Angel "Java" Lopez en Blog

Tiempo de revisar mis resoluciones de Febrero:

- Escribir post sobre Stephen Jay Gould [completo] ver post
- Seguir mi serie de Notas sobre Variedades Suaves [completo] ver post
- Seguir mi serie de Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Espacios Vectoriales [completo] ver post
- Iniciar serie Grupos y Partículas Elementales [pendiente]
- Estudiar Topología [completo]
- Estudiar Espacios Vectoriales [completo]
- Estudiar Teoría de Grupos [completo]

En vez de seguir con una nota sobre lagrangianos y hamiltonianos, esta vez escribí un artículo con los primeros pasos en las matemáticas y física de un lagrangiano. Tengo que seguir el post de Stephen Jay Gould, sobre el tema interesante de ciencia, y ciencias donde interviene la historia. Hubo otros posts, que pueden ser interesantes, como:

Heisenberg y la Imagen de la Naturaleza (4)

Resoluciones para este nuevo mez de marzo:

- Escribir post sobre Stephen Jay Gould
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger
- Iniciar serie Grupos y Partículas Elementales
- Estudiar Teoría de Grupos

Tengo varias lecturas pendientes (Penrose, Pongriaguin, Atiyah), pero seguro que caerán en alguno de estos items de arriba.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Vimos en el anterior post que la combinación

av + bw

es un subespacio vectorial, donde v y w son dos vectores dados, y a, b son escalares del cuerpo del espacio vectorial. Consideremos para lo que sigue, que v y w son vectores no nulos.

Pero también vimos que un vector podría ser múltiplo de otro vector y un escalar. ¿Qué pasa si el vector w de arriba es múltiplo de v? Veamos. Será entonces que existe un escalar c, que cumple:

cv = w

para algún escalar c. Si c = 0, entonces vimos en el post anterior que w es el vector nulo. Sea c distinto de 0. Queda

av + bw = (a + bc)v

Y acá pasa algo interesante. Si a, b son cero,

av + bw = 0v + 0w = 0

que es el vector nulo (no confundir con el 0 del cuerpo de escalares). Pero ahora, si c es distinto de escalar cero, y b es distinto de 0 como supusimos, cb es distinto de 0 (un cuerpo no tiene divisores de 0), así que basta poner a = -cb, distinto de 0, para tener:

-cbv + bw = (-cb + cb)v = 0v = 0

obtenemos el vector nulo de nuevo. HAY MAS DE UNA FORMA de conseguir el vector nulo combinando los vectores v y w. Siempre HAY UNA forma, considerando a, b son ceros. Pero ahora surge que "hay más de un camino" para llegar al vector nulo, partiendo de los vectores iniciales. Este pasó porque comenzamos suponiendo que un vector era múltiplo del otro.

Sea ahora tres vectores, v, w, t no nulos combinados en una suma:

av + bw + ct

(ahora el coeficiente c es libre, no es el mismo que consideramos antes). Si de alguna forma existen escalares d, e tales que el nuevo vector t se pueda expresar como combinación de los anteriores vectores v y w:

t = dv + ew

No pueden ser d y e ambos ceros, porque supusimos que t es vector no nulo. Podría ser alguno de los dos el escalar cero, pero caeríamos en el caso anterior. Así que exploremos el caso: d y e son escalares distintos del cero. Tenemos que se cumple:

av + bw + ct = av + bw + c(dv + ew) = (a + cd)v + (b +  ce)w

Supusimos que los escalares c, d, e son distintos de 0. Entonces, cd, ce son distintos de cero. Colocando a = -cd, b = -ce, tenemos

av + bw + ct = 0

el vector nulo de nuevo, como resultado de la combinación de los tres vectores, usando COEFICIENTES ESCALARES DISTINTOS DEL CERO. De nuevo, todo esto pasó al suponer que el nuevo vector t era combinación de los anteriores, vía la multiplicación escalar y vector, y vía la suma de vectores. Se dice que un conjunto de vectores (incluso infinito) es linealmente dependiente si hay una suma finita de múltiplos de esos vectores con no todos los coeficientes 0, cuya suma produzca el vector nulo. Cuando pasa eso, uno de los vectores se puede expresar como combinación de los demás. Pues en el caso de arriba, se puede deducir que si c es distinto de 0, queda:

t = a/c v + b/c w

Es decir, el camino inverso que habíamos tomado.

De la misma forma, un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si no pueden "generar" el vector nulo (de nuevo considerando sumas finitas de múltiplos escalares). Tenemos que seguir estudiando el tema de la dependencia e independencia lineal. Por ejemplo, tenemos que poner algún ejemplo "visual", combinando vectores "en el plano" o "en el espacio". Los matemáticos también se guían por intuiciones. Pero también se apartan de ellas cuando es necesario elevar la abstracción.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Algunos enlaces más de este tema interminable que empapa la mayor parte de las matemáticas. Visiten el blog de Gower, a estudiar órbitas, acciones, y demás.

