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Publicado el
16 de Septiembre, 2018, 14:42
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Las matemáticas son fascinantes, y van más allá de lo que mucha gente piensa. No son solamente hacer números, sino manejar conceptos, ideas, teorías completas, que van desarrollándose en la historia. Pero lo notable es cómo alguna de esas ideas van creciendo y se van descubriendo relaciones inesperadas entre ellas.
En los primeros días de enero de 1967, Robert Langlands se encuentra por coincidencia con André Weil, en un pasillo del Institute for Defense Analysis de Princeton. Ambos llegaban para escuchar una conferencia de Shiing-Shen Chern. En ese momento, Weil estaba en sus sesenta años, prominente miembro del grupo Bourbaki, matemático consagrado y creativo, uno de los individuos más influyentes del siglo XX, especialmente en geometría algebraica y teoría de números. Por otro lado, Langlands era treinta años más joven, un matemático prometedor, pero todavía en sus primeros años de carrera. No sabiendo cómo iniciar una conversación, Langlands le comenta alguna de sus propias ideas sobre conexiones entre las formas automorfas y la teoría de números. Weil le sugiere entonces que le envíe por escrito esas ideas. Langlands pensó que era una forma amable de sacarse de encima a un joven inoportuno, pero igual plasma por escrito sus pensamientos, y días después le envía una carta, comenzando:
"En respuesta a su invitación ... escribí esta carta. Luego de haberla escrito me doy cuenta que difícilmente tenga una afirmación de la que esté seguro. Si desea leerla como pura especulación, apreciaría su gesto; si no, estoy seguro que tiene un bote de basura cerca".
Weil no respondió a la carta, pero la tipeó, y envió esa transcripción a otros matemáticos. El contenido de la carta comenzó a conocerse como "las conjeguras de Langlands".
Con el tiempo, esas conjeturas dieron frutos inesperados: de alguna forma participaron del camino a la demostración del Ultimo Teorema de Fermat. Pero fueron más allá. Dieron lugar al llamado "programa de Langlands" que predice la existencia de una red de conexiones entre las formas automórficas y los grupos de Galois. Ese programa está guiando investigaciones modernas, para probar y mostrar esas conexiones. En este año, 2018, Langlands fue galardonado por el premio Abel.
Sería largo explicar el programa, aún sus ideas base, pero debo confesar que es fascinante de explorar. Con conexiones desde la teoría de números hasta las curvas elípticas y más, nos da una vívida impresión de la unidad de las matemáticas y los resultados no evidentes que se están manejando en estos tiempos.
Lecturas adicionales
The Abel Prize Laurate 2018
A glimpse of the Laureate’s work
17 handwritten pages that shaped a whole area of mathematical research
From quadratic reciprocity to Langlands’ program
Letter to André Weil
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
8 de Septiembre, 2018, 15:05
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Ya estamos más cerca del fin de año. Comienza un nuevo mes, primero revisión de las resoluciones del mes anterior:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [completo] ver post ver post ver post
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Mis resoluciones para el nuevo mes;
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra
Espero esta vez poder escribir sobre historia de las matemáticas y de la ciencia; tengo algunos temas pensados, pero hay que poner manos a la obra.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
2 de Septiembre, 2018, 16:03
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Publicado el
1 de Septiembre, 2018, 15:27
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Sigo leyendo y comentando "The Arithmetic of Elliptic Curves" de Silverman. En el anterior post enuncié el teorema de Hasse-Minkowski, Tendría que corregir su enunciado: no trata sobre módulo p, sino sobre los campos p-ádicos Qp. Leo:
In other words, a quadratic polynomial has a solution in Q if and only if it has a solution in every completion of Q. Hensel’s lemma says that checking for solutions in Qp is more or less the same as checking for solutions in the finite field Z/pZ, and this is turn is easily accomplished using quadratic reciprocity. We summarize the steps that go into the Diophantine analysis of quadratic equations.
