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Publicado el
17 de Junio, 2013, 10:11
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Publicado el
16 de Junio, 2013, 14:28
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Hay dos maneras de clasificar las formas: ya sea por el orden, o sino, por la cantidad de variables que contienen. En este último caso hay nombres especiales para las formas, por lo menos para una cantidad pequeña de variables:
1 . m = 1. Formas unarias. La forma general es
2. m = 2. Formas binarias. La expresión general es
Y el número de términos es n + 1.
3. m = 3. Formas ternarias.
4. m = 4. Formas cuaternarias.
5. m = 5. Formas quinarias.
6. m = 6. Formas senarias.
La terminología para m = 1, 5, 6 es poco usada. Veamos de determinar el número de términos de una forma general. Sea
el número de términos de una forma general de orden n y con m variables. Ya conocemos que
Entonces afirmamos que la fórmula deseada es:
Veamos. La fórmula es válida para m = 2. Tenemos que probar que es válida para otros valores de m, y podemos hacerlo por inducción. Para eso podemos usar una fórmula por recursión que puede ser derivada como sigue. Sea
una forma de orden n. Entonces, en el caso general tenemos la expresión
Se sigue:
Y entonces también:
Restamos ambas fórmulas, quedando:
lo que da
Ahora viene el paso delicado. Veamos si hay una diferencia entre nuestra función y la fórmula propuesta. Examinemos:
Operando:
Pero recién habíamos obtenido:
Y por otro lado:
es igual a
Queda:
Pero esto es 0, por hipótesis inductiva sobre m. Queda:
Llegando a:
Queda entonces que la fórmula propuesta es válida para cualquier n, m.
La deducción es algo larga, pero se reduce a probar la fórmula por inducción.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
14 de Junio, 2013, 10:43
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13 de Junio, 2013, 7:22
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Termino hoy con la traducción del prefacio de David Hilbert a su Zahlbericht:
El objetivo del presente reporte es describir los resultados de la teoría de los campos de números algebraicos, con sus pruebas, en un desarrollo lógico y desde un punto de vista unificado, y así contribuir ha acercar el tiempo donde los logros de nuestros grandes autores clásicos de la teoría de números sean la propiedad común de todos los matemáticos. Argumentos históricos y aún discusiones sobre prioridad han sido completamente dejados de lado. Para permitirme confinar la descripción a un espacio relativamente pequeño he tenido buscar las fuentes más productivas y cuando alguna alternativa se presentaba siempre le he dado preferencia a las más agudas y ampliamente usadas herramientas. La cuestión de decidir cuál de varias pruebas es la más simple y más natural no puede en muchos casos ser dirimida en lo abstracto, sino solamente luego de haber examinado si los principios que las sustentan puede ser generalizados y usados para más investigación, entonces obtendremos una respuesta segura.
La primera parte del reporte trata de la teoría general de campos de números algebraicos; esta teoría se nos aparece como un edificio poderoso soportado por tres pilares fundacionales: el teorema de la factorización única en ideales primos, el teorema de la existencia de unidades y la expresión trasncendetal del número de clase. La segunda parte contiene la teoría de campos de números de Galois en la cual también las leyes de la teoría general son incluidas. La tercera parte está dedicada al ejemplo clásico de los campos cuadráticos. La cuarta parte trata de los campos ciclotómicos. Finalmente la quinta parte desarrolla la teoría de esos campos a los que Kummer tomó como base para su investigación de leyes de reprocidad más altas y basado en ese estudio las he bautizado con su nombre. Es claro que la teoría de estos campos de Kummer representa el pico más alto alcanzado hoy por el conocimiento de la aritmética; desde ahí vemos el amplio panorama de todo el dominio explorado desde que las ideas esenciales y los conceptos de la teoría de campos, al menos en una configuración especial, encuentra una aplicación en la prueba de las leyes de reciprocidad más altas. He tratado de evitar el elaborado artefacto computacional de Kummers, de tal manera que aquí tambien el principio de Riemann puede ser invocado y las pruebas se completan no por cálculo sino puramente por ideas.
Hay mucho para comentar, como la relación del trabajo de Kummer con otros. Pero es interesante cómo Hilbert vuelve a preferir probar "por ideas", como cuando se dedica a los invariantes.
Las teorías tratadas en las tercera, cuarta y quinta partes son todas teorías de campos particulars abelianos o relativamente abelianos. Un ejemplo adicional de ese tipo de teorías es la multiplicación compleja de funciones elípticas, en la que entendemos es una teoría de esos campos de números que son extensiones abelianas de un campo dado imaginario cuadrático. A estos estudios de multiplicación compleja deben, sin embargo, ser negada su inclusión en el presente reporte desde que los resultados de esta teoría no han sido aún logrado un nivel de simplicidad y completitud que permita dar una descripción satisfactoria.
La teoría de campos de números es una estructura de una belleza y armonía maravillosas; la parte más ricamente dotada de esta estructura me parece que es la teoría de campos abelianos y relativamente abelianos en los que Kummer con su trabajo sobre leyes de reprocidad más altas y Kronecker con sus estudios en la multiplicación compleja y funciones elípticas nos han revelado. La profunda penetración en esta teoría por medio del trabajo de estos dos matemáticos nos dieron nos muestra al mismo tiempo que este campo de conocimiento y abundancia de preciosos tesoros todavía permanece oculto, ofreciendo una rica recompensa al estudioso que conoce el valor de esas gemas y que ama aplicar su habilidad para ganarlas.
