Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Julio, 2016, 14:41

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Pasemos al capítulo cuarto, con polinomios y anillos de polinomios.

Chapter 4 Polynomials and Polynomial Rings

El tema polinomios es un gran ejemplo de anillos. En el capítulo anterior, se vió que si K era cuerpo, K[x] era dominio de factorización única. En este capítulo, se presentan los polinomios sobre un anillo R[x] y se ve que si R es un DFU (dominio de factorización única) entonces R[x] es un DFU (pienso que estos resultados se remontan a trabajos de Gauss).

Primero se muestra que siendo R anillo conmutativo con unidad, entonces R[x] es anillo conmutativo con unidad. Es intersante lo frutífera que es esta forma de "generar" nuevos anillos. Se consideran polinomios irreducibles a los elementos irreducibles de R[x].

Se examinan con más detalle los F[x] cuando F es un campo. Se muestra que F[x] es entonces un dominio de integridad. Existe algoritmo de división en F[x], entonces F[x] es un dominio de ideales principales, y F[x] es un DFU.

Cuando se pasa a R[x] con R dominio de integridad, se presentan los polinomios primitivos: polinomios cuyos coeficientes no tienen un común divisor que no sea una unidad. Este es el tema que pienso introdujo Gauss. Ver mi serie Polinomios primitivos.

Notablemente, cuando R es dominio de integridad, K su cuerpo de fracciones, cada irreducible f(x) de R[x] es primitivo. Y todavía más, si f(x) es primitivo E irreducible en K[x] entonces es irreducible en R[x]. 

Hay un resultado de Gauss: la multiplicación de polinomios primitivos da un nuevo primitivo, si R es un DFU. Hay varios resultados sobre irreducibilidad, primitividad, en R y K. Es notable que un polinomio es irreducible en R[x], entonces también es irreducible en K[x], por más que parezca que en K[x] hay más polinomios para hacer la reducción. Y finalmente, se llega al resultado de Gauss: si R es DFU, entonces R[x] es DFU.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 28 de Junio, 2016, 0:25

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En el post anterior había quedado pendiente terminar con el capítulo 3:

Chapter 3: Prime Elements and Unique Factorization Domains (Continuación)

El gran tema que sigue es la discusión de los DFU (Dominios de Factorización Unica) en el contexto de los dominio de integridad cualesquiera. Digo que es un gran tema, porque no es evidente que existan dominios que NO sean de factorización única. Y además tiene su importancia en la historia de las matemáticas: la demostración fallida del teorema de Fermat de Kummer (en el siglo XIX) era notable, pero se fundaba en que el anillo generado por las raíces complejas p-ésimas de la unidad era un DFU, que sólo se cumple hasta p < 19. Este capítulo también menciona brevemente esto. Recordemos, un DFU D es un dominio de integridad D (esto es, sin divisores de cero, anillo conmutativo, con unidad, y 1 <> 0), cuando para cualquier elemento d, se cumple: d es 0, d es unidad, o d tiene una factorización única en primos. Y recordemos que p es primo si cada vez que p divide al producto ab, entonces se cumple p divide a a, o p divide a b (esto es algo que cambia un poco el concepto de primo que tenemos de los números naturales; aca no se habla de sus divisores, sino de lo que en los enteros sería el lema de Euclides; los elementos sin divisores asociados se llaman irreducibles).

Sea un dominio de integridad R. Mencionan cuatro propiedades:

A: por cada elemento a no unidad hay factores irreducibles q1, q2, ... qr tales que a = q1q2..qr

A': por cada elemento a no unidad hay factores primos p1, p2, ... p3 tales que a = p1p2..pr

B: toda serie de irreducibles q1,q2,..., qr y serie q'1, q'2,.... q'r tales que sean iguales sus multiplicaciones q1q2...qr = q'1q'2...q'r tienen cantidad iguales de elementos y sólo difieren en su orden

C: todo irreducible es primo

Entonces demuestran que R es DFU si y sólo si:

1) R satisface A y B
2) R satisface A y C
3) R satisface A'

Para mí, es un resultado notable, no trivial, que pone de manifiesto las relaciones entre irreducibles y primos.

Se cumple también que si R es un DFU, entonces hay infinitos primos.

Todo R que sea un dominio de ideales principales (es decir, todo ideal de R es generado por un solo elemento), entonces R es un DFU. Para probar esto, también prueban que si en R, cada cadena ascendente, por inclusión, de ideales de R es estacionaria (es decir, si a partir de un elemento de la cadena, todos los siguientes son iguales), entonces R es un DFU.

Consideran el anillo de los polinomios F[x] sobre un campo F, y demuestran que también es un DFU. Para esto, muestran que en F[x] existe un algoritmo de división. Llegados a este punto, se menciona la norma en un anillo, como forma de implementar un algoritmo de división. Los anillos con norma se llaman anillos euclideanos (curiosamente, mencionan también como anillos noetherianos a los que cumplen con la condición de toda cadena ascendente de ideales es estacionaria; debe ser equivalente a otra condición de los anillos noetherianos: que todo ideal sea generado por una cantidad finita de elementos). Armados del algoritmo de división para dominios con norma, demuestran que esos dominios son dominios de ideales principales (ideales generados por un solo elemento) y entonces son DFUs.

