Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 21 de Noviembre, 2014, 13:41

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Ya Stephen Jay Gould ha dejado planteado lo que ve de trato diferencial entre ciencias "duras" y ciencias "históricas" (que tienen que explicar no solo el presente sino también el pasado, como la geología).

Quizá el aspecto más triste de esta clasificación lineal radica en la aceptación de la inferioridad por parte de los que habitan en los niveles más bajos, y en su esfuerzo persistente por remedar métodos inapropiados que pueden funcionar en un nivel superior de la escala. En un momento en el que el propio orden debiera desafiarse vigorosamente y la pluralidad con igualdad defendida con orgullo, demasiados científicos históricos actúan como el preso de confianza quien, siempre consciente de sus tenues ventajas, sobrepasa al mismo guardián en su celo para conservar el statu quo de poder y subordinación.

Ahora pone un ejemplo:

Así, los científicos históricos suelen importar una caricatura muy simplificada de la ciencia "dura", o simplemente se someten a las declaraciones de profesiones de posición superior. Muchos geólogos aceptaron las últimas fechas (y las más restrictivas) de lord Kelvin para una Tierra joven, aunque los datos procedentes de fósiles y estratos hablaban claramente a favor de más tiempo. (La fecha de Kelvin tenía el prestigio de las fórmulas matemáticas y el peso de la física, aunque el descubrimiento de la radiactividad pronto invalidó la premisa de Kelvin de que el calor que ahora surge del interior de la Tierra registra el enfriamento de nuestro planeta a partir de un estado inicial fundido no muy antiguo.)

No estoy tan seguro que se haya aceptado la propuesta de lord Kelvin por "el prestigio de las fórmulas matemáticas". Seguramente habrá influido, pero también habrá habido resistencia o adopción de sus ideas por otras razones. En todo caso, Kelvin las exponía basado en lo que se sabía entonces del calor del Sol y de la Tierra y su presunto origen. Pero aún lord Kelvin dejó abierta la posibilidad de que en el futuro se descubrieran nuevas explicaciones. Ver Lord Kelvin y Rutherford, y cómo Kelvin termina aceptando de buen grado que puede haber otros modelos. Eso es parte del avance de la ciencia.

Y justamente eso es lo que veo: tanto en ciencias "duras" como en "históricas", lo que cuenta es plantear modelos explicativos de los hechos, pasados o presentes.

En próximos posts, veremos algunos ejemplos más sobre la "aceptación" de lo "duro" sobre lo "histórico", según Gould.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 20 de Noviembre, 2014, 16:25

En estos días, he tenido un "impasse" en mi labor diaria, así que he tenido tiempo (apenas un poco) para leer más en detalle algunos temas. Uno de esos temas que siempre estaba cerca para ser considerado, volvió a aparecer en mis lecturas, y desde más de una fuente.

El desarrollo de la primera mecánica cuántica culmina en 1925/26, en el siglo pasado, con la aparición de las formulaciones de Heisenberg y Schrödinger. Dos "approaches" que, a primera vista, eran totalmente distintos. El tema función de onda, y ecuación de Schrödinger los estoy tratando en la seria La Ecuación de Schrödinger, y al comienzo de la serie Matemáticas y Física Cuántica (esta última basado en varias fuentes, pero principalmente por ahora en Landau/Lifshitz). Un tratamiento parecido, pero más físico y conceptual, siguiendo en lo que puedo a Feynman, a partir de un ejemplo inicial de Steven Weinberg, se encuentra en la serie Física Cuántica. Si alguien le interesa el desarrollo histórico de las ideas de Schrodinger, leer Fundamentos de Mecánica Cuánica de Borowitz. Varias de estas fuentes están mencionadas en Estudiando Física Cuántica.

Pero sobre el camino de Heisenberg, apenas si he escrito algo en concreto, mas bien lo que he escrito se ha orientado a dilucidar el ambiente y la historia de ese desarrollo. Ver la serie Heisenberg desarrollando  la mecánica cuántica, y posts como Dirac revisando el trabajo de Heisenberg y Dirac y la teoría de Heisenberg.

Ha llegado el momento de iniciar esta serie, donde trataremos de entender cuál fue el aporte de Heisenberg, sus preludios, sus motivaciones y algo de su evolución. No es un tema muy popular: hoy en los libros de textos y de divulgación se prefiere exponer Schrödinger, o sino, la formulación de Dirac. Pero el que exploremos y tratemos de entender el trabajo original de Heisenberg nos va a dar un mayor conocimiento de la historia del desarrollo físico en el primer cuarto de siglo pasado.

Mi primer contacto con esa historia y desarrollo, lo tuve el siglo pasado cuando adquiría el excelente libro Source of Quantum Mechanics, editado por van der Waerden (ya mencionado en Estudiando Física Cuántica), con sus comentarios, y la republicación de los "papers" fundamentales de este camino, incluyendo el "famoso" de Heisenberg de 1925. Pero aún con la ayuda de esos comentarios, el entender la serie de "papers", no arroja siempre luz sobre EL "paper" de Heisenberg, por lo menos para un aficionado. Por un lado, varios de esos "papers" tienen notaciones distintas de las actuales, y hacen referencias a resultados clásicos (especialmente en electromagnetismo) no siempre claros para estos años actuales.

Para que vean que no es fácil entender EL "paper" de Heisenberg, cito a Steven Weinberg (fuente On Matrix Mechanics):

I have tried several times to read the paper that Heisenberg wrote on returning from Helgoland, and, although I think I understand quantum mechanics, I have never understood Heisenberg’s motivations for the mathematical steps in his paper.

Es que en ese "paper", Heisenberg hace magia, y hace saltos en la deducción, basada en analogías que sólo se le pudieron ocurrir a él.

Como comentaba al comienzo, varias circunstancias hicieron que apareciera este tema como prominente en esos días. No quisiera olvidar de mencionar hoy al excelente libro sobre Heisenberg, que publicó el diario La Nación, acá en Argentina, firmado por Jesús Navarro Faus. Y por otra coincidencia, me reencontré con un librito delicioso, de Fondo de Cultura Económica, Los creadores de la nueva física, de Barbara Lovett Cline. No creo que hoy pueda nombrar todas las fuentes que estuve consultando, pero no quería olvidarme de éstas al principio.