Las cinco partes de este reporte que describimos arriba están dividas en capítulos y secciones, y en ellos siempre enunciamos los teoremas y lemas primero, y luego sus pruebas. Pienso en el lector como en un viajero: los lemas son paradas al borde del camino; los teoremas son grandes estaciones señaladas por adelantado en donde la actividad de la mente puede descansar. Aquellos teoremas que de acuerdo a su fundamente significado son destinos principales o los que parecen convenientemente destacados como putos de partida para otros avances en regiones aún sin descubrir son expuestos en itálica; estos son los teoremas 7, 31, 40, 44, 45, 47, 56, 82, 94, 100, 101, 131, 143, 144, 150, 158, 159, 161, 164, 166,
167.
Mi amigo Hermann Minkowski ha leído las pruebas de este reporte con gran cuidado; también ha leído gran parte del manuscrito. Sus sugerencias han llevado a muchas significativas mejoras, tanto en contenido como en presentación. Por toda su ayuda le ofrezco mis más sinceras gracias.
Mis gracias también van a mi esposa, que transcribió el manuscrito completo y preparó el índice.
Finalmente debo reconocer con agradecimiento a la Editorial Committee of the Deutsche Mathematiker-Vereinigung, en particular a Mr A. Gutzmer por leer las pruebas, y a los editores de George Reimer por su amplia cooperación para la producción de la versión impresa.
Gottingen, 10 April 1897 David Hilbert
Como declaraba en otro post, espero poder escribir algunos detalles de este trabajo.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
9 de Junio, 2013, 15:17
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Publicado el
5 de Junio, 2013, 6:50
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Hacía un tiempo que no escribía sobre el tema. Esta es una serie de notas personales, más que un estudio ordenado del tema. Son notas para servir de base. Las paso por escrito para no perderlas.
Nota 2
Ver Feynman Diagrams for the Masses (part 1) del bueno de Carl Brennan. Leo ahí:
In the usual way of doing physics, one obtains Feynman diagrams after making a guess at the Lagrangian density. Joseph Louis Lagrange was an 18th century mathematician. The Lagrangian is roughly the kinetic energy minus the potential energy. If we choose a particular form for the kinetic and potential energies we can write down the Lagrangian. From the Lagrangian we can compute the equations of motion. We do this by varying the Lagrangian, that is, by computing the Lagrangian for a set of possible paths and picking a path for which small changes to the path do not change the Lagrangian. Such a path is a possible sequence of values for the positions of our particles (and their momenta). The equations of motion will show up as a set of coupled differential equations.
For a wave theory, like quantum mechanics, the kinetic and potential energies are defined at each point in space-time as a functional of the fields. With  the wave function, T the kinetic energy, and V the potential energy, one could write the Lagrangian as:
También describe lo que es un propagador, funciones de Green, relación con Fourier, etc... Leo:
In the usual way of doing physics, one obtains Feynman diagrams after making a guess at the Lagrangian density. Joseph Louis Lagrange was an 18th century mathematician. The Lagrangian is roughly the kinetic energy minus the potential energy. If we choose a particular form for the kinetic and potential energies we can write down the Lagrangian. From the Lagrangian we can compute the equations of motion. We do this by varying the Lagrangian, that is, by computing the Lagrangian for a set of possible paths and picking a path for which small changes to the path do not change the Lagrangian. Such a path is a possible sequence of values for the positions of our particles (and their momenta). The equations of motion will show up as a set of coupled differential equations.
For a wave theory, like quantum mechanics, the kinetic and potential energies are defined at each point in space-time as a functional of the fields. With the wave function, T the kinetic energy, and V the potential energy, one could write the Lagrangian as: 
. Instead of getting an equation of motion for the particles, we get a set of coupled partial differential equations. The partial derivatives show up because of the dependency on position.
If we turned off the interaction, the equations of motion we would get from the Lagrangian in the usual QFT technique would be something like Schrödinger"s equation or Dirac"s equation. The propagators (Green"s functions) for these equations of motion are well known. What is not known are the propagators for the more complicated equations of motion that would give the full Lagrangian. Such a propagator is called "exact". We will direct our effort at this sort of problem, that is, finding the exact propagators (or an approximation to them) for complicated Lagrangians.
Y sigue con la discusión ahí.
Sobre Carl Brennan:
Carl Brannen is well known to the regulars of this blog. He is an independent researcher and my favourite non-professional theorist, because he gives me the hope that brilliant minds, who were diverted from the natural path of doing basic research, may return to it for good. And Carl provides us with another important proof: that institutionalized science does sometimes listen to the voice of those who have something to say regardless of who signs their monthly paycheck. It may give them a hard time getting their papers published, though.
Lo encuentro citado en Guest Post: Carl Brannen, "Position, Spin, And The Particle Generations"
Nota 2
Encuentro lagrangianos en el artículo de Gauge Theory de la Wikipedia. Por ejemplo:
An example: Scalar O(n) gauge theory [edit]- The remainder of this section requires some familiarity with classical or quantum field theory, and the use of Lagrangians.
- Definitions in this section: gauge group, gauge field, interaction Lagrangian, gauge boson.
The following illustrates how local gauge invariance can be "motivated" heuristically starting from global symmetry properties, and how it leads to an interaction between fields which were originally non-interacting.
Trata el tema de lagrangiano con simetría global, y luego pasa a local:
Now, demanding that this Lagrangian should have local O(n)-invariance requires that the G matrices (which were earlier constant) should be allowed to become functions of the space-time coordinates x.
