Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Mayo, 2016, 7:47

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Veamos hoy de demostrar la invarianza de la traza de un operador ante un cambio de base. La demostración de este post se limitará a base finita, digamos, de n vectores ortonormales.

En este caso, recordemos que para operador lineal A se tiene:

Es un número, dado dos elementos de la base en consideración. Es decir, en esa base, nuestro operador se puede representar como una matriz de números. Nunca lo vimos, pero se tiene entonces que:

Esto lleva a expresar la traza que presentamos en el anterior post como:

Como los Aij son números, se pueden "mover hacia la izquierda" y los bra se pueden "juntar" con los ket:

Como los vectores son ortonormales, cuando j es distinto de i el producto de ambos es cero, y cuando j es igual a i, el producto es 1. Queda que la traza es:

Es un poco largo, pero sencillo, demostrar entonces que el producto de operadores:

Tiene entonces una matriz (siempre tomando una base fijada de antemano para expresar las tres matrices):

La traza de C es:

De forma similar, se ve que:

Pero ambas dobles sumas SON LA MISMA SUMA, entonces queda:

Que es una importante propiedad de la traza. Sabiendo este resultado, y conociendo la asociatividad de operadores, vemos que la traza es invariante antes cambios del tipo:

Pues queda:

Y se sigue:

¿Cuándo se da una transformación así? Cuando cambiamos de base ortonormal. El operador P se puede ver como cambio de base. De nuevo, es una demostración larga pero sencilla, que nos lleva a enunciar: la traza del operador A es invariante ante cambios de base. Hay que tener cuidado ahora en distinguir el operador A, de su expresión como matriz A EN UNA BASE DADA. Y si queremos expresar la traza para una base infinita numerable, hay que estudiar la convergencia de la suma infinita. Si tenemos una base infinita no numerable, supongo que habrá que estudiar la convergencia de una integral. Veremos esos casos llegado el momento.

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Publicado el 30 de Abril, 2016, 11:06

Siempre vuelvo a leer el excelente "Quamtum Field Theory I", de Zeidler. Y encuentro hoy una cita de Freeman Dyson, más extensa que la que ya había comentado en Richard Feynman por Freeman Dyson. Se refiere a la época de los treinta del siglo pasado, cuando Feynman se concentra en estudiar por su cuenta la mecánica cuántica de su tiempo:

Dick Feynman (1918-1988) was a profoundly original scientist. He refused to take anybody's word for anything. This meant that he was forced to rediscover or reinvent for himself almost the whole physics. It took him five years of concentrated work to reinvent quantum mechanics. He said that he couldn't understand the official version of quantum mechanics that was taught in the textbooks and so he had to begin afresh from the beginning. This was a heroic enterprise. He worked harder during those years than anybody else I ever knew. At the end he had his version of quantum mechanics that he could understand...

Pero Feynman fue más allá con su versión, logrando resolver problemas más fácilmente:

The calculations that I did for Hans Bethe, using the orthodox method, took me several months of work and several hundred sheets of paper. Dick could get the same answer, calculating on a blackboard, in half an hour...

In orthodox physics, it can be said: Suppose an electron is in this state at a certain time, then you calculate what it will do next by solving the Schrodinger equation introduced by Schrodinger in 1926. Instead of this, Dick simply said:

The electron does whatever it likes.

Feynman había encontrado su camino: sumar todos los caminos posibles del electrón. Y esto lo consiguió meditando y revisando la mecánica cuántica de entoces. Podemos decir que el resultado de Feynman es una extensión del experimento de las dos rendijas: para llegar de A a B, la partícula cuántica pasa por las "infinitas rendijas" del espacio que separa el punto de partida del punto de llegada.

A history of the electron is any possible path in space and time. The behavior of the electron is just the result of adding together all the histories according to some simple rules that Dick worked out. I had the enormous luck to be at Coraell in 1948 when the idea was newborn, and to be for a short time Dick's sounding board...

Feynman basaba sus ideas en conceptos físicos, y los trasladaba a matemáticas:

Dick distrusted my mathematics and I distrusted his intuition. Dick fought against my scepticism, arguing that Einstein had failed  because he stopped thinking in concrete physical images and became a  manipulator of equations. I had to admit that was true. The discoveries of Einstein's earlier years were all based on direct physical intuition.  Einstein's later unified theories failed because they were only sets of equations without physical meaning...

Pero no era fácil entonces entender estas nuevas ideas de Feynman:

Nobody but Dick could use his theory. Without success I tried to  understand him... At the beginning of September after vacations it was time to go back East. I got onto a Greyhound bus and travelled nonstop for three days and nights as far as Chicago. This time I had nobody to talk to. The roads were too bumpy for me to read, and so I sat and looked out of the window and gradually fell into a comfortable stupor. As we were droning across Nebraska on the third day, something suddenly happened. For two weeks I had not thought about physics, and now it came bursting into my consciousness like an explosion. Feynman's pictures and Schwinger's equations began sorting themselves out in my head with a clarity they had never had before. I had no pencil or paper, but everything was so clear I did not need to write it down.

Feynman and Schwinger were just looking at the same set of ideas from two different sides.

Putting their methods together, you would have a theory of quantum electrodynamics that combined the mathematical precision of Schwinger with the practical flexibility of Feynman...

During the rest of the day as we watched the sun go down over the prairie, I was mapping out in my head the shape of the paper I would write when I got to Princeton. The title of the paper would be The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman.


Es en parte al trabajo de difusión de Dyson que las ideas de Feynman fueron más conocidas, entendidas y aceptadas por la comunidad de físicos. El uso de los diagramas de Feynman facilitó la explicación de esta suma de trayectorias, y es interesante ver la historia de su desarrollo, por ejemplo, ver que los primeros diagramas aparecidos en artículos son diferentes de los que usamos en artículos de divulgación.

Esto es una cita que hace Zeidler de un texto de Dyson, Disturbing the Universe.