Pero el que realmente me ayudó a empezar, sólo a empezar, a ver la luz, fue el (muchas veces citado en otras fuentes, como el artículo "clásico" de revisión de las ideas de Heisenberg):

Understanding Heisenberg’s ‘magical’ paper of July 1925: a new look at the calculational details (pdf) ver también http://arxiv.org/abs/quant-ph/0404009

Y luego, un muy buen desarrollo, en todo un libro, de mecánica cuántica matricial, en el libro Heisenberg's Quantum Mechanics, de Mohsen Razavy. Ver http://www.amazon.com/Heisenbergs-Quantum-Mechanics-Mohsen-Razavy/dp/9814304115

Tengo otras fuentes para mencionar, y otras todavía para investigar. Seguiré en el próximo post mencionándolas, o ya entrando en el tema del desarrollo de Heisenberg. Un libro que descubrí hace poco, y tengo que leer en detalle, es el Matrix Mechanics, de Herberg Green, con un comentario inicial de Max Born. Ver http://www.amazon.com/Matrix-Mechanics-Herbert-S-Green/dp/B0006BMIP8. Ahí encuentro que una de las fórmulas conocidas de la formulación de Heisenberg, que implica un conmutador, sale así porque para H el operador era dependiente del tiempo. Si hubiera tenido vectores de estado, con operador independiente del tiempo, los mismos pasos, HUBIERAN LLEVADO A LA ECUACION DE SCHRODINGER!

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Publicado el 19 de Noviembre, 2014, 13:44

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Six Quantum Pieces (World Scientific)
http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/7965

quantum mechanics - How to get the position operator in the momentum representation from knowing the momentum operator in the position representation? - Physics Stack Exchange
http://physics.stackexchange.com/questions/86824/how-to-get-the-position-operator-in-the-momentum-representation-from-knowing-the

McCabism: What is an elementary particle?
http://mccabism.blogspot.com.ar/2009/02/what-is-elementary-particle.html

quantum mechanics - How is the physical meaning of an irreducible representation justified? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/16074/how-is-the-physical-meaning-of-an-irreducible-representation-justified

Group Theory and Symmetries in Particle Physics
http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/158707.pdf

Symmetry and Particle Physics
http://www.mth.kcl.ac.uk/~jbg34/Site/Resources/lectnotes(master).pdf

quantum field theory - Why do we say that irreducible representation of Poincare group represents the one-particle state? - Physics Stack Exchange
http://physics.stackexchange.com/questions/73593/why-do-we-say-that-irreducible-representation-of-poincare-group-represents-the-o

Elementary Particles
http://math.ucr.edu/home/baez/qg-spring2003/elementary/

quantum mechanics - Correspondence between wave function and state vector - Physics Stack Exchange
http://physics.stackexchange.com/questions/103353/correspondence-between-wave-function-and-state-vector

Vector representation of wavefunction in quantum mechanics? - Physics Stack Exchange
http://physics.stackexchange.com/questions/61133/vector-representation-of-wavefunction-in-quantum-mechanics

The Unreasonable Effectiveness of Quantum Field Theory
http://arxiv.org/abs/hep-th/9602122

Pascual Jordan, Glory and Demise and his legacy in contemporary local quantum physics
http://cds.cern.ch/record/610390/files/0303241.pdf

Dirac delta function - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=J-oyM1GyyDk

Eugene Wigner - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Eugene_Wigner

Self-adjoint operator - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator

De Broglie–Bohm theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/De_Broglie%E2%80%93Bohm_theory

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Publicado el 17 de Noviembre, 2014, 13:57

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Expanding Our Horizons: Matter, Space, and the Universe - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=0eaWHUMjgqk

Particles, Fields and The Future of Physics - A Lecture by Sean Carroll - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=gEKSpZPByD0

El nucleo atómico y sus modelos | Cuentos Cuánticos
http://cuentos-cuanticos.com/2014/05/04/el-nucleo-atomico-y-sus-modelos/

Pildorazo de Partículas Elementales XI: Interacciones entre Partículas | Cuentos Cuánticos
http://cuentos-cuanticos.com/2011/08/14/pildorazo-interacciones-entre-particulas/

Pildorazo de Partículas Elementales III: Espín | Cuentos Cuánticos
http://cuentos-cuanticos.com/2011/08/14/pildorazo-espin/

Pildorazo sobre Partículas elementales I: Probabilidad | Cuentos Cuánticos
http://cuentos-cuanticos.com/2011/08/13/pildorazo-probabilidad/

Pildorazo de Partículas elementales II: Simetría del estado cuántico | Cuentos Cuánticos
http://cuentos-cuanticos.com/2011/08/13/pildorazo-simetria-estado-cuantico/

Partículas Elementales | Cuentos Cuánticos
http://cuentos-cuanticos.com/minicursos-cuentos-cuanticos/particulas-elementales/

Reacción beta doble y el secreto del neutrino | Cuentos Cuánticos
http://cuentos-cuanticos.com/2011/10/31/reaccion-beta-doble-y-el-secreto-del-neutrino/

(367) Layman's Terms: What is a Lagrangian? - Quora
http://www.quora.com/Laymans-Terms/What-is-a-Lagrangian

frankwilczek.com/2014/couplingUnificationWithFigures01.pdf
http://frankwilczek.com/2014/couplingUnificationWithFigures01.pdf

(366) Physics: Who are the top 5 living theoretical physicists? - Quora
http://www.quora.com/Physics/Who-are-the-top-5-living-theoretical-physicists

New Quantum Theory Could Explain the Flow of Time | Science | WIRED
http://www.wired.com/2014/04/quantum-theory-flow-time

La revolución de los quarks | Sociedad | EL PAÍS
http://sociedad.elpais.com/sociedad/2014/04/15/actualidad/1397587334_205595.html

Exotic space particles slam into buried South Pole detector : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/exotic-space-particles-slam-into-buried-south-pole-detector-1.15036

The Astounding Link Between the P≠NP Problem and the Quantum Nature of Universe — The Physics arXiv Blog — Medium
https://medium.com/the-physics-arxiv-blog/7ef5eea6fd7a

Quantum Diaries
http://www.quantumdiaries.org/2014/03/19/supersymmetry-a-tantalising-theory/

On a Heuristic Point of View about the Creation and Conversion of Light
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Publicado el 16 de Noviembre, 2014, 15:24

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Sigo leyendo a Monod:

Se puede ciertamente preguntar si todas las invariancias, conservaciones y simetrías que constituyen la trama del discurso científico no son ficciones que substituyen a la realidad para dar una imagen operacional, vacía por una parte de substancia, pero que se vuelve accesible a una lógico fundada sobre un principio de identidad puramente abstracto, quizá "convencional". Convención de la que, sin embargo, la razón humana parece incapaz de abstenerse.

Entiendo que Monod acá pregunta si "identidad" no será un concepto muy humano, que no tiene un correlato claro en la realidad. Ahora apela a la cuántica, pero no veo que sea afortunado el ejemplo:

Menciono aquí este problema clásico para hacer notar que su estatuto ha sido profundamente modificado por la revolución cuántica. El principio de identidad no figura como postulado físico en la ciencia clásica. No es empleado más que como operación lógica, sin que sea necesario suponer que corresponde a una realidad substancial. La diferencia es absoluta por lo que respecta a la física moderna, de la que uno de los postulados fundamentales es la identidad absoluta de dos átomos que se encuentren en el mismo estado cuántico...

