Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Abril, 2015, 19:10

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En el anterior post, mostré la postura de Alan Connes, para quien las matemáticas se descubren, lo que descubrimos ya está ahí, de antes que nosotros, en un mundo matemático que tiene tanta realidad o más que la realidad física. Yo no pondría "realidad", mas bien usaría "mundo". Para mí, realidad se refiere a la realidad del mundo cambiente, no a la inmutabilidad de esa "realidad matemática". Pero tal vez en el fondo no es más que una cuestión de terminología. Veamos hoy la posición de Michael Atiyah. A Atiyah lo conozco más, he leía algún texto suyo, y conozco de su trabajo. Es ganador de la medalla Fields en 1966, la medalla Copley en 1988 y del premio Abel en 2004. Es decir, es un matemático con todas las letras, de influencia similar a la de Connes. Atiyah señalaba:

Cualquier matemático no puede menos que simpatizar con Connes. Todos tenemos la sensación de que los números enteros, o los círculos, existen realmente en algún sentido abstracto, y el punto de vista platónico es terriblemente seductor. Pero ¿podemos realmente defenderlo? Si el universo fuese unidimensional, o incluso discreto, parece difícil concebir cómo podría haber evolucionado la geometría. Parece que con los números enteros el terreno en el que pisamos es más sólido, que contar es un concepto realmente primordial. Pero imaginemos que la inteligencia no se hubiera desarrollado en el hombre, sino en una especie de medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano Pacífico. Este ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales, ya que sólo estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales se reducirían a movimiento, temperatura y presión. En este continuo puro, el concepto de discreto no podría surgir ni, por consiguiente, habría nada que contar.

Original la idea de la medusa. Sin embargo, tengo algo que comentar sobre esta postura. Y es algo que puede comenzar a explicar por qué nuestras matemáticas se adecuan tanto a la explicación de modelos de la realidad física. Pienso que la experiencia de la medusa no INVALIDA la posibilidad de existencia de un mundo matemático, con números primos, geometría, e hipótesis de Riemann. Sólo pone de manifiesto que como organismo inteligente, por experiencia sensorial, sólo descubriría una parte de ese mundo. Pero tal vez aún así, tomando caminos de desarrollo no evidentes, llegue a descubrir matemáticas que están lejos de la experiencia física. En el caso humano, tenemos todo lo que hizo Cantor con los infinitos y sus números transfinitos, o los números surreales de Conway, y debe haber más y mejores ejemplos. Y también es posible que nuestra mente, como la de la medusa, sólo pueda descubrir PARTE del mundo matemático, el sugerido por el razonamiento y la experiencia sensorial humana. Y esa experiencia del mundo físico justamente nos lleva a desarrollar matemáticas que luego se pueden aplicar a los modelos que vamos planteando.

Encuentro el texto de Atiyah en el libro de Mario Livio ¿Es Dios un matemático?

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 23 de Abril, 2015, 16:04

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The One-Person Product – Marco.org
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Donald Trump busca masificar el crowfunding
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AirStrip uses iPhones, iPads to cut through health care data tangle | VentureBeat
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Imaging and lab results are begging for an electronic, cloud-based makeover | VentureBeat
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Salesforce: The cloud is not an ‘all or nothing game’ for health care | VentureBeat
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10 trucos para mejorar tu idea de negocio | TICbeat
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How Practice Fusion plans to use patient data to save lives | VentureBeat
http://venturebeat.com/2013/05/20/practice-fusion-patient-data/

Tumblr Founder David Karp Gives Advice - Business Insider
http://www.businessinsider.com/tumblr-founder-david-karp-gives-advice-2013-5

The Evolution Of Hacker News | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/05/18/the-evolution-of-hacker-news/

How to Identify a Lean Startup by Ash Maurya - Capital Factory Demo Day 2010 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=zcbG_Le8040

The Naive Optimist • Profit is good
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Startup Funding & How It Works: The Journey From Idea To IPO [Chart]
http://www.bitrebels.com/business-2/startup-funding-and-how-it-works-chart/

What Tumblr’s sale means for New York startup ecosystem — Tech News and Analysis
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Tech Hubs Flourish Outside of Silicon Valley
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Could WordPress be the next Tumblr? | Dan Gillmor | Comment is free | guardian.co.uk
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What Value-Add To Expect From Your VC
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Adeo Ressi On Startup Ideas - Business Insider
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What Nikola Tesla vs. VCs video says about the state of Silicon Valley — Tech News and Analysis
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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 22 de Abril, 2015, 5:11

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En el primer post mencioné un tema a explorar: las matemáticas ¿existen por sí mismas, en una realidad matemática digamos, y nosotros como seres humanos las vamos descubriendo, como cuando exploramos un continente desconocido (no inventamos las montañas, simplemente las descubrimos; lo mismo los teoremas y conceptos)? En este caso ¿cómo es posible que podamos acceder desde nuestra mente a ese mundo? ¿O serán las matemáticas sólo fruto de la mente humana, sin mayor entidad fuera de ella? Entonces ¿cómo se explica la gran aplicación y éxito de las matemáticas en los modelos de la realidad física?