Es un hermoso camino, no trivial pero tampoco con grandes dificultades. Entonces se deriva que los a+ib con a, b enteros (los enteros de Gauss, con i la raíz imaginaria) tienen norma, y entonces, forman un DFU. No todo primo en Z es primo en Z[i]. Los primos en Z[i] se llaman primos gaussianos. Los primos en Z se llaman primos racionales. Incluso los enteros de Z se llaman enteros racionales para no confundirlos con enteros de otros dominios.

Por ejemplo, el primo racional 29 NO ES primo gaussiano: 29 = (5+2i)(5-2i). Si nos fijamos bien en esto, se ve que todo primo racional que es suma de dos cuadrados enteros NO ES primo gaussiano. Ya Fermat demostró que esos primos son TODOS los de la forma 4m+1. Que curioso, vean cómo todo se va conectando en matemáticas, de Fermat a Gauss y de vuelta...

Ha sido un largo capítulo, pero con resultados muy interesantes.

Ver también:

Gaussian integer
Table of Gaussian integer factorizations

Ver también

Unique factorization domains

Donde se muestra una interesante relación de inclusión, ejemplo, todo dominio euclídeo es dominio de ideales principales, y todo dominio de ideales principales es DFU. Curiosamente hay DFUs QUE NO SON dominios de ideales principales y entonces, tampoco son dominios con norma. El caso más destacable es R[x] con R DFU, que no es dominio de ideales principales en general, a no ser que R sea un campo. Este artículo también muestra resultados modernos sobre condiciones suficientes para ser un DFU.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 27 de Junio, 2016, 14:24

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Sigo comentando este libro con tantos temas interesantes, que ponen bastante en perspectiva las estructuras matemáticas más comunes.

Chapter 3: Prime Elements and Unique Factorization Domains

En el segundo capítulo se vió que Z es un dominio de ideales principales, y no sólo eso, sino también que sus dominios primos eran maximales. Muchas de las propiedades de Z se encuentran en otros anillos, pero no todas. Es interesante ver esa diferencia. Una propiedad muy característica de Z es que los enteros se factorizan en primos de una forma única. Pues es una gran sorpresa (por lo menos para mí no evidente) que no todos los anillos tienen esta propiedad, aún los anillos compuestos por números. Uno tal vez lo podría esperar de anillos de matrices o de polinomios o de anillos más complicados. Pero el llamado "teorema fundamental de la aritmética" no siempre se cumple en cualquier anillo. Los anillos que lo cumplen se llaman DFU (dominios de factorización única). En este capítulo se demuestra el teorema fundamental de la aritmética. Se pone como punto de partida de la teoría clásica de números a la divisibilidad (propiedad definible en todos los anillos, a divide a b, si existe c tal que ac = b). Se presenta el algoritmo de división entre los enteros. Dado este algoritmo, se puede demostrar la existencia del máximo común divisor entre los enteros. De nuevo, apelando al algoritmo de división, es posible usar el algoritmo de Euclides para encontrar ese máximo común divisor. Se demuestra también el importante lema de Euclides, si p es primo y divide a ab, entonces divide a a, o divide a b. Dado todo esto, es posible llegar al teorema fundamental de la aritmética. Hay demostración de la infinitud de primos. Pero el giro importante que hace el capítulo es ir más allá de los enteros. Habiendo enunciado todos estos lemas y propiedades de Z, examina qué se puede hacer en un anillo dominio de integridad cualquiera. De nuevo, parte de la divisibilidad. Se llama unidad a en R, a cualquier a que tenga un b tal que ab = 1. Y lo nuevo: la definición de primo para un dominio de integridad. Se dice p es primo, cuando p divide a ab, implica que p divide a a o p divide a b. Esto es distinto de lo que usualmente consideramos como primo. Mientras esta propiedad es el lema de Euclides para primos en Z, acá es la DEFINICION de primo. Para los elementos de R que no pueden descomponerse en otros elementos y que tampoco son unidades, se les dice irreducibles. Es decir, c es irreducible si no es unidad, y no existen a,b tales que ab = c. Finalmente, a y b se llaman asociados si existe unidad e tal que a = eb. Se ve fácil que es una relación de equivalencia. Notablemente hay dominios de integridad donde hay elementos irreducibles que no son primos. Un concepto importante para mostrar esto, es el de norma, que permite dar cuenta del "tamaño" de un número en un sistema no ordenado como el de los complejos. Es notable que haya esta diferencia entre primos e irreducibles en algunos dominios de integridad. Lo que sí se cumple, es que todo elemento primo es irreducible. Los elementos primos p de R hacen del ideal pR un ideal primo. Y un tema no evidente: p es irreducible si y sólo si pR es ideal maximal entre los ideales principales de R. Todo esto último permite llegar a la equivalencia de primos e irreducibles en los anillos que sólo tienen ideales principales. Es ahí donde se puede asegurar que todo primo si y sólo si es irreducible.

Continuaré con el comentario de este interesante capítulo en próximo post.

Nos leemos!

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Publicado el 26 de Junio, 2016, 15:27

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Sigo comentado este libro. Comienzo hoy con una enumeración de los temas por capítulo.