Group actions IV: intrinsic actions « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/12/10/group-actions-iv-intrinsic-actions/

A Semigroup Approach to Finite Markov Chains | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/01/a_semigroup_approach_to_finite.html

Group actions III — what’s the point of them? « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/25/group-actions-iii-whats-the-point-of-them/

The number of cycles in a random permutation « What’s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/11/23/the-number-of-cycles-in-a-random-permutation/

Group actions II: the orbit-stabilizer theorem « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/09/group-actions-ii-the-orbit-stabilizer-theorem/

Group actions I « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/06/group-actions-i/

Normal subgroups and quotient groups « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/20/normal-subgroups-and-quotient-groups/

The structure of approximate groups « What’s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/10/24/the-structure-of-approximate-groups/

John Leech
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leech.html

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Veamos de iniciar el camino de descubrir alguna ecuación de Schrödinger. Primero, ¿por qué alguien querría buscar alguna ecuación nueva? Recordemos que la ecuación buscada nos tiene que dar alguna información sobre el movimiento del sistema. En los tiempos de Schrödinger, ya de Broglie había lanzado una relación entre las propiedades de movimiento de una partícula y alguna característica de onda. Pero sólo se aplicaba a partículas libres. Schrödinger quería extender esa relación a partículas no libres, en especial, al electrón ligado a un átomo, en su caso más simple: el átomo de hidrógeno.

Antes de las ideas de de Broglie, mucho antes, ya había aparecido una relación entre algo físico y las propiedades de una onda. Fue Einstein quien usó la relación ya usada por Planck:

Donde E es la energía, h la constante de Planck, y v la frecuencia de la luz incidente en el experimento. La usa en uno de sus "papers" del Annus Mirabilis. Pueden leer una traducción al inglés en http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/eins_lq.pdf

Einstein explicaba el efecto fotoeléctrico con esta relación. No era evidente que existiera una relación tal en esos experimentos. Este fue uno de los puntos de entrada a la nueva física, ya anticipado por Planck al usar una relación así para explicar el espectro del cuerpo negro. Vamos a ir viendo cómo ese concepto tan mecánico-clásico como la energía, termina apareciendo asociado a una onda, y en particular, a la frecuencia de una onda. Las ideas de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico y esta relación no fueron aceptadas de inmediato. Solamente en 1923, con los experimentos de Compton se llegó a comenzar a aceptarlas. Ver también http://www.citycollegiate.com/physicsXII_17b.htm

Por otro lado, Schrödinger sabía que de Broglie había planteado la relación entre momento y longitud de onda:

Donde lambda es la longitud de onda, p el momento, y h de nuevo es la constante de Planck.
ESTA VEZ de Broglie, notablemente, asocia momento DE UNA PARTICULA con una propiedad de una onda, su longitud de onda. Mientras que Einstein se limitaba al caso de la luz, el intuitivo de Broglie invierte el caso, y asocia la longitud de una onda con el momento de una partícula. El mismo Einstein quedó impresionado, porque de Broglie (cosa que a veces se pasa por alto), no hizo esto solamente como un ejercicio de simetría (tipo "ah, las ondas tienen energía, entonces las partículas tienen momento" o variantes del estilo), sino que apeló a consideraciones de relatividad especial para deducir, forzosamente, su relación. Según de Broglie, si la relación de Einstein era verdadera, y la relatividad especial era aplicable, entonces, su relación entre momento y longitud de onda era forzosamente una conclusión derivable lógicamente de la relación entre energía y frecuencia.

Nota personal: a mí me costó un tiempo ver que longitud de onda y frecuencia no son dos caras de la misma moneda. Solamente es así (una se puede deducir de la otra) cuando hablamos de la luz, con una velocidad c. En las relaciones que estamos tratando, para una partícula genérica, tanto frecuencia como longitud de onda pueden variar independientemente. Aclaro que pongo "partícula" porque es la mejor palabra que tenemos ahora para referirnos a un electrón u otros especímenes.

Sería un poco largo de explicar ahora, pero el argumento de de Broglie se basa en que en relatividad especial, el cuadrivector energía-momento puede transformarse, siendo el resultado invariante. Así como cuando nosotros rotamos un vector matemático, que tiene coordenadas x, y, haciendo que parte de las coordenadas x pasen a las y, y viceversa, lo mismo de Broglie vió que transformando el cuadrivector energía-momento, la relación de Einstein entre energía y frecuencia, se transformaba en parte en la relación de momento y longitud de onda.  Pueden ver algo de esta deducción en el tercer tomo de las famosas Lectures de física de Richard Feynman. Eso es lo que impresiónó a Einstein y lo movió a apoyar las ideas de de Broglie.