Otros posts donde cito el libro de Zeidler:

Teoría de campos y partículas (3)
Una carta de Einstein
John von Neumann y operadores en cuántica

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Publicado el 27 de Abril, 2016, 7:16

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How to Explain a Complicated Startup Idea | Inc.com
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(92) How do you avoid hiring the wrong people for your startup? - Quora
http://www.quora.com/How-do-you-avoid-hiring-the-wrong-people-for-your-startup

10 Notable Quotes from Pierre Omidyar | Inc.com
http://www.inc.com/zoe-henry/10-unforgettable-quotes-from-pierre-omidyar.html?cid=sf01001

Las 8 clases de emprendedores… ¿con cuál te identificás?
http://www.emprendedoresnews.com/emprendedores/las-8-clases-de-emprendedores-con-cual-te-identificas.html

Paganza | La forma inteligente de pagar tus cuentas
http://www.paganza.com/

6 preguntas antes de que renuncies a iniciar tu empresa - Terra España
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Workpop
https://beta.workpop.com/

Satellogic: space is the new Wild West (Wired UK)
http://www.wired.co.uk/news/archive/2014-10/16/emiliano-kargieman-satellogic

How to Find the Right Startup for You | Inc.com
http://www.inc.com/todd-vernon/how-to-find-the-right-startup-for-you.html?cid=sf01001

How to Reapply to YC — Medium
https://medium.com/@msjpenn/how-to-reapply-to-yc-f5aa6713e8ea

La escuela de las Startups
http://www.maestrosdelweb.com/startupschool2014-ycombinator/

Coentrepreneurs Week End Louvain-la-Neuve | The Philippe Back Report
http://philippeback.be/2013/11/coentrepreneurs-week-end-louvain-la-neuve/

Improve your way of working with Philippe Back
http://philippeback.be/

Our Journey To and Through YC — Medium
https://medium.com/@UseShout/our-journey-to-and-through-yc-a1d118e47f5

Apache Hadoop Distributor MapR Closes $110 Million Funding - Tools Journal
http://www.toolsjournal.com/integrations-articles/item/3310-apache-hadoop-distributor-mapr-closes-110-million-funding

Dear Entrepreneur: You"re Crazy. (Why That"s A Good Thing) | Inc.com
http://www.inc.com/neil-parmar/dear-entrepreneur-you-re-crazy-why-that-s-a-good-thing.html

8 cosas que aprendí en Silicon Valley - Santiago Bilinkis
http://bilinkis.com/2014/10/8-cosas-que-aprendi-en-silicon-valley/

FailCon | Home
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Stop Believing That You Have to Be Perfect - Dorie Clark - Harvard Business Review
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Publicado el 24 de Abril, 2016, 14:09

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(531) Entrepreneurship: What do people in Silicon Valley plan to do once they are over 35? - Quora
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The Evolution of Lean: A Conversation With Eric Ries - GrowthHackers
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Aprendiendo a volar (Parte I)
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Create Contracts | Legítimo App
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Buscouniversidad - El Buscador de Carreras Universitarias y Terciarias
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Tomas O'Farrell - Co-Founder @ Workana | CrunchBase
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Fnbox Online Adventures
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Sonico - Wikipedia, la enciclopedia libre
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Ping Identity, Auth0 Land Funding Deals | Re/code
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Las 5 habilidades empresariales más importantes que debería tener un emprendedor | Eureka-Startups
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Why Founders Should Know How to Code | Steve Blank
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Technology News & Computers, Mobile, Internet and Trends in Innovation - Wsj.com
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Publicado el 22 de Abril, 2016, 5:45

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Bastante temas de criptomonedas, Bitcoin, Ethereum, revisar el proyecto Hyperledger, por ejemplo.

Zcash - All coins are created equal.
https://z.cash/

Bitcoin rival Ethereum's price skyrockets - Linkis.com
http://linkis.com/www.smh.com.au/techn/sbjdG

Ethereum Price Rise being led by Bitcoin Flight - NEWSBTC
http://www.newsbtc.com/2016/02/11/ethereum-price-rises-on-strong-volume/

Press | Ethcore
https://ethcore.io/press.html

#Fintech 2.0: The Great Rebundling – Chris Skinner's blog
http://thefinanser.com/2016/02/fintech-2-0-the-great-rebundling.html/

The Rise of Location-Agnostic Fintech Accelerators | Bank Innovation
http://bankinnovation.net/2016/02/the-rise-of-location-agnostic-fintech-accelerators/

From Credit Scores To Investment Management: 102 Startups Digitizing The Bank
https://www.cbinsights.com/blog/digital-banking-market-map/

FinTech Buyers Club: Who Invests in FinTech Startups? | Let's Talk Payments
http://letstalkpayments.com/fintech-buyers-club-who-invests-in-fintech-startups/

Market Data Feed and API – Financial Web Service – On-Demand
http://www.xignite.com/

Xignite (@xignite) | Twitter
https://twitter.com/xignite

FINTECH London Tours
http://www.fintechtours.com/

Open APIs for UK banking: It's happening, people • The Register
http://www.theregister.co.uk/2016/02/10/consumer_trust_central_to_success_of_uk_initiative_on_open_data_in_banking/

FINTECH Tours London (@FINTECHTours) | Twitter
https://twitter.com/FINTECHTours

Home | Hyper Ledger Foundation
https://www.hyperledger.org/

Revolut Gets More Funding For Its Mobile Foreign Exchange Service | TechCrunch
http://techcrunch.com/2016/02/05/revolut-gets-more-funding-for-its-mobile-foreign-exchange-service/

Lending Club Statistics - Lending Club
https://www.lendingclub.com/info/download-data.action

Banking and Fintech: An Uncommon Partnership
http://thefinancialbrand.com/55543/partnership-competition-fintech-banking-disruption/

Fintech Is Just Getting Started | TechCrunch
http://techcrunch.com/2016/02/01/fintech-is-just-getting-started/

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Publicado el 21 de Abril, 2016, 7:37

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Varios temas a investigar, como bitcoin y blockchains, machine learning, préstamos p2p....

