Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 18 de Mayo, 2017, 8:42

Todas las semanas hay una reunión del Café Filosófico en Buenos Aires. Más información (lugar, horarios, aranceles,.. ) en:

http://www.filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm

Recibo el tema de esta semana:

La neurociencia está revelando los secretos de nuestras emociones. Compartiremos el contenido de un libro reciente e inédito en el país sobre este tema, escrito por el investigador Giovanni Frazzetto.  ¿Puede la ciencia explicar por sí misma por qué sentimos lo que sentimos? La filosofía es un buen complemento para el análisis de las emociones, que invaden cada porción de nuestra vida. Un minuto estamos tristes, enseguida sentimos esperanza. Algunas emociones nos persiguen, otras nos eluden. Nos transportan lejos. Por eso es que a veces pensamos cómo podríamos librarnos de algunas de ellas. ¿Es el dolor psíquico similar al dolor físico? ¿Tienen aspectos comunes en la configuración cerebral que corresponde a cada uno de ellos? ¿Qué puede revelarnos sobre las emociones el escaneo del cerebro? Haremos un viaje a través de algunas de las emociones más comunes de la vida cotidiana. El impacto emocional de drogas paliativas  como los opiáceos o la morfina. Las experiencias de exclusión y su impacto a nivel neural. Un análisis de Wittgenstein sobre las emociones. La serotonina (hormona "del placer") y los estados emocionales. La ansiedad: el miedo a lo desconocido.  William James y la relación de las emociones con el cuerpo. La diferencia entre el miedo y la ansiedad: ¿comparten la misma estructura cerebral, responden a los mismos circuitos neuronales o funcionan en forma independiente? La lectura que Giovanni Franzzetto hace del análisis de Heidegger sobre el tema de la ansiedad. ¿Cómo podemos huir de la ansiedad? ¿Cómo es posible que el cerebro aprenda a desviar la atención? El contraste entre racionalidad y sentimientos, ciencia y poesía. Cómo enfrentando este contraste podemos entendernos mejor a nosotros mismos y a los demás. Cómo se ve el efecto de la psicoterapia en el escaneo del cerebro.
La neurociencia tiene tanto para revelarnos sobre nuestra vida que algunos de sus términos ya ingresaron al lenguaje popular: solemos decir que "necesitamos adrenalina", que la dopamina estimula el cerebro y que las endorfinas son opiáceos "hechos en casa". ¿Podremos algún día grabar los sueños y comprar experiencias artificiales (películas para la mente)? ¿Cómo puede el cerebro aprender a desviar la atención? La plasticidad del cerebro: cómo podemos condicionarnos a nosotros mismos para no ser dominados por la ansiedad.
Cómo transitar el proceso del duelo. ¿Cuál es el propósito del llanto? ¿Por qué lloramos de alegría? ¿Es posible divorciar las categorías psiquiátricas de su contexto social? Veremos algunos aspectos particulares del placer, y algunas rutas que pueden ayudarnos a alcanzar la alegría. Los rasgos de la risa. El estudio de Robert Provine sobre los componentes de la risa. Las neuronas espejo y la risa. ¿Por qué suele ser contagiosa y no es sólo un signo de alegría  y entretenimiento? ¿Qué animales ríen? Cómo lidiar mejor con las emociones, construyendo nuevas rutas en nuestro cerebro.

Giovanni Frazzetto. Darwin. William James. Wittgenstein.

Hay mucho para investigar, y para discutir. Pienso que estamos recién en los albores de aplicar la neurociencia a la conducta compleja humana. Pero por algunos puntos hay que comenzar. Por ejemplo, es clara la influencia de muchas drogas sobre nuestros estados de ánimo, y ahí hay un tema para seguir investigando. Las neuronas espejo son interesantes, pero tal vez se ha puesto mucha expectativa en ellas, para explicar conductas complejas. No conocía a Giovanni Frazzetto. Es interesante como Darwin se interesó por las expresiones usadas en nuestros estados de ánimo, y encontró relación en expresiones de primates.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 16 de Mayo, 2017, 13:36