(1) Analyze the equations over finite fields [quadratic reciprocity].
(2) Use this information to study the equations over complete local fields Qp [Hensel’s lemma]. (We must also analyze them over R.)
(3) Piece together the local information to obtain results for the global field Q [Hasse principle].
Es interesante notar que la reciprocidad cuadrática surge asociada a campos finitos. De alguna forma, las cuadráticas están bien entedidas, gracias a resultados como los de arriba. Y cuando se quiere ir más allá, ahí aparecen en primer lugar las curvas elípticas:
Where does the geometry appear? Linear and quadratic equations in two variables define curves of genus zero. The above discussion says that we have a fairly good understanding of the arithmetic of such curves. The next simplest case, namely the arithmetic properties of curves of genus one (which are given by cubic equations in two variables), is our object of study in this book. The arithmetic of these so-called elliptic curves already presents complexities on which much current research is centered. Further, they provide a standard testing ground for conjectures and techniques that can then be fruitfully applied to the study of curves of higher genus and (abelian) varieties of higher dimension.
Este es un punto a destacar: el genus. Por un lado, podemos leer una definición orientada a geomtría algenbraica:
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Genus_of_a_curve
Pero es más interesante notar que genus tiene otros significados:
https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)
Para una curva algebraica, se relaciona con la superficie que forma EN LOS COMPLEJOS. Y como en las superficies reales,, el genus está relacionado con la cantidad de "agujeros" que presenta. Mientras que las cuadráticas tienen genus 0, las elípticas son las primeras con genus 1. Al no ser "tan regulares" cono las de genus 0, tienen otras propiedades. Mordell debe haber sido iuno de los primeros que tratar de clasificar esas propiedades. Ver la conjetura de Mordell:
http://mathworld.wolfram.com/MordellConjecture.html
probada por Faltings:
https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
Como se llegó con esto a la solución del Ultimo Teorema de Fermat, es cuestión de otros posts.
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
26 de Agosto, 2018, 14:30
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Hoy voy a comenzar a comentar un libro de Joseph H. Silverman. No crea que termine en un solo post el comentario; es un libro muy interesante. Primero, como otros libros que comenté, es un libro para matemáticos. Pero también es bastante autocontenido, así con unos pocos preliminares se puede comenzar a leerlo y entenderlo. Es el "The Arithmetic of Elliptic Curves", estoy leyendo la segunda edición de Springer.
Comienza presentando algunas curvas simples en X, Y. Leo:
The study of Diophantine equations, that is, the solution of polynomial equations in integers or rational numbers, has a history stretching back to ancient Greece and beyond. The term Diophantine geometry is of more recent origin and refers to the study of Diophantine equations through a combination of techniques from algebraic number theory and algebraic geometry. On the one hand, the problem of finding integer and rational solutions to polynomial equations calls into play the tools of algebraic number theory that describe the rings and fields wherein those solutions lie. On the other hand, such a system of polynomial equations describes an algebraic variety, which is a geometric object. It is the interplay between these two points of view that is the subject of Diophantine geometry.
¿ Cuál es el tipo de curva mas simple que presenta? Las aX + bY = c , las rectas. Se sabe que si a, b, c son racionales, estas curvas siempre tienen puntos (X, Y) con X, Y racionales. Cuando pasamos a curvas de segundo grado, no es evidente cuándo tenemos puntos racionales (aún cuando todos los coeficientes sean racionales). Desde hace tiempo se sabe clasificar esas curvas en distintos tipos, como elipses, hipérbolas, parábolas. Primero, como resultado de conceptos geométricos en los antiguos griegos, luego llegado Descartes y sus coordenadas, desde el punto de vista algebraico esa clasificación es posible. Debe ser uno de los gérmenes de la geometría algebraica.