Nearly a Third of Lending Club Borrowers" Income Is "Not Verified" | Bank Innovation
http://bankinnovation.net/2016/02/nearly-a-third-of-lending-club-borrowers-income-is-not-verified/

OCBC announces new fintech "innovation center" in Singapore - Tech in Asia
https://www.techinasia.com/ocbc-the-open-vault-fintech-singapore

Will Artificial Intelligence have an Uber Effect on Finance? - bobsguide.com
http://www.bobsguide.com/guide/news/2016/Feb/1/will-artificial-intelligence-have-an-uber-effect-on-finance.html

FinTech Asia
http://www.fintechfinals.com/fintechasia100/

Mega Blockchain Research on Banks: Strategic Analysis of Activities and Roadmap
http://letstalkpayments.com/mega-blockchain-research-on-banks-strategic-analysis-of-activities-and-roadmap/

The fintech revolution that promises to finish off the big bad banks for good - Telegraph
http://www.telegraph.co.uk/finance/economics/12123482/The-fintech-revolution-that-promises-to-finish-off-the-big-bad-banks-for-good.html

How Blockchain Ledger Technology Is Coming of Age
https://securityintelligence.com/how-blockchain-ledger-technology-is-coming-of-age/

13 Australian start-ups to watch in 2016
http://www.smh.com.au/small-business/startup/13-australian-startups-to-watch-in-2016-20160108-gm1ucq.html

How to survive and thrive in the fintech revolution | World Economic Forum
http://www.weforum.org/agenda/2016/01/how-to-survive-and-thrive-in-the-fintech-revolution

The State Of P2P Lending | TechCrunch
http://techcrunch.com/2016/01/30/the-state-of-p2p-lending/

Bankers Weigh Blockchain Challenges at BNY Mellon Event - CoinDesk
http://www.coindesk.com/bny-mellon-event-bank-blockchain/

Q&A: What is blockchain?: PwC
http://www.pwc.com/us/en/financial-services/publications/qa-what-is-blockchain.html

BREAKING BARRIERS | Empowering innovation and entrepreneurship in the dutch financial industry
http://unbouncepages.com/leanfinance/

How Will Bitcoin Technology Go Mainstream? An Analysis Of 5 Strategies - Forbes
http://www.forbes.com/sites/laurashin/2016/01/26/how-will-bitcoin-technology-go-mainstream-an-analysis-of-5-strategies/#3b9ea9323c31

Finextra: South African fintech hub opens
http://finextra.com/news/fullstory.aspx?newsitemid=28385

Better Finance
http://betterfinance.me/

Machine Learning vs. Quants: The Advantages of Machine Learning in Finance — OAP
http://www.oap.io/festina-lente/2016/1/23/machine-learning-vs-quants

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Publicado el 20 de Abril, 2016, 8:13

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Quiero seguir explorando y estudiando las razones para tener una teoría cuántica de campos. En el anterior posts, mencioné la teoría cuántica y la teoría de la relatividad. Hoy leo en las primeras páginas de Modern Elementary Particle Physics - The Fundamental Particles and Fields, de G. Kane:

The combination of quantum theory and relativity leads to the introduction of quantum fields and associated particles. To see intuitively why that must occur, suppose various particles can interact with one another, and you give one particle a push. The forces, due to that particle, that act on nearby particles cannot produce instantaneous changes in their motions, since no signal can travel faster than the speed of light. Instead, as with electromagnetism and gravity, we say the pushed particles is the source of various fields which carry energy, and perhaps other quantum numbers, through the surrounding space; eventually the fields interact with other particles.

Es decir, para no apelar a la acción instantánea, hay que poner a los campos como mediadores. Eso también pasó en electromagnetismo (estoy estudiándolo en Electromagnetismo) y en gravedad einsteniana. En cuántica, hay algo más:

Because of the quantum theory, the energy (and perhaps other quantum numbers) is carried by discrete quanta, which become identified with the particles transmiting the force. Thus in quantum field theory, the elementary particle interactions are interpreted in terms of exchanges of (some of the) particles themselves.

Este es un tema a entender mejor. Que existan partículas de interacción, y además campos, no es algo claro y evidente. Algo a estudiar con más detalle.

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Publicado el 19 de Abril, 2016, 6:05

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Hace más de un año que no escribo sobre este tema, tomando notas sobre teorías gauge. Hoy me encuentro leyendo Modern Elementary Particle Physics - The Fundamental Particles and Fields, de G. Kane:

There has been steady and extraordinary progress in particle physics, both in understanding quantum field theory and in learning what to include in the Lagrangian; no revolution has ocurred.

Del lagrangiano podemos deducir ecuaciones que describen la evolución de un sistema físico. Ver Lagrangianos y Hamiltonianos, y también Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos.

Ahora aparece teorías gauge:

The theories which describe the particles and their interactions seem to be gauge theories, a special class of quantum theories where there is an invariance principle that necessarily implies the existence of interactions mediated by gauge bosons. In gauge theories, the interaction Lagrangian is, in sense, inevitable rather than being introduced in an ad hoc way as in quantum theory.

No tenía en claro que el principio de invariance que aparece en las teorías gauge implicara la existencia de interacciones, y la aparición de bosones gauge. El llamado lagrangiano de interacción es una parte del lagrangiano, que, en teorías no gauge, se introduce a mano para mejorar la descripción del sistema. En una teoría gauge, su introducción se debe a la existencia de la invariancia, y por ésta, la existencia de interacción. Interesantes puntos para estudiar.

Although technical work in a relativistic quantum gauge field theory can be very difficult, the basic formulation of the theory is accesible to anyone having an undergraduate knowledge of classical mechanics and electrodynamics, plus an introduction to quantum mechanics including spin and angular momentum.

Espero que sea así. Mientras, seguiré recolectando notas como ésta, como preludio a un estudio más serio de las teorías gauge. Encuentro este texto en el capítulo 1 del libro mencionado, titulado Survey. Un poco más adelante leo:

The theories called gauge theories are a special class of quantum field theories where there is an invariance principle that necessarily requires the existence of interactions among the particles. When we speak of gauge forces ... we will mean forces which respect a gauge symemtry, and in addition, forces whose strengths are proporcional to a "charge" of some kind.

Siempre aparece simetría (ver Simetrías y Física). Otro tema a investigar, entonces, es esto de la "carga".

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Publicado el 16 de Abril, 2016, 16:00

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Justo luego del párrafo comentado en el anterior post, Mill pone una aclaración:

Casi es innecesario decir que esta doctrina [resumida en "sobre sí mismo, sobre su propio cuerpo y espíritu, el individuo es soberano"] es sólo aplicable a seres humanos en la madurez de sus facultades. No hablamos de los niños ni de los jóvenes que no hayan llegado a la edad que la ley fije como la de la plena masculinidad o femineidad. Los que están todavía en una situación que exige sean cuidados por otros, deben ser protegediso contra sus propios actos, tanto como contra los daños exteriores.