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What is a gauge?
https://terrytao.wordpress.com/2008/09/27/what-is-a-gauge/

Chebyshev"s Paradoxical Mechanism
http://www.futilitycloset.com/2015/01/03/chebyshevs-paradoxical-mechanism/

Una demostración visual (explicada) del teorema de Ptolomeo | Gaussianos
http://gaussianos.com/una-demostracion-visual-explicada-del-teorema-de-ptolomeo/

Pat'sBlog: Circles and Equilateral Triangles
http://pballew.blogspot.com.ar/2014/01/circles-and-equilateral-triangles.html

Problemas abiertos | Microsiervos (Ciencia)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/problemas-abiertos.html

Mathematicians invent new way to slice pizza into exotic shapes
https://www.newscientist.com/article/dn28743-mathematicians-invent-new-way-to-slice-pizza-into-exotic-shapes/

Art of Problem Solving
http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Orthocenter

Existence of the Orthocenter
http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.shtml

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Publicado el 15 de Mayo, 2017, 8:26

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Exploremos el tema desde un punto más algebraico. Sea k un campo (un cuerpo conmutativo, ver Cuerpos y Campos), y sea An(k) o simplemente An, el producto cartesiano de k por sí mismo n veces. Entonces  An(k) es el conjunto de n-tuplas de elementos de k. A An(k) la llamamos n-espacio afín. A sus elementos los llamamos puntos (como analogía a los puntos geométricos del plano o del espacio). En particular A1(k) es la línea afín, A2(k) es el plano afín (dejo para otro momento investigar el origen del uso "afín" para estos espacios).

Este es origen de "geometría" en lo que estamos estudiando: los resultados los vamos a obtener en conjuntos de esos "puntos" de espacios afines. Veamos de dónde viene lo "algebraico".

Recordemos que k[X1, ..., Xn] es el conjunto de los polinomios en n variables, con coeficientes en (ver El anillo k[X]) Sea F uno de esos polinomios. Se dice que un punto P de An(k) es un cero de F si F(P) = 0. Es decir, si P=(a1,....,an), entonces P es cero si F(a1,....,an) queda valuado en cero. Si F no es un polinomio constante, entonces se llama al conjunto de sus ceros la hipersuperficie definida por F. La denominamos V(F). Un hipersuperficie en A2(k) se llama curva plana afín. Si F es un polinomio de grado uno, V(F) se denomina hiperplano de An(k). Si n=2, es una línea.

Este es el punto de partida de toda la geometría algebraica: comenzar a estudiar los conjuntos de ceros de conjuntos de polinomios. Esos conjuntos tienen propiedades muy interesantes.

Además de considerar los ceros de un polinomio, podemos considerar los ceros de un CONJUNTO de polinomios de k[X1, ..., Xn]. En este caso, consideramos que P es un punto cero si "se anula" en TODOS los polinomios de ese conjunto.

Hay resultados elementales que se deducen de las propiedades de los polinomios. Por ejemplo, el conjunto de ceros de un polinomio F = QP (que es producto de otros dos polinomios) es la UNION de los ceros de Q y los ceros de P, es decir V(F) = V(QP) = V(Q) unión V(P),

El conjunto de ceros del conjunto compuesto por dos polinomios F y G, es el conjunto INTERSECCION de los ceros de F y los ceros de G. Es decir, V({F, G}) = V(F) intersección V(G).

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Mayo, 2017, 15:34

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El tema de las curvas elípticas es tan fascinante como amplio. Es a veces difícil saber por dónde empezar, que leer al principio, que investigar. Uno de los libros que me ayudaron a empezar a entender de qué va el tema y sus aplicaciones es:

Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets

de William Stein. Hay versión para bajarse en http://wstein.org/ent/, actualizado a enero de 2017. Podemos estudiar desde los elementos de la teoría de números, llegando a curvas elípticas en el último capítulo. Además se puede estudiar reciprocidad cuadrática, fracciones continuas, y toda la base elemental de teoría de números. El capítulo 3 es interesante porque explica el uso en criptografía de varios resultados de la teoría de números.