Unfortunately, the G matrices do not "pass through" the derivatives,....
Más adelante:
The difference between this Lagrangian and the original globally gauge-invariant Lagrangian is seen to be the interaction Lagrangian 
This term introduces interactions between the n scalar fields just as a consequence of the demand for local gauge invariance.
Ver Interaction Lagrangian. Y por supuesto, tenía que llegar a estas nodas: Lagrangian.
The Lagrangian, L, of a dynamical system is a function that summarizes the dynamics of the system. It is named after Joseph Louis Lagrange. The concept of a Lagrangian was introduced in a reformulation of classical mechanics introduced by Joseph Louis Lagrangein 1788, known as Lagrangian mechanics.
Y ver Hamiltonian mechanics:
Hamiltonian mechanics is a theory developed as a reformulation of classical mechanics and predicts the same outcomes as non-Hamiltonian classical mechanics. It uses a different mathematical formalism, providing a more abstract understanding of the theory. Historically, it was an important reformulation of classical mechanics, which later contributed to the formulation of thequantum mechanics.
Hamiltonian mechanics was first formulated by William Rowan Hamilton in 1833, starting fromLagrangian mechanics, a previous reformulation of classical mechanics introduced by Joseph Louis Lagrange in 1788.
Como ven, son temas que nos van llevando por todos lados. De ahí, que tenga que escribir estas notas ;-).
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
4 de Junio, 2013, 7:04
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Publicado el
3 de Junio, 2013, 18:47
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Publicado el
1 de Junio, 2013, 6:35
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Sigo con mis resoluciones mensuales. Son pequeños pasos que me acercan a lo que quiero hacer. Reviso el mes pasado:
- Escribir post sobre descenso infinito [completo] post
- Escribir segundo post sobre serie p = x2 + y2 [completo] post
- Escribir tercer post del teorema de la base de Hilbert [completo] post
- Escribir nuevo post de mi serie de topología general [completo] post
- Escribir primer post sobre nueva serie de teoría de números [completo] post
- Estudiar teoría de números [completo]
Además, estuve publicado
- Davild Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos [completo] post, post
Planeo el nuevo mes:
- Escribir segundo post de mi serie sobre teoría de números
- Escribir primer post sobre Fermat n = 3
- Escribir tercer post sobre serie p = x2 + y2
- Escribir cuarto post del teorema de la base de Hilbert
- Escribir segundo post de mi serie sobre la ecuación de Schrodinger
- Escribir segundo post de Invariantes Algebraicos de Hilbert
- Seguir estudiando teoría de números
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
31 de Mayo, 2013, 13:13
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Publicado el
29 de Mayo, 2013, 7:50
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Sigo traduciendo el prefacio de David Hilbert a su trabajo Teoría de Números Algebraicos, conocido como Zahlbericht:
Hemos visto hasta ahora cómo la aritmética, la reina de las matemáticas, ha conquistado amplias áreas del álgebra y de la teoría de funciones y se ha transformado en su líder. La razón para que esto no sucediera antes y se hubiera desarrollado más extensivamente, me parece que recide en que la teoría de números solamente en años recientes ha alcanzado su madurez. Aún Gauss se quejaba del esfuerzo desproporcionado que le costó determinar el signo de una raíz cuadrada en teoría de números: "muchos otros temas me tomaron días y éste me tomó años", y entonces, "como un rayo de luz", él "solucionó el misterio". En nuestros días el progreso errático característico de las etapas tempranas de desarrollo de un tema ha sido reemplazado por un continuo y firme progreso gracias a la construcción sistemática de la teoría de campos de números algebraicos.
La conclusión, si no estoy equivocado, es que todos los modernos desarrollos de la matemática pura se realizan bajo los auspicios del número: las definiciones de Dedekind y Kronecker de los conceptos fundamentales de la aritmética y la construcción general de Cantor del concepto de número nos llevan a una aritmetización de la teoría de funciones y nos sirve para darnos cuenta del principio que aún en teoría de funciones un hecho lo podemos tomar como probado solamente cuando en último recurso es reducido a relaciones entre enteros racionales. La aritmetización de la geometría es acompañada por las modernas investigaciones en geometría no euclideana en las cuales es una cuestión de construcción estrictamente lógica del tema y la más directa posible y completamente satisfactoria introducción del número en la geometría.
Realmente, al tiempo de la escritura de este reporte (finales del siglo XIX), la teoría de números había alcanzado su mayoría de edad. Pero seguiría curiosos caminos para mantenerse viva y activa. Apenas he empezado con mi serie de posts elementales sobre el tema, espero llegar o tener una serie sobre los campos de números que menciona Hilbert.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
27 de Mayo, 2013, 6:00
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Sigo con la demostración del teorema de la base de Hilbert. Ya estuvimos viendo de obtener un ideal derivado de cualquier ideal I de R[x]. Algo de notación. Sea:
El conjunto de los Pi que encontramos en el anterior post:
...
Entonces, nuestro ideal derivado es:
Donde los Sj son polinomios cualesquiera de R[x]. Si este ideal I1 fuera igual a I, nuestro ideal inicial, quedaría demostrado el teorema. Pero bien puede que no sea el caso: pueden quedar polinomios de I que estén fuera de I1. Veamos que estos polinomios que "quedan fuera" de I están cerca de I1.