Un teorema que no conocía: el de Hasse-Minkowski. Sea un polinomio f(X, Y) cuadrático con coeficientes racionales. Entonces, tiene tiene puntos racionales SI Y SOLO SI tiene tiene ALGUNA solución racional para TODO módulo p, siendo p primo. Es común pasar a aritmética modular y probar con primos, por ejemplo, en el último teorema de Fermat. Notablemente, este teorema no se puede aplicar a polinomios valorizados sobre campos finitos.
Lo importante ahora, es entender que esos puntos racionales sobre curvas algebraicas, serán la base para operaciones sobre las curvas elípticas, operaciones que forman grupo. El estudio de los puntos racionales de esas curvas ha sido altamente fructífero.
Para llegar a esos resultados, Silverman primero presenta variedades afines y curvas algebraicas. Pero eso será tema de un próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
20 de Agosto, 2018, 12:18
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Hay algo en las matemáticas, que es hermoso: la relación que tienen diversos temas, la unidad que se va descubriendo en su estructura. Es notable cómo se ha ido progresando en este sentido, tan notable que es la principal pista para aceptar la existencia de un mundo matemático, distinto del físico o del mental. Sería increíble que todo esto se deba a la creación humana.
Esa relación en los temas se ve en la historia de las curvas elípticas. Hoy quiero comentar brevemente el libro:
Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke de Ranjan Roy
Tiene pocas menciones de curvas elípticas, pero es interesante por su desarrollo histórico de los temas que trata. Comienza con las formas modulares en su estado en el siglo XIX. Primero presenta el grupo modular, estudiado por Lagrange es su estudio de las formas cuadráticas (cita un trabajo de 1775). El estudio de las formas cuadráticas (expresiones en x, y, con grado 2 en sus términos) es la semilla de multitud de desarrollos que llegan a los tiempos actuales. Lagrange, por ejemplo, estudió qué enteros se podían obtener de una forma cuadrática cuando sus variables adoptaban valores enteros, y mostró la equivalencia entre formas cuadráticas, ante algunas transformaciones. Aparece el grupo modular y sus generadores S y T (notación introducida no por Lagrange sino por Mordell y Rademacher, ya en el siglo XX). Desde comienzo, el libro se despacha con la historia de todo lo que derivó, pasando por Gauss (con resultados que no publicó), Jacobi, Abel, Einsenstein, Dedekind (su paper sobre formas modulares, y las sumas de Dedekind), algunos resultados tempranos de Euler (como su producto), Klein, Hermite, Hurwitz, Hecke y más.
Es justamente Hurwitz el que muestra que las curvas elípticas (que aparecen en la historia LUEGO de las integrales elípticas, y las funciones elípticas (éstas tan estudiadas, por ejemplo, por Abel)), son PARAMETRIZABLES por dos funciones. ¿Qué significa esto? Así como los puntos de una circunferencia (x, y) se pueden expresar por dos funciones periódicos de UN parámetro (sen(t), cos(t)), lo mismo pasa con las curvas elípticas, con dos funciones, esta vez, en vez de ser funciones circulares como el seno y el coseno, son funciones elípticas, CON DOBLE PERIODO (el tema de este doble periodo aparece en muchos de los resultados, como en el grupo modular).
Hurwitz publica este resultado en un conocido "paper", leo en 12.1:
Hurwtiz"s 1881 paper and its 1904 update were regarded during the early twentieth century as providing fundamental foundations for the theory of modular functions. In his 1917 paper on Ramanujan"s conjectures, Mordell wrote in a footnote, concerning Hurwitz"s original 1881 paper, "For an elementary introduction to the modular functions, see Hurwitz . . . ." Again, perhaps because of J. P. Serre"s 1957 lecture on modular forms,2 employing several key ideas from Hurwitz"s 1904 paper, Hurwitz"s proofs of basic results on modular forms have become well known and commonly used. For these reasons, we discuss Hurwitz"s paper in its entirety and provide a translation into English as an appendix.