Chapter 1: Groups, Rings and Fields

En realidad, presenta primero anillos, como estructura, luego campos (lo que para nosotros, con libros en español, serían cuerpos conmutativos), dominios de integridad (anillo conmutativo con unidad 1 <> 0, y sin divisores de cero), campo (anillo conmutativo con unidad distinta de cero, y donde cada elemento distinto de cero es una unidad, es decir, tiene inverso). Hay resultados básicos como Zp es dominio de integridad si y sólo si p es primo, y todo dominio de integridad finito es un campo. Luego aparecen subanillos, y una estructura importante, los ideales. Dado un ideal I del anillo R, se puede armar el anillo cociente R/I, teniendo bien definidas las operaciones de suma y producto en los elementos (conjuntos) de R/I. Se describen los homomorfismos, núcleo e imagen de homorfismo. Y se trata el importante cuerpo de fracciones de un anillo, que nos lleva a extender cualquier anillo a "puntos" cercanos a un punto, como pasa cuando pasamos de los enteros a los racionales. Se define campo primo como un campo que no tiene subcampos no triviales. Notablemente, todo campo tiene un campo primo. Cuando en un anillo conmutativo, sumar n veces la unidad da cero, entonces n es la característica del anillo. Todo anillo tiene característica 0, o tiene característica número primo. Lo mismo con los campos. Finalmente, se presentan los grupos y sus primeras propiedades.

Chapter 2: Maximal and Prime Ideals

La estructura de ideales es una de las más fructíferas del álgebra moderna. En este capítulo se presenta y discuten las propiedades de los ideales maximales, ideales no triviales de un anillo R, que no tienen un ideal no trivial que los contenga. Como en muchas ocasiones van a aparecer cadenas "crecientes" de ideales, es importante conocer la existencia de ideales maximales. Un ideal es primo, si ab pertenece a I, entonces a pertenece a I, o b pertenece a I. Es una generalización de la principal propiedad de los números primos naturales. Vean que no se apela a ver si un ideal se puede descomponer en otros, eso dará lugar a un concepto distinto en el reino de los ideales, los ideales irreducibles. Si I es ideal primo, entonces el anillo cociente R/I es un dominio de integridad y viceversa. Si I es ideal maximal en un anillo conmutativo con unidad distinto de cero, entonces R/I es un campo. Hay ideales que pueden ser generados por un conjunto de elementos. Si el conjunto es de un solo elemento, I se llama ideal principal. Un dominio de ideales principales es un dominio de integridad donde todos sus ideales son principales, es decir, son generados por un solo elemento. Notablemente, Z es un dominio de ideales principales.

Por hoy suficiente, son varios temas a estudiar y repasar. Espero seguir con los siguientes capítulos en los próximos posts.

Nos leemos!

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Publicado el 22 de Junio, 2016, 6:47

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Fintech: Transformation, or Global Revolution?
http://www.huffingtonpost.co.uk/damian-kimmelman/fintech-transformation-or-global-revolution_b_9157198.html

Figo API | ProgrammableWeb
http://www.programmableweb.com/api/figo

Africa's big banks are betting on fintech startups and bitcoin to beat disruption - Quartz
http://qz.com/618674/africas-big-banks-are-betting-on-fintech-startups-and-bitcoin-to-beat-disruption/

U.S. presses retail banks to help millions of 'unbanked' Americans
http://www.reuters.com/article/us-banking-cfpb-idUSKCN0VC0CS

Fintech landscape, big data, regulation, and innovation
http://kevin-moseri.de/the-fintech-landscape-2015-interview-with-kevin-moseri/

Are banks still cynical about the Fintech Revolution?
http://kevin-moseri.de/are-banks-cynical-about-the-fintech-revolution

Swanest (@Swanest_) | Twitter
https://twitter.com/Swanest_

Hannes Bernstein (@HannesBernstein) | Twitter
https://twitter.com/HannesBernstein

Swanest | Your Digital Investment Assistant
https://swanest.com/home

HSBC to be first global victim of digital, Deutsche Bank will follow: Moven founder Brett King - The Economic Times
http://economictimes.indiatimes.com/opinion/interviews/hsbc-to-be-first-global-victim-of-digital-deutsche-bank-will-follow-moven-founder-brett-king/articleshow/50990845.cms

Fintech IT Trends 2016 | Augusto Fernandez Villa | LinkedIn
https://www.linkedin.com/pulse/fintech-trends-2016-augusto-fernandez-villa

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Hawk: Privacy-Preserving Blockchain and Smart Contracts
http://oblivm.com/hawk/index.html

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Publicado el 20 de Junio, 2016, 18:58

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Estoy estudiando varios temas de matemáticas, y he topado con el muy buen libro "Abstract Algebra" de Celine Carstensen, Benjamin Fine, y Gerhard Rosenberg. Es un libro que toca muchos temas que me interesan. Leo hoy:

Abstract algebra or modern algebra can be best described as the theory of algebraic structures. Briefly, an algebraic structure is a set S together with one or more binary operations on it satisfying axioms governing the operations. There are many algebraic structures but the most commonly studied structures are groups, rings, fields and vector spaces. Also widely used are modules and algebras...

Ellos dividen en:

...Mathematics traditionally has been subdivided into three main areas – analysis, algebra and geometry. These areas overlap in many places so that it is often difficult to determine whether a topic is one in geometry say or in analysis. Algebra and algebraic methods permeate all these disciplines and most of mathematics has been algebraicized – that is uses the methods and language of algebra. Groups, rings and fields play a major role in the modern study of analysis, topology, geometry and even applied mathematics...