Veamos la postura expresada por Alain Connes, que defiende la primera posición: las matemáticas como realidad independiente de la realidad física (y de nuestra mente). Connes es matemático, ganador de la medalla Field (1982) (EL PREMIO en matemáticas, que se otorga cada cuatro años), y el premio Crafoord (2001). En 1989 expuso su punto de vista de esta manera:

Tomemos, por ejemplo, los números primos [aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad] que, por lo que a mí respecta, constituyen una realidad más estable que la realidad material que nos rodea. El matemático de profesión se puede comparar con un explorador que se pone en marcha para descubrir el mundo. A partir de la experiencia se pueden descubrir hechos básicos. Por ejemplo, basta con unos sencillos cálculos para darse cuenta de que la serie de números primos parece no tener fin. El trabajo del matemático es entonces demostrar que, efectivamente, hay una infinidad de números primos. Este es un resultado antiguo, como sabemos, y se lo debemos a Euclides. Una de las consecuencias más interesantes de esta demostración es que, si alguien afirma un día que ha descubierto el mayor número primo que existe, será fácil demostrar que se equivoca. Esto mismo es válido para cualquier demostración. Nos enfrentamos pues a una realidad estrictamente igual de incontestable que la realidad física.

En próximo post, veremos que no todos están de acuerdo con la postura de Connes. Incluso hay matemáticos que defienden la idea de las matemáticas como fruto humano.

El texto de arriba lo encuentro en las primeras páginas del libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?"

Ver también:

http://www.alainconnes.org/en/

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Publicado el 21 de Abril, 2015, 14:08

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Publicado el 19 de Abril, 2015, 18:47

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Publicado el 17 de Abril, 2015, 14:34

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Retomemos este gran e interminable tema, tan interesante, con tantas derivaciones. En estos días me reencuentro con un fragmento de Galileo. No sabía que estaba en El ensayador, yo hubiera pensado que estaba en otros escritos. Es el fragmento donde Galileo plantea a las matemáticas como el lenguaje del universo:

Creo que Sarsi está plenamente convencido de que, en filosofía, es fundamental apoyarse en la opinión de algún autor famoso, como si nuestro pensamiento fuese completamente árido y estéril si no está unido a los razonamientos de otro. Quizás piense que la filosofía es una obra de ficción creada por un hombre, como La Ilíada u Orlando Furioso [un poema épico del siglo XVI escrito por Ludovico Ariosto] -libros en los que no tiene la menor importancia la verdad de lo que describen-. Señor Sarsi, las cosas no son de este modo. La filosofía está escrita en el gran libro que está siempre abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo) pero que no podemos comprender si no aprendemos en primer lugar su lenguaje y comprendemos los caracteres en los que está escrito. Está escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales no es humanamente posible comprender ni un sola de sus palabras, y sin las cuales se deambula vanamente por un laberinto de tinieblas.

Lo que Galileo llama "filosofía" es "filosofía natural", lo que hoy llamamos "física". Lo encuentro citado en el libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?". Hoy sólo va mención de esta idea de Galileo, que tanto influyó en su obra, y en la de los que le siguieron. Recordemos si no a Newton. Mi postura: usamos las matemáticas en los modelos de la realidad física (a nivel de lo físico) pero no es que el universo es matemático. Sino que está regido (a ese nivel) por procesos simples, que se pueden expresar usando matemáticas. El texto de Galileo es uno de los que pone de nuevo a la matemática relacionada de forma especial con la realidad. El gran precursor de esas ideas, es Pitágoras.

Posts relacionados:

La realidad matemática, según Hardy
Einstein: Matemáticas y Realidad

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 13 de Abril, 2015, 17:40

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Comienzo hoy esta serie, dedicada a la productividad. Pienso que es un término relativo a cada uno, a lo que uno quiere hace con su vida, en lo que quiere realmente hacer. Pero estos enlaces (hoy una primera entrega) pueden servir como punto de partida para ver cómo podemos hacer más de lo que queremos hacer en esta vida.

Productivity and Continuous Improvement - Measurement (and RescueTime) makes it happen, both Personally and at Work - Scott Hanselman
http://www.hanselman.com/blog/ProductivityAndContinuousImprovementMeasurementAndRescueTimeMakesItHappenBothPersonallyAndAtWork.aspx
 
Pomodoro Technique
http://en.wikipedia.org/wiki/Pomodoro_Technique
 
9 Ways To Work Less And Do More
http://www.businessinsider.com/9-ways-to-work-less-and-do-more-2010-9
 
Why Successful People Leave Work Early
http://www.businessinsider.com/leave-work-early-2011-5
 
7 Not So Obvious Habits To Maximize Your Productivity
http://www.lifehack.org/articles/productivity/7-not-so-obvious-habits-to-maximize-your-productivity.html
 
Pomodroido.com
http://www.pomodroido.com/
 
20 Tips de Bruce Lee para tener una vida Exitosa (Productividad)
http://www.arturogoga.com/2011/04/15/20-tips-de-bruce-lee-para-tener-una-vida-exitosa-productividad/
 
How to Become A Good Programmer, Designer, Painter, etc.
http://freestylemind.com/how-to-become-a-good-programmer-designer-painter
 
Google"s 8-Point Plan to Help Managers Improve - NYTimes.com
http://www.nytimes.com/2011/03/13/business/13hire.html?_r=1
 