Nunca vi que alguien mencionar "dos átomos" en el mismo estado. Acá Monod se debe estar refiriendo a los bosones, como los fotones, como diferentes de los fermiones, como los electrones. Estos últimos no pueden estar DOS EN EL MISMO ESTADO, cosa que sí pueden los bosones. Pero aún en estos casos, la energía se conserva: dos fotones NO SON un fotón.

... De ello proviene, igualmente, el valor de representación absoluta, no perfectible, otorgado a las simetrías atómicas y moleculares en teoría cuántica. Parece, pues, que hoy no se pueda restringir el principio de identidad al estatuo de simple regla para la conducta del espíritu: es preciso admitir que al menos a escala cuántica expresa una realidad substancial.

Sea cual sea, existe y existirá en la ciencia un elemento platónico que no podría extirpar sin arruinarla. En la diversidad infinita de los fenómenos singulares, la ciencia no puede buscar más que las invariantes.

Yo lo veo de otra forma: la ciencia pueda buscar otras cosas. Pero en las ciencias naturales básicas, se ha visto que el concepto de invariante ha sido fructífero, y hay algo ahí en la realidad que corresponde y responde a nuestras esperanzas invariantes.

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Publicado el 15 de Noviembre, 2014, 16:41

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Hemos al fin llegado a la ecuación:

Destaquemos algunos puntos.

Primero, llegamos a la ecuación de arriba SUPONIENDO que V(x, t) (la energía potencial, como función de las coordenadas y el tiempo) ERA CONSTANTE. Partimos de una partícula libre, que se traslada en un potencial constante, invariable aún en el tiempo.

Luego, POSTULAMOS que esa ecuación es la correcta, aún para V(x, t). Este último punto, no podemos deducirlo, ni nosotros, ni Schrödinger, ni nadie. Recordemos el post Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman. Escribía Feynman:

Cuando Schrödinger la escribió [la ecuación] por primera vez, dio una especia de deducción basada en algunos argumentos heurísticos y en algunas conjeturas intuitivas brillantes. Algunos de los argumentos que usó hasta eran falsos, pero no importa; lo único importante es que la ecuación fundamental da una descripción correcta de la naturaleza.

Vamos a tener que familiarizarnos con la ecuación y sus variantes, y aplicarla a resolver algunos problemas. Pero antes, otro punto: vemos la aparición de números complejos. Si repasamos nuestra "deducción", la aparición de i (la raíz cuadrada de menos uno) se debe a que mezclamos la derivada temporal PRIMERA con la SEGUNDA de las coordenadas. Hay una asimetría en el tratamiento del tiempo y de la posición en esta ecuación. Desde ya, podemos intuir que no será adecuada para tratamientos relativistas, donde tiempo y posición son tratados en pie de igualdad.

De hecho, Schrödinger intentó primero obtener una solución relativista, pero cuando fracasó pudo relajarse y encontrar su ecuación famosa. Todo este planteamiento es no relativista porque uno de los supuestos de los que partimos fue de la ecuación no relativista de la energía:

Tiempo después del desarrollo de Schrödinger, Dirac consiguió una ecuación relativista basada en la expresión relativista de la energía total:

La presencia de una raíz cuadrada complica la solución, que no era evidente. Pero cuando Dirac la resolvió, apareció que la ecuación describía tanto al electrón como a otra partícula, de carga positiva. La presencia de la raíz cuadrada como que imponía la existencia de dos soluciones. Con el tiempo se vió que la partícula adicional era el positrón. La relatividad hizo posible la explicación de la antimateria, y de la creación y destrucción de pares. Pero es otra historia, que espero podamos visitar en otra serie de posts.

No era la primera vez que los números complejos aparecían en física, pero no era común su empleo. La ecuación de onda tiene entonces soluciones que pueden dar números complejos. Pero no hay experimento que mida un número complejo. Entonces ¿a qué se refiere esa función de onda? Ni siquiera Schrödinger acertó en su primera interpretación. Ya veremos a qué estan ligados esos valores complejos, como se los asocia a valores reales físicos.

Ver también:

Schrödinger equation
On the origins of the Schrödinger equation
The Schrödinger Equation in One Dimension
About the complex nature of the wave function?
Why complex numbers are fundamental in physics

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Publicado el 14 de Noviembre, 2014, 14:39

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Researchers Just Solved One of Quantum Computing's Biggest Problems
http://gizmodo.com/researchers-just-solved-one-of-quantum-computings-bigg-1514954753

Weinberg angle - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Weak_mixing_angle

Why is group theory useful for physics? - A video guide to representations and normal modes. - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=oWhQAzB4U0E

Alice in Quantumland: A Charming Illustrated Allegory of Quantum Mechanics by a CERN Physicist | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2014/01/30/alice-in-quantumland-robert-gilmore/

The Mathematics Genealogy Project - Wolfgang Pauli
http://www.genealogy.ams.org/id.php?id=22421

What if every electron in the universe was all the same exact particle?
http://io9.com/5876966/what-if-every-electron-in-the-universe-was-all-the-same-exact-particle

Spin structure - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Spin_structure

Quantum Theory Won't Save The Soul - Neuroskeptic | DiscoverMagazine.com
http://blogs.discovermagazine.com/neuroskeptic/2013/12/22/quantum-theory-wont-save-soul/#.UscsDfRDvWc

Ciencia-Física | Scoop.it
http://www.scoop.it/t/ciencia-fisica

The concept of particle in Quantum Field Theory
http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0907/0907.0178.pdf

Electromagnetic Duality for Children
http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/Lectures/EDC.pdf

Bitcoins, Quantum Computers, and Robot Dinosaurs: WIRED's Top Business Stories of the Year | Wired Business | Wired.com
http://www.wired.com/business/2014/01/wired-business-year/

Japanese Scientists Prove That Teleportation Is Possible | The Collective Intelligence
http://www.thecollectiveint.com/2013/12/japanese-scientists-prove-that.html

[1310.7534] Order of Magnitude Smaller Limit on the Electric Dipole Moment of the Electron
http://arxiv.org/abs/1310.7534

YaleNews | Electron's shapeliness throws a curve at supersymmetry
http://news.yale.edu/2013/12/19/electrons-shapeliness-throws-curve-supersymmetry

Richard Feynman - No Ordinary Genius (Documentary) - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=e9tanx_0pqQ

Chasing the Higgs - How 2 Teams of Rivals Searched for Physics" Most Elusive Particle - NYTimes.com
http://www.nytimes.com/2013/03/05/science/chasing-the-higgs-boson-how-2-teams-of-rivals-at-CERN-searched-for-physics-most-elusive-particle.html?adxnnl=1&adxnnlx=1387929842-Y5BFQQneaGWSxjUt4GjmTQ

Physics: The Bohr Model
http://omnilogos.com/physics-the-bohr-model/

Simulations back up theory that Universe is a hologram : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/simulations-back-up-theory-that-universe-is-a-hologram-1.14328