Los orígenes, por un lado la teoría de números:

Abstract algebra has its origins in two main areas and questions that arose in these areas – the theory of numbers and the theory of equations. The theory of numbers deals with the properties of the basic number systems – integers, rationals and reals while the theory of equations, as the name indicates, deals with solving equations, in particular polynomial equations. Both are subjects that date back to classical times. A whole section of Euclid"s elements is dedicated to number theory. The foundations for the modern study of number theory were laid by Fermat in the 1600s and then by Gauss in the 1800s. In an attempt to prove Fermat"s big theorem Gauss introduced the complex integers a C bi where a and b are integers and showed that this set has unique factorization. These ideas were extended by Dedekind and Kronecker who developed a wide ranging theory of algebraic number fields and algebraic integers. A large portion of the terminology used in abstract algebra, rings, ideals, factorization comes from the study of algebraic number fields. This has evolved into the modern discipline of algebraic number theory....

Por otro, la resolución de ecuaciones:

The second origin of modern abstract algebra was the problem of trying to determine a formula for finding the solutions in terms of radicals of a fifth degree polynomial. It was proved first by Ruffini in 1800 and then by Abel that it is imposible to find a formula in terms of radicals for such a solution. Galois in 1820 extended this and showed that such a formula is impossible for any degree five or greater. In proving this he laid the groundwork for much of the development of modern abstract algebra especially field theory and finite group theory. Earlier, in 1800, Gauss proved the fundamental theorem of algebra which says that any nonconstant complex polynomial equation must have a solution. One of the goals of this book is to present a comprehensive treatment of Galois theory and a proof of the results mentioned above...

Y aparece la geometría algebraica:

The locus of real points (x, y) which satisfy a polynomial equation f(x, y) = 0 is called an algebraic plane curve. Algebraic geometry deals with the study of algebraic plane curves and extensions to loci in a higher number of variables. Algebraic geometry is intricately tied to abstract algebra and especially commutative algebra.

Y cómo olvidar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

Finally linear algebra, although a part of abstract algebra, arose in a somewhat different context. Historically it grew out of the study of solution sets of systems of linear equations and the study of the geometry of real n-dimensional spaces. It began to be developed formally in the early 1800s with work of Jordan and Gauss and then later in the century by Cayley, Hamilton and Sylvester.

En los próximos post, espero describri los contenidos de sus capítulos

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Publicado el 18 de Junio, 2016, 15:16

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Course Builders Laboratory | Webinar
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Referencias, o cómo conseguir que nos recomienden
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Cómo empezar a trabajar online - Parte 2 | Freelancear
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Cómo empezar a trabajar online – Parte 1
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Design In Tech Report 2015 — Kleiner Perkins Caufield Byers
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(Traditional) Online versus Digital Banking - FinTech Forum
http://www.fintechforum.de/traditional-online-versus-digital-banking/

100+ websites to submit your startup
http://w3startup.com/wiki/9/100-websites-to-submit-your-startup/

What Makes Uber Run | Fast Company | Business + Innovation
http://www.fastcompany.com/3050250/what-makes-uber-run

Brian Helmick: Tips for Creating a Profitable Startup | Stanford Graduate School of Business
https://www.gsb.stanford.edu/insights/brian-helmick-tips-creating-profitable-startup

12 basic questions you should know when pitching a business idea
http://magnuskjoeller.dk/12-basic-questions-you-should-know-when-pitching-a-business-idea/

Chat Banking: The Path to Ubiquitous Mobile Banking — The Neobanker — Medium
https://medium.com/the-neobanker/chat-banking-the-path-to-ubiquitous-mobile-banking-357c261ffeee

The Four Best Productivity Tricks I Learned At Google | Fast Company | Business Innovation
https://www.fastcompany.com/3050258/know-it-all/the-four-best-productivity-tricks-i-learned-at-google

OpenDron - Servicios, Ventas, Alquileres y Reparaciones de Drones
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5 Financial Ratios Every Entrepreneur Should Know | Inc.com
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INTAL D-Tec - Endeavor Argentina y el BID
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This Is What Impactful Engineering Leadership Looks Like - First Round Review
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Publicado el 15 de Junio, 2016, 6:15

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Sean dos números naturales cualquiera, a y b. Entonces existen números únicos naturales q, r tales que:

Cumpliendo:

Examinemos el conjunto de pares q, r que cumplen la primera condición. Si a < b, entonces se cumple:

Y q=0, r=a. Si a >= b entonces se cumple:

Y q=1, r=a-b. Tenemos entonces que el conjunto de los pares q, r no es vacío. Tomemos los valores de los r, que son naturales. Por propiedad de los conjuntos de números naturales, hay un valor que es el mínimo. Sea ese valor r >= b, con a=qb+4. Pero entonces:

Y q+1, r-b también existe, y r-b < r que era el mínimo, contrariamente a lo supuesto.

Esto demuestra que, al existir el mínimo r natural tal que a = qb + r, éste es 0 <= r < b, como se quería demostrar.

Es una interesante propiedad, conocida como el algoritmo de división. Vean que no usamos primos: es algo de los números naturales. Fácilmente se puede extender a los enteros, obteniendo un resto r que sea menor o igual en valor absoluto al valor absoluto de b.

Veremos en próximo post, cómo este algoritmo permite establecer el máximo común divisor de a y b, y de nuevo llegaremos a probar que si el número p primo divide al producto de dos números cualesquiera ab, entonces divide al número a o divide al número b. En anterior post vimos la demostración de esta importante propiedad de los números primos. En otras estructuras, es prácticamente LA DEFINICION de algo primo, pero por ahora estamos explorando los números naturales y enteros.