Uno acuerda con Mill en estos puntos. Pero ahora sigue algo que le aflora, como "ciudadano del Imperio Británico", diría yo:

Por la misma razón podemos prescindir de considerar aquellos estados atrasados de la sociedad en los que la misma raza puede ser considerada como en su minoría de edad. Las primeras dificultades en el progreso espontáneo son tan grandes que es difícil poder escoger los medios para vencerlas; y un gobernante lleno de espíritu de mejoramiento está autorizado para emplear todos los recursos mediante los cuales pueda alcanzar un fin, quizá incaccesible de otra manera.

Recordemos que Mill trabajó para la Compañía de las Indias Orientales, al igual que su padre. Sólo la abandonó en 1858, cuando fue disuelta como empresa y pasó a manos del estado británico. En 1859 publica el ensayo que estoy comentando. Sigue:

El despotismo es un mono legítimo de gobierno tratándose de bárbaros, siempre que su fin sea su mejoramiento, y que los medios se justifiquen por estar actualmente encaminados a ese fin.

Mill debe haber imaginado que el imperio británico tenía justificación en su injerencia sobre grandes poblaciones, como resultó en su ocupación de la India. Siempre tenemos que estar advertidos que todos nosotros estamos "embebidos" en un sistema, y nos cuesta ver más allá de lo que parece habitual y justificado. Mill, el intelectual que ha meditado tanto tiempo para escribir este ensayo, no duda en justificar la tiranía en base a que "su fin sea su mejoramiento", cosa que la historia ha hecho difícil de justificar. Aún el joven Gandhi pensó de forma parecida, hasta que los abusos británicos pusieron en evidencia que ese supuesto "fin" era solo una racionalización para ejercer el poder sobre otros.

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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 15 de Abril, 2016, 5:42

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De nuevo, tantos temas interesantes. Ver por ejemplo teoría de nudos, simetrías y grupos, biografías, teoría de tipos con homotopías, el artículo sobre matemáticas de Edward Frenkel...

The Geometry Junkyard: Symmetry and Group Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/sym.html

The Geometry Junkyard: Knot Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/knot.html

The Geometry Junkyard: Topics
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html

Quick Study: Edward Frenkel on math: It's a lot like borscht | The Economist
http://www.economist.com/blogs/prospero/2013/12/quick-study-edward-frenkel-math

Cremona biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cremona.html

15-819 Homotopy Type Theory
http://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/hott/?utm_medium=referral&utm_source=t.co

Recubriendo con "garfios" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recubriendo-con-garfios/

Disparando en marcha - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/disparando-en-marcha/

Pikasle
http://pikasle.com/es/inicio/

Número 8 de la revista online de matemáticas “PIkasle”
http://gaussianos.com/numero-8-de-la-revista-online-de-matematicas-pikasle/

Geometría rica en fibra - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/geometria-rica-en-fibra/

Siempre menor y a veces divisor - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/siempre-menor-y-veces-divisor/

Sistemas de recomendación desmenuzados
http://pablozivic.com.ar/post/37131318635/sistemas-de-recomendacion-desmenuzados

Wilkins biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wilkins.html

Jim Loy's Mathematics Page
http://www.jimloy.com/math/math.htm

Jim Loy's Puzzle Page
http://www.jimloy.com/puzz/puzz.htm

(Vídeo) Doodling in Math Class: Dragon Dungeons - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-doodling-math-class-dragon-dungeons/

Dehn biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dehn.html

Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/si-partimos-de-algo-falso-podemos-demostrar-cualquier-cosa/

Gödel's Incompleteness Theorem (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/

Prueba la desigualdad - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/prueba-la-desigualdad/

Mis Enlaces
https://delicious.com/ajlopez/mathematics

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Publicado el 14 de Abril, 2016, 6:49

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50 Best Websites for Entrepreneurs | Inc.com
http://www.inc.com/drew-hendricks/50-best-websites-for-entrepreneurs.html

Employee Engagement, Employee Satisfaction and Company Culture - AlvinHR
https://www.alvinhr.com/

Import multiple Products and Product Images to Shopify - By Productify
http://store-importer.io/

Mitingu - The place to be
http://www.mitingu.com/

Store Importer - Beta List
http://betalist.com/startups/store-importer

Idearium - Business Innovation Software for growing companies
http://www.idearium.com/

EventScore More people find your event. More people attend.
http://eventscore.io/

NEURA.me
http://www.neura.me/

Big Milestone: $2.4M early funding, 8000 Subscribers and 124 countries.
https://auth0.com/blog/2014/09/17/big-milestone/

Developer Love: The Signal for BVP"s investment in Auth0 | Bessemer Venture Partners
http://www.bvp.com/blog/developer-love-signal-bvp%E2%80%99s-investment-auth0

Auth0 Raises $2.4M To Help Developers Plug Into Identity Platforms Like Facebook | TechCrunch
http://techcrunch.com/2014/09/17/auth0-raises-2-4m-to-help-developers-plug-into-identity-platforms-like-facebook/

Startup Spotlight: Auth0 raises $2.4M to simplify authentication for app developers - GeekWire
http://www.geekwire.com/2014/startupspotlightappdeveloperraises/

Bill Gurley: Silicon Valley Is Taking On Too Much Risk - Business Insider
http://www.businessinsider.com/bill-gurley-silicon-valley-is-taking-on-too-much-risk-2014-9

Burn Baby Burn – AVC
http://avc.com/2014/09/burn-baby-burn/

Winning Slowly | Josh Hannah
http://www.joshhannah.com/2014/09/winning-slowly/

Why Ranking Investors Matters For Founders — Medium
https://medium.com/@DanielleMorrill/why-ranking-investors-matters-for-founders-172284b9b16a

Todos tenemos un "Plan de negocios" hasta que nos dan un golpe en la cara | Negocios & Management
http://negociosymanagement.com.ar/?p=6346

Startup Selling A Butler for $99/Month Wins TechCrunch Disrupt
http://valleywag.gawker.com/startup-selling-a-butler-for-99-month-wins-techcrunch-1633472369

Vendé más en MercadoLibre - real trends.
http://www.real-trends.com/

Tutum | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/tutum

Tutum, a startup building on Docker's hip tech, reels in $2.6M | VentureBeat | Deals | by Jordan Novet
http://venturebeat.com/2014/08/19/tutum-a-startup-building-on-dockers-hip-tech-reels-in-2-6m/

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Varios temas para revisar, como inteligencia artificial y "distributed ledger".