The Productivity Paradox: How Sony Pictures Gets More Out of People by Demanding Less - Harvard Business Review
http://hbr.org/product/baynote/an/R1006C-PDF-ENG?referral=00505&cm_sp=baynote-_-featured_products-_-R1006C-PDF-ENG
 
Monk Mind: How to Increase Your Focus | zen habits
http://zenhabits.net/focus/
 
30 Habits that Will Change your Life
http://freestylemind.com/30-habits-that-will-change-your-life
 
7 Reasons You Should Never Check Email First Thing In The Morning
http://sidsavara.com/personal-development/do-not-check-email-in-the-morning
 
How to Stop Being a Victim of Your Own Life - Douglas R. Conant - The Conversation - Harvard Business Review
http://blogs.hbr.org/cs/2011/01/how_to_manage_your_energy.html
 
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Publicado el 12 de Abril, 2015, 18:12

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Veamos hoy cómo consiguió Euler resolver el problema de Basilea. Durante su vida dio varias pruebas. Visitemos hoy una, con una operación muy típica de Euler: aparear una suma infinita con una multiplicación infinita.

Cuando tenemos un polinomio de segundo grado como:

Existen para él dos raíces, en este caso 3 y 7, y se puede expresar el polinomio como:

Lo que hizo Euler es encontrar una expresión como la de arriba, una multiplicación de raíces, pero para una función trigonométrica que tiene infinitos ceros.

Recordemos el desarrollo en serie de Taylor de la función seno de x:

Dividamos por x, queda:

Los ceros de esta función son los x igual a múltiplo entero de pi. O sea:

Euler se atrevió a expresarla entonces como una multiplicación infinita de esos ceros, como hicimos con el polinomio:

(este paso es el que requiere justificación cuidadosa, pero Euler se tenía confianza). Vemos que si x toma uno de los valores que mencionamos, UNO de los factores de arriba valdrá 0, y el resultado es 0 (dejando de lado el punto problemático x = 0). Concentrémonos en expandir y desarrollar esta multiplicación. Primero, podemos reexpresarla, combinando los factores consecutivos de a dos:

Para eso, cada término de la expansión será una multiplicación (formalmente infinita) de un término elegido de cada factor de la multiplicación de arriba. Cada factor tiene dos términos: o un 1 (uno) o un término en x cuadrado. Pongamos foco en los términos que resultan de elegir sólo un término en x cuadrado, y el resto tomamos el 1. Así, el término resultanto en x cuadrado es:

El coeficiente para x cuadrado es entonces:

Expresando el último factor como sumatoria sobre todos los naturales:

En la expansión de Taylor, el término en x cuadrado es

Igualando los coeficientes queda:

Lo que da la notable solución del problema de Basilea: la suma infinita de los inversos de los cuadrados naturales es:

Un resultado inesperado. ¿Quién diría que esa suma infinita de inversos de cuadrados estaría relacionada con pi?

Veremos en el próximo post que Euler no sólo se quedó con esta solución, sino que examinó los coeficientes para otras potencias de x.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 11 de Abril, 2015, 21:05

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Six Myths About Venture Capitalists - Harvard Business Review
http://hbr.org/2013/05/six-myths-about-venture-capitalists/ar/1

Is Gamification Just a Fad?
http://mashable.com/2013/05/17/gamification-buzzword/

Community Is the New Currency - Entrepreneurship.org
http://www.entrepreneurship.org/en/Blogs/e360-Blog/2013/May/Community-Is-the-New-Currency.aspx

Tienda Nube recibe inversión por más de USD 1.000.000 | Ecommerce Blog
http://www.tiendanube.com/blog/tienda-nube-inversion-millon-dolares/

The Re-Definition Of Entrepreneurship And Rise Of Freedom-Seeking Freelancers - Forbes
http://www.forbes.com/sites/danschawbel/2013/05/14/the-re-definition-of-entrepreneurship-and-rise-of-freedom-seeking-freelancers/

Diagonal Valley: Tercer Encuentro <Bitcoin> - Eventioz
https://eventioz.com.ar/diagonal-valley-tercer-encuentro-bitcoin

Innovation is About Behavior, Not Products | Inc.com
http://www.inc.com/diane-zuckerman/springboard-innovation-is-about-behavior-not-products.html

Why Education Startups Do Not Succeed | Avichal's Blog
http://avichal.wordpress.com/2011/10/07/why-education-startups-do-not-succeed/

From Amazon"s cloud guy: 6 hiring tips for startups — Tech News and Analysis
http://gigaom.com/2013/05/08/from-amazons-cloud-guy-6-hiring-tips-for-startups/

Keen On… Jaron Lanier: Why Entrepreneurs Need To Make Their Customers Wealthy | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/05/06/keen-on-jaron-lanier-why-entrepreneurs-need-to-make-their-customers-wealthy/

10 Entrepreneurs Who Built Las Vegas | Inc.com
http://www.inc.com/ss/francesca-fenzi/10-entrepreneurs-who-built-las-vegas#0

Barley: The web editor for everyone.
http://getbarley.com/

Barley Aims To Be The Absolute Simplest Way To Create And Edit Websites | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/05/04/barley-launch/

Why the Lean Start-Up Changes Everything - Harvard Business Review
http://hbr.org/2013/05/why-the-lean-start-up-changes-everything/ar/1