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Publicado el 14 de Junio, 2016, 5:40

Uno de los libros de matemáticas que estuve leyendo en este tiempo, es el "Abstract Algebra, Structure and Application" de David R. Finston y Patrick J. Morandi, editado por Springer. Es un libro que se adentra en algunos conceptos de álgebra abstracta, pero siempre teniendo a la vista alguna aplicación concreta. Esto hace que sea interesante de leer, y una buena introducción a temas más especializados o más matemáticos/abstractos.

Quiero describir brevemente su contenido.

Capítulo 1: Identification Numbers and Modular Arithmetic

Donde describen algunos números como los códigos ZIP de EE.UU., el Universal Product Code, los International Standard Book Numbers. Esto sirve para introducir la aritmética modular, y la detección de errores en esos números.

Capítulo 2: Error Correcting Codes

Expande el tema del anterior capítulo, introduciendo la eliminación gaussiana en la resolución de matrices y sistemas de ecuaciones, y los primeros espacios vectoriales. Aparecen los códigos de Hamming para corregir errores. Para encontrar más fácilmente el error en un código, discuten el co-conjunto (coset) de decodificación, y síndromes. Es interesante para mí encontrar esta aplicación, que no conocía. Describen el código Golay extendido usado por la NASA en los ochenta y noventa del siglo pasado, para transmitir imágenes de Júpiter y Saturno tomadas por el Voyager.

Capítulo 3: Rings and Fields

Aparece el álgebra más abstracta, partiendo de los conceptos de números como enteros, reales, complejos. Definen anillo y sus primeras propiedades. Asumen en general que en un anillo R la unidad y el cero son distintos. Muestran algunos ejemplos, como el anillo de matrices cuadradas, y otros sobre funciones continuas, los polinomios R[x], y las operaciones de unión e intersección de conjuntos. Aparecen los anillos Zn sobre los enteros. Es natural entonces pasar a los campos, los racionales, el campo de fracciones de un anillo, los reales y complejos. Así como los primeros ejemplos de extensión de un campo, como cuando agregan raíz cuadrada de 2 al campo de los racionales.

Capítulo 4: Linear Algebra and Linear Codes

Se tratan los espacios vectoriales, con propiedades y primeros ejemplos; los subespacios vectoriales; independencia lineal; generación (spanning) y bases. Mencionan pero no prueban la existencia de una base. Definen transformaciones lineales, su relación con matrices en caso de espacios vectoriales con dimensión finita, la igualdad de las trazas de matrices nxn similares. Y como aplicación ponen los códigos lineales, subespacios de Z2 a la n ("vectores" compuestos de n elementos que valen cero o uno).

Capítulo 5: Quotient Rings and Field Extensions

Interesante capítulo, donde aparecen las operaciones de los polinomios R[x], su algoritmo de división, el concepto de ideales de un anillo, ideal principal, F[x] como ideal principal si F es un campo, el cociente R/I y la demostración de que es un anillo si I es un ideal, elementos irreducibles en un anillo, polinomios irreducibles en el anillo F[x] donde F es campo. Visitados estos preliminares, aparece el gran tema de extensiones de campos. Una notable proposición F[x]/I es una extensión del campo F, si I=(f) es el ideal generado por un polinomio irreducible f en F. También se cumple que si F[X]/(f) es campo, entonces f es irreducible. Retomando espacios vectoriales, se ve a la extensión K de F, como un F-espacio vectorial de K, y se define [K : F] su dimensión, un tema que cobrará relevancia en capítulos posteriores. En el caso f polinomio irreducible [F[x]/(f)] = grado de f. Se demuestra la fórmula de dimensión: si K es extensión de F, y L es extensión del campo K, se tiene [L : K][K : F] = [L : F], aun en los casos infinitos. Se conecta f irreducible con sus raíces alfa, mostrando que I = { g miembro de F[x] : g(alfa) = 0 } es un ideal. En resumen: con las raíces de un polinomio irreducible en F[x] se puede ir extendiendo el campo F. Se definen los números algebraicos.

Capítulo  6: Ruler and Compass Constructions

Un capítulo muy interesante porque aborda un tema que muchas veces no es tratado, o no es tratado en detalle: la construcción de números/segmentos usando regla y compás. Usando los resultados y conceptos de los capítulos anteriores muestra que estas construcciones van formando una cadena de campos partiendo de Q (los racionales), de tal manera que cada campo tiene la misma dimensión o el doble que la anterior. Con lo que solamente se construyen campos K tales que [K : Q] sea una potencia de dos. Pone contraejemplos de no construibles, como la trisección de un ángulo o la duplicación de un cubo, así como el resultado de Gauss de armar un polígono regular de 17 lados, cumpliendo 17-1 ser una potencia de dos (creo que Gauss no llegó a demostrar el resultado general). Es muy instructivo ver cómo se va desarrollando el argumento, y debe ser uno de los desarrollos abstractos dirigidos a resolver un problema concreto más interesante del libro.

Capítulo 7: Cyclic Codes

Vuelta a los códigos, construyendo sobre anillos cocientes de Z2[x], asegurando cierta corrección de errores. No recordaba esta aplicación de anillos cocientes sobre un anillo de polinomios. Aparecen los campos finitos también, así como los polinomios mínimos, sus raíces, y los códigos de Reed-Solomon.