Pat'sBlog: On This Day in Math - December 14
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-14.html

Higgs: La necesidad de un héroe
http://www.revistaenie.clarin.com/ideas/Peter-Higgs_0_1047495250.html

MIT Spectroscopy Lab - History
http://web.mit.edu/spectroscopy/history/history-quantum.html

MIT Spectroscopy Lab - History - Spectroscopy History
http://web.mit.edu/spectroscopy/history/spec-history.html

PhysicsLAB: Famous Discoveries: The Franck-Hertz Experiment
http://dev.physicslab.org/Document.aspx?doctype=3&filename=AtomicNuclear_FranckHertzExperiment.xml

Dirac Lecture 1 (of 4) - Quantum Mechanics - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=vwYs8tTLZ24

Google's Quantum AI Lab adds quantum physics to Minecraft | The Verge
http://www.theverge.com/2013/10/20/4859548/googles-quantum-ai-lab-minecraft-quantum-physics

The uncertain location of electrons - George Zaidan and Charles Morton - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=8ROHpZ0A70I

The Theorizers of The God Particle Win Noble Prize, But Massive Mysteries Remain - Forbes
http://www.forbes.com/sites/anthonykosner/2013/10/12/the-theorizers-of-the-god-particle-win-noble-prize-but-massive-mysteries-remain/

From Quarks to Quasars » Standard Model: An Overview of Particle Physics.
http://www.fromquarkstoquasars.com/standard-model-an-overview-of-particle-physics/

Higgs Boson Explanations
http://www.physics.org/toplistdetail.asp?id=28

After the Higgs Boson: A Preview of Tomorrow's Radical Physics - Out There | Discovermagazine.com
http://blogs.discovermagazine.com/outthere/?p=1039#.Ulg-3lCfi8A

Charged particles can be accelerated using light, leading the way for more compact particle accelerators
http://phys.org/news/2013-10-particles-compact-particle.html

The power of one: Single photons illuminate quantum technology
http://phys.org/news/2013-10-power-photons-illuminate-quantum-technology.html

US participation in the Higgs discovery | symmetry magazine
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Publicado el 13 de Noviembre, 2014, 12:10

Estaba investigando sobre modelos económicos, y me encuentro con esto sobre la historia de la programación lineal:

Linear programming (LP) emerged in the United States in the early postwar years. One may to a considerable degree see the development of LP as a direct result of the mobilization of research efforts during the war. George B. Dantzig, who was employed by the US Armed Forces, played a key role in developing the new tool by his discovery in 1947 of the Simplex method for solving LP problems. Linear programming was thus a military product, which soon appeared to have very widespread civilian applications. The US Armed Forces continued its support of Dantzig"s LP work, as the most widespread textbook in LP in the 1960s, namely Dantzig (1963), was sponsored by the US Air Force.

Hace más de tres décadas tuve mi primer encuentro con la programación lineal y los métodos de Dantzig. También había una abundante producción soviética sobre el tema, y nuevas ideas para salir del Simplex.

Dantzig had discovered the Simplex method but admitted many years later that he had not really realized how important this discovery was. Few people had a proper overview of linear models to place the new discovery in context, but one of the few was John von Neumann, at the time an authority on a wide range of problems form nuclear physics to the development of computers. Dantzig decided to consult him about his work on solution techniques for the LP problem.

Este es el relato del propio Dantzig:

"I decided to consult with the "great" Johnny von Neumann to see what he could suggest in the way of solution techniques. He was considered by many as the leading mathematician in the world. On October 3, 1947 I visited him for the first time at the Institute for Advanced Study at Princeton. I remember trying to describe to von Neumann, as I would to an ordinary mortal, the Air Force problem. I began with the formulation of the linear programming model in terms of activities and items, etc.Von Neumann did something, which I believe was uncharacteristic of him. "Get to the point," he said impatiently. Having at times a somewhat low kindling point, I said to myself "O.K., if he wants a quicky, then that"s what he"ll get." In under one minute I slapped the geometric and the algebraic version of the problem on the blackboard. Von Neumann stood up and said "Oh that!" Then for the next hour and a half, he proceeded to give me a lecture on the mathematical theory of linear programs." (Dantzig, 1984).

von Neumann, de amplia cultura matemática, ya conocía el tema. En ese encuentro Dantzig oyó por primera vez sobre la dualidad y el lema de Farkas.

Lo encuentro citado en Dipak Basu, Dipak Basu Economic Models Methods, Theory and Applications.

Otros posts de este blog donde se menciona a von Neumann:

Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John von Neumann
John von Neumann y Operadores en Cuántica
Abstracción y Matemáticas, según von Neumann

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Publicado el 12 de Noviembre, 2014, 14:46

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TED Blog | 8 math talks to blow your mind
http://blog.ted.com/2012/11/21/8-math-talks-to-blow-your-mind/

Endre Szemerédi, premio Abel 2012 - Gaussianos
http://gaussianos.com/endre-szemeredi-premio-abel-2012/

Sorpresa sumando potencias de 2 - Gaussianos
http://gaussianos.com/sorpresa-sumando-potencias-de-2/

Introduction to Category Theory
http://www.cs.nott.ac.uk/~gmh/cat.html

Equivalent Form of the Riemann Hypothesis | Architects Zone
http://architects.dzone.com/articles/equivalent-form-riemann

Statistics in a Nutshell: Sarah Boslaugh: 9781449316822: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Statistics-Nutshell-Sarah-Boslaugh/dp/1449316824

Theorem of the Day
http://www.theoremoftheday.org/Theorems.html

Ana y las tablas de multiplicar | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/11/21/ana-y-las-tablas-de-multiplicar/

Alexander y su particular esfera: una cuestión de "cuernos" - Gaussianos
http://gaussianos.com/alexander-y-su-particular-esfera-una-cuestion-de-cuernos/?utm_source=feedburner&utm_medium=twitter&utm_campaign=Feed%3A+gaussianos+%28Gaussianos%29

Cálculo comparativo de la diversidad de votos mediante densidad de grafos « Ricardo Galli, de software libre
http://gallir.wordpress.com/2012/11/04/calculo-comparativo-de-la-diversidad-de-votos-mediante-densidad-de-grafos/

LI2012: Ejercicios de lógica proposicional | Vestigium
http://www.glc.us.es/~jalonso/vestigium/li2012-ejercicios-de-logica-proposicional/

Calculando un valor del polinomio - Gaussianos
http://gaussianos.com/calculando-un-valor-del-polinomio/

Situación de las raíces de la derivada, o "el teorema más maravilloso de las matemáticas" - Gaussianos
http://gaussianos.com/situacion-de-las-raices-de-la-derivada-o-el-teorema-mas-maravilloso-de-las-matematicas/