Head of Groupon Goods Faisal Masud is leaving to take a new job — Tech News and Analysis
http://gigaom.com/2013/05/04/head-of-groupon-goods-faisal-masud-is-leaving-to-take-a-new-job/

Salesforce Joins Datahug"s $4M Series-A, While Valley VCs Love Its "Who Knows Who" Platform | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/05/04/salesforce-joins-datahugs-4m-series-a-while-valley-vcs-love-its-who-knows-who-platform/

Y Combinator, Silicon Valley"s Start-Up Machine - NYTimes.com
http://www.nytimes.com/2013/05/05/magazine/y-combinator-silicon-valleys-start-up-machine.html?pagewanted=all&_r=0

10 Little-Known Apps That Entrepreneurs Can"t Live Without | Fast Company | Business + Innovation
http://www.fastcompany.com/3008869/10-little-known-apps-entrepreneurs-cant-live-without

Shouldn't All Those Internet Scientists Be Curing Cancer? | Wired Enterprise | Wired.com
http://www.wired.com/wiredenterprise/2013/04/scientists-in-tech/

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Publicado el 10 de Abril, 2015, 19:44

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New open access journal in algebraic geometry | Secret Blogging Seminar
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The Aperiodical | ABC, as easy as pp1-40
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The Aperiodical | The Aperiodical’s Possibly Annual Awards for Mathematical Achievement
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The Aperiodical | Much ado About Noether
http://aperiodical.com/2013/03/much-ado-about-noether/

The Aperiodical | All Squared, Number 2 – Pancake formula
http://aperiodical.com/2013/03/all-squared-number-2-pancake-formula/

News: Belgian-born Pierre Deligne named Abel Prize winner
http://www.abelprize.no/nyheter/vis.html?tid=57811

R&D | The Theory That Would Not Die – An Engaging History of Bayesian Philosophy
http://blog.adnanmasood.com/2012/12/26/the-theory-that-would-not-die-an-engaging-history-of-bayesian-philosophy/

El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXI - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-algoritmo-de-chudnovsky-o-como-se-calculan-los-decimales-de-pi-en-el-siglo-xxi/

Euclidean domain - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain

Euclidean Rings of Algebraic Integers
http://www.mast.queensu.ca/~murty/harper-murty.pdf

Euclidean Rings
http://people.reed.edu/~jerry/332/15euc.pdf

¡Feliz día de pi! | Microsiervos (Ciencia)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/feliz-dia-pi-2013.html

On Fermat's Last Theorem for n=3 and n=4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf

Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Undamped forced vibrations — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2013/02/22/undamped-forced-vibrations/

Kepler contra Fludd, science contra woo? | The Renaissance Mathematicus
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PlanetMath
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Wedderburn's little theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
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Por seis meses, matemáticos de todo el mundo debaten sobre computación y azar en el Polo Científico Tecnológico
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A VC: Return and Ridicule
http://www.avc.com/a_vc/2013/04/return-and-ridicule.html
I have found that return and ridicule are highly correlated over the years. We have made more money on things that were highly ridiculed than on any other cohort. When I see people laughing at ideas and companies we have backed, I smile. It means we are going to make a lot of money on that investment.

Bringing the Lean Startup approach to healthcare - The Next Web
http://thenextweb.com/entrepreneur/2013/04/20/bringing-the-lean-startup-approach-to-healthcare/

39 Unforgettable Moments in Tech Startup History
http://mashable.com/2013/04/11/epic-startup-moments/

From Selling Scoops Of Ice Cream To Founding ZeroCater | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/04/06/how-i-started-zerocater/

Zuckerberg Forming Political Organization to Push For Immigration Reform
http://mashable.com/2013/03/25/zuckerberg-immigration/

Lean Analytics: Using Data to Build a Better, Stronger, Faster Startup - Forbes
http://www.forbes.com/sites/reuvencohen/2013/03/21/lean-analytics-using-data-to-build-a-better-stronger-faster-startup/

Crowdfunding Platform Crowdtilt Lands $12M From Sean Parker, Andreessen & More; Now Acquiring To Expand Into Mobile | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/03/22/crowdfunding-platform-crowdtilt-lands-12m-from-sean-parker-andreessen-more-now-acquiring-to-expand-into-mobile/

Hadoop: "It"s damn hard to use" — Tech News and Analysis
http://gigaom.com/2013/03/21/hadoop-its-damn-hard-to-use/

The dire state of programmers in their twenties
http://chrislema.com/the-dire-state-of-programmers-in-their-twenties/

How This Mom Used Google To Build a Global Fashion Brand
http://mashable.com/2013/03/22/cambridge-satchel-company/

500 Startups is now using AngelList to raise investment for its latest fund - The Next Web
http://thenextweb.com/insider/2013/03/22/500-startups-is-now-using-angellist-to-raise-investment-for-its-latest-fund/

How to Convince People to Join Your Startup
http://mashable.com/2013/03/22/how-to-get-people-join-startup/

Culture Code: Building A Company YOU Love | LinkedIn
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.net awards 2013
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Startups en el valle de la muerte
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Salesforce to raise $1 billion in convertible debt offering to help fuel acquisitions - The Next Web
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Column: Knowing how to code is essential for founders | ShopTalk | NewsObserver.com
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5 Ways Startups Are Using Vine
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Health care marketing startup Appature sold to IMS in blockbuster deal - GeekWire
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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 5 de Abril, 2015, 8:06