Capítulo 8: Groups and Cryptography

Por primera vez, tratan el gran tema de grupos, y para estar acordes con su intención inicial, lo muestran relacionado con una de sus aplicaciones en criptografía. Definen subgrupos, enuncian y demuestran el teorema de Lagrange, y hasta el teorema de Euler-Fermat. Para criptografía, describen RSA (Rivest, Shamir, Adleman), y el uso de números primos en este sistema. Finalmente, mencionan la firma segura usando RSA.

Capítulo 9: The Structure of Groups

Mientras que en el anterior capítulo se usan grupos abelianos (conmutativos) acá se presentan las propiedades de grupos más generales, subgrupos, subgrupos normales, homomorfismos, núcleos, productos directos, grupos cocientes. Es una buena introducción a lo que es la matemática abstracta de una estructura.

Capítulo 10: Symmetry

Finalmente, vuelven sobre otra conexión entre álgebra y geometría (luego de la construcción con regla y compás). Discuten congruencias, isometrías, traslaciones, rotaciones, la preservación de las distancias y de los ángulos, el grupo lineal Gln(R), el grupo ortonormal On(R), su subgrupo SOn(R), reflexiones, composición de isometrías, isometrías en el plano, productos semidirectos, grupos de simetría, con ejemplos. Y culminan con la presentación y enumeración de grupos, por ejemplo, en frisos (7 grupos), y teselados del plano (17 grupos), cinco grupos de "lattice" (enrejado).

Realmente consiguen recorrer muchos temas interesantes, y dejan la puerta abierta para otros. Por ejemplo, sería interesante sumergirse en la teoría Galois, luego de ver las extensiones de campos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 10 de Junio, 2016, 5:44

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En los anteriores posts estuvimos explorando la expresión matemática del espectro continuo. Vimos de desarrollar la función de estado de manera análoga al caso discreto. Cuando en este último usábamos una sumatoria de coeficientes y funciones propias, ahora tenemos:

Y los coeficientes af se obtienen "confrontando" la función de estado original con las funciones propias:

Hoy, sustituyamos el coeficiente af en la primera ecuación, por su expresión en la segunda:

Vean que hubo que renombrar q a q prima, porque es distinta de la q "de afuera" que tiene la ecuación. Esto es igual a:

O sea, integramos Psi por el corchete, recorriendo q prima, y obtenemos Psi en q. Esto solo es posible si:

Donde de nuevo aparece la función de Dirac. Es una relación análoga a la encontrada en el post anterior:

En la segunda ecuación de arriba, podemos considerar a los coeficientes af, como funciones de f:

Esto pone en evidencia que es una función que se puede desarrolla en coeficientes:

Multiplicados por las funciones propias conjugadas:

Mientras que la primera ecuación:

Muestra que la función de estado puede desarrollarse con coeficientes:

Multiplicados por las funciones propias:

Hay un "entremezclamiento" entre las funciones de los coeficientes y las funciones de estado. CADA UNA de ellas determina completamente el estado, conocido el sistema de las funciones propias. Se dice que a(f) es la función de estado en representación f (de los autovalores), y Psi(q) es la función de estado en representación q (de las coordenadas). Veremos más adelante ejemplos de sus usos, y de nuevo, la forma de pasar de una representación a otra.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 7 de Junio, 2016, 6:08

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Si tenemos un operador que al actuar sobre un vector produce un vector que es un múltiplo escalar del primero:

Donde a es un escalar, entonces llamamos a ese vector un autovector (eigenvector) y al valor escalar un autovalor (eigenvalue). Para operador adjunto, recordando la correspondencia antilineal entre bras y kets, queda:

De esto, y del post anterior, podemos demostrar el teorema: Los autovalores de un operador hermítico son reales.

Pues sea A hermítico entonces:

En particular:

Sustituendo el operador por el autovalor a:

Y se sigue, como el autovalor es escalar, se puede mover a la izquierda:

Y para eso, se cumple:

Es decir, el autovalor es valor real, es su propio conjugado complejo.

De esto también se sigue que para el bra se tienen los mismo autovalores:

Esto tiene una consecuencia muy importante para el tema de esta serie de posts. Vamos a ver que en física, ante una magnitud física, nos interesa saber su valor. Y los valores interesantes que se encuentran en física clásica (y también en cuántica) son REALES, no COMPLEJOS. Notablemente, esas magnitudes físicas estarán representadas por operadores HERMITICOS, que al operar sobre un vector de estado podrán extraer AUTOVALORES REALES, que corresponderán a los valores de la magnitud física que estemos examinando.

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Publicado el 4 de Junio, 2016, 14:22

Ya pasó casi la mitad del año. Tantas cosas por hacer, aprender, compartir. Veo hoy de poner resultado de las resoluciones del mes anterior, y escribir las de este nuevo mes de junio.

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de números [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados [pendiente]
- Continuar mi serie sobre el teorema de Gödel [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman [pendiente]
- Continuar mi serie sobre John Stuart Mill [pendiente]
- Comenzar una serie sobre Relatividad [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además publiqué:

Primer Amor en Matemáticas
Espacios Métricos (1)
El Desarrollo de las Matemáticas y la Física, por Hermann Weyl

Estuve preparando el tema del teorema de Fermat, pero tengo que decidir mejor el próximo paso para explicar el caso n=3. Supongo que expondré el resultado clásico, con alguna laguna en el razonamiento (la misma de la primera demostración de Euler), y luego a completarla. No parece haber compleción usando enteros, habrá que apelar a números complejos.