(Recordemos acá a Hardy, el "descubridor" de Ramanujan, cultivador de la teoría de números de la que orgulloso decía que no tenía aplicación práctica; se asombraría hoy de cuánto se usa en criptografía).

Al principio, Stein escribe:

The systematic study of number theory was initiated around 300B.C. when Euclid proved that there are in nitely many prime numbers, and also cleverly deduced the fundamental theorem of arithmetic, which asserts that every positive integer factors uniquely as a product of primes. Over a thousand years later (around 972A.D.) Arab mathematicians formulated the congruent number problem that asks for a way to decide whether or not a given positive integer n is the area of a right triangle, all three of whose sides are rational numbers. Then another thousand years later (in 1976), Duffie and Hellman introduced the first ever public-key cryptosystem, which enabled two people to communicate secretely over a public communications channel with no predetermined secret; this invention and the ones that followed it revolutionized the world of digital communication. In the 1980s and 1990s, elliptic curves revolutionized number theory, providing striking new insights into the congruent number problem, primality testing, public key cryptography, attacks on public-key systems, and playing a central role in Andrew Wiles' resolution of Fermat's Last Theorem.

Al principio del capítulo sobre curvas elípticas, escribe:

Elliptic curves are number theoretic objects that are central to both pure and applied number theory. Deep problems in number theory such as the congruent number problem: which integers are the area of a right triangle with rational side lengths? translate naturally into questions about elliptic curves. Other questions, such as the famous Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, describe mysterious structure that mathematicians expect elliptic curves to have. One can also associate nite abelian groups to elliptic curves, and in many cases these groups are well suited to the construction of cryptosystems. In particular, elliptic curves are widely believed to provide good security with smaller key sizes, something that is useful in many applications, for example, if we are going to print an encryption key on a postage stamp, it is helpful if the key is short! Morover, there is a way to use elliptic curves to factor integers, which plays a crucial role in sophisticated attacks on the RSA public-key cryptosystem

Ver la conjetura:

https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture

Es notable que el problema de saber si un número es congruente o no, carece de solución general:

https://en.wikipedia.org/wiki/Congruent_number

Para sus ejemplos usa http://www.sagemath.org/ Stein primero define cómo es una curva elíptica dando ejemplo gráfico sobre los reales (no trata las curvas elípticas sobre complejos). Define las curvas elípticas en su forma corta, dependiendo de dos parámetros a, b, sin puntos singulares, y evitando los campos K de característica 2 y 3. Para incluir estos campos, define la forma más general de curvas elípticas, con cinco coeficientes.

La primera propiedad no trivial es la estructura de grupo de los puntos de una curva elíptica. Y cómo ese grupo se conserva entre los puntos de coordenada racional. Stein señala que el punto difícil para demostrar la existencia de grupo es probar la asociativada de la "suma de puntos" que define. Menciona tres métodos para demostrarla: apelando a la descripción geométrica, calculándola a partir de las fórmulas para calcular el tercer punto, o sino, desarrollar una teoría general de "divisores de curvas algebraicas" por la cual la asociatividad del grupo sale como un corolario natural.

Otro tema que presenta es el uso de curvas elípticas en la factorización de enteros. Enuncia un resultado de Lenstra, el Elliptic Curve Method, inspirado en un método de Pollard (p-1). De ambos da ejemplos. Del método de Lenstra da, más que una demostración rigurosa, una explicación heurística. 

El tema siguiente es la aplicación de curvas elípticas en criptografía, tema introducido independientemente por Neil Koblitz y Victor Miller a mediados de los ochenta del siglo pasado. Primero discute el análogo de Diffie-Holman, en vez de sobre Z/Zp sobre la curva E(Z/Zp). Luego discute el sistema criptográfico ElGamal. Presenta el problema del logaritmo discreto en curvas elípticas.