Sin embargo, lo que afirmaba de Broglie no estaba todavía respaldado por el experimento. Era una buena idea, pero en física y en ciencia, las buenas ideas y modelos no bastan. Hacía falta algún experimento que corroborara el modelo. Y el experimento llegó, pero recién en 1927, ver experimento de Davisson  y Germer

Sin embargo,  Schrödinger, ya convencido de la importancia de las relaciones de Einstein, por un lado, y la de de Broglie por el otro, se sumergía en la búsqueda de una ecuación que las abarcara en el año 1925, publicado resultados a principios de 1926.

Tema para el próximo post. Seguiremos agregando condiciones que necesitan ser cumplidas por la ecuación buscada.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Encuentro en el excelente "La vida maravillosa" de Stephen Jay Gould, unos párrafos sobre ciencia, ciencias históricas, método científico. Quería comenzar a compartirlas por acá y agregar algún comentario.

Lo encuentro en el capítulo 4 "La visión de Walcott y la naturaleza de la historia". El tratamiento que hace Stephen Jay Gould de la historia de Charles Doolittle Walcott, científico, paleontólogo, descubridor de Burgess Shale, daría para otra serie de posts. Por ahora, me centro en la sección de ese capítulo con título "Burgess Shale y la naturaleza de la historia". Leo ahí:

Nuestro lenguaje está lleno de frases que encarnan el peor y el más restrictivo estereotipo sobre la ciencia. Exhortamos a nuestros frustrados amigos a ser "científicos" (con lo que queremos significar desapasionados y analíticos) cuando aborden un problema enojoso. Hablamos del "método científico" e instruimos a los escolares en esta ruta supuestamente monolítica y de máxima eficacia para el conocimiento natural, como si una única fórmula pudiera desencadenar todos los variadísimos secretos de la realidad empírica.

Gould menciona "método científico" entre comillas, como refiriéndose a un estereotipo popular de lo que debe ser. Está bien que advierta que hay un estereotipo, que no corresponde con lo que hace la ciencia. Esto último, que hay un método científico (sin comillas) no queda claramente expresado en Gould, y por lo que entiendo, sostiene que no lo hay, o no hay UNO. A ver, revisemos.

La ciencia es una actividad humana. Entonces, "la ciencia hace... " es una expresión que en realidad quiere decir "los científicos hacen.. ". Lo que veo es que el método científico se basa, primero, en la observación de la realidad, sea el tema que nos ocupen los planetas o las sociedades humanas. Me estoy limitando a las ciencias fácticas, dejando de lado las ciencias formales como las matemáticas y la lógica. Nadie es científico encerrándose en su cuarto y reconstruyendo el universo desde su mente, como parece que hace Hegel. Hay que ir y ver, observar.

Pero no solamente eso. En algún momento, hay que poner conceptos, teorías: por ejemplo, proponer conceptos que parecen relevantes, como temperatura, calórico, átomos, movimiento natural. Algunos resultarán interesantes e importantes para el ámbito que hayamos elegido. Otros, se verán que no tienen influencia, o que son falsos conceptos, como sucedió con el calórico en la historia de la física. Otros sufrirán modificaciones, como el concepto de átomo, que se volvió divisible, de nuevo, a lo largo de la historia de la física. Vean que no pongo "experimento" como un paso NECESARIO. Pocos experimentos pueden hacer los que estudian supernovas. O los que estudian economía de un país o una sociedad entera.

Luego, aparece la formación de modelos. Por ejemplo, explicar la temperatura como una forma de manifestación de los movimientos atómicos. O como una forma de fluido que se transmite. Y luego, el modelo es puesto a prueba, con experimentos si es posible, con deducciones y comparación con la observación. Por ejemplo, cuando Gamow propuso lo que Hoyle, algo despectivamente, bautizó "teoría del Big Bang", también propuso que la radiación original debía estar por ahí, cubriendo el espacio, ya diluída. No creyó que fuera posible medirla. De ahí, los años que pasaron entre su propuesta y el descubrimiento accidental del fondo de microondas por Arno Penzias y Robert Wilson. Leer el excelente libro "Los tres primeros minutos" de Steven Weinberg.

Estos dos pasos, recortar algo de la realidad para formar un concepto relevante, y la formación de modelos, son los que hacen al método científica algo no monolítico. Son típicas actividades humanas, que no pueden salir solamente de la observación y el experimento. Es lo que no se puede automatizar. Dependiendo de la época, los prejuicios o falta de ellos, y demás, se van proponiendo conceptos y modelos. Vean a Heisenberg proponiendo algo muy alejado de lo que se admitía entonces en física, o a Bohr proponiendo un modelo de átomo donde se suspendían las leyes del electromagnetismo. Podría agregar que el tema conceptos y modelo es lo principal que separa la actividad científica de lo que se dió en llamar positivismo. Que nadie aduzca en estos días que ser científico es ser positivista.