Sea Pm el polinomio de mayor grado de P, y sea n ese grado mayor. Todo polinomio F(x) de I se puede expresar entonces como:
Donde Q(x) es un polinomio con grado menor que n. ¿Cómo podemos demostrar esto? Viendo que a todo F(x) con grado l >= n se le puede anular su término de mayor grado con algún polinomio de I1. ¿Cómo es eso? Sea F(x):
Ese coeficiente c que tiene el término de mayor grado, es elemento del ideal formado por todos los coeficientes de mayor término de I. Entonces, debe ser expresado como:
Por haber tomados los ai como base generadora de ese ideal. Entonces existe F"(x) perteneciente a I1 con:>
Con lo que a F(x) se le puede quitar su término principal. Y así seguimos, hasta que F(x) no tenga más términos de grado >= n. Lo que queda del polinomio inicial será el Q(x) que estamos buscando. Y como Q(x) es la resta de un polinomio de I menos un polinomio de I1, es entonces un polinomio de I (recordemos que I1 está incluido en I).
Sea entonces Q el conjunto de todos esos Q(x):
Bien puede ser que Q sea infinito. No importa, genera un ideal:
Tal que como vimos es:
En el próximo post veremos de operar este ideal para obtener otro ideal I2. No se preocupen, ya estamos cuesta abajo, no vamos a seguir hasta I1234 ;-)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
26 de Mayo, 2013, 7:42
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Este post es el primer paso en un largo camino. Ya escribí sobre algunos temas aislados, pero ya es tiempo de escribir de una forma más ordenada. Ya que esto es teoría de números, veamos primero los números.
Para los griegos, los números eran múltiplos de una unidad. La unidad podía variar, pero al fin, todo eran números naturales. Esos son los primeros números que tratemos. Resolver ecuaciones como:
Nos basta con conocer el número natural 2. Pero para pasar a resolver ecuaciones como:
Tenemos que recurrir a números "no naturales": un simple pero negativo -3. No fue fácil la aceptación de los números negativos en matemáticas. Aún en el siglo XIX, matemáticos de primera línea ponían a las soluciones negativas como "soluciones a problemas mal planteados". Si pasamos a la ecuación general:
Con a, b enteros, ¿cuándo tendremos solución x entera? Pues ya conocen la respuesta: cuando a divida a b. Y aquí la "dificultad" de los enteros: si bien dado un entero a, siempre existe un entero que sea su inverso ante la suma (el entero –a), no siempre todo entero tiene inverso multiplicativo: la división –b/a que daría la solución de la ecuación de arriba, NO SIEMPRE ESTA DEFINIDA en el dominio de los enteros.
Tenemos que investigar la divisibilidad. Cuando b es múltiplo de a, es porque existe un entero m tal que:
Vamos a escribir "a divide a b" con la notación:
No siempre todo b es divisible por a. Tomemos el caso más fácil: hay números que son divisibles por 2, son los pares. Hay números que no son divisibles por 2, y son los impares. Desde los tiempos de Pitágoras se sabe que par sumado a par da par, par mas impar da impar, par multiplicado por par da par, par multiplicado por impar da par. Generalicemos algunos de estos resultados.
Sea
Entonces
Pues es fácil ver que lo primero es:
Sumando queda
Donde se ve que b mas c es múltiplo de a. Ahora bien, sea que sabemos que a divide b mas c. ¿Puede a dividir a b? Pues no siempre. Puede que sí como puede que no. 5 divide a 8 + 2 = 10, pero no divide a 8 ni a 2. Pero sí podemos decir que si
Entonces a divide a cualquier múltiplo de b:
Si tenemos
¿Podemos decir que
O
? No siempre. 10 divide a 5*4, pero no divide ni a 5 ni a 4. Veremos más adelante que si a es número primo, entonces sí, o divide a b o divide a c. Pero no nos adelantemos, todavía no vimos números primos.
Veamos un resultado importante. Sean a, b enteros cualesquiera, entonces siempre existen s, r tales que:
Es el teorema del resto. Para demostrarlo tomemos todos los números:
Variando s por todos los números enteros. Nos quedamos con los no negativos. Por propiedad de los naturales, hay un menor número en ellos:
Ahora el s está fijo. Tendríamos que demostrar que r es menor que |a|. Limitémonos al caso a positivo. Si r fuera mayor o igual a a, entonces:
Y r no hubiera sido el menor, como lo habíamos tomado. Este pequeño teorema va a ser muy importante en lo que vamos a explorar.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
24 de Mayo, 2013, 7:38
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En el post Fermat y el Método de Descenso Infinito mencioné este método de demostración usado por Fermat. Quiero escribir hoy un ejemplo sencillo. De hecho, no es el ejemplo más común de este método, porque para lo que vamos a demostrar en general se usa otro camino. Pero me servirá como introducción del tema en este primer post de la serie.
Sea demostrar que la raíz cuadrada de 3 no es un número racional. Supongamos que
Donde a, b son naturales. Podría haber más de una fracción así. Por ejemplo, ½, 2/4, son el mismo número.
Entonces, elevando al cuadrado:
Multiplicamos por b ambos lados:
Por ser 3 primo, resulta que a es múltiplo de 3. Sea
Se siguen entonces:
Por lo mismo, b es múltiplo de 3, y entonces:
El número d es menor que b. Y por la última relación, se sigue:
Llegamos a
Es decir, conseguimos OTRA FRACCION expresando el mismo supuesto racional, la raíz cuadrada de 3. Pero esta vez, el denominador d es menor que el de la anterior fracción, el denominador b. Podemos repetir SIEMPRE la operación que hicimos, y seguiremos obteniendo nuevas fracciones, cada una con el denominador menor que la anterior. No terminan nunca. Pero es claro que el denominador no puede decrecer para siempre: hemos considerado números naturales. Llegamos a contradicción.