Curiosamente, investigando del tema, me topé con que para los anillos con número de clase igual a uno, se cumple la factorización única.

En el caso de la hipótesis de Riemman, encontré mejor información sobre la función zeta, pero me falta organizala para presentarla. Hay que mostrar que converge para s > 1, y también para s complejo, con parte real re(s) > 1.

El tema primos suma de dos cuadrados es un tema inmenso y muy interesante, que tiene relaciones con las formas cuadráticas y más temas.

Para este mes, quiero seguir con:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang
- Estudiar blues en guitarra

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Publicado el 3 de Junio, 2016, 6:08

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Publicado el 31 de Mayo, 2016, 6:15

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En el anterior post vimos una propiedad importante de los números primos. Ver también mi serie: Números primos.

Hoy veremos una proposición simple, pero donde usaremos por primera vez el principio de inducción (con más precisión, una de sus formas). La proposición es: todo número natural es producto de números primos.

Es sencilla la demostración, si aplicamos inducción. Primero, suponemos:

Es claro que no hay primos que lo dividan, podemos decir que es el producto vacío de primos, considerando que el uno no es un primo.

Luego consideramos:

Y por inducción, suponemos que todos los números naturales menores que n son factorizables en primos. Para n mayor que uno hay dos caminos:

Por definición de primo, no tiene divisores primos más que él mismo. Es el producto de un solo primo, n mismo.

El otro camino, que sea compuesto, con por lo menos dos factores, naturales, mayores que 1:

Estamos manejando naturales, lo que implica que a y b no pueden ser mayores o iguales que n. Por hipótesis de inducción, son productos de primos. Entonces, el propio n es un producto de primos.

Este es un resultado simple, pero que muestra el trabajo de una demostración. Muchas veces tenemos propiedades "evidentes", pero aún así, en algún momento tenemos que luchar por la demostración. Matemáticas no es sólo demostración: ésta se encuentra solamente como uno de los pasos en el viaje matemático. Gran parte de las matemáticas es imaginación, poder creativo, darse cuenta de patrones y relaciones. Pero siempre es importante volver al rigor, y cualquier cosa que se proponga, tratar de encontrar la demostración adecuada.

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Publicado el 29 de Mayo, 2016, 15:37

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Sigamos explorando la formulación matemática del espectro continuo. En el anterior post, por analogía a las sumatorias del caso discreto, llegamos a las integrales:

Para expresar cualquier función de onda de las coordenadas, donde los coeficientes son:

Recordemos: los coeficientes af ahora dependen de f, son como funciones a(f). Y por cada autovalor f posible en el espectro continuo, hay una autofunción:

De nuevo, aun una autofunción asociada a cada autovalor f.

Para que estas relaciones integrales se cumplan, basta con la condición:

Donde delta es la "función" de Dirac. Pongo función entre paréntesis porque tiene propiedades que no pueden asimilarse a una función normal. Fue recién a mediados del siglo pasado que pudo incorporarse formalmente a los conceptos matemáticos. Esa función vale 0 para un argumento distinto de 0, y vale infinito su argumento igual a cero, pero con la condición:

Es un aporte original de Dirac. La idea es que esta función, sobre un rango infinito de valores reales, da siempre 0, excepto para el origen.  Combinada en la integral anterior, es la forma de expresar la "ortogonalidad" de dos autofunciones de onda: su multiplicación integral da 0, si son distintas, da 1 si son iguales. Con esta nueva relación, desarrollemos:


Vean que el "f interior" al integral, quedo como f" (f prima) para diferenciarla da la "f exterior". Se sigue

Como se quería demostrar.

Este es nuestro primer encuentro con la función de Dirac. Resulta como "paso al límite" de las condiciones de ortogonalidad que teníamos para las autofunciones en el caso discreto. Lo importante ahora es que tenemos una base matemática para tratar el caso discreto y el continuo.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 28 de Mayo, 2016, 19:29

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Hay una clase de operadores muy importante en física cuántica. Ya vimos los operadores adjuntos en el post. Recordemos, el operador adjunto de un operador cumple:

Para cualquier par de vectores. Hay operadores que son igual a su adjunto, es decir, que cumplen:

Se llaman operadores autoadjuntos. Tambien se los llama hermíticos, como a las matrices hermíticas donde se cumple:

Justamente, porque cuando un operador autoadjunto puede expresarse como una matriz (lo que no siempre pasa, hay espacios de dimensiones infinitas), sus matrices son hermíticas.

Hay un notable teorema, que permite identificar operadores hermíticos. Si se cumple

Para todos los vectores psi, entonces se sigue que:

Para todos los pares de vectores, y entonces el operador A es hermítico. Para demostrarlo observemos que si:

Para valores a, b y vectores phi1, phi2 cualesquiera, entonces desarrollando:

Pero se sabe que:

Si seguimos desarrollando queda:


Pero esto, por hipótesis es igual a su propio conjugado:

Entonces es un valor real. Los dos primeros términos de la suma son también reales, porque por hipótesis tanto

Como

Son reales, y sus factores, los valores absolutos de a y b son también reales. Veamos los dos últimos términos:

Tomando a=b=1, queda:

Tomando a=1, b=i (la raíz de menos uno), tenemos:

Sacando i de esta ecuación y sumándola con la anterior, obtenemos:

Que es lo que queríamos demostrar.