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Pierre de Fermat fue un jurista francés, nacido en 1601 en Beaumant de Lomagne, muerto en 1665 en Castres. Fue parte del Parlamento de Tolouse. Podía escribir versos en varios idiomas (latín, griego, italiano y español). Pero en lo que destacó fue en matemáticas. Eric Bell lo nombró "el príncipe de los aficionados". Fue un matemático de primera línea, y su obra es más extensa y variada que lo que su último teorema sugiere. Trabajó en otros temas, además de teoría de números. En geometría, reconstruyó un trabajo de Apolonio, en base a los comentarios de Pappus. Independientemente de Descartes, inventó la geometría analítica en 1636, dándose cuenta que si la hubiera conocido en 1629 le hubiera ahorrado gran cantidad de tiempo. En análisis fue el precursor del cálculo diferencial e integral. Fue igual a Pascal en combinatoria y probabilidad. En óptica introdujo el cálculo de variaciones para justificar la ley de Snell-Descartes.

Mencionemos algunos resultados suyos en teoría de números.

El llamado pequeño teorema de Fermat: para cada número primo p y para cada a entero no divisible por p se tiene:

Ver Demostración del teorema de Euler-Fermat.

La ecuación de Fermat, usualmente llamada (equivocadamente) la ecuación de Pell:

Los números de Fermat

La representación de números primeros en formas cuadráticas, en especial:

Y en

Ver mi serie p = x2 + y2.

El "último teorema" que nos ocupa en esta serie de posts, que para n > 2 y x, y, z enteros afirma:

Y varias ecuaciones diofánticas. Usó en varias de sus demostraciones el descenso infinito (ver Fermat y el Método de Descenso Infinito y Descenso Infinito)

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 4 de Abril, 2015, 15:30

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Mencionaba en el anterior post que la electrodinámica cuántica, de la mano de Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, y Richard Feynman, consiguió dar un valor finito para el número de Dirac. El valor teórico resultante fue de 1.00116, muy cercano al valor experimental de 1.00118. Fue un gran triunfo de la teoría, que comenzó a evitar los infinitos. Esa es la teoría que tenemos que estudiar en esta serie de posts.

Con los años, se mejoraron los resultados experimentales. Por ejemplo, en la segunda mitad del siglo pasado se llegó a determinar experimentalmente el valor de 1.00115965221 (con incertidumbre de 4 en el último dígito) mientras que la teoría daba 1.00115965246. Para darnos una idea de lo impresionante que es el acuerdo entre experimento y teoría, si midiéramos las distancia entre Los Angeles y Nueva York CON LA MISMA PRECISION, sería exacta con sólo la incertidumbre de un cabello humano. Y no es el único acuerdo entre experimento y teoría. Durante décadas la electrodinámica cuántica ha sido puesta a prueba y ha salido airosa. Se han medido cosas desde el orden de cientos de veces el tamaño de la Tierra, hasta un centésimo del tamaño de un núcleo atómico.

La teoría describe un vasto rango de fenómenos físicos. Quedan exceptuados los efectos gravitacionales y los fenómenos radioactivos, que son debidos a cambios en el núcleo atómico, donde intervienen otras fuerzas. ¿Qué queda fuera de gravitación y radioactividad? El quemado de gasolina en los automóviles, la formación de espuma y burbujas, la dureza de la sal o del cobre, las características del acero. Los biólogos tratan de explicar la vida en términos químicos, y se ha descubierto que las propiedades químicas son consecuencia de la electrodinámica cuántica.

Ahora bien, cuando decimos que la teoría "explica", en realidad no es tan así. En muchos fenómenos intervienen tal cantidad de electrones que es difícil explicar la complejidad. Pero si hacemos experimentos con pocos electrones en circunstancias simples, podemos calcular lo que sucede con mucha aproximación usando la teoría. Cuando hacemos ese tipo de experimentos, la teoría trabaja muy bien. Podemos decir que es la joya de la física, su más preciada posesión.

Y sirve de prototipo a las teorías que intentan explicar el comportamiento del núcleo atómico. Los actores del universo no son sólo electrones y fotones, sino que en el núcleo hay quarks y gluones y se encontraron más particulas en la naturaleza y en experimentos. Y aunque actúan de distinta forma, igual su conducta tiene un estilo "cuántico". Pero por ahora, nos concentraremos en electrones y fotones.

Principal fuente: el excelente libro de Richard Feynman, "QED: the strange theory of light and matter"

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 3 de Abril, 2015, 17:16

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En el anterior post presenté más contexto sobre el uso de números complejos en física y en la ecuación de Schrödinger. Recordemos que la solución de esa ecuación es una función de onda. Era lo que buscaba Schrödinger: luego de dar una charla sobre la teoría de de Broglie, su colega Debye le señaló que si había ondas en esa teoría, debía haber una función de onda, y como en otras ramas de la física, debería satisfacer una ecuación de ondas. De ahí arranca el trabajo de Schrödinger, que siguió un camino distinto al que tomamos nosotros.