Y luego, hay una puesta a prueba casi permanente de todo eso. No es solamente: "construí un modelo que explica todo" y nos sentamos orondos a esperar el premio Nobel. Algo así pasó en la historia del psicoanálisis: embriagados por un modelo propuesto que explica todo (y como dice Bunge, entonces "posee un gran atractivo para quien busca credos sencillos" ver Mario Bunge, primer contacto con el psicoanálisis y con la ciencia), desde entonces todo lo quisieron ajustar a lo que habían propuesto. Ver El limón adelgaza.

Resumiendo, por lo que veo hasta ahora, tenemos en el método científico:

- Observación, experimentación cuando es posible
- Formación de conceptos, y medición cuando es posible
- Propuesta de modelos que expliquen lo que pasa, predicción cuando es posible, retrodicción cuando es posible
- Puesta a prueba de conceptos y modelos

Pero tengo que seguir comentando a Gould, sobre todo, el tema de ciencias donde interviene la historia. Será en el próximo post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Habría tanto para escribir y comentar sobre Poincaré. Y su influencia tanto en la física como en las matemáticas. Por ahora, unos enlaces. Vean por ejemplo, el del Poincaré Project.

http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9

Jules Henri Poincaré (French: [ʒyl ɑ̃ʁi pwɛ̃kaʁe];^[2] 29 April 1854 – 17 July 1912) was a French mathematician, theoretical physicist, engineer, and a philosopher of science. He is often described as a polymath, and in mathematics as The Last Universalist by Eric Temple Bell,^[3] since he excelled in all fields of the discipline as it existed during his lifetime.

As a mathematician and physicist, he made many original fundamental contributions topure and applied mathematics, mathematical physics, and celestial mechanics. He was responsible for formulating the Poincaré conjecture, which was one of the most famousunsolved problems in mathematics until it was solved in 2002–2003. In his research on thethree-body problem, Poincaré became the first person to discover a chaotic deterministic system which laid the foundations of modern chaos theory. He is also considered to be one of the founders of the field of topology.

Poincaré made clear the importance of paying attention to the invariance of laws of physics under different transformations, and was the first to present the Lorentz transformations in their modern symmetrical form. Poincaré discovered the remaining relativistic velocity transformations and recorded them in a letter to Dutch physicist Hendrik Lorentz (1853–1928) in 1905. Thus he obtained perfect invariance of all of Maxwell's equations, an important step in the formulation of the theory of special relativity.

The Poincaré group used in physics and mathematics was named after him.

James Tauber : Poincaré Project
http://jtauber.com/poincare_project/

The Poincaré Conjecture
http://www.claymath.org/poincare/

Henri Poincaré | El Tamiz
http://eltamiz.com/2012/01/19/henri-poincare/

Pat'sBlog: On This Day in Math - December 9
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-9.html

French Polymath Henri Poincaré on How Creativity Works | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/08/15/henri-poincare-on-how-creativity-works/

Phys. Rev. 140, B977 (1965): Classification of Elementary Particles Based on the Representation Types of the Poincaré Group Including Space, Time, and Charge Reflections
http://prola.aps.org/abstract/PR/v140/i4B/pB977_1

Representations of the Symmetry Group of Spacetime
http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf

Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing

Poincaré conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture

Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/division_algebras_and_supersym_1.html

Spinors, Chirality, and Majorana Mass « An American Physics ...
http://fliptomato.wordpress.com/2008/01/04/spinors-chirality-and-majorana-mass/

Matemático Grigori Perelman explica por qué renunció a US$ 1 millón - FayerWayer
http://www.fayerwayer.com/2011/04/matematico-grigori-perelman-explica-por-que-renuncio-a-us-1-millon/

Grigori Perelman claims he can control Universe - English pravda.ru
http://english.pravda.ru/science/tech/28-04-2011/117727-Grigori_Perelman-0/

Yang–Mills existence and mass gap - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_existence_and_mass_gap

Pictures of Modular Curves (III) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/pictures_of_modular_curves_iii.html

Russian mathematician rejects $1 million prize - Yahoo! News
http://news.yahoo.com/s/ap/20100701/ap_on_sc/eu_sci_russia_math_genius

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Uno de los primeros textos donde apareción "variedad" en mis lecturas de este siglo, está en "el Penrose". El tema de variedades suaves aparecen en varios lugares en ese gran libro. Vaya una nota para recordar la introducción al tema:

Nota 2

Leo en la sección 10.2 Suavidad, Derivadas Parciales:

Puesto que al considerar funciones de más de una variable empezamos a aventurarnos en espacios de dimensiones más altas, aquí es necesario hacer algunos comentarios concernientes al "cálculo infinitesiman" en tales espacios....

Justamente, en las variedades suaves se aplica alguna forma de análisis matemático, involucrado integrales, derivades, diferenciales. Esa es una nota que distingue a las variedades suaves: no son "suaves" sólo en un sentido topológico sino que hay una estructura adicional que permite extender el cálculo ("cálculo" como "análisis matemático", no simple destreza de calcular), a las variedades de varias dimensiones (incluso de dimensión infinita). Igual, a Penrose le interesa las variedades n-dimensionales. Y explica un caso de uso en física.