Escribí que este teorema es notable, porque partiendo de una condición particular logra demostrar una condición más general. Esto es parte de la magia de usar números complejos: no existe un teorema similar si empleamos coeficientes reales. Los números complejos tienen una estructura que permite que este tipo de relaciones aparezca.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Mayo, 2016, 5:40

Investigando algunos temas, esta semana me topé con el libro "A Course in Point Set Topology" de John B Conway, matemático americano, dedicado al análisis funcional. Tengo que estudiar ese tema, porque cada vez más va a aparecer en algunos posts que estoy escribiendo, como Matemáticas y Física Cuántica. Es interesante compartir por qué Conway escribe un libro sobre Topología General. He aquí la explicación, al comienzo del prefacio:

Point set topology was my first love in mathematics. I took the course as an undergraduate at Loyola University in New Orleans and my professor, Harry Fledderman, told me to go to the library and solve all the problems in the book while he tutored the other student who had signed up for the course. (Yes, I know it sounds strange today, but there were only two students in the course.) I kept a notebook with my solutions, and once a week I reported for his inspection of my work. I felt like a real mathematician learning real mathematics. It had a great influence on me and made me realize how much I wanted to be a mathematician. Even now I can"t tell you whether the love I have for point set topology was the cause of this feeling or whether that love was a consequence of this learning style. I was disappointed to later discover that research in this area had mostly petered out. I found equally attractive research areas in which to sow my oats, but I always retained this youthful love affair.

Es una forma muy interesante de estudiar matemáticas, y ya me he encontrado más de una vez con algún profesor que adopta este camino para un estudiante brillante.

Más adelante Conwayexplica las elecciones de contenido de este libro. Me gusta como plantea los temas, de lo particular a lo general:

Following my philosophy of beginning with the particular, I start with metric spaces. I believe that these are far easier to connect with students"experience. They also seem to me to be the more prevalent topological spaces used in other areas and are therefore worth extra emphasis. Chapter 2 defines and develops abstract topological spaces, with metric spaces as the source of inspiration. I narrow the discussion by quickly restricting the focus to Hausdorff spaces. Needless to say, some of the more elementary arguments in topological spaces are the same as those in metric spaces. There is no problem here; I just refer students to the metric space proof and invite them to carry out the analogous argument, which in most cases is almost identical.

Y toma una curiosa decisión en el último capítulo: concentranrse en las aplicaciones continuas antes que en las propiedades del espacio en estudio:

Chapter 3 concentrates on continuous real-valued functions. My belief is that the continuous functions on a space are more important than the underlying space. Maybe that"s because I"m an analyst. I know that much of modern topology concentrates on the underlying geometry of a space, but surely that must be saved until after the student has encountered the need.

Tengo que estudiar alguna parte, especialmente Espacios Métricos, para lo que estoy escribiendo.

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Publicado el 21 de Mayo, 2016, 7:01

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The fintech revolution | The Economist
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15 Fintech Startups To Watch In 2015 - Forbes
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Discovering new business models with the Internet of Things | The Big Data Hub
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Nextdoor existe porque los periódicos locales perdieron la ocasión de ser Nextdoor
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Why London's Fintech Startup Scene Is Growing Fast | American Banker
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A new breed of startups is redefining recruitment in India
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Banks' Real Fight with Fintech: Who Owns the Customer? | American Banker
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So You Want To Build A Full Stack Startup In Fintech? | TechCrunch
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Fintech 2.0 Is Just Around The Corner: Santander
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Ex-Googlers Raise $6M For Connectifier, An AI Approach To Recruitment Search | TechCrunch
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Publicado el 20 de Mayo, 2016, 6:02

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8 Tips from Entrepreneurs Who Grew Startups into Successful Businesses | Inc.com
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8 Changes To Make If You Really Want To Be Successful
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6 Steps To Success For An Entrepreneurial Mindset | Addicted 2 Success
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The Uberization of Banking
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Helpshift Introduces Baishampayan Ghose, CTO & CoFounder
https://www.helpshift.com/blog/helpshift-introduces-baishampayan-ghose-cto-co-founder/

(53) What is the most bizarre startup that became successful that everyone had doubts about? - Quora
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We Have Liftoff - Alumni - Harvard Business School
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Sir Richard Branson on entrepreneurship | London Business School - YouTube
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Jack Welch: "Go be an entrepreneur" | London Business School - YouTube
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El constructor del futuro - Santiago Bilinkis
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An MVP is not a Cheaper Product, It"s about Smart Learning — Medium
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Reinventing Organizations - Home
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Silicon Valley empuja a América Latina | Tecnología | EL PAÍS
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Malcolm Gladwell's 5 Best Life Lessons for Entrepreneurs | Inc.com
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Breaking Bad is the ultimate Startup Lesson — Medium
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How to Growth Hack Your Content Marketing [PODCAST] | Unbounce
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The Sum of Its Parts
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3 Rules From Richard Branson for Hiring Remarkable People
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How Super Angel Chris Sacca Made Billions, Burned Bridges And Crafted The Best Seed Portfolio Ever - Forbes
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Diving into market spaces - Business School - Companies & Management Video - FT.com
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3 Really Surprising Things You Didn't Know About Steve Jobs | Inc.com
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I Am Sam Altman, President of Y Combinator. AMA | Hacker News
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How Slack Uses Slack | Fast Company | Business Innovation
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Why Do Startups Fail? — Entrepreneurial Insights — Medium
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How 'venture builders' are changing the startup model | VentureBeat | Business | by Ali Diallo, Media Investment Tech Ventures
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