Vean cómo sus ideas llegan hasta Mordell y Serre, en el siglo XX. Leo algo sobre Mordell (que tan importante fue en el camino de la demostración del Ultimo Teorema de Fermat), leo en 13.1:
Louis J. Mordell (1888–1972) was born in Philadelphia, Pennsylvania, but after secondary
school, he traveled to Cambridge, England, to study mathematics. He took the Mathematical Tripos examinations and went into research in number theory. In 1917, he published a paper on the representations of numbers as sums of an even number of squares in which he utilized the theory of modular forms. According to J. W. S. Cassels, "Mordell was, apparently, the first to treat the representation of integers as the sum of a fixed number n of squares by using the finite dimensionality of the space of modular forms of given dimensions to establish identities thereby unifying the existing mass of results for individual values of n." This paper established Mordell as an expert in elliptic modular functions in Britain. When Hardy drew his attention to Ramanujan"s conjectures, Mordell quickly found the solution within Hurwitz"s work on the multiplier equation. Textbooks generally concentrate on Mordell"s work on the Euler product of delta(ω1, ω2), and it is not usually mentioned that Mordell also considered delta 12/a (ω1, ω2), where a is a divisor of 12. Mordell evidently did not attempt to generalize these results to other modular forms, and this was done almost two decades later by Hecke, then unaware of the earlier work on this topic of Ramanujan and Mordell.
Espero que esto ayude a empezar a ver las múltiples relaciones entre distintas partes de las matemáticas, siendo curvas elípticas una de las puntas del iceberg que sobresale.
Una nota personal: ver que ese factor 12 debe estar relacionado con el 24 de alguna conjetura de Ramanujan y el "lattice" de Leech y grupos esporádicos.
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
13 de Agosto, 2018, 11:14
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Publicado el
5 de Agosto, 2018, 13:08
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Nuevo mes, tiempo de escribir las resoluciones mensuales. Antes, una revisión de las del mes anterior:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [completo] ver post
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [completo] ver post
- Estudiar blues en guitarra [completo]
También escribí algo más sobre matemáticas:
La Matemática es Diferente, por Ian Steward
Mis resoluciones del nuevo mes:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
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Publicado el
2 de Agosto, 2018, 21:01
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Sigo leyendo libros de Ian Stewart, esta vez, "Significant Figures, The Lives and Work of Great Mathematicians". Me llama la atención su comparación de las matemáticas con otras ciencias en su historia:
ALL BRANCHES OF SCIENCE can trace their origins far back into the mists of history, but in most subjects the history is qualified by ‘we now know this was wrong’ or ‘this was along the right lines, but today’s view is different’. For example, the Greek philosopher Aristotle thought that a trotting horse can never be entirely off the ground, which Eadweard Muybridge disproved in 1878 using a line of cameras linked to tripwires. Aristotle’s theories of motion were completely overturned by Galileo Galilei and Isaac Newton, and his theories of the mind bear no useful relation to modern neuroscience and psychology.
Mathematics is different. It endures. When the ancient Babylonians worked out how to solve quadratic equations – probably around 2000 BC, although the earliest tangible evidence dates from 1500 BC – their result never became obsolete. It was correct, and they knew why. It’s still correct today. We express the result symbolically, but the reasoning is identical. There’s an unbroken line of mathematical thought that goes all the way back from tomorrow to Babylon. When Archimedes worked out the volume of a sphere, he didn’t use algebraic symbols, and he didn’t think of a specific number π as we now do. He expressed the result geometrically, in terms of proportions, as was Greek practice then. Nevertheless, his answer is instantly recognisable as being equivalent to today’s πr3.
Hay ciencias cuyos primeros resultados perduran desde la antiguedad, como la estática desde Arquímedes. Pero otras han ido formando modelos explicativos de la realidad, que luego se cambian por otros, como ahora tenemos las ideas de Einstein que reemplazaron a las de Newton. Pero las matemáticas formas modelos que al no tener que corresponder con una realidad, pueden ser formulados y extendidos sin desecharlos. La geometría de Euclides sigue siendo tan verdadera en su base hace 2000 años como ahora, aun cuando sabemos que no es la geometría a aplicar al mundo físico. Tiene ese encanto la matemática: es el "gran juego" que vamos armando a lo largo de los siglos. Habrá que ver cuanto de esta "creación humana" es creación propia o es descubrimiento de un mundo matemático que existe más allá de nuestra experiencia.