Una forma más moderna hubiera sido partir con el conjunto de todos los a/b con a, b naturales, que sean la raíz cuadrada de tres, suponer que no es vacío, y tomar el par que tenga b menor (por propiedad de los naturales, todo conjunto de números naturales no vacío tiene un mínimo). Y con el procedimiento anterior, llegar a obtener otro par a, b con denominador menor al tomado, contradicción.
Si estuvieron atentos, ésta no es la forma más habitual de demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de 3. Lo más conocido es: tomar a/b con a, b sin factores comunes, y con el procedimiento anterior, ver que tienen un factor común, el 3, llegando a contradicción.
En próximos posts veremos aplicaciones no triviales del descenso infinito. Por ejemplo, en el "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch, hay otra demostración de la irracionalidad de 3 usando descenso infinito. Ver también:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent
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Publicado el
22 de Mayo, 2013, 17:05
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Un tema que sigo desde hace casi tres décadas. Recuerdo haberlo encontrado varias veces en los artículos de los ochenta de Investigación y Ciencia, por ejemplo, un artículo ya clásico de Gerard t'Hooft. Si se interesan en este tema, pasearan por gran parte de la física matemática moderna y clásica.
Les agrego dos enlaces:
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027 preparation for gauge theory, muy bueno, tiene todo gauge, group, lagrangian, dirac, electromagnetism, etc. para intrépidos aficionados a la física matemática.
http://terrytao.wordpress.com/2008/09/27/what-is-a-gauge/ muy buena intro, algo habia leido antes, ver si lo tengo impreso
http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories de hooft, muy bueno
http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_gauge_theory la introducción más fácil
In physics, gauge invariance (also called gauge symmetry) is the property of a field theory in which different configurations of the underlying fields — which are not themselves directly observable — result in identical observable quantities. A theory with such a property is called a gauge theory. A transformation from one such field configuration to another is called a gauge transformation.[1][2]
Modern physical theories describe reality in terms of fields, e.g., the electromagnetic field, the gravitational field, and fields for the electron and all other elementary particles. A general feature of these theories is that none of these fundamental fields, which are the fields that change under a gauge transformation, can be directly measured. On the other hand, the observable quantities, namely the ones that can be measured experimentally — charges, energies, velocities, etc. — do not change under a gauge transformation, even though they are derived from the fields that do change. This (and any) kind of invariance under a transformation is called a symmetry.
For example, in electromagnetism the electric and magnetic fields, E and B, are observable, while the potentials V ("voltage") and A (the vector potential) are not.[3] Under a gauge transformation in which a constant is added to V, no observable change occurs in E or B.
With the advent of quantum mechanics in the 1920s, and with successive advances in quantum field theory, the importance of gauge transformations has steadily grown. Gauge theories constrain the laws of physics, because all the changes induced by a gauge transformation have to cancel each other out when written in terms of observable quantities. Over the course of the 20th century, physicists gradually realized that all forces (fundamental interactions) arise from the constraints imposed by local gauge symmetries, in which case the transformations vary from point to point in space and time. Perturbative quantum field theory (usually employed for scattering theory) describes forces in terms of force mediating particles called gauge bosons. The nature of these particles is determined by the nature of the gauge transformations. The culmination of these efforts is the Standard Model, a quantum field theory explaining all of the fundamental interactions except gravity.
Ahora, la lista original que había preparado:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory
In physics, a gauge theory is a type of field theory in which the Lagrangian is invariant under a continuous group of local transformations.
The term gauge refers to redundant degrees of freedom in the Lagrangian. The transformations between possible gauges, called gauge transformations, form a Lie group which is referred to as thesymmetry group or the gauge group of the theory. Associated with any Lie group is the Lie algebra of group generators. For each group generator there necessarily arises a corresponding vector field called the gauge field. Gauge fields are included in the Lagrangian to ensure its invariance under the local group transformations (called gauge invariance). When such a theory is quantized, the quanta of the gauge fields are called gauge bosons. If the symmetry group is non-commutative, the gauge theory is referred to as non-abelian, the usual example being the Yang–Mills theory.
Many powerful theories in physics are described by Lagrangians which are invariant under some symmetry transformation groups. When they are invariant under a transformation identically performed at every point in the space in which the physical processes occur, they are said to have a global symmetry. The requirement of local symmetry, the cornerstone of gauge theories, is a stricter constraint. In fact, a global symmetry is just a local symmetry whose group's parameters are fixed in space-time.
Gauge theories are important as the successful field theories explaining the dynamics of elementary particles. Quantum electrodynamics is an abelian gauge theory with the symmetry group U(1)and has one gauge field, the electromagnetic four-potential, with the photon being the gauge boson. The Standard Model is a non-abelian gauge theory with the symmetry group U(1)×SU(2)×SU(3)and has a total of twelve gauge bosons: the photon, three weak bosons and eight gluons.
Gauge theories are also important in explaining gravitation in the theory of general relativity. Its case is somewhat unique in that the gauge field is a tensor, the Lanczos tensor. Theories ofquantum gravity, beginning with gauge gravitation theory, also postulate the existence of a gauge boson known as the graviton. Gauge symmetries can be viewed as analogues of the principle of general covariance of general relativity in which the coordinate system can be chosen freely under arbitrary diffeomorphisms of spacetime. Both gauge invariance and diffeomorphism invariance reflect a redundancy in the description of the system. An alternative theory of gravitation, gauge theory gravity, replaces the principle of general covariance with a true gauge principle with new gauge fields.