El tema final es curvas elípticas sobre números racionales, con el importante resultado de Mordell: el grupo de puntos racionales de una curva elíptica tiene base finita, enunciado sin demostración. Menciona el método "de descenso" para calcular esa base, aclarando que no está demostrado que siempre termine exitosamente. Enuncia también un resultado de Mazur, 1976, sobre el grupo de torsión de E(Q), dándolo isomorfo a uno de 15 grupos. El grupo cociente E(Q)/E(Q)tor es un grupo abeliano finitamente generado, entonces es isomorfo a una potencia de Z. Esa número potencia es el rango de E(Q). Hay una conjetura, parte del folclore matemático no asociado a ningún autor en particular, que dice que hay curvas elípticas de cualquier rango arbitrario. Presenta el record mundial de una curva con rango 28. Y notablemente, presenta la relación entre curvas elípticas y números congruentes (números naturales que son la superficie de un triángulo rectángulo de lados racionales).

En fin, un libro para comenzar a tomarle el gusto a esto de las curvas elípticas. No discute el caso complejo, ni da todas las demostraciones, pero sirve para introducirse en este mundo interminable,

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Publicado el 13 de Mayo, 2017, 17:10

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Bro culture is poisoning Silicon Valley
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If There Aren't Any Typos In This Essay, We Launched Too Late!
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"If You're Not Embarrassed By The First Version Of Your Product, You’ve Launched Too Late"
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4 Key Tips to Grow Your Business in China
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Artificial Intelligence Market Overview - Q4 2016
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The Ultimate List of ICO Resources
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5 Companies Focusing on Both Bitcoin and Ethereum Blockchain Development
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The 100 Most Influential Blockchain Companies
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Bitcoin Bulls: The Most Active Bitcoin & Blockchain Investors
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Plug And Play selects 25 startups to join its insurtech batch
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Revolut launches a premium subscription and starts raising a new round
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Which industry is ready to be disrupted?
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99% of Blockchain Startups Are Bullshit
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Publicado el 11 de Mayo, 2017, 15:36

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LinkedIn, la startup que cumplió el sueño de todo emprendedor
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Confianza ciega: el "código mágico" que enamora a los innovadores
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Airbnb didn't create a brand new concept. So, what made it different?
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Blockchain Startup Hashed Health Raises $1.8 Million
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$60 Bln Alipay to Adopt Blockchain Looking to Serve 2 Billion Users
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The Deep Learning Market Map: 60+ Startups Working Across E-Commerce, Cybersecurity
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Publicado el 10 de Mayo, 2017, 19:40

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Digital Disruption Has Arrived In FinTech
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Wealth Tech Market Map: 90+ Companies Transforming Investment And Wealth Managem...
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5 Companies Focusing on Both Bitcoin and Ethereum Blockchain Development
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How blockchain is simplifying the US mortgage market
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Revolut launches a premium subscription and starts raising a new round
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Debt Consolidation Loans Online: 25 Personal Finance Bloggers Discuss P2P Loans
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Publicado el 7 de Mayo, 2017, 12:55

Ya pasó otro mes, y es tiempo de escribir las nuevas resoluciones. Un repaso de las del mes anterior:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Gödel [pendiente]
- Continuar mi serie Estudiando Curvas Elípticas [pendiente]
- Continuar mi serie Estudiando Geometría Algebraica [pendiente]

Mucho trabajo este mes, pero sigo insistiendo para este mes, con las resoluciones:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Continuar mi serie sobre Gödel
- Continuar mi serie Estudiando Curvas Elípticas
- Continuar mi serie Estudiando Geometría Algebraica
- Estudiar blues en guitarra

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Publicado el 6 de Mayo, 2017, 13:06

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17 Smart Things the Most Productive People Do Every Day
https://www.inc.com/larry-kim/17-smart-things-the-most-productive-people-do-every-day.html

Best Survival Foods
http://www.secretsofsurvival.com/survival-tips/best-survival-foods.html

Doomsday planning for less crazy folk
http://lcamtuf.coredump.cx/prep/

How can I know whether a person is trustworthy or not?
https://www.quora.com/How-can-I-know-whether-a-person-is-trustworthy-or-not