La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-hipotesis-del-continuo-del-susto-de-cantor-a-la-prueba-de-cohen/

What was up with Pythagoras? - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=X1E7I7_r3Cw&feature=youtube_gdata_player

¿Otra forma de multiplicar? | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/11/07/otra-forma-de-multiplicar/

Halla el circunradio (ACTUALIZADO) - Gaussianos
http://gaussianos.com/halla-el-circunradio

The Mathematics Behind xkcd: A Conversation with Randall Munroe
http://www.maa.org/mathhorizons/MH-Sep2012_XKCD.html

Cómo demostrar que π (pi) es trascendente - Gaussianos
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Publicado el 9 de Noviembre, 2014, 13:26

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Estuve leyendo estos días más sobre la historia de vida de Heisenberg. Uno de los libros que leyó antes de entrar a la universidad, fue un clásico de Hermann Weyl, Espacio, Tiempo y Materia. Hoy fui a leer las primeras secciones, y me encuentro con Weyl comentando sobre una teoría gauge suya, que no tuvo éxito. Escribe en el prefacio a la primera edición americana:

This translation is made from the fourth edition of raum zkit matkrik which was published in 1921. Relativity theory as expounded in this book deals with the space-time aspect of classical physics. Thus, the book's contents are comparatively little affected by the stormy development of quantum physics during the last three decades. This fact, aside from the public's demand, may justify its re-issue after so long a time. Of course, had the author to re-write the book today, he would take into account certain events that have modified the situation in the intervening years.

Weyl menciona como primer punto el tema que nos interesa: su primer teoría gauge:

The principle of general relativity had resulted above all in a new theory of the gravitational field. While it was not difficult to adapt also Maxwell's equations of the electromagnetic field to this principle, it proved insufficient to reach the goal at which classical field physics is aiming: a unified field theory deriving all forces of nature from one common structure of the world and one uniquely determined law of action. In the last two of its 36 sections, my book describes an attempt to attain this goal by a new principle which I called gauge invariance (Eichinvarianz). This attempt has failed. There holds, as we know now, a principle of gauge invariance in nature; but it does not connect the electromagnetic potentials phi i, as I had assumed, with Einstein's gravitational potentials gik , but ties them to the four components of the wave field psi by which Schrodinger and Dirac taught us to represent the electron. For this and the following points, compare my book, gruppentheorie und quantenmechanik, Leipzig 1928, 2nd ed. 1931, the article, "Elektron und Gravitation" in Zeilschr. f. Physik 56, 1929, p. 330, and my Rouse Ball lecture "Geometry and Physics" in Naturwissenschaflen 19, 1931, pp. 49-58. Of course, one could not have guessed this before the "electronic field" Psi was discovered by quantum mechanics! Since then, however, a unitary field theory, so it seems to me, should encompass at least these three fields: electromagnetic, gravitational and electronic. Ultimately the wave fields of other elementary particles will have to be included too—unless quantum physics succeeds in interpreting them all as different quantum states of one particle.

El psi que menciona es la función de onda de Schrödinger. La primera noticia de este intento gauge de Weyl la encontré en el Penrose. Esto de arriba lo escribe Weyl ya en 1950, sobre la versión de su libro de 1921, y es interesante ver cómo esa idea que no funcionó, luego tuvo su aplicación y resurgimiento en la teoría cuántica, en la función de onda que se introdujo pudo aplicar un cambio de fase complejo.

Leo en artículo de la Wikipedia sobre Weyl:

Weyl, as a major figure in the Göttingen school, was fully apprised of Einstein's work from its early days. He tracked the development ofrelativity physics in his Raum, Zeit, Materie (Space, Time, Matter) from 1918, reaching a 4th edition in 1922. In 1918, he introduced the notion of gauge, and gave the first example of what is now known as a gauge theory. Weyl's gauge theory was an unsuccessful attempt to model the electromagnetic field and the gravitational field as geometrical properties of spacetime. The Weyl tensor in Riemannian geometry is of major importance in understanding the nature of conformal geometry. In 1929, Weyl introduced the concept of the vierbeininto general relativity.[9]

Más sobre las ideas de Weyl en la sección 3 de On the Origins of Gauge Theory.

Ya mencioné a Hermann Weyl en:

Hermann Weyl, Teoría de Grupos y Teoría Cuántica
Hermann Weyl, fisica y matemáticas
Notas sobre Invariantes (1)
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (8)
Física Cuántica (Parte 3) Vectores de Estado y Realidad Física
Números Complejos en Mecánica Cuántica (1)
Grupos y Física, por Dirac
Estudiando Física Cuántica (1)

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Publicado el 7 de Noviembre, 2014, 12:49

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Polynomial Rings and Unique Factorization Domains
http://www.math.wustl.edu/~russw/s09.math430/ufds.pdf

Unique factorization in polynomial rings - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/15137/unique-factorization-in-polynomial-rings

Tito Eliatron Dixit: La historia de un matemático y la muerte de Matusalén
http://eliatron.blogspot.com.ar/2012/10/la-historia-de-un-matematico-y-la.html

Los bilingües recurren a la lengua en la que aprendieron las matemáticas para multiplicar - ABC.es
http://www.abc.es/20121002/sociedad/abci-bilingues-matematicas-lengua-201210011832.html

Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_Nullstellensatz

Algebraic Topology
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf

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Another feminist Newtonian: Bologna"s Minerva | The Renaissance Mathematicus
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Un poco de gimnasia mental | Mati, una profesora muy particular
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ABC Conjecture | Ars Mathematica
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Ramanujan pi approximation — The Endeavour
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An Intuitive Guide to Linear Algebra | BetterExplained
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Y dale con Tales… | Mati, una profesora muy particular
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Foundational Questions in the Mathematical Sciences | The John Templeton Foundation
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Group Theory
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Publicado el 3 de Noviembre, 2014, 6:44

Como pasa el año, ya llega el tiempo de planear tareas para Noviembre. Antes, repaso de los resultados de Octubre:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Heisenberg [completo] ver post ver post
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales [completo] ver post
- Continuar mis notas sobre Teorías Gauge [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [pendiente]
- Continuar mis notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [completo] ver post
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica [completo]

Además, publiqué:

Leyendo a Monod (1) Lo invariante y el cambio

Tareas para este nuevo mes:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales
- Seguir mi serie Leyendo a Monod
- Seguir mi serie Leyendo a Stephen Jay Gould
- Continuar mis notas sobre Teorías Gauge
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Continuar mis notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Estudiar ecuaciones diferenciales
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica

Además de otros estudios, lecturas y tareas. Pero las de arriba son las principales con salida visible y para compartir.