En nuestro anterior "deducción" de la ecuación (a partir de elementos plausibles) vimos que no pudimos resolverla apelando a una función de onda real. Eso se debe a que en la expresión de la ecuación interviene LA PRIMERA DERIVADA del tiempo, y LA SEGUNDA DERIVADA de las otras coordenadas. Ese es el quid de la aparición de los números complejos en nuestra solución. Schrödinger siguió un camino más esotérico, pero llegó también a lo mismo: aunque "se resistió" a poner números complejos, al final tuvo que claudicar y expresar, en el últimos de sus artículos de la serie de 1926, la solución de su ecuación usando un coeficiente i (según el anterior post, parece que espoleado por alguna pregunta de Lorentz).

Algunos pensaron que tener una función de onda compleja era un defecto de la teoría. Al fin y al cabo, las magnitudes físicas, las que podemos medir por experimento, son todas reales (en el sentido no filosófico, de realidad, sino en el sentido de ser expresables, medibles en números reales). Pero hubo algo bueno en que sea función compleja. Si recordamos la historia del electromagnetismo, las funciones de onda de esa teoría daban valores reales, y eso llevó a considerar, por tradición de la física, que "había algo" que vibraba según esas ondas, y se inventó la teoría del éter. Se tardó bastante tiempo para entender que no había tal éter. Con la teoría de Schrödinger no corremos ese peligro: al ser compleja, no se espera que haya algo que "vibre" ahí afuera en la realidad. Uno podría esperar separar la función compleja en parte real y parte imaginaria. Matemáticamente, es posible hacerlo. Pero usar cada función por separado no lleva a ningún resultado físico.

Notablemente, se tardó unos meses en dar con una conexión física firme entre la función de onda compleja y la evidencia física. Schrödinger consideraba que había una relación entre su función y la densidad de carga eléctrica. Pero fue Max Born el que dio más en la tecla, al poner su postulado:
Teniendo la función de onda, digamos, para una partícula, una dimensión:

Lo expresado por:

Es la densidad de probabilidad. Como la función de onda se multiplica en cada punto (x,y) por su conjugada compleja (de ahí el asterisco en la segunda psi), el resultado es un número real en cada punto.  ¿por qué se llama densidad de probabilidad? Por el postulado de Born, que se expresa:

Si en el instante t se realiza una medición para localizar la partícula descripta por la función de onda Psi(x,t), entonces la probabilidad P(x, t) dx de encontrarla entre x y x + dx, es igual a:

Lo mismo se puede extender a varias coordenadas, a un sistema de partículas, y un volumen infinitesimal de esas coordenadas. Siendo lo de arriba "la densidad" por "punto de volumen", la probabilidad se obtiene integrando en el volumen V de coordenadas:

Se pide en general, que si se extiende la integración a todo el volumen de coordenadas, el valor de la probabilidad sea siempre (en todo tiempo) uno. Se dice entonces que la función de onda está normalizada. Se podrían tomar otras funciones de la función de onda que den igualmente resultados reales. Por ejemplo, se podría poner como densidad de probabilidad a:

Usando el valor absoluto de la función de onda. Pero estas otras opciones quedan descartadas porque su aplicación no lleva a los resultados físicos esperados (parece que es necesario un largo razonamiento para descartar estas otras soluciones, ninguna de mis fuentes (Landau/Lifschitz, Eisberg/Resnick) los menciona explícitamente).

Born publica sus ideas en una nota al pie de uno de sus artículos. Esa idea inicial, de probabilidad de posición, luego se extiende a otras probabilidades asociadas a otras medidas, no sólo a posición.

Ver también mi serie más matemática: Matemáticas y Física Cuántica (2) Probabilidad

Y ver

What is Born's Postulate
The Born Rule
The Born rule and its interpretation
Mathematical foundation of quantum mechanics

Es interesante ver Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity donde se enumeran los postulados de la mecánica cuántica, y se propone una derivación alternativa.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 2 de Abril, 2015, 17:02

Llega nuevo mes, tiempo de revisar las resoluciones del mes pasado, y escribir las nuevas.

- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger [pendiente]
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg [completo] ver post
- Continuar serie sobre Series de Fourier [completo] ver post
- Continuar serie sobre El Ultimo Teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre La Hipótesis de Riemann [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre particiones [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre funciones aritméticas [completo] ver post

Además publiqué:

La humanidad y el avance de la ciencia, por Pascal
Electrodinámica cuántica: la extraña teoría de la luz y la materia (1)
Cartas de Feynman a su esposa
Hacia la mecánica cuántica (3)

Para este mes que comienza, me planteo:

- Seguir mi serie sobre la Hipótesis de Riemann
- Continuar mi serie sobre el Ultimo Teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre Series de Fourier
- Continuar mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger
- Continuar mi serie sobre Electrodinámica Cuántica

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Publicado el 31 de Marzo, 2015, 19:02

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En el post anterior comentaba que Fourier consiguió desarrollar funciones usando una serie de términos (posiblemente infinita) donde en cada uno aparecía una función trigonométrica. Para comprender cómo se consigue expresar una función como una serie de ese tipo tenemos que estudiar cómo obtener los coeficientes de esa serie. Para esto veremos primero una propiedad que tienen las funciones seno y coseno.

