more satisfactory, in that every ideal is a unique product of prime ideals. The extent to which factorization is not unique can be 'measured' by the group of ideal classes (fractional ideals modulo principal ones).
Es un tema más que interesante: uno, basado en el manejo de enteros y naturales, tiende a poner como equivalentes los conceptos de número primo y número irreducible. Pero se vió (justamente en el siglo XIX, tratando de demostrar el ultimo teorema de Fermat) que no es el caso: hay sistemas de números (anillos) donde no se cumple la equivalencia.
Ver
Irreducible and prime elements
https://math.stackexchange.com/questions/1076517/irreducible-and-prime-elements
Luego, si quieren algo más en profundidad, y cómo afecta esto a varias estructuras algebraicas:
Irreducible Elements
https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_element
Any Prime is Irreducible
https://math.stackexchange.com/questions/69504/any-prime-is-irreducible
Prime implies Irreducible
https://math.stackexchange.com/questions/1149078/prime-implies-irreducible
Irreducible Elements in a Principal Ideal Domain are Prime
https://math.stackexchange.com/questions/770731/irreducible-elements-in-a-pid-are-prime
Irreducible Elements in an Unique Factorization Domain are Prime
https://math.stackexchange.com/questions/257955/irreducibles-are-prime-in-a-ufd
A principal ideal ring that is not a euclidean ring
http://www.math.buffalo.edu/~dhemmer/619F11/WilsonPaper.pdf
Ring of integers is a Principal Ideal Domain but not a Euclidean domain
https://math.stackexchange.com/questions/857971/ring-of-integers-is-a-pid-but-not-a-euclidean-domain
An example of a principal ideal domain which is not a Euclidean domain
http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/MTH5100/PIDnotED.pdf
En este blog, algo traté del tema cuando comenté
Libro: Abstract Algebra, de Carstensen, Fine, Rosenberg (4)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2016/06/28/libro-Abstract-Algebra-de-Carstensen-F.html
Libro: Abstract Algebra, de Carstensen, Fine, Rosenberg (3)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2016/06/27/libro-Abstract-Algebra-de-Carstensen-F.html
Libro: Abstract Algebra, de Carstensen, Fine, Rosenberg (2)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2016/06/26/libro-Abstract-Algebra-de-Carstensen-F.html
Libro: Abstract Algebra Structure and Application, de Finston y Morandi
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2016/06/14/libro-Abstract-Algebra-Structure-and-A.html
En esos libros aparece más detallado la evolución del concepto, en especial, la aparición de ideales primos, que de nuevo, tuvo su origen en los intentos de demostración del ultimo teorema de Fermat, por parte de Kummer y sus números ideales, una extension para conseguir la factorización única, luego levantada por Dedekind para formar los ideales primos. Esa extension del concepto de número resultó fructífera, como se ve en los capítulos de los libros mencionados arriba.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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