... los espacios - conocidos como variedades - pueden ser de cualquier dimensión n, donde n es un entero positivo. (Una variedad n-dimensional se suele conocer simplemente como una n-variedad.) La teoría de la relatividad general de Einstein utiliza una 4-variedad para describir el espaciotiempo, y muchas teorías modernas utilizan variedades de dimensiones aún más altas. Exploraremos las n-variedades generales ... [pero ahora] por simplicidad consideraremos solo la situación de una 2-variedad (o superficie) real S. Entonces podemos utilizar las coordenadas locales x e y (reales) para etiquetar los diferentes puntos de S (en una región local de S). De hecho, la discusión es muy representativa del caso general n-dimensional.

Al pensar en dos dimensiones, uno podría usar el plano euclídeo. Pero hay otros ejemplos, más interesantes:

Una superficie 2-dimensional podría ser, por ejemplo, un plano ordinario o una esfera ordinaria.... Su estructura [la de la variedad] solo tiene que ser la de una variedad suave. Geométricamente, esto significa... que necesitamos poder decir cuándo una función definida en el espacio (i.e., una función cuyo dominio es el espacio) debe considerarse "suave".

Voy a dejar acá la lectura del texto para esta nota. Por una lado, aparecieron coordenadas. Por otro lado, a cada punto del espacio/variedad a considerar se le puede asignar una función (por ejemplo, con resultado real o complejo; si queremos jugar a las matemáticas, podríamos considerar funciones que van de una variedad a otra, y considerar la variedad "target"/objetivo a la  recta real o plano complejo como casos especiales). Les adelanto que hay que considerar:

- La existencia de mapas de coordenadas que pueden no cubrir TODA la variedad (por ejemplo, no hay una forma de adoptar coordenadas en la superficie de una esfera PARA TODOS los puntos, sin caer en puntos singulares, como el "polo norte" y el "polo sur" en el caso de coordenadas longitud/latitud)
- El solapamiento "suave" de mapas de coordenadas
- La existencia de funciones "suaves" y como esa suavidad se extiende al aplicar mapas que se solapan "suavemente"

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Hay mucho material para comentar en los enlaces de abajo, y otros que voy coleccionado. Por ejemplo, la presentación "Three Pictures" es muy interesante, porque marca las diferencias entre los modelos de Schrodinger, Heisenberg y Dirac. O el "Understanding Heisenberg ... " un muy buen artículo que me hace ver que mi incomprensión de algunos pasos en el "paper" más famoso no era injustificada.

http://en.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberg

Werner Karl Heisenberg (5 December 1901 – 1 February 1976) was a Germantheoretical physicist and one of the key creators of quantum mechanics. He published his work in 1925 in a breakthrough paper. In the subsequent series of papers with Max Bornand Pascual Jordan, during the same year, this matrix formulation of quantum mechanicswas substantially elaborated. In 1927 he published his uncertainty principle, upon which he built his philosophy and for which he is best known. Heisenberg was awarded theNobel Prize in Physics for 1932 "for the creation of quantum mechanics".^[1] He also made important contributions to the theories of the hydrodynamics of turbulent flows, the atomic nucleus, ferromagnetism, cosmic rays, and subatomic particles, and he was instrumental in planning the first West German nuclear reactor at Karlsruhe, together with a research reactor in Munich, in 1957. Considerable controversy surrounds his work on atomic research during World War II.

Following World War II, he was appointed director of the Kaiser Wilhelm Institute for Physics, which soon thereafter was renamed the Max Planck Institute for Physics. He was director of the institute until it was moved to Munich in 1958, when it was expanded and renamed the Max Planck Institute for Physics and Astrophysics.

Heisenberg was also president of the German Research Council, chairman of the Commission for Atomic Physics, chairman of the Nuclear Physics Working Group, and president of the Alexander von Humboldt Foundation.

Heisenberg group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group

Heisenberg, Matrix Mechanics, and the Uncertainty Principle
https://www.physics.iitm.ac.in/~labs/dynamical/pedagogy/slbala/heisenberg.pdf

Three Pictures of Quantum Mechanics
http://uncw.edu/phy/documents/Shafer_09.pdf

Understanding Heisenberg’s ‘magical’ paper of July 1925: a new look at the calculational details
http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0404009.pdf

Quantum Mechanics, 1925-1927: Triumph of the Copenhagen Interpretation
http://www.aip.org/history/heisenberg/p09.htm

Heisenberg's Uncertainty Principle - Part 1 of 2 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=yrVi24pp_6I&feature=relmfu

References for: A history of Quantum Mechanics
http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/References/The_Quantum_age_begins.html