How does it feel to make a million bucks a month?
https://www.quora.com/How-does-it-feel-to-make-a-million-bucks-a-month

Think Fast, Talk Smart: Communication Techniques
https://www.youtube.com/watch?v=HAnw168huqA

How to speak so that people want to listen | Julian Treasure
https://www.youtube.com/watch?v=eIho2S0ZahI

Here's the advice Bill Gates would give to his 19-year-old self
http://www.businessinsider.com/advice-from-bill-gates-2017-2

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Publicado el 4 de Mayo, 2017, 11:22

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What is a gauge?
https://terrytao.wordpress.com/2008/09/27/what-is-a-gauge/

A new “Mathematician’s Apology”
https://ldtopology.wordpress.com/2017/03/18/a-new-mathematicians-apology/

Quantum Questions Inspire New Math
https://www.quantamagazine.org/20170330-how-quantum-theory-is-inspiring-new-math/

Affine Space
https://ncatlab.org/nlab/show/affine+space

Chebyshev’s Paradoxical Mechanism
http://www.futilitycloset.com/2015/01/03/chebyshevs-paradoxical-mechanism/

The Mathematics of Machine Learning
https://www.linkedin.com/pulse/mathematics-machine-learning-wale-akinfaderin

El falso Alan Turing de la película ‘The Imitation Game’
http://francis.naukas.com/2015/01/26/el-falso-alan-turing-de-la-pelicula-imitation-game/

Descenso infinito: un método de demostración poco conocido
http://gaussianos.com/descenso-infinito-un-metodo-de-demostracion-poco-conocido/

Defeating Quantum Algorithms with Hash Functions
https://research.kudelskisecurity.com/2017/02/01/defeating-quantum-algorithms-with-hash-functions/

Neal Kobliktz
http://www.math.washington.edu/~koblitz/

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Publicado el 3 de Mayo, 2017, 14:07

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The KnotPlot Site
http://knotplot.com/

Knot Atlas
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Main_Page

El canibalismo de los gluones y el enigma de la masa del pión
http://francis.naukas.com/2016/12/27/canibalismo-los-gluones-enigma-la-masa-del-pion/

Gödel's incompleteness theorems
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del's_incompleteness_theorems

$25 Million in Breakthrough Prizes Given in Science and Math - The New York Times
http://www.nytimes.com/2016/12/04/science/breakthrough-prizes-science-math.html?_r=0

Regular prime - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime

The Beautiful Mind of John Nash : Documentary on the Life and Struggles of John Nash
https://www.youtube.com/watch?v=96Yb-w7427U

Una demostración visual (explicada) del teorema de Ptolomeo | Gaussianos
http://gaussianos.com/una-demostracion-visual-explicada-del-teorema-de-ptolomeo/

Pat'sBlog: Circles and Equilateral Triangles
http://pballew.blogspot.com.ar/2014/01/circles-and-equilateral-triangles.html

Pat'sBlog: On This Day in Math - November 13
http://pballew.blogspot.com.ar/2016/11/on-this-day-in-math-november-13.html

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Publicado el 2 de Mayo, 2017, 14:00

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World's Largest Math Proof Solved. And It Takes Up 200 Terabytes
https://futurism.com/worlds-largest-math-proof-solved-and-it-takes-up-200-terabytes/

Problemas abiertos | Microsiervos (Ciencia)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/problemas-abiertos.html

Euler Finds The Prime Product Formula (3) - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=4tbuSPSqQWU

Terence Tao: Structure and Randomness in the Prime Numbers, UCLA - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=PtsrAw1LR3E

Dogbone space - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Dogbone_space

ECDSA Security in Bitcoin and Ethereum: a Research Survey – CoinFabrik Blog
http://blog.coinfabrik.com/ecdsa-security-in-bitcoin-and-ethereum-a-research-survey/

La sucesión de Goodstein | Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sucesion-de-goodstein/