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Publicado el 2 de Noviembre, 2014, 7:28

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En el post anterior exploramos un grupo continuo, el de las rotaciones en R2. Por un lado, podemos tener el grupo abstracto, de rotaciones, y por otro, nos manejamos mejor si vemos cada elemento del grupo COMO UNA TRANSFORMACION LINEAL en un espacio vectorial real de dos dimensiones, que mantiene la orientación y la norma de los vectores. Siempre vamos a tener ese "doble camino": o trabajar con el grupo, o con lo que se llama una representación del grupo, operadores lineales que trabajan transformando elementos de un espacio vectorial (ya llegaremos a una definición de representación).
A los físicos les gusta trabajar con representaciones porque permite expresar los elementos del grupo como matrices, si el espacio vectorial sobre el que operamos tiene dimensión finita (hay también representaciones sobre espacios vectoriales especiales de dimensión infinita, pero por ahora no nos interesan). Lo interesante que apareció en el ejemplo anterior, que las matrices en R2 que cumplen:

Preservan la norma de los vectores, y se llaman ortogonales. Pusimos como norma a:

En concreto, si nos manejamos con una base, se expresa:

Donde la norma es la suma de cada coeficiente multiplicado por sí mismo. En realidad, es un caso particular del llamado producto interior en Rn:

Si, como estamos haciendo, estamos en un espacio vectorial con coeficientes reales, queda que la norma de un vector, o su multiplicación por sí mismo, da siempre un número real no negativo (y se anula solamente si v es el vector nulo).

Pero en física también se trabaja, y mucho, con espacios vectoriales complejos, donde el cuerpo de los coeficientes son los números complejos. En estos casos, el producto interno no sirve tanto si se define como arriba, porque para coeficientes cualesquiera la norma puede dar un número cualquiera, no necesariamente positivo ni real. Ejemplo simple:

 En estos casos de espacios vectoriales complejos, los matemáticos prefieren un producto interno definido:

(en realidad, los matemáticos prefieren una definición más abstracta, donde no intervienen coeficientes referidos a una base), donde el asterisco significa "complejo conjugado". Expresando en multiplicación de vectores fila/columna, en dos dimensiones, sería:

Notemos que los elementos del vector fila son los coeficientes complejos conjugados del vector original w. Podemos ver el vector original w como un vector columna,  y ahora interviene en esta multiplicación de vectores como transpuesto Y CONJUGADO.


Teniendo esta definición de producto, nos interesa el grupo de transformaciones que mantenga la norma y este nuevo producto interno:

Sea la matriz de la transformación R:

Entonces nuestra multiplicación ahora es (habría que hacer todo el desarrollo, pero es así):

Vemos que R interviene TRANSPUESTA Y CONJUGADA. Para que esta expresión sea siempre igual a

Para cualquier w, v, debería cumplirse:

Las transformaciones que cumplen esto (y sus matrices) se llaman UNITARIAS. El grupo de transformaciones unitarias sobre C2 (C = complejo) se llama U(2). El grupo de transformaciones unitarias que no invierten el espacio (con matriz con determinante uno) son el grupo SU(2). Veremos, con paciencia y tiempo, la gran influencia que tienen estos grupos unitarios y especiales en los modelos de grupo del modelo estándar de partículas.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Noviembre, 2014, 14:40

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www.math.lsa.umich.edu/~rauch/555/partialfractions.pdf
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www.math.lsa.umich.edu/~rauch/555/laurentfourier.pdf
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Algo más que números: III CONCURSO DE OTOÑO DE MATEMÁTICAS (CO+)
http://algomasquenumeros.blogspot.com.ar/2012/10/iii-concurso-de-otono-de-matematicas-co.html

Mathematical formulation of quantum mechanics - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_formulation_of_quantum_mechanics

Schrödinger picture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_picture

Tellings of the Gauss Anecdote
http://www.sigmaxi.org/amscionline/gauss-snippets.html

Gaussian elimination - Linear Systems - math-linux.com
http://www.math-linux.com/spip.php?article53

Modular Arithmetic
http://www.cut-the-knot.org/blue/Modulo.shtml

angelustenebrae: The Mathematicians
http://angelustenebrae.livejournal.com/15908.html

Roomen biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Roomen.html

www.math.uregina.ca/~mareal/cs1.pdf
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Varying Newton"s constant: A personal history of scalar-tensor theories
http://www.einstein-online.info/spotlights/scalar-tensor

Cuerpos y sus extensiones
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo2.pdf

Teoria de Anillos
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo1.pdf

Resolubilidad por Radicales
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf

Abstract Algebra
http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/

dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1992_00_00_05.pdf
http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1992_00_00_05.pdf

Where Do Monads Come From? | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/where_do_monads_come_from.html

The Submodule of Invariants « The Unapologetic Mathematician
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www.math.vt.edu/people/brown/doc/gen_gauss_gem.pdf
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www.henrikkragh.dk/hom/episoder/lecturenotes/GaussCyclotomy200102a.pdf
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Mathics - A free, light-weight alternative to Mathematica
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Think Stats: Probability and Statistics for Programmers
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Pasch biography
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Renyi biography
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Publicado el 30 de Octubre, 2014, 12:12

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En el anterior post, vimos la recepción favorable de la conferencia de Schrödinger. Por un lado, exponía su método, con un buen caso de aplicación, el átomo de hidrógeno, quedando explicado de una forma más elegante que con la mecánica cuántica matricial. Por otro lado, expuso su interpretación, a la que se opuso firmemente Heisenberg, sin conseguir mayor apoyo.

And so I went home rather sadly. It must have been that same evening that I wrote to Niels Bohr about the unhappy outcome of the discussion. Perhaps it was as a result of this letter that he invited Schrodinger to spend part of September in Copenhagen. Schrodinger agreed, and I, too, sped back to Denmark.

Conocía del viaje de Schrödinger. No sabía que Heisenberg también estuvo en esos momentos

Bohr's discussions with Schrodinger began at the railway station and were continued daily from early morning until late at night. Schrodinger stayed in Bohr's house so that nothing would interrupt the conversations. And although Bohr was normally most considerate and friendly in his dealings with people, he now struck me as an almost remorseless fanatic, one who was not prepared to make the least concession or grant that he could ever be mistaken. It is hardly possible to convey just how passionate the discussions were, just how deeply rooted the convictions of each, a fact that marked their every utterance. All I can hope to do here is to produce a very pale copy of conversations in which two men were fighting for their particular interpretation of the new mathematical scheme with all the powers at their command.

Estos son los recuerdos de Heisenberg:

Schrodinger: "Surely you realize that the whole idea of quantum jumps is bound to end in nonsense. You claim first of all that if an atom is in a stationary state, the electron revolves periodically but does not emit light, when, according to Maxwell's theory, it must. Next, the electron is said to jump from one orbit to the next and to emit radiation. Is this jump supposed to be gradual or sudden? If it is gradual, the orbital frequency and energy of the electron must change gradually as well. But in that case, how do you explain the persistence of fine spectral lines? On the other hand, if the jump is sudden, Einstein's idea of light quanta will admittedly lead us to the right wave number, but then we must ask ourselves how precisely the electron behaves during the jump. Why does it not emit a continuous spectrum, as electromagnetic theory demands? And what laws govern its motion during the jump? In other words, the whole idea of quantum jumps is sheer fantasy."