Santander: Distributed Ledger Tech Could Save Banks $20 Billion a Year | Ripple
https://ripple.com/insights/santander-distributed-ledger-tech-could-save-banks-20-billion-a-year/

FinTech Venture Days | IE Business School | Discover FinTech Venture Days, a joint initiative between IE, Santander & Accenture which brings together FinTech companies with leading industry investors.
http://www.fintechventuredays.com/

Fintech Ecosystem Overview - Business Insider
http://www.businessinsider.com/fintech-ecosystem-overview-2016-1

Fidessa group plc ©
http://www.fidessa.com/

The Rise of the Artificially Intelligent Hedge Fund | WIRED
http://www.wired.com/2016/01/the-rise-of-the-artificially-intelligent-hedge-fund/

Is VC The Right Money For Fintech? | TechCrunch
http://techcrunch.com/2016/01/23/is-vc-the-right-money-for-fintech/

Is It Fintech Or Techfin? (Part 1)
http://www.digitalistmag.com/customer-experience/2016/01/07/fintech-or-techfin-03925833

Fintech: Search for a super-algo - FT.com
http://www.ft.com/cms/s/0/5eb91614-bee5-11e5-846f-79b0e3d20eaf.html#axzz3y0SNtEgw

Has Fintech Boom Peaked? - WSJ
http://www.wsj.com/articles/has-fintech-boom-peaked-1453458781

'Goodbye Mike and Some Thoughts About Bitcoin,' by Charles Hoskinson | Lets Talk Bitcoin
https://letstalkbitcoin.com/blog/post/goodbye-mike-and-some-thoughts-about-bitcoin

Bitcoin"s Failure and the Return of the Messiah: Satoshi Nakamoto
https://medium.com/@federicoast/bitcoin-s-failure-and-the-return-of-the-messiah-satoshi-nakamoto-6d17f74ababd#.lpr6gak16

Empowering Filipino consumers through online comparison tools | Business As Usual, Business Features, The Philippine Star | philstar.com
http://www.philstar.com/business-usual/2015/05/18/1455770/empowering-filipino-consumers-through-online-comparison-tools

Contrast and compare the MoneyMax.ph way | The Manila Times Online
http://www.manilatimes.net/contrast-and-compare-the-moneymax-ph-way/195803/

The Social Banker: CEOs: 3 Important Thoughts on FinTech and Community Banking for 2016
http://thesocialbanker.blogspot.com.ar/2016/01/ceos-3-important-thoughts-on-fintech.html

Can Fintech restore trust in Financial Services?
https://medium.com/startups-entrepreneurs-vcs/can-fintech-restore-trust-in-financial-services-217ca50c7f89#.1btvgq6zl

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25 FinTech Startups That Expanded Globally Despite Regulations & Other Problems
http://letstalkpayments.com/25-fintech-startups-that-expanded-globally-despite-regulations-other-problems/

Kiva and Intuit Team Up to Provide Small Business Loans
http://www.triplepundit.com/2015/10/kiva-intuit-team-provide-interest-free-small-business-loans/

Mondo's CEO Wants to Build a Bank for People Who Hate Banks - Bloomberg Business
http://www.bloomberg.com/news/articles/2015-08-18/mondo-s-ceo-wants-to-build-a-bank-for-people-who-hate-banks

Golang UK Conference 2015 - Matt Heath - Building a Bank with Go - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=cFJkLfujOts

The Bitcoin experiment is NOT over
https://medium.com/@ripper234/the-bitcoin-experiment-is-not-over-2edf8b63268b#.zfyhm9x6b

Bitcoin Falls as Ethereum Rises – A Crisis of Governence
http://www.newsbtc.com/2016/01/18/bitcoin-being-punished-ethereum-a-flight-to-safety/

The resolution of the Bitcoin experiment
https://medium.com/@octskyward/the-resolution-of-the-bitcoin-experiment-dabb30201f7#.7ye0ku6wi

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http://www.economistinsights.com/technology-innovation/analysis/money-no-middleman/tab/1

Capital One Credit Cards, Bank, and Loans - Personal and Business
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Capital One | The FinTech Blog
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Fintech Innovation: Unleashing the Power of Technology
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Big Data driven social profiling for credit scoring
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Insurance-Tech Startups Are Invading The Multi-Trillion Dollar Insurance Industry
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From Lufax To Funding Circle: 16 Financial Technology Unicorns Ranked By Valuation
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Publicado el 3 de Abril, 2016, 13:39

Voy a escribir las resoluciones de abril, pero primero, repaso de las de marzo:

- Continuar escribiendo sobre FinTech [parcial] ver post de enlaces otro post de enlaces más enlaces y más enlaces y más enlaces
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de números [pendiente]
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además, estuve estudiando y publicando:

El teorema de Gödel (1)
El teorema de Gödel (2)
Funciones aritméticas (3)
¿De qué tratan las matemáticas? (3)
Números reales, complejos y más allá (1)

Para este mes, mis resoluciones son:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados
- Continuar mi serie sobre el teorema de Gödel
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman
- Estudiar blues en guitarra

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Publicado el 30 de Marzo, 2016, 5:43

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Satellogic plans "constellation" with potential ag uses
http://www.agweek.com/event/article/id/23988/publisher_ID/80/

Are small companies poised to disrupt the satellite industry? - San Francisco Technology | Examiner.com
http://www.examiner.com/article/are-small-companies-poised-to-disrupt-the-satellite-industry

Satellogic Aims To Launch A Constellation Of Small Imaging Satellites Around Earth | TechCrunch
http://techcrunch.com/2014/06/20/satellogic-launch/

Best Business Books To Read Fall 2014 - Business Insider
http://www.businessinsider.com/best-business-books-to-read-fall-2014-2014-8?op=1

How to Use a Single Metric to Run Your Startup
https://blog.kissmetrics.com/single-startup-metric/

The Case For Intelligent Failure To Invent The Future | TechCrunch
http://techcrunch.com/2014/09/02/the-case-for-intelligent-failure-to-invent-the-future/

How to take on a big-business competitor - Virgin.com
http://www.virgin.com/richard-branson/how-to-take-on-a-big-business-competitor

Meet BuzzFeed's Secret Weapon | Inc.com
http://www.inc.com/christine-lagorio/buzzfeed-secret-growth-weapon.html

Trevor Owens on Lean Startup Machine and The Lean Enterprise
http://www.infoq.com/interviews/trevor-owens-lean-startup-machine-lean-enterprise