Wang Tiles and Aperiodic Tiling | order, rhythm and pattern
http://grahamshawcross.com/2012/10/12/wang-tiles-and-aperiodic-tiling/

Procedural World: Introduction to Wang Tiles
http://procworld.blogspot.com.ar/2013/01/introduction-to-wang-tiles.html

An aperiodic set of 13 Wang tiles
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X96001185

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Publicado el 1 de Mayo, 2017, 17:48

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National Pi Day Math Problems Solved! - Hut Life - Pizza Hut Brand Blog
http://blog.pizzahut.com/flavor-news/national-pi-day-math-problems-solved/

Character theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory

Selberg sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_sieve

Legendre's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_conjecture

Prime gap - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

Sieve theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_theory

Elliott–Halberstam conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott%E2%80%93Halberstam_conjecture

Yitang Zhang - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

Introducción a la Teoría Analítica de Números
http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/teoria_analitica_de_numeros/index.html

Hannah's Sweets: the GCSE maths problem that had students going crazy with frustration at Edexcel GCSE math exam
http://www.telegraph.co.uk/education/11652918/Students-vent-their-frustration-at-Edexcel-GCSE-maths-exam.html

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Publicado el 30 de Abril, 2017, 16:29

Hace un tiempo, en el post El Ultimo Teorema de Fermat (4) mostré un resultado de Fermat sobre la imposibilidad de tener un triángulo rectángulo de lados enteros cuya área sea un cuadrado. Ese resultado sirvió también para demostrar el caso n=4 del Ultimo Teorema de Fermat (ver post El Ultimo Teorema de Fermat (5))

Tambien presenté en el post El Ultimo Teorema de Fermat (1) que Fermat había enunciado su famoso Ultimo Teorema, en una copia de un libro de Diofanto, traducido y editado por Bachet de Meziriac. Pero éste último no sólo presenta a Diofanto, sino que también lo anota y acompaña con resultados propios.

Por ejemplo, las condiciones para que un número sea el área de un triángulo rectángulo de lados racionales aparecen en varios problemas de ese libro de Diofanto. Pero este autor griego sólo se contenta con presentar soluciones particulares de esos problemas, sino especificar condiciones necesarias o suficientes para que ese número existe. Pero Bachet agrega algunos resultados.

Notablemente da las condiciones suficientes y necesarias para que el área de un triángulo rectángulo racional sea un cuadrado. Veremos en este post una breve demostración de esta proposición. Pero lo interesante es ver que la preocupación de Fermat por las áreas
de los triángulos rectángulos viene no sólo de Diofanto sino también de Bachet.

Este último puso como condición necesaria y suficiente para que un número A sea área de un triángulo rectángulo racional, es que exista un número racional K tal que:

sea un cuadrado. Primero veamos que si se cumple esta condición, entonces 2A/K y K son lados de un triángulo rectángulo racional de área A, pues

implica, dividiendo por K2, que:

es decir, hay un triángulo racional con lados 2A/K y K. Pero el área de ese triángulo es la mitad de la multiplicación de sus lados, quedando:

Queda demostrado que partiendo de la condición de Bachet, A es el área de un triángulo rectángulo racional.

Veamos de demostrar que la condición de Bachet es necesaria cuando A es área. Sean K y H los lados de un triángulo rectángulo racional tal que su área es A:

Multipliquemos K y H, por K. Quedan K2 y HK. Estos, por proporción, son TAMBIEN lados de un triángulo racional. Entonces, la suma de sus cuadrados es un cuadrado:

Pero HK = 2A, queda entonces la condición de Bachet:

Fuentes consultadas: el monumental Dickson L.E.-History of the theory of numbers_ diophantine analysis. Volume 2 (1971) comienzo del capítulo XXII

Mencionado en el excelente Fermat's Last Theorem, a Genetic Intro de Edwards.

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Publicado el 29 de Abril, 2017, 9:20

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A Mathematician"s New Year"s Resolutions | Math with Bad Drawings
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Fermat's Last Theorem: Euler's Mistake
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