El tema en discusión son los saltos cuánticos. Schrödinger no los admitía. Es interesante esta transcripción de Heisenberg, porque va a más detalle que otros resúmenes de divulgación.

Bohr: "What you say is absolutely correct. But it does not prove that there are no quantum jumps. It only proves that we cannot imagine them, that the representational concepts with which we describe events in daily life and experiments in classical physics are inadequate when it comes to describing quantum jumps. Nor should we be surprised to find it so, seeing that the processes involved are not the objects of direct experience."

Schrodinger: "I don't wish to enter into long arguments about the formation of concepts; I prefer to leave that to the philosophers. I wish only to know what happens inside an atom. I don't really mind what language you choose to discuss it. If there are electrons in the atom, and if these are particles-as all of us believe-then they must surely move in some way. Right now I am not concerned with a precise description of this motion, but it ought to be possible to determine in principle how they behave in the stationary state or during the transition from one state to the next. But from the mathematical form of wave or quantum mechanics alone it is clear that we cannot expect reasonable answers to these questions. The moment, however, that we change the picture and say that there are no discrete electrons, only electron waves or waves of matter, then everything looks quite different. We no longer wonder about the fine lines. The emission of light is as easily explained as the transmission of radio waves through the aerial of the transmitter, and what seemed to be insoluble contradictions have suddenly disappeared. "

Bohr: "I beg to disagree. The contradictions do not disappear; they are simply pushed to one side. You speak of the emission of light by the atom or more generally of the interaction between the atom and the surrounding radiation field, and you think that all the problems are solved once we assume that there are mate- rial waves but no quantum jumps. But just take the case of thermodynamic equilibrium between the atom and the radiation field-remember, for instance, the Einsteinian derivation of Planck's radiation law. This derivation demands that the energy of the atom should assume discrete values and change discontinuously from time to time; discrete values for the frequencies cannot help us here. You can't seriously be trying to cast doubt on the whole basis of quantum theoryl"

Schrodinger: "I don't for a moment claim that all these relationships have been fully explained. But then you, too, have so far failed to discover a satisfactory physical interpretation of quantum mechanics. There is no reason why the application of thermodynamics to the theory of material waves should not yield a satisfactory explanation of Planck's formula as well-an explanation that will admittedly look somewhat different from all previous ones."

Bohr: "No, there is no hope of that at all. We have known what Planck's formula means for the past twenty-five years. And, quite apart from that, we can see the inconstancies, the sudden jumps in atomic phenomena quite directly, for instance when we watch sudden flashes of light on a scintillation screen or the sudden rush of an electron through a cloud chamber. You cannot simply ignore these observations and behave as if they did not exist at al1."

Schrodinger: "If all this damned quantum jumping were really here to stay, I should be sorry I ever got involved with quantum theory."

Bohr: "But the rest of us are extremely grateful that you did; your wave mechanics has contributed so much to mathematical clarity and simplicity that it represents a gigantic advance over all previous forms of quantum mechanics."

Y acá algo que también conocía, pero parece que es Heisenberg la principal fuente que tenemos: Schrödinger cae enfermo, y Bohr sigue atosigándolo:

And so the discussions continued day and night. After a few days Schrodinger fell ill, perhaps as a result of his enormous effort; in any case, he was forced to keep to his bed wi th a feverish cold. While Mrs. Bohr nursed him and brought in tea and cake, Niels Bohr kept sitting on the edge of the bed talking at Schrodinger: "But you must surely admit that . . ." No real understanding could be expected since, at the time, neither side was able to offer a complete and coherent interpretation of quantum mechanics. For all that, we in Copenhagen felt convinced toward the end of Schrodinger's visit that we were on the right track, though we fully realized how difficult it would be to convince even leading physicists that they must abandon all attempts to construct perceptual models of atomic processes.

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Publicado el 28 de Octubre, 2014, 17:17

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Martin Varsavsky: Build a business around your problems
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Gamification World Congress
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Zynga confirms it hired real-money gambling chief
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Startup School: Mark Pincus Talks About Becoming A Great CEO, With Tony Robbins' Help
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Meet The Woman Who Has To Try And Save Zynga
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On Startups
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Gen ADN Digital
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GEN 2.0 53 Mision Silicon Valley GCBA
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Food Delivery
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Black Swan Farming
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NY Brothers Create Startup: SwapCycles A Marketplace For Motorcycles
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Jeff Smith and 10 Principles for Successful App Development
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Startup Grind
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"Search… Is Obsolete" Says Xyologic, As It Takes On The Mobile Apps Long Tail
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Diez ideas argentinas que se convirtieron en negocios exitosos
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"Copycat" startups in Latin America are killing it
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37signals Earns Millions Each Year. Its CEO"s Model? His Cleaning Lady
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Don"t build a fast company, Jason Fried tells Fast Company. Build a slow one.

EL EFECTO ANDREESSEN – HOROWITZ
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EL FUTURO DE SILICON VALLEY ¿ES SOMBRÍO?
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TWITTER VUELVE A CAMBIAR EL ACCESO A SU API Y DESAFÍA SU ECOSISTEMA
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Cómo es crear un emprendimiento propio on line
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Los diez argumentos que convencen a un Inversor.
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Inside Stanford's creativity factory
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Publicado el 27 de Octubre, 2014, 16:50

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Euler biography
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The Rule of Thumb in Mathematics
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Math ∩ Programming | A place for elegant solutions
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Learning Programming — Finger-Painting and Killing Zombies | Math ∩ Programming
http://jeremykun.wordpress.com/2012/03/15/learning-programming-zombies/

Kolmogorov Complexity – A Primer | Math ∩ Programming
http://jeremykun.wordpress.com/2012/04/21/kolmogorov-complexity-a-primer/

Optimally Stacking the Deck – Texas Hold "Em | Math ∩ Programming
http://jeremykun.wordpress.com/2012/04/09/optimal-stacking-hold-em/

Proof that Open Games are Determined
http://www.xamuel.com/open-games-determined/

New Modules from Old « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/17/new-modules-from-old/

Irreducible Modules « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/15/irreducible-modules/

Reducible Modules « The Unapologetic Mathematician
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Lie Algebra Modules « The Unapologetic Mathematician
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Demostración "elemental" de que el número e es irracional - Gaussianos
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Cómo demostrar que el número e es irracional - Gaussianos
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www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/articles_et_extraits_livres/irationalite/Penesi_L.L._Elementary_proof_that_e_is_irational.pdf
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Clay Mathematics Institute
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Riemann Hypothesis in a Nutshell
http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html

The Prime Pages (prime number research, records and resources)
http://primes.utm.edu/index.html

The Riemann Hypothesis
http://primes.utm.edu/notes/rh.html

Maurolico biography
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Pequeño LdN: 29 de Agosto
http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1529/29-de-agosto

Iwasawa theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Iwasawa_theory

Ideal class group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_(number_theory)

Cyclotomic field - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field

Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

Regular prime - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 26 de Octubre, 2014, 17:19

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Sea ahora que tengamos un estado físico E1, representado por la función de onda:

Y que tenemos un estado físico E2, representado por otra función de onda:

Entonces, resulta algo notable: la combinación lineal de ambas funciones de ondas, usando coeficientes complejos, ES TAMBIEN UNA FUNCION DE ONDA que representa UN ESTADO FISICO:

Esto no tendría por qué haber sido así: pero se descubrió experimentalmente. Los estados físicos se pueden combinar, y su combinación expresa matemáticamente con la combinación lineal de sus funciones de onda.