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Publicado el
31 de Julio, 2018, 22:31
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Isaac Newton tuvo un interesante intercambio epistolar con Richard Bentley, uno de los teólogos principales de Inglaterra, con gran interés en la ciencia. Un fragmento de una respuesta me parece interesante de compartir:
is unconceivable that inanimate brute matter should (without the mediation of something else which is not material) operate upon & affect other matter without mutual contact; as it must if gravitation in the sense of Epicurus be essential & inherent in it. And this is one reason why I desired you would not ascribe {innate} gravity to me. That gravity should be innate inherent & {essential} to matter so that one body may act upon another at a distance through a vacuum without the mediation of any thing else by & through which their action or force {may} be conveyed from one to another is to me so great an absurdity that I beleive no man who has in philosophical matters any competent faculty of thinking can ever fall into it. Gravity must be caused by an agent {acting} consta{ntl}y according to certain laws, but whether this agent be material or immaterial is a question I have left to the consideration of my readers.
Newton rechaza como absurdo que la gravedad pueda actuar a distancia a través del vacío sin la mediación de nada. No puede describir el agente intermedio, ni siquiera si es "material o no material" según su ontología. Al menos para mí, no queda claro si Newton podría aceptar una acción a distancia INSTANTANEA, mediando ese desconocido agente. Tengo que comentar en algún post futuro, la posición de Laplace, que se planteó alguna vez si la acción de la gravedad era instantánea o no, y si hasta se ejercía de la misma forma en un cuerpo "en reposo" que sobre uno "en movimiento". Hay más para comentar sobre otros fragmentos de Newton a Bentley, por ejemplo, su postura sobre la distribución de la materia, y si el universo es infinito o no.
Mientras, mis referencias son:
The Newton-Bentley Exchange
Original letter from Isaac Newton to Richard Bentley
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
23 de Julio, 2018, 12:30
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Este mes estoy leyendo sobre algunos temas matemáticos, como geometría algebraica, teoría de grupos, teoría de categorías, hipótesis de Riemann, teoría de Galois, teoría de números, curvas elípticas, historia de las matemáticas. Sobre los últimos temas, encuentro mucho para leer en Ian Stewart. Escribió varios libros de divulgación y también de texto. Estos últimos son muy interesantes, porque si bien son técnicos, están escritos (a veces con coautor) de una forma accesible, amena, con notas históricas. Leo en su "Galois Theory", un párrafo sobre los grandes problemas de las matemáticas.
A physicist friend of mine once told me that while every physicist knew what the big problems of physics were, his mathematical colleagues never seemed to be able to tell him what the big problems of mathematics were. It took me a while to realise that this doesn't mean that they don't know, and even longer to articulate why. The reason, I claim, is that the big problems of physics, at any given moment, are very specific challenges: measure the speed of light, prove that the Higgs boson exists, find a theory to explain high-temperature superconductors. Mathematics has problems like that, too, indeed, Galois tackled one of them—prove that the quintic cannot be solved by radicals. But the big problems of mathematics are more general, and less subject to fashion (or disappearance by virtue of being solved). They are things like "find out how to solve equations like this one", "find out what shape things like this are", or even "find out how many of these gadgets can exist". Mathematicians know this, but it is so deeply ingrained in their way of thinking that they are seldom conscious of it. But such problems have given rise to entire fields of mathematics, here, respectively, algebra, topology, and combinatorics. I mention this because it is the first of the above big problems that runs like an ancient river through the middle of the territory we are going to explore. Find out how to solve equations. Or, as often as not, prove that it cannot be done with specified methods. ¿What sort of equations? For Galois: polynomials.