Historically, these ideas were first stated in the context of classical electromagnetism and later in general relativity. However, the modern importance of gauge symmetries appeared first in therelativistic quantum mechanics of electrons – quantum electrodynamics, elaborated on below. Today, gauge theories are useful in condensed matter, nuclear and high energy physics among other subfields.
Gauge symmetry (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_symmetry_(mathematics)
Lectures on Topology and Fields
http://www.youtube.com/watch?v=JcF8SdeTgYw&list=PL80A29806A2EA6B1A
The Stand-Up Physicist: Gauge Symmetries in the Lagrangian AND the Field Equations - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=VMVAwucqjPM
Gauge covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_covariant_derivative
Phys. Rev. D 24, 471 (1981): Incompatibility of unitarity and gauge symmetry in the SL(2,C) Yang-Mills field theory
http://prd.aps.org/abstract/PRD/v24/i2/p471_1
Confusiones típicas de los físicos sobre el problema del salto de masa en teorías de Yang-Mills puras « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/14/el-problema-del-salto-de-masa-en-las-teorias-de-yang-mills-puras-y-la-masa-de-los-gluones/
Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing
The Coulomb or Transverse Gauge
http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/node32.html
Quantization of Gauge Theories
http://eduardo.physics.illinois.edu/phys582/582-chapter9.pdf
Professor Eduardo Fradkin, argentino
[1003.5179] Gauge fields in graphene
http://arxiv.org/abs/1003.5179
Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/15/los-conceptos-de-campo-particula-particula-virtual-y-vacio/
Gauge covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_covariant_derivative
Teleparallel Gravity as a Higher Gauge Theory | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/04/teleparallel_gravity_and_highe.html
Emmy Noether and The Fabric of Reality - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=1_MpQG2xXVo&feature=related
Particle physics and representation theory - Wikipedia, the ...
http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_physics_and_representation_theory
Group Theory and Elementary Particles
http://www.cmi.ac.in/~shreyas/grpth.pdf
(canonical) quantization of teleparallel gravity
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=354048
Teleparallelism - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Teleparallelism
Gauge theories
http://theory.sinp.msu.ru/comphep_old/tutorial/node1.html
http://theory.sinp.msu.ru/comphep_old/tutorial/node98.html
Lagrangian of Higgs field
http://theory.sinp.msu.ru/comphep_old/tutorial/node106.html
Conference on Higher Gauge Theory, Quantum Gravity, and Topological Field Theory « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2010/12/18/conference-on-higher-gauge-theory-quantum-gravity-and-topological-field-theory/
Higher Gauge Theory, TQFT and Quantum Gravity in Lisbon | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/12/higher_gauge_theory_tqft_and_q.html
Phys. Rev. D 24, 471 (1981): Incompatibility of unitarity and gauge symmetry in the SL(2,C) Yang-Mills field theory
http://prd.aps.org/abstract/PRD/v24/i2/p471_1
Introduction to gauge theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_gauge_theory
An Invitation to Higher Gauge Theory (Again) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/an_invitation_to_higher_gauge_1.html
Division Algebras and Supersymmetry II | The n-Category Café
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Publicado el
22 de Mayo, 2013, 7:00
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Lo mío es un apostolado ;-) Sigo disfrutando de la traducción del prefacio de David Hilbert a su Zahlbericht.
La teoría de números comparte relaciones recíprocas, no es solamente con en el álgebra, sino también con la teoría de funciones. Recordemos las numeros y remarcables analogías que subsisten entre ciertos resultados de la teoría de campos de números y la teoría de campos de funciones algebraicas de una variable; pensemos también en las profundas investigaciones de Rienmann por las que la respuesta a la pregunta sobre la distribución de números primos se hace depender del conocimiento de los ceros de cierta función analítica. De nuevo, la transcendencia de los números e y pi es una propiedad aritmética de una función analítica, la función exponencial. Finalmente, el importante método, de largo alcance, creado por Lejeune Dirichlet para la determinación del número de clase de un campo de números se basa en fundamentos analíticos.
Y también al nivel más profundo, las funciones periódicas y ciertas funciones con autotransformaciones lineales tocan la esencia del número; entonces la función exponencial e ^ (2 pi iz) se entiende como invariante para los enteros racionales en el sentido de que es la solución fundamental de la ecuación funcional f(z + 1) = f(z). Aún más, Jacobi ya había notado la relación cercana entre la teoría de funciones elípticas y la teoría de las irracionales cuadráticas [quadratic irrationalities]; él había sugerido que en el trabajo de Gauss la idea mencionada antes de introducir enteros imaginarios en la forma a + bi no nace de principios puramente aritméticos sino que fue motivado por el trabajo contemporáneo de Gauss sobre las funciones de la lemniscata y sus multiplicaciones complejas. Las funciones elípticas para valores adecuados de sus periodos y las funciones elípticas modulares en todos los casos son invariantes de los enteros en algún campo de números fijo imaginario cuadrático. Estas funciones que nosotros hemos llamado invariantes tienen el poder de producir soluciones a ciertos profundos y difíciles problemas concernientes a los correspondientes campos de números; y, a su vez, la teoría de las funciones elípticas está en deuda con esas ideas aritméticas y aplicaciones que le dieron un nuevo estímulo.