3 Steps to Turn Your Idea Into a Product | Inc.com
http://www.inc.com/melissa-kieling/playbook-how-to-act-on-idea.html?cid=sf01001

Vacaciones en Silicon Valley
http://bilinkis.com/2014/08/tus-proximas-vacaciones-en-silicon-valley/

Seventy-five start-ups describe the future at Y Combinator
http://www.newyorker.com/business/currency/fever-pitch

3 Secrets for Making Your Customers Happy Every Time | Inc.com
http://www.inc.com/zach-kitschke/3-secrets-for-making-customers-happy-every-time.html

The Secret Weapon Of The Most Inventive Minds
http://www.forbes.com/sites/mikemaddock/2014/08/13/the-secret-weapon-of-the-most-inventive-minds/

SKMurphy, Inc. David Binetti OnThe Mind of the Entrepreneur
http://www.skmurphy.com/blog/2014/08/15/david-binetti-on-the-mind-of-the-entrepreneur/

How Startup Funding Really Works (Infographic) | Inc.com
http://www.inc.com/laura-montini/infographic/how-startup-funding-works-infographic.html

Half a Decade After Demo Day - Bill Clerico
http://blog.billclerico.com/half-a-decade-after-demo-day

This Entrepreneur Raised $2M With A Five-Slide Presentation -- About Nothing
http://www.forbes.com/sites/ilyapozin/2014/08/14/this-entrepreneur-raised-2m-with-a-five-slide-presentation-about-nothing/

A Dozen Things I"ve Learned from Paul Graham | 25iq
http://25iq.com/2014/08/16/a-dozen-things-ive-learned-from-paul-graham-2/

Kevin Rose Steps Into Part-Time Role At Google Ventures To Build A New Startup Called North | TechCrunch
http://techcrunch.com/2014/08/15/kevin-rose-google-ventures-north/?ncid=twittersocialshare

Inicio - NqN/webs ::: Diseño, Desarrollo y Hosting de sitios web
http://nqnwebs.com/

¿¿¿Qué corno importa mi opinión???
http://bilinkis.com/2014/08/que-corno-importa-mi-opinion/

Confessions of a startup: all our numbers, insights, everything — Looking forward, a blog by Lookback
https://lookback.io/blog/confessions-of-a-startup

You Are Not Late — The Message — Medium
https://medium.com/message/you-are-not-late-b3d76f963142

Tech Leaders Tell Interns What They Wish They Knew At Age 20 | TechCrunch
http://techcrunch.com/2014/07/23/tech-leaders-tell-interns-what-they-wish-they-knew-at-age-20/

The Top Idea in Your Mind
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On Managing and Doing Stuff – Simple-Talk
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Publicado el 29 de Marzo, 2016, 6:37

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Neomy alerts you when it is the best time to send money abroad
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PayPal Appoints Wences Casares to its Board of Directors - Yahoo Finance
http://finance.yahoo.com/news/paypal-appoints-wences-casares-board-140000978.html

Blockchains Poised To Be The Hot Tech For Moving Money In 2016 - Forbes
http://www.forbes.com/sites/tomgroenfeldt/2016/01/12/blockchains-poised-to-be-the-hot-tech-for-moving-money-in-2016/#2715e4857a0b75f0df6a5041

What just happened to hashrate?! - Articles - Bitcoin News, Analysis, Interviews and Features
http://bitscan.com/articles/what-just-happened-to-hashrate

Deloitte: Blockchain Will Become a Reality in 2016 - CoinDesk
http://www.coindesk.com/2016-blockchain-reality-deloitte/

Bitfirm: crypto PR by crypto-lovers - Articles - Bitcoin News, Analysis, Interviews and Features
http://bitscan.com/articles/bitfirm-crypto-pr-by-crypto-lovers

Fintech is opening up lucrative foreign markets to British businesses | Guardian Small Business Network | The Guardian
http://www.theguardian.com/small-business-network/2016/jan/06/fintech-foreign-markets-british-businesses

Two Wall St Firms May Be Winning the Fintech Race | Payment Week
http://paymentweek.com/2016-1-5-two-wall-st-firms-may-be-winning-the-fintech-race-9284/

Innovation Jam Miami - Temenos - US
http://www.temenos.com/en-us/news-and-events/upcoming-events/americas/innovation-jam-miami/

Barclays Accelerator for tech startups - Business Insider
http://www.businessinsider.com/barclays-accelerator-for-tech-startups-2015-12?platform=hootsuite

How financial technology will impact Singapore in 2016 - Channel NewsAsia
http://www.channelnewsasia.com/news/business/singapore/how-financial-technology/2382374.html

Finextra: Finextra news: 2016: A pivotal year for the future of fintech
http://www.finextra.com/news/fullstory.aspx?newsitemid=28284

The Biggest Fintech Hubs Worldwide | Equidam
https://www.equidam.com/the-best-locations-fintech-startups/

Fintech terminology that CEOs and business leaders need to know — Ticoon
http://www.ticoon.com/blog-original/2015/4/9/fintech-terminology-that-ceos-and-business-leaders-need-to-know

Awe-Inspiring London FinTech Industry Is Firing on All Cylinders | Let's Talk Payments
http://letstalkpayments.com/awe-inspiring-london-fintech-industry-is-firing-on-all-cylinders/

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Publicado el 27 de Marzo, 2016, 8:03

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En el post … habíamos llegado a la expresión:

Con p y q de distinta paridad (uno impar y otro par). Demostramos ahí que pueden ocurrir dos casos:

Es decir, son primos entre sí, o bien

Tienen factor común al 3.

Vayamos hoy por el primer caso. Los dos factores de z al cubo:

y

NO TIENEN factores comunes. Entonces, cada uno de ellos es un cubo perfecto. Veámoslo. Si el primo k divide a uno de los factores, digamos:

Entonces p divide a z al cubo:

Como k es primo, se tiene entonces que que también divide a z:

Y queda que:

Como ese factor p no puede estar en el otro factor:

Entonces, aparece al menos como potencia cúbica en el primer factor:

Eso para cualquier primo de este factor. Queda que cada primo aparece como potencia 3 o múltiplo de 3, quedando:

Para algún entero s. Por el mismo razonamiento (algo largo pero elemental) llegaríamos a:

Ahora bien. Vimos en los anteriores posts qué interesante puede ser considerar:

Es una identidad fascinante. De hecho, da una pauta de cómo pueden ser todos los números que son suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Algo que no pasó desapercibido ni para Fermat ni para Euler. Es un tema interesante por sí mismo, pero quedará para otra oportunidad. (ver mientras tanto p = x2 + y2 )

Sin embargo, ese camino no está exento de problemas. Ya estuvimos examinado la raíz de la cuestión: Euler presupuso la factorización única de factores primos en ese nuevo sistema de números que incluye a la raíz cuadrada de menos 3. Y eso no es verdad. Luego volveremos a tratar de solucionar esta otra prueba, usando otro campo de números más sutil que el planteado originalmente por Euler.