En general, las funciones de onda se usan normalizadas. Así, las funciones de onda de las que partimos, deberían estar normalizadas. Pero dependiendo de los coeficientes ci, la nueva función de onda puede que esté o no normalizada. Recordemos del anterior post, la probabilidad de encontrar al sistema en cuestión (un electrón, un átomo de helio, etc.) en un estado representado por la función de onda en el volumen Q de coordenadas era:

Se dice que la función de onda está normalizada, si esa probabilidad, extendida a todo el espacio de coordenadas, da probabilidad 1:

Calculemos esta última integral para nuestra nueva función de ondas:



No sabemos cuánto valen las integrales de estos términos, pero si toda esta evaluación diera, digamos 2 (dos) como valor resultante, entonces bastará multiplicar cada coeficiente ci por la raíz cuadrada de dos y obtendríamos la nueva función de onda, pero normalizada.

Es la superposición de estados la que permite que dos funciones de onda "interfieran" entre sí. Y notablemente, esta interferencia no se realiza como suma punto a punto de probabilidades, NUMEROS REALES, sino que recordemos que cada punto DA UNA AMPLITUD, un número COMPLEJO. Así, en un punto q la primer función de onda da un número complejo, y la segunda función de onda da OTRO número complejo. Dependiendo de su fase, podrán "interferir" constructiva o destructivamente.

Ver también

http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_superposition

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 25 de Octubre, 2014, 18:06

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Intentemos otra función de onda. En nuestro anterior intento, fracasamos porque resultó una igualdad con senos y cosenos mezclados, difícil de satisfacer para todos los valores. Eso sucedió porque la función de onda propuesta de la que partimos, sólo tenía seno. Al utilizar sus derivadas parciales, aparecieron más senos y cosenos pero no en una forma manejable.

Sea ahora:

Estamos usando k como número de onda, y la frecuencia angular omega. Ponemos un coeficiente gamma en el término del seno, para tener más libertad de elección en lo que viene. Podríamos haber puesto un coeficiente en el término del coseno, también, teniendo entonces dos coeficientes. Pero por la linealidad que estamos persiguiendo, es lo mismo.

Como antes para la anterior función de onda, calculemos sus derivadas parciales, en x y en t:



Recordemos que ya habíamos partido de:

Habiéndola transformado, aplicando las relaciones de de Broglie y de Einstein, y cambiando longitud de onda por número de onda, y frecuencia por frecuencia angular, quedando:

Entonces, hay un término con omega: por las derivadas de arriba, debería corresponder con la primera derivada temporal. Hay un término con k al cuadrado: ahí entonces debería estar la derivada segunda de x. Como ya vimos, esto nos da:

Expandamos la nueva función de onda y sus derivadas



Esto nos da varios cosenos y senos. Para que la ecuación se cumpla, basta que se cumpla para los factores que tienen seno, por un lado, y para los factores que tienen coseno. Es decir, si reagrupamos por coseno y seno como factores:


Todo se va a cumplir si los coeficientes de seno y coseno SE ANULAN. Queda


Sigue

Con lo que gamma cumple:

Y queda que es la raíz de menos uno (con una indeterminación de signo que no importa ahora):

Sustituyendo esto en una de las ecuaciones de arriba:

Comparando con

queda


Al fin tenemos todo para escribir "nuestra" ecuación de onda:

Bastante por hoy. En el próximo post destacaremos que esto NO es una deducción matemática, sino que es un argumento de plausibilidad. La ecuación de arriba NO SE DEDUCE (ni en los tiempos de Schrodinger ni ahora): hay que postularla.

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Octubre, 2014, 15:57

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Hay bastante sobre la conjetura ABC y números primso

The Aperiodical | It"s Imminently Time For Relatively Prime
http://aperiodical.com/2012/09/its-imminently-time-for-relatively-prime/

Proof of the abc Conjecture? | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=561

Additive Geometric Patterns of Resemblance
http://www.xamuel.com/geometric-patterns-of-resemblance/

El Topo Lógico: Reparto justo
http://eltopologico.blogspot.com.ar/2012/09/reparto-justo.html

Bill Thurston « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/22/bill-thurston/

On sets defining few ordinary lines « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/24/on-sets-defining-few-ordinary-lines/

A trivial remark about schemes « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/09/05/a-trivial-remark-about-schemes/

From Poisson To String Geometry | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/from_poisson_to_string_geometr.html

General Covariance in Homotopy Type Theory | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/general_covariance_in_homotopy.html

The Ax-Grothendieck Theorem According to Category Theory | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/the_axgrothendieck_theorem_acc.html

Decomposition of Semisimple Lie Algebras « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/08/decomposition-of-semisimple-lie-algebras/

Back to the Example « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/07/back-to-the-example/

The Radical of the Killing Form « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/06/the-radical-of-the-killing-form/

The Killing Form « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/03/the-killing-form/

El mayor experto en algo, "ni papa" del resto - Gaussianos
http://gaussianos.com/el-mayor-experto-en-algo-ni-papa-del-resto/

www.math.harvard.edu/~mazur/papers/scanQuest.pdf
http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/scanQuest.pdf

Philosophy behind Mochizuki's work on the ABC conjecture - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/106560/what-is-the-underlying-vision-that-mochizuki-pursued-when-trying-to-prove-the-abc/106658#106658

Mochizuki on ABC « Quomodocumque
http://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/

Proof of the abc Conjecture? | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5104

Posible demostración de la veracidad de la conjetura ABC - Gaussianos
http://gaussianos.com/posible-demostracion-de-la-veracidad-de-la-conjetura-abc/

Math/Maths 111: A Domino Computer on a Penrose Tiling | Pulse-Project.org
http://pulse-project.org/node/449

The Aperiodical | Puzzlebomb – September 2012
http://aperiodical.com/2012/09/puzzlebomb-september-2012/

History of American Mathematics
http://www.math.temple.edu/~zit/HoAM/HoAM%20page.htm

abc conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture

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