Bueno, hay igual grandes problemas matemáticos, que han impulsado el desarrollo de matemáticas notables (el ejemplo más conocido por todos es el llamado Ultimo Teorema de Fermat, sobre el cual Stewart también escribió un libro matemático). Hasta el propio Stewart escribió un libro de divulgación sobre algunos grandes problemas matemáticos. Podemos también recordar la lista de problemas de Hilbert, y el programa de Langlands.
Tanto en ideas generales como en problemas grandes, la matemática de este siglo está bien provista.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
22 de Julio, 2018, 12:58
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Publicado el
18 de Julio, 2018, 11:14
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Publicado el
16 de Julio, 2018, 17:09
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Publicado el
15 de Julio, 2018, 11:28
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Publicado el
14 de Julio, 2018, 12:19
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Publicado el
10 de Julio, 2018, 10:39
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Otra mitad de año que pasa, tiempo de escribir las resoluciones personales públicas del mes. Antes, una revisión de las de junio:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Historia de la Física [completo] ver post
- Escribir sobre Geometría Algebraica [pendiente]
- Escribir sobre Curvas Elípticas [pendiente]
- Escribir sobre Teoría de Categorías [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Además escribí
Notas Sobre Teoría de Grupos (1)
Mis resoluciones para julio son:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra
Espero poder retomar algunos temas de matemáticas, como teoría de grupos, hipótesis de Riemann.
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Publicado el
9 de Julio, 2018, 12:02
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En estos días, estoy estudiando algunos temas de matemáticas. Uno de esos temas es teoría de números, un campo inmenso, y con una rica historia. Desde su desarrollo algebraico, hasta la teoría analítica, es notable su avance. Leyendo "From Fermat to Minkowski, Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development", de Winfried Scharlau y Hans Opolka, me encuentro con un capítulo dedicado a un matemático que no esperaba encontrar en esta historia: Fourier.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) no fue un teórico de números. Es mas, él mismo no se describiría como matemático sino como físico. Su principal área de trabajo fue las matemáticas del calor. Hace unas semanas, leía una biografía de Fourier: su vida se destaca por haber vivido la revolución francesa y luego, servido a Napoleón. No siendo noble, tal vez si hubiera nacido en otra época, no hubiera podido desarrollar todas sus ideas. Escribió un libro, "Theorie analytique de la chaleur", publicado por primera vez en 1822, donde expone sus desarrollos de ecuaciones diferenciales parciales para explicar la dinámica observada del calor.
Me interesa comentar hoy un párrafo de ese libro, al inicio:
Las causas primeras nos son desconocidas: pero están sujetas a leyes simples y constantes, que pueden ser descubiertas por observación, el estudio de las cuales es el objeto de la filosofía natural... los más diversos fenómenos están sujetos a un pequeño número de leyes fundamentales que son reproducidas en todos los actos de la naturleza. Se reconoce que los mismos principios regulan todos los movimientos de las estrellas, su forma, las desigualdades de sus cursos, el equilibro y la oscilación de los mares, las vibraciones harmónicas del aire y de los cuerpos sonoros, la transmisión de la luz, acciones capilares, la ondulación de los fluidos, en fin los más complejos efectos de todas las fuerzas naturales, han confirmado el pensamiento de Newton: quod tam paucis tam multa praestet geometría gloriatur.
Interesante declaración de Fourier sobre la ciencia y las matemáticas. Fue Newton el que comenzó a unificar los fenómenos naturales, explicando con los mismos fundamentos los movimientos terrestres y los celestiales. Como bien menciona Fourier, no conocemos las causas primeras: el origen de la gravedad o el por qué de la existencia de la luz, se nos escapan. Pero desde el tiempo de Fourier, hemos llegado a comprender las causas del calor, y tenemos una explicación de su conducta basada en la teoría atómica. No siempre las leyes son fundamentales, sino que la mayoría son derivadas, y gran parte de la ciencia es descubrir la base, el sistema subyacente a lo observado, y no solamente plantear leyes.