Primero, centremos nuestra atención en funciones de periodo 2 pi o sea para las que siempre se cumple:

Caso de esas funciones son las clásicas trigonométricas

Y

Es fácil ver que cualquier combinación lineal de este tipo de funciones también tiene el mismo periodo. También tienen el mismo periodo 2 pi las funciones que, en vez de depender de x, dependen directamente de nx, donde n es un número entero:

Y

Algo que usó Fourier para desarrollar su serie, es saber que las funciones sen(nx), cos(mx) son “ortogonales” cuando los coeficientes n y m son distintos. Lo mismo para sen(nx) vs sen(mx) y cos(nx) vs cos(mx). Tenemos que ver qué es esto de ortogonal en este contexto. Pero podemos hacer una analogía con los espacios vectoriales. En ellos se puede definir muchas veces un producto entre vectores, el producto interno, de tal manera que haya vectores v y w cuyo producto interno de cero. Cuando eso lo aplicamos a los vectores clásicos del plano y del espacio, ese producto interno es cero CUANDO GEOMETRICAMENTE los vectores forman ángulo recto entre ellos (es más sutil que esto, pero nos sirve como base). Y llamamos a sus direcciones entonces, ortogonales.

Bueno, algo así se puede establecer entre funciones reales definidas en un intervalo de longitud 2 pi. Un producto interno adecuado, sobre lo funciones que, modernamente, se considerarían elementos vector de un espacio vectorial. En el próximo post veremos la definición de ese producto de funciones, y cómo las funciones mencionadas arriba son “ortogonales”.

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Publicado el 30 de Marzo, 2015, 7:44

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Diofanto es uno de los grandes personajes de la "Era de Plata" de la matemática griega. Se cree que vivió en Alejandría, entre los años 250 y 350 (de nuestra era), junto a Pappus y Proclo. Es conocido por su Aritmética, en 13 libros. En los tiempos de Fermat sólo se conocían seis de esos libros, pero hace unos años han sido descubiertas traducciones al árabe de cuatro libros más.

Las matemáticas que Diofanto expone en su Aritmética son distintas de las de la "Era de Oro" de Euclides. En verdad, se parecen más a la tradición babilónica. Mientras que Euclides construye desde primeras nociones y postulados, y va demostrando teoremas, Diofanto muchas veces trata casos particulares y da soluciones para esos casos, sin construir una teoría. Lo nuevo que aporta es su interés en encontrar las soluciones exactas a ecuaciones en números racionales. Fue uno de los primeros matemáticos en introducir símbolos en matemáticas, usando una notación cercana a la que aportaría luego Viete. Por ejemplo, el polinomio:

Sería escrito por Diofanto de esta forma:

Donde delta denota x al cuadrado, K denota x al cubo, M es el signo menos y U es la unidad. Vean cómo pone los términos con coeficiente positivo a un lado, y los de coeficiente negativo en otro.

Hay una identidad, conocida desde la Edad Media, que aparece en el trabajo de Diofanto (ya la estoy por usar en mi post p=x2+y2)


Es la llamada identidad de Brahmagupta-Fibonacci

¿Fue Diofanto el primer algebrista? Bueno, le faltó generalidad, se ocupó más de casos particulares. ¿El último de los babilonios? Tampoco, fue más abstracto que ellos, ya solamente con la aparición de su notación. ¿El primero de los matemáticos dedicado a la teoría de números? No, porque trabajo más sobre Q (los números racionales) que sobre N (los números naturales). Pero sí fue el principal precursor de la teoría de números. Recordemos que el interés griego por las soluciones en números racionales tiene relación con el descubrimiento (ya en tiempos de Pitágoras) de los números irracionales (aunque a decir verdad, los griegos no manejaron el concepto de número como lo hacemos nosotros; estaban interesados en razones de magnitudes).

En el siglo XVI la Aritmética de Diofanto era un texto obscuro, que había sido olvidado. Fue Bombelli quien redescubrió el libro en 1570 y lo incorporó en su propia obra Algebra, escrita en italiano en 1572. En 1575, W. Holtzmann (alias Xylander) dio una traducción completa al latín. Viete toma el libro y lo transforma, incorporándolo en sus obras, como Isagoge de 1591, y Zetetique de 1593, poniendo énfasis en los aspectos algebraicos. Con Viete comienza a aparecer la notación algebraica, usando una letra para la incógnita. En cambio Bachet de Meziriac, el autor de la traducción de Diofanto que leyera Fermat, no era algebrista, sino el autor de un libro llamado Agradables y deleitables problemas a ser resueltos con números. Su edición de Diofanto fue bilingüe, en griego y latín, y la publicó en 1621.

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 29 de Marzo, 2015, 13:02

Hoy encuentro este fragmento de Pascal, lo escribió en el prefacio de su Tratado del Vacío:

... From this, we see that by a particular prerogative, not only does each man advance day by day in the sciences, but all men together make continual progress as the universe ages, because the same thing happens in the aging of mankind as a whole as happens during the aging of a single man. Thus, the entire body of mankind, over many centuries, must be considered as a single man, who lives forever and continues to learn [...]. Those whom we call the ancients were truly new in all things, and form the childhood of mankind; as we have added to their knowledge the experience of the centuries which followed them, it is in ourselves that we should seek the antiquity which we dream of in others

En verdad, el avance humano de las ciencias (al menos en los últimos siglos) se basa en esa colaboración de todos los que tratan de ir armando ese edificio. Casi cualquier logro actual en ciencia tiene una rica historia, a lo largo de los siglos, de aciertos y fallos, de avance lento o rápido desarrollo. Por ejemplo, la teoría atómica, con las ideas iniciales (y equivocadas) de Demócrito, la clarificación de Lavoisier fundando la química moderna, la teoría de Dalton proponiendo el atomismo, las correcciones de varios a esa teoría, el uso de la hipótesis atómica por parte de Boltzman para explicar la entropía, y hasta el trabajo de Rutherford para ir desvelando la estructura atómica.