Heisenberg’s Matrix Mechanics and Dirac’s Re-creation of it
http://www.worldscibooks.com/etextbook/7271/7271_chap02.pdf

S-matrix - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/S-matrix

Heisenberg picture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_picture

Copenhagen (TV 2002) - IMDb
http://www.imdb.com/title/tt0340057/

What is the Uncertainty Principle? - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=7vc-Uvp3vwg

Heisenberg - Quantum Mechanics, 1925-1927: The Uncertainty Principle
http://www.aip.org/history/heisenberg/p08.htm

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Les sigo compartiendo temas que se tratan en Café Filosófico, aquí en Buenos Aires, Argentina. Más detalle, lugar, costos, en:

http://filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm

El tema de hoy es la búsqueda de relación amorosa. Soy algo escéptico a poner teoría de la evolución (biológica, imagino) en este tema. Tampoco me convence la psicología evolutiva. Pienso (más que opino) que la cultura y la historia han tenido MUCHO de injerencia en nuestras conductas. Decir que la conducta X ha "sido seleccionada" por ser "ventajosa" es una gran afirmación, que apela a mecanismos paralelos a los de la evolución biológica (como la supuesta selección), que no veo que sucedan. Sólo lo tomaría como una analogía, pero nada más. Veamos el temario:

 ¿Se preguntaron por qué algunas personas muy inteligentes tienen tantas dificultades en sus relaciones amorosas? En un trabajo reciente publicado por la Universidad de Oxford, dos investigadores evolucionistas, pioneros en este campo de estudio, Glenn Geher y Scott Barry Kaufman, revelan qué entienden por "inteligencia en la búsqueda de sexo y de pareja" y nos revelan muchos aspectos desconocidos y fascinantes a la luz de recientes investigaciones científicas, inéditas en el país, en las que interactúan la teoría evolucionista y las neurociencias. La búsqueda de sexo o de pareja exige un enorme trabajo cognitivo consciente e inconsciente, de modo que la inteligencia tiene un papel importante para jugar ahí.

Nos internaremos en una exploración del universo cognitivo, consciente e inconsciente, detrás de las estrategias de apareamiento de los seres humanos. La habilidad para presentarse a uno mismo como atractivo. La neuroquímica de la confianza. Pensamientos, motivaciones y aptitudes vinculadas con salir victorioso en el juego del apareamiento. Según los estudios disponibles, ¿quiénes detectan mejor las infidelidades, los hombres o las mujeres? Esta diferencia, ¿cumple alguna función biológicamente adaptativa? La función del humor en el cortejo de hombres y mujeres. ¿Qué dicen (sorprendentemente) los estudios científicos acerca de la conveniencia de que las mujeres prefieran como pareja a los hombres que las hacen reír? Según las evidencias disponibles, ¿cuáles son las mejores frases para el cortejo y cuáles están con mayor probabilidad destinadas al fracaso? Los indicadores de "buena paternidad". ¿Qué hombres y mujeres resultan más atractivos para relaciones a corto y a largo plazo?

Muchas de las capacidades humanas se desarrollaron para encantar a una potencial pareja. ¿Qué rol cumplen el arte, el humor y la creatividad en el apareamiento? Los efectos de la ovulación en la preferencia de pareja. El rol de la personalidad. ¿Cómo operan en hombres y mujeres las variables disposicionales (inteligencia, creatividad, humor, personalidad) y las situacionales (riqueza, status social o atractivo físico)? Qué resulta más atractivo para cada género. La psicología evolucionista sostiene que aunque existan influencias culturales, el atractivo físico no está construido enteramente por la cultura. El rol de la mente en el sexo, el cortejo y el amor. Como solemos hacerlo habitualmente, expondremos material reciente que hemos traido del exterior para compartir en nuestros encuentros.

Este trabajo original, revelador, sorprendente y por momentos muy gracioso, ilumina quizá una de las facetas más fundamentales de la biología y de la filosofía: el apareamiento y la reproducción humanas. Un ejemplo de cómo la ciencia puede ser de utilidad para el ciudadano común.

(Incluimos abajo un par de fragmentos sobre el tema)

Esto me parece más interesante: examinar la conducta de la gente, y luego formular modelos (que pueden estar o no equivocados). Pero por lo menos no apela tanto a la explicación evolutiva:

 Hay mujeres engañadas, pero no por un hombre, sino por condicionantes genéticos, culturales y propios de un periodo histórico determinado. Por ejemplo, van a un encuentro de citas rápidas (speed-dating), declaran por escrito que buscan una relación a largo plazo pero terminan seducidas por el caballero que sólo desea tener una relación a corto plazo. Este comportamiento fue mayoritario en las mujeres pero no en los hombres que asistieron a una investigación realizada en el contexto de citas rápidas por Jens Asendorpt y equipo en Alemania. Era más probable que los hombres que buscaban una relación comprometida lo consiguieran, mientras que la mayoría de las mujeres en idéntica situación terminaban en una relación a corto plazo. ¿Cómo se explica? Una hipótesis posible pleanteada por los investigadores es que los hombres que buscan relaciones a corto plazo pueden tener más habilidades para la seducción, tal vez sean menos tímidos y esto se vincula con los roles tradicionales, que requieren que los hombres tomen la iniciativa. El estudio hizo un seguimiento de un año y, en efecto, muchas más mujeres que buscaban relaciones de pareja estable no lo habían conseguido, a diferencia de los hombres que se habían planteado idéntico propósito.