Post relacionados:
Series de Fourier
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Publicado el
8 de Julio, 2018, 13:25
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La teoría de grupos siempre está presente, en tantos temas de las matemáticas como de otras ciencias. Partiendo de la simplicidad de lo que es un grupo abstracto, definible con pocos axiomas, se va construyendo un hermoso edificio, lleno de resultados sorprendentes. Mi primer contacto con grupos se remonta a más de 35 años atrás, y fue una experiencia reveladora de cómo las matemáticas se han desarrollado en los últimos siglos. Grupo es la estructura digamos prototípica de otras estructuras.
Ya Bourbaki (en sus notas de historia de las matemáticas) señalaba que alguien como Gauss, con todo su conocimiento matemático y apertura a nuevas ideas, no había llegado a formalizar el concepto de grupo, así que en varias demostraciones de sus "Disquisiciones Matemáticas" repetía el proceso de pasos. Hubo que esperar a desarrollos del siglo XIX para que surgiera la estructura de grupo como decantación de ideas. Por un lado, Galois se da cuenta de sus principales propiedades, y lo aplica en su teoría. Jordan, años más tarde, pule esas ideas. Dirichlet va explicando las ideas de Gauss y las depura en su libro de teoría de números. Dedekind y otros comienzan a usar estructuras, como grupo, anillo, ideal. El método algebraico triunfa en teoría algebraica de números, invariantes, y los "números" terminan incorporados en cuerpos, campos y sus extensiones.
Quiero en estas notas solamente escribir rápidamente algunos resultados, para ordenar mi estudio de esta estructura.
El concepto de grupo abstracto se basa en simples axiomas, ver Motivaciones para la Teoría de Grupos, Teoría de Grupos (1) Axiomas.
Hay que distinguir entre grupos infinitos y grupos finitos Ambos tienen una rica historia de desarrollo. Los grupos infinitos quedan históricamente a las ideas de Lie y sus transformaciones de espacios. Han calado hondo en física, y hasta guían de alguna forma los desarrollos teóricos que sustentan el modelo estándar de partículas elementales. Ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (1). El estudio de grupos finitos también ha sido fructífero. Algo de su historia más abajo y en siguientes posts.
Un elemento fundamental en grupos, es el estudio de sus subgrupos: estructuras que "viven" dentro del grupo principal. Es notable que, si bien hay subgrupos, los más destacados son los llamados grupos normales. Dado H un subgrupo normal de G, entonces se puede construir y hablar de G/H, un GRUPO cociente. Y el grupo G se puede reconstruir, de cierta forma, como composición de H y G/H. Esto abre todo un camino de estudio, similar a lo que pasa en teoría de números con los enteros: como un grupo se puede "dividir" en otros grupos.
El concepto de grupo simple (ver Simple Group) refiere a esas composiciones: un grupo simple no tiene subgrupos normales no triviales. Es como un "número primo". En el caso de grupos finitos (con cantidad finita de elementos) esto lleva a interesantes resultados, que llegan hasta este siglo XXI.
A los matemáticos les gusta clasificar lo que encuentran: ya los grupos son una abstracción, pero ¿se pueden clasificar? Una primera gran división ocurre entre grupos abelianos (donde su operación de base es conmutativa), y no abelianos. Luego ya vimos que hay grupos finitos e infinitos. Pero se ha visto también, que presentan estructuras. Desde el siglo XIX se ha emprendido la clasificación, y en el caso de grupos finitos y simples, se ha conseguido un resultado final, ver Classification of finite simple groups. La historia de este desarrollo es fascinante, y espero poder describirla brevemente en otras notas.
Ver también:
Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos
Teoría de Galois (1)
Algunas fuentes consultadas:
Symmetry and the Monster: One of the greatest quests of mathematics, Mark Ronan
Group Theory and Its Applications to Physical Problems, Morton Hamermesh
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
3 de Julio, 2018, 14:11
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