Tantos temas a visitar (ya vendran posts ;-). Vean cómo Hilbert destaca la relación entre distintas ramas, que hoy, tal vez, estudiamos por separado. Un matemático se aprovecha de cualquier lazo que haya de una teoría a otra. Noten la importancia de no perder esas relaciones, que nacieron en la historia, cuando uno estudia un tema en matemáticas. Hilbert no pierde nunca de vista esas relaciones, analogías, ideas que pasan de un tópico a otro, y vuelven renovadas. Los campos de números es un gran tema, las funciones elípticas otro, las ideas de Rienmann hoy todavía se discuten, la invariancia es otro monumento a estudiar. Curioso lo que piensa Jacobi sobre el origen de la gran idea de Gauss de usar enteros complejos. Sirva todo esto para mostrar que la teoría de números permea temas antiguos y modernos en las matemáticas. Tengo que proseguir con la traducción en siguientes posts.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
21 de Mayo, 2013, 10:38
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Publicado el
20 de Mayo, 2013, 6:31
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Estamos preguntando cuáles números primos son suma de dos cuadrados. Antes de eso, preguntemos: ¿cuáles son los números que se pueden expresar como la suma de dos cuadrados?
Lo interesante del problema es que mezcla temas de suma (sumar dos cuadrados) con temas multiplicativos (números multiplicados por sí mismos para dar cuadrados). Veamos la suma de dos cuadrados en sí:
Hay una relación que nos puede ayudar, se sabe que:
Esto es interesante. Aparece la multiplicación de dos términos, en el lado derecho. Hmmmm… esto hace que si pensamos en números complejos, podemos transformar el –y2 en +y2 así:
Siendo i la raíz cuadrada de -1, esto es:
Queda
Siendo x, y naturales, tenemos que la suma de dos cuadrados es la multiplicación de dos números complejos conjugados. ESTO NO ERA EVIDENTE. Y ahora viene el siguiente "truco". Sería interesante obtener algo más de los dos términos que se multiplican a la derecha. Pero no hay mucho para obtener por ese camino. Sin embargo, si trasladamos el tema al lado izquierdo, podemos encontrar algo interesante. Vean, si hay otra suma de cuadrados:
Ahora viene el gran truco. Multiplicamos las dos últimas igualdades:
Bien, parece que no avanzamos mucho. PERO HAY LA SEMILLA DE ALGO. Reagrupando los términos de la derecha, se ve que:
Es el conjugado de
Pues desarrollando ambas expresiones queda:
Y se ve que son conjugados uno del otro, es decir, tienen la misma expresión compleja pero con signos distintos en el factor de i. Esto es otra forma de la propiedad de los complejos: el conjugado de la multiplicación de dos números complejos es igual la multiplicación de sus conjugados. Esto se ve más claramente si se usa para visualizar el plano complejo, y se recuerda que:
- Dos números complejos son conjugados cuando son simétricos respecto del eje horizontal x
- La multiplicación de dos números complejos implica la suma de sus ángulos con respecto al eje x, y la multiplicación de sus módulos.
Volviendo al tema, queda que la multiplicación de las dos sumas de cuadrados es:
Sorpresa: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da la suma de dos cuadrados. Pongamos un ejemplo en concreto, para fijar ideas:
Todo esto es notable. Veamos, consideremos el conjunto de los naturales que sean expresables como la suma de dos cuadrados. Llamémosle N2. Entonces, lo que mostramos arriba significa: si a, b pertenecen a N2, TAMBIEN su multiplicación ab pertenece a N2. A los matemáticos les gusta decir que N2 es cerrado para la multiplicación.
Vayamos un poco más allá. Si encontramos todos los números primos que son suma de dos cuadrados, todos los números que resulten de su multiplicación TAMBIEN serán suma de dos cuadrados. De un golpe y plumazo hemos encontrado una gran cantidad de números que son la expresión de dos cuadrados. No sabemos si los encontramos todos, y tampoco si son infinitos. Pero si llegamos a demostrar el teorema de esta serie de posts, vamos a demostrar que una infinidad de números naturales se pueden expresar como suma de dos cuadrados.
Algo más: en el reordenamiento de las multiplicaciones para conseguir números conjugados, también podríamos haber puesto:
Que también son conjugados, habiendo obtenido otra expresión más del número final en la suma de dos cuadrados.
Fermat ya conocía estas relaciones. Con el tiempo, aprendí que se las llama la identidad de Fibonacci y Brahmagupta, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta-Fibonacci_identity
El problema general, determinar de cuántas maneras puede expresarse un número como suma de k cuadrados lo pueden ver en http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
19 de Mayo, 2013, 7:30
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Más enlaces y novedades. Incluso hay nuevos resultados sobre una conjetura de Goldbach, y la distribución de los números primos de a pares. Hace unos meses, estuve leyendo sobre densidad, un tema muy interesante donde se junta combinatoria y teoría de números.
abc: the story so far | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/abc-the-story-so-far/
Primes really do stick together | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/primes-really-do-stick-together/
"The author has succeeded to prove a landmark theorem in the distribution of prime numbers. … We are very happy to strongly recommend acceptance of the paper for publication in the Annals."