Encuentro el párrafo de Pascal, en el excelente libro Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 28 de Marzo, 2015, 15:10

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Veamos hoy de presentar un caso de función aritmética, que tiene su importancia en la teoría de números. Al principio no se verá claramente su utilidad, pero poco a poco veremos qué lugar ocupa en todo este espectro de funciones aritméticas. Fue definida y usada por Moebius, matemático alemán del siglo XIX. Para muchos de nosotros, es más conocido por la "cinta de Moebius". Algo que yo no conocía es que había sido astrónomo también.

Bien, la función de Moebius se define para 1:

Usando la letra griega mu. Algo simple, ¿no? Bueno, ahora necesitamos saber cuánto vale para los otros números naturales. Lo que pone de manifiesto la función mu es si un número n es o no divisible por un cuadrado. Para eso se pone que cuando n se descompone en potencias de primos distintos:

Entonces, si todos los exponentes son 1:

El valor de mu(n) es:

Donde k es claramente la cantidad de factores primos distintos que componen n. Observemos que hay una paridad: el resultado puede dar 1 o -1, dependiendo de si la cantidad de primos que componen n es par o impar, respectivamente. En cualquier otro caso, n tiene entonces algún factor primo elevado a la por lo menos 2, y entonces es divisible por el cuadrado de un primo. En esos casos, la notable función mu toma el valor 0:

Y digo notable, porque a primera vista, es algo rara esta definición. Pero es tan simple y poderosa, como vamos a estudiar, que revela algo que llama la atención en matemáticas. Vamos a ver cómo esta función tiene propiedades simples por sí misma, y cómo se puede ir combinando con otras funciones aritméticas.
No conozco la historia en detalle de esta función. Al parecer, ya la usó Euler implícitamente en fecha tan temprana como 1748, pero fue Moebius en 1832 el primero en investigar sus propiedades sistemáticamente.

Si leemos el artículo de la Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function

Vemos que no solamente se usa en teoría de números, sino también en combinatoria. Y la paridad que hemos notado, hasta aparece en una rama física de supersimetría, distinguiendo entre fermiones y bosones en un gas de Riemann. Y hasta se puede derivar de la función mu la función de Mertens, que cosas vederes Sancho, tiene que ver con la hipótesis de Riemann, que estoy estudiando en otra serie de posts.

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Publicado el 26 de Marzo, 2015, 15:01

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Angel Developers – bypassing the Founder"s Dilemma | Startup noodle
http://www.startupnoodle.com/angel-developers-bypassing-the-founders-dilemma/

Presentando Tecnocial - Charlie don't code
http://charliedontcode.com/tecnocial/2013/01/17/presentando-tecnocial.html

Creando una startup: los cuatro pasos que debes cumplir antes de tener "la idea"
http://pulsosocial.com/2012/05/02/creando-una-startup-los-cuatro-pasos-que-debes-cumplir-antes-de-tener-la-idea/

Qué es un MVP. Minimum Viable Product.
http://charliedontcode.com/startups/2013/01/06/lean-startup-mvp.html

Maratón Lean Startup: la experiencia Buenos Aires | Wayra Argentina
http://ar.wayra.org/es/noticia/maraton-lean-startup-la-experiencia-buenos-aires

Serial Entrepreneurs Are More Successful - Forbes
http://www.forbes.com/sites/patrickhull/2012/12/12/serial-entrepreneurs-are-more-successful/

Resumen de un fin de semana de locura emprendedora | conGestión de Personas
http://congestiondepersonas.com/2012/12/resumen-de-un-fin-de-semana-de-locura-emprendedora/

The secret algorithm one VC firm uses to pick entrepreneurs — Tech News and Analysis
http://gigaom.com/2012/12/23/the-secret-algorithm-one-vc-firm-uses-to-vet-entrepreneurs/

Tim O"Reilly"s Key to Creating the Next Big Thing | Wired Business | Wired.com
http://www.wired.com/business/2012/12/mf-tim-oreilly-qa/

Uruguay como destino para emprendedores e inversores
http://www.uberbin.net/archivos/mercados/uruguay-como-destino-para-emprendedores-e-inversores.php

Your Business is Not Your Baby | Inc.com
http://www.inc.com/chris-heivly/your-business-is-not-your-baby.html

2 Women Serial Entrepreneurs Tell All | Inc.com
http://www.inc.com/leigh-buchanan/women-entrepreneurs-tell-all.html

Top 10 Ed-Tech Startups of 2012
http://hackeducation.com/2012/12/21/top-10-ed-tech-startups-of-2012/

Don"t be a "Wantrapreneur" - The Accelerators - WSJ
http://blogs.wsj.com/accelerators/2012/12/20/dont-be-a-wantrapreneur/

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Emprender