Veamos otro camino, que apela a números enteros solamente. Como p y q tienen distinta paridad, el factor:

Es impar. Tratemos de descomponerlo en factores impares. Podríamos pensar en que su raíz cúbica tiene la misma forma:

No es un camino descabellado. Pero no es fácil de probar. Lo que podemos probar primero es que un factor así PUEDE ser la raíz cúbica pedida. Luego, más adelante, probaremos que TODO FACTOR primo de nuestro cubo perfecto TIENE esa forma necesariamente.

Veamos hoy un lema que nos va a ayudar, y que era conocido por Euler: la multiplicación de dos polinomios de la forma a2+3b2 da como resultado un polinomio de la misma forma. Esto es notablemente similar a otro resultado que apareción en este blog: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da suma de dos cuadrados.

Multipliquemos dos polinomios de esa forma:


Tenemos la esperanza de separar este resultado en la suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Respiremos hondo, sumemos y restemos la combinación adecuada de abcd, y reordenemos:



MILAGRO! Obtenemos un polinomio de la misma forma: la suma de un cuadrado y del triple de un cuadrado.
Esto nos dice que no es impensable que sea posible:

Pero todavía falta camino para llegar a eso necesariamente. El lema nos dice que pueden existir c y d, pero no dice que NECESARIAMENTE existan. Eso es lo que nos falta probar.

Veamos un camino para justificar un poco el "milagro" de arriba (es casi seguro que este camino es el que inspiró a Euler):



Reordenando:

El producto de los dos primeros factores es el conjugado complejo del producto de los dos últimos factores, como es de esperar, da un resultado real. Calculemos el primero de esos números:

Poniendo:


Queda




Es decir, queda el lema que habíamos demostrado más arriba: la forma a2+3b2 se conserva por multiplicaciones.

Tarea para el hogar: conseguir otras formas que se conservan así.

La demostración del lema sin apelar a números complejos la encontré en:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/fermats-last-theorem-n-3.html

A su vez, ese lema es usado para demostrar el "key lemma" en el post:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html

Para demostrar el "key lemma" ese post usa también un lema más poderoso que tenemos que estudiar:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-a2-3b2.html

Ver la cadena de posts:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-1.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-2.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-3.html (éste es el que usa el "key lemma")
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-4.html

Donde todo se engarza desde:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 25 de Marzo, 2016, 7:57

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Siempre hasta ahora hemos manejado magnitudes físicas de espectro discreto: sus valores posibles forman un conjunto numerable (finito o infinito). La existencia de ese tipo de magnitudes es uno de los grandes descubrimientos de la teoría cuántica. Ya se vislumbraba en el siglo XIX que los espectros de emisión de muchos átomos y moléculas simples seguían un patrón discreto, contrariamente a lo que uno espera de una fuente de luz. Estamos acostumbrados a la luz del sol, que en el arco iris se distribuye de forma continua.

Pues en el ambiente cuántico hay magnitudes que no toman valores continuos, sino discretos. Uno de los primeros ejemplos ha sido el modelo atómico de Bohr, donde las órbitas de los electrones sólo podían tomar algunos valores específicos. Cuando se desarrolló la primera mecánica cuántica, uno de los logros tanto del modelo de Heisenberg como del de Schrödinger fue explicar esa distribución discreta, aunque sea en los átomos más simples, como el de hidrógeno. En ese átomo, la energía de un electrón ligado sólo puede tomar algunos valores (es interesante recordar que Schrödinger llegó a su teoría, tomando el camino de explicar esos valores como autovalores de una función).

Pero cuando consideramos la energía de un electrón no ligado a un núcleo atómico, sus valores pueden ser continuos. Así tenemos un ejemplo de magnitud física que tiene ambos espectros, continuo y discreto.

Cuando una magnitud puede tomar valores discretos, pudimos expresar una función de estado como combinación lineal de autofunciones:

Pasando al espectro discreto, y haciendo "magia" matemática, sólo justificada por su aplicación física, podemos expresar una función de estado, como una integral que recorre:

Pongo explícitamente q como las coordenadas que puede tomar la función de estado, para destacar que esta función recorre y depende de esas coordenadas. Los

Mas que coeficientes, son funciones del parámetro f, que toma valores continuos (antes usábamos valores naturales). Y las "autofunciones" ahora son:

Una función base por CADA valor de f. Por analogía, podemos seguir haciendo "magia" matemática (sin justificación firme) y tomar los coeficientes como:

Tenemos que explorar el significado físico de estas expresiones, y aparecerán relaciones con desarrollos de Fourier, y más analogías con nuestro trabajo anterior en valores discretos. Ya no podemos tomar los coeficientes af como probabilidad, sino que tendremos que hablar de probabilidad de tal valor entre f y f+df. Pero eso lo veremos en los próximos posts.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Marzo, 2016, 15:32

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Tantos temas para ver. Ahora en estas semanas, estoy aprendiendo sobre "smart contracts".