Posible avance en el estudio de los primos gemelos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/posible-avance-en-el-estudio-de-los-primos-gemelos/
Integer sequence review: A051200 | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/integer-sequence-review-a051200/
Primes gotta stick together | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/primes-gotta-stick-together/
(Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/parece-ser-que-demostrada-la-conjetura-debil-de-goldbach/
All odd integers greater than 7 are the sum of three odd primes! | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/all-odd-integers-greater-than-7-are-the-sum-of-three-odd-primes/
soft question - Why do we study prime ideals? - Mathematics Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/389837/why-do-we-study-prime-ideals
First proof that infinitely many prime numbers come in pairs : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989
The Paradox of the Proof | Project Wordsworth
http://projectwordsworth.com/the-paradox-of-the-proof/
On August 31, 2012, Japanese mathematician Shinichi Mochizuki posted four papers on the Internet.
The titles were inscrutable. The volume was daunting: 512 pages in total. The claim was audacious: he said he had proved the ABC Conjecture, a famed, beguilingly simple number theory problem that had stumped mathematicians for decades.
A Most Perplexing Mystery | Gödel's Lost Letter and P=NP
http://rjlipton.wordpress.com/2013/05/06/a-most-perplexing-mystery/
"[We] recommend to all cryptographic users to stop using medium prime fields."
Number theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory
Abel Prize to Pierre Deligne | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5674
Pierre Deligne wins the 2013 Abel Prize | Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2013/03/20/pierre-deligne-wins-the-2013-abel-prize/
The Aperiodical | The Abel Prize Laureate 2013: Pierre Deligne
http://aperiodical.com/2013/03/abel-prize-2013-pierre-deligne/
The work of Pierre Deligne
http://www.abelprize.no/c57681/binfil/download.php?tid=57753
by W.T.Gowers
The Aperiodical | ABC, as easy as pp1-40
http://aperiodical.com/2013/03/abc-as-easy-as-pp1-40/
A Panoramic Overview of Inter-universal Teichm¨uller Theory
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Panoramic%20Overview%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
On Fermat's Last Theorem for n = 3 AND n = 4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf
Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html
(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular
La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/
Lagrange's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem
Jacobi's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_four-square_theorem
15 and 290 theorems - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems
The 15 theorem of John H. Conway and W. A. Schneeberger (Conway–Schneeberger Fifteen Theorem), proved in 1993, states that if an integral quadratic form with integer matrix represents all positive integers up to 15, then it represents all positive integers.
Brun sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brun_sieve
Natural density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density
Schnirelmann density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density
FINE ASYMPTOTIC DENSITIES FOR SETS OF NATURAL NUMBERS
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/24.pdf
The asymptotic density of sequences
http://www.ams.org/journals/bull/1951-57-06/S0002-9904-1951-09543-9/S0002-9904-1951-09543-9.pdf
Our purpose is to outline the recent work on the asymptotic or limit density of sets of positive integers...
The related concept of Schnirelmann density is touched upon...
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18 de Mayo, 2013, 7:30
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Ya definimos algunos conceptos importantes en espacios topológicos <X, T>. Repasemos:
Los elementos de T son conjuntos (subjconjuntos de X) y se llaman abiertos, cumpliendo con las propiedades de topología
Llamamos entorno E de x es todo conjunto E que contenga A UN conjunto abierto que contenga a x
Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X - C (su complemento a X) es abierto (es elemento de T)
El punto a es de acumulación del conjunto B, si todo entorno de a tiene puntos en B distintos del propio a (notemos que B es un conjunto cualquiera, subconjunto de X, no necesariamiente es ni abierto ni cerrado).
Intuitivamente, los puntos de acumulación de B están "muy cercanos" a B, nunca logramos "separarlos" de B. El punto a, si es de acumulación de B, siempre está como "pegado" a B. Podemos visualizar (de nuevo, "ver" es "intuir" en este contexto):
El punto a, puede que esté o no en B. Pero por más entornos que elijamos, siempre tienen puntos que están en B. Entonces el punto a es de acumulación. Vean que el punto c, perteneciente a B, y totalmente interior a él, también es de acumulación. Dibujé el conjunto B con un contorno de líneas y puntos, como para destacar que puede ser abierto, cerrado o ninguno de los dos.
Veamos un conjunto abierto A:
Ahora podemos visualizar el conjunto cerrado C = X - A (imaginando que X es como un rectángulo):
El punto d, que está ahí justo en la "frontera", tiene entornos que siempre tienen puntos de C, distintos del propio d. Por más que pongamos entornos cada vez más pequeños, siempre "tocan" a parte de C.
Bien, dicho esto, tengo que advertir: TODO ESTO ES INTUICION. Estamos trabajando imaginando que nuestra topología es continua, que lo que dibujamos como conjuntos tienen puntos que si son cercanos en nuestro dibujo, son cercanos también en nuestra topología. Es decir, estamos manejando intuitivamente una topología sobre el plano real, la topología más usual para ese plano. Los matemáticos se sirven de la intuición, y mucho, además de la analogía y otras ideas más locas. Pero en algún momento, para avanzar, tienen que poner en firme algunas de esas ideas, y ahí aparece el teorema y la prueba. Tal vez en nuestro sistema educativo se ha puesto más énfasis en aprender teoremas y sus pruebas, que en jugar a hacer matemáticas.
Pero también el teorema y la prueba es parte del juego. Termino hoy con algo a probar: vean que parece que todos los puntos de acumulación de un conjunto cerrado LE PERTENECEN. Traten de imaginar un punto de acumulación de C que esté en A, que pertenezca a A. Hmmm... no parece que haya ninguno. Pues bien, ése es el caso, no solo para la topología intuitiva de estos dibujos, sino para todo espacio topológico que se precie de serlo. ¿Pueden demostrarlo? Les dejo tarea para el hogar, sino lo vemos en el próximo post.
Nos leemos!
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