 En un estudio en el que 206 mujeres leyeron sobre distintos hombres, los descriptos como más graciosos fueron caracterizados como más "sensibles, flexibles, extrovertidos, excitantes, felices, capaces de jugar con niños, inteligentes, generosos, altos ( !) ricos, masculinos y musculosos ( !)". Sin embargo, en estudios en los que se hizo un seguimiento de las parejas a lo largo de los años, se vio que las parejas más felices y duraderas son aquellas en las que la mujer es más generadora de humor que el hombre. La hipótesis de los investigadores es que en muchos casos el humor masculino puede ser utilizado en contra de la mujer. Si algo aprendimos, señalan los autores, es que la inteligencia humana para la búsqueda de pareja es extremadamente complicada.

Lo comparto por acá, para no perder la descripción, y los investigadores nombrados. Me temo que la gente de Café Filosófico no deja publicadas estos textos, sólo vi el último de cada semana.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Sigo leyendo a Heisenberg:

La época siguiente [a la de Newton] aplicó con éxito los métodos de la mecánica newtoniana a dominios de la Naturaleza cada vez más amplios. Se procuró aislar mediante el experimiento determinadas partes del proceso natural, observarlas objetivamente y comprender su regularidad; se procuró luego formular matemáticamente las relaciones descubiertas, obteniendo "leyes" de validez incondicionada en todo el Universo. Con ello se alcanzó finalmente, mediante la técnica, el poder de aplicar a nuestros fines las fuerzas de la Naturaleza. El magno desarrollo de la mecánica en el siglo XVIII, y el de la óptica y la teoría y técnica térmicas a principios del XIX, atestiguan la fecundidad de aquel principio.

Hasta acá una descripción de lo que pasó con el desarrollo de la ciencia moderna luego de Newton. Vemos que Heisenberg menciona experimento, relaciones, pero no pone "modelo". La ciencia no es sólo relaciones, sino también el proponer conceptos y modelos que puedan explicar lo que sucede.

Y acá viene el tema del libro, cómo se ha ido transformando la imagen de la Naturaleza.

A medida que aquel tipo de ciencia natural iba obteniendo éxito, traspasaba progresivamente las fronteras del dominio de la experiencia cotidiana y penetraba en remotas zonas de la Naturaleza, que no pdían ser alcanzadas más que mediane la técnica que por su parte iba desarrollándose en combinación con la ciencia natural. Ya en la obra de Newton, el paso decisivo lo constituyó el descubrimiento de que las leyes mecánicas que rigen la caída de una piedra son las mismas que presiden el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, y, por consiguiente, que aquellas leyes pueden aplicarse también en dimensiones cósmicas.

Eso es importante. Fue la primera "gran unificación" que vivió la física. Para Aristóteles y otros, los cielos tenían sus propias leyes y propiedades. El movimiento circular era el "normal" en los cielos.

Por hoy, dejo acá el tema, a seguir en próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ha llegado el tiempo de encarar más seriamente el estudio de un tema que empapa gran parte de las matemáticas aplicadas a la física. Notablemente, tiene injerencia tanto en la física clásica, como en la mecánica cuántica "clásica" y la derivada teoría de campos cuántica. Esto indica, de alguna manera, que este formulismo matemático que vamos a comenzar a estudiar esconde una clave importante en la formación de modelos de la realidad física. Tal vez sean modelos que se puedan explicar de otra forma, tal vez sean modelos donde los lagrangianos y hamiltonianos (el tema que nos ocupa) sean fundamentales y no derivados. Mi apuesta actual: son derivados, no fundamentales. Sólo surgen por aproximación a modelos continuos desde una conducta no continua de la realidad física. Pero por ahora, dejemos consideraciones filosóficas, y adentrémonos en este grande y fascinante tema.