'Smart Contracts' Are the Future of Blockchain | Bank Think
http://www.americanbanker.com/bankthink/smart-contracts-are-the-future-of-blockchain-1078705-1.html

Bitcoin Living, Bitcoin Price Jump, Investments | PYMNTS.com
http://www.pymnts.com/news/2016/living-on-bitcoin-for-1095-days/

This Man Has Been Living On Bitcoin For 3 Years - Forbes
http://www.forbes.com/sites/laurashin/2016/01/07/this-man-has-been-living-on-bitcoin-for-3-years/

33 FinTech Companies From Western Europe to Look out for in 2016 | Let's Talk Payments - Linkis.com
http://linkis.com/letstalkpayments.com/VQmLh

10 Banking Trends for 2016
http://money.usnews.com/money/personal-finance/articles/2016-01-07/10-banking-trends-for-2016

The Australian FinTech Ecosystem"s Growth is Breathtaking
http://letstalkpayments.com/the-australian-fintech-ecosystems-growth-is-breathtaking/

How FinTech is finally transforming the financial world | Information Age
http://www.information-age.com/industry/uk-industry/123460726/how-fintech-finally-transforming-financial-world

As global markets flounder, Bitcoin rockets up 6%
http://www.cnbc.com/2016/01/07/as-global-markets-flounder-bitcoin-rockets-up-6.html

Women in Banking: Fintech Funding and the Rise of Female Regulators | Bank Think
http://www.americanbanker.com/bankthink/women-in-banking-fintech-funding-and-the-rise-of-female-regulators-1078735-1.html

Shai Goldman on Twitter: "digital wallet landscape in the US #fintech #nfc #qr https://t.co/hH55fDgkCL"
https://twitter.com/shaig/status/685151698298388480

Will Provenance Be the Blockchain's Break Out Use Case in 2016? - CoinDesk
http://www.coindesk.com/provenance-blockchain-tech-app/

Fintech Growth Poised to Disrupt Banking Industry
http://thefinancialbrand.com/56561/fintech-adoption-banking-disruption-index/

The 14 companies that illustrate Australia's fintech future | afr.com
http://www.afr.com/business/banking-and-finance/inside-australias-fintech-future-20151209-glji48

How Fintech Startups Are Helping The Financial Services Sector
https://www.securetrading.com/blog/how-fintech-startups-are-helping-the-financial-services-sector/

Blockchain – A New Economic Model | Dataconomy
http://dataconomy.com/blockchain-a-new-economic-model/

3 Lessons From The Graveyard of FinTech Start-ups | Dataconomy
http://dataconomy.com/3-lessons-from-the-graveyard-of-fintech-start-ups/

Six Payments Trends That Will Define 2016 | PYMNTS.com
http://www.pymnts.com/news/mobile-commerce/2016/the-six-things-that-will-define-payments-in-2016

Battle for bitcoin dominance becomes East vs. West matchup
http://www.bizjournals.com/sanjose/news/2016/01/05/battle-for-bitcoin-dominance-becomes-east-vs-west.html

Fintech Startups Face Difficult Market Ahead
http://www.forbes.com/sites/falgunidesai/2016/01/04/fintech-startups-face-difficult-market-ahead/

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Publicado el 23 de Marzo, 2016, 6:46

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A los matemáticos les gusta mostrar demostraciones de lo que afirman. Si bien hay encanto en simplemente explorar un tema, y enunciar resultados interesantes, llega el momento donde los demás pedirán una demostración. Ha quedado en la historia como ejemplo de enunciados con demostración el monumental Elementos, de Euclides. Desde los antiguos griegos, se persigue ese ideal: demostrar enunciados verdaderos, partiendo de un conjunto (generalmente pequeño) de axiomas, nociones y reglas de inferencia.

Examinemos lo enumarado recién. Un enunciado es una afirmación (o negación, otra forma si quiere verse de afirmar algo). No es cualquier sentencia, como "hola". Son enunciados que expresan relaciones entre los conceptos de la rama matemática que se esté examinando. Por ejemplo: "todos los triángulos con un ángulo igual y dos lados iguales, son iguales".  Si bien se afirma con lenguaje humano, los matemáticos han sabido formar un lenguaje más formal para afirmar enunciados. Por ejemplo, tenemos que estar seguros de qué es un "triángulo", qué es un "ángulo", qué es un "lado", y qué signifca eso de "un ángulo igual a otro" y lo mismo para los lados. Cuestiones que parecen sencillas, no lo son tanto, y merecen mayor atención.

Notablemente, lo que parecía evidente, los axiomas que tomó Euclides, como los únicos posibles, se vió en el siglo XIX que no era la única geometría "válidad". Se describieron geometrías no euclideanas, que se apartaban de las nociones de sentido común, pero tan "verdaderas" como la original, pues eran territorios matemáticos consistentes.

Luego, tenemos el concepto de enunciado verdadero. Acá, verdad se usa en sentido matemático: lo que se afirma ¿realmente ocurre en el mundo matemático que estamos tratando? Por ejemplo, el enunciado "todo número par es la suma de dos primos" (la famosa conjetura de Goldbach), ¿es verdad? Si pudiéramos examinar todos los pares de un solo golpe, si tuviéramos la capacidad de ver en un momento todas las sumas de pares de primos, y viéramos que no hay número par que no pueda ser expresado de esa forma, sabríamos que el enunciado es verdadero. Pero aún sin esas notables capacidades, los matemáticos saben algo: o es verdadero o es falso. Lo que no tienen hoy, es una demostración de la falsedad o verdad del enunciado. Entonces, se dice, todavía no es un teorema demostrado, sólo una conjetura. Lo que podemos rescatar de este ejemplo, es que el concepto de "verdad" en matemática es más firme y claro que el mismo concepto en los asuntos humanos. Una vez bien definidos los conceptos y relaciones, se sabe cómo mostrar que es verdadero o falso. En el caso de la conjetura de Goldbach, dando para cada par una suma de dos primos que lo de como resultado, o mostrando un contra ejemplo. El problema no es mostrar, sino demostrar: dar una serie de pasos, que partiendo de otros enunciados (axiomas o teoremas demostrados) llegar al enunciado destino, demostrándolo o refutándolo. Ese es el gran juego de las matemáticas.

Uno podría esperar que todo sistema matemático que se ocupe de un área, por ejemplo, de la teoría de números o de la geometría, pueda generar demostraciones para todos los ENUNCIADOS verdaderos. Otra cualidad que se espera, es que no genere nunca un enunciado FALSO. Tendremos que ir examinando de cuales tipos de sistemas matemáticos se ocupa el teorema de Gödel (todavía no lo enunciamos, pero en el fondo son DOS teoremas). Y qué afirma sobre estas cualidades esperables de esos sistemas. De alguna forma, el resultado de Gödel derriba la esperanza puesta en algunos sistemas. Tanto el resultado como la demostración son notables. Pero tampoco hay que sacar conclusiones exageradas. Iremos paso a paso, para realmente apreciar su trabajo, aprender de lógica matemática y fundamentos de matemáticas, y saber sopesar en justa medida las consecuencias de sus teoremas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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