Desde hace siglos, la física de la mecánica se ve guiada por las leyes de Newton. Estas nos dan una forma de describir el movimiento de partículas ideales (y luego, cuerpos y otros elementos) a partir de la descripción de las fuerzas que actúan sobre ellas, y una característica que llamamos masa. A partir de ahí, con ecuaciones diferenciales con derivadas por tiempo (no derivadas parciales, sino absolutas) Newton y compañía pueden establecer ecuaciones de movimiento que nos dicen dónde estará una partícula determinada (en un sistema de partículas) al tiempo t, sabiendo la disposición (posición espacial y velocidades) de las partículas al tiempo 0, sus características (masa inercial de cada una) y las fuerzas y leyes de fuerzas que actúan en el ambiente (por ejemplo, fuerzas gravitatorias entre las partículas, fuerzas de otro tipo (ejemplo, electromagnetismo) entre las partículas y entre las partículas y el ambiente, etc). Si bien el esquema newtoniano ha servido para resolver problemas y describir muchas situaciones, en la historia de las matemáticas han surgido, motivados por tema s físicos, otras aproximaciones a la descripción de las ecuaciones de movimientos. Veamos hoy una derivación simple (y parcial) de lo que se llaman las ecuaciones de Lagrange.

Primero, recordemos la forma de la segunda ley de Newton:

¿Qué nos dice esta fórmula? Al ser una ecuación donde interviene la derivada total del tiempo, nos dice que el cambio del momento p (que es un vector, tiene dirección y magnitud) se origina en las fuerzas presentes en cada instante. Se puede reescribir, cuando nos manejamos en física no relativista, como:

Donde x es el vector posición. La derivada segunda por el tiempo nos dá la velocidad. Si consideramos que x se puede expresar en sus componentes de coordenadas cartesianas xi:

Consideremos un caso especial pero importante en física: la fuerza se origina de una sola fuente, que se puede explicar con un campo potencial V (lo que se llama un campo de fuerzas conservativo). Es decir, las fuerzas externas se pueden dar con sólo dar la posición de la partícula: no importa la velocidad, ni el color ni el sabor ni nada más. Y en base al cambio de potencial V en el espacio, se da la fuerza. Como ejemplo, podría poner como V el campo gravitatorio, que genera una fuerza que "empuja" a la partícula desde un punto de mayor potencial a uno de menor potencial. Eso se expresa diciendo que la fuerza es proporcional y apunta en la dirección espacial donde el campo V disminuye. En forma matemática:

Donde i toma los valores 1, 2, 3. La x con el punto arriba denota dx/dt, la derivada total de x respecto de t. Es la notación original de Newton, para quien no había más que derivadas por el tiempo (simplifico, pero es lo que hacía Newton cuando aplicaba su cálculo a la física).

En un campo de fuerzas como el que describimos, hay otra cosa que se pone en juego: la energía cinética de la partícula. Y así como la energía potencial sólo depende de la posición, la energía cinética en este caso sólo depende de la velocidad cartesiana (en otras coordenadas podría no ser el caso):

Notablemente, la energía cinética depende de la SUMA de las aceleraciones, no importa si giramos nuestro laboratorio en otras coordenadas (eso sí, ortogonales). Esta es una indicación de que la fórmula de arriba refleja un estado que es independiente de los ejes coordenados que elijamos (eso sí, de nuevo, ortogonales).

Ahora bien, si nos fijamos con detenimiento, vemos que la derivada de T, la energía cinética, respecto de la velocidad en el eje i, es una derivada parcial:

Entonces, si son iguales, serán iguales sus derivadas en el tiempo:

Pero vimos más arriba que el miembro de la derecha, la derivada por el tiempo del impulso, es el negativo de la derivada espacial parcial del potencial. Queda:

O lo que es lo mismo

Esta es una muy interesante fórmula, que relaciona la influencia de la fuerza (debida a un potencial) con el cambio en el tiempo de, no la energía cinética, sino de la forma en la que la energía cinética T tiende a cambiar respecto a la velocidad dirigida según los ejes. Todas estas relaciones se encuentran de nuevo por otros caminos en la mecánica clásica newtoniana. Sigamos.

Tenemos esta hermosa relación, pero no nos interesa la hermosura sino la deducción de cómo va a funcionar nuestro sistema, cómo van a evolucionar en el tiempo la posición y la velocidad de la partícula. ¿Podremos obtener algo de esa información desde la fórmula de arriba? Seamos valientes, y avancemos.
En los sistemas conservativos, que estamos considerando, la energía potencial sólo depende de la posición. Y donde la energía cinética sólo depende de las velocidades. Podemos escribir

Para indicar que la energía cinética depende de las velocidades. Es una forma abreviada de decir:

Extendamos un poco la definición de potencial, y escribamos que depende de esta forma abreviada:

Por lo que vimos en la hermosa fórmula de arriba, T y V están relacionados. ¿Cómo podemos combinarlos y seguir obtiendo algo interesante? No es evidente. Pero las primeras opciones son contemplar el estudio de T+V o T-V, las expresiones más simples que contienen a las dos. Lagrange fue el que tomó T-V como fundamental, y entonces queda:

Históricamente, esta expresión se llama lagrangiano. Pero hay que estar atentos: esta expresión combina energía cinética y potencial EN CAMPOS DE FUERZA CONSERVATIVOS. Podría tener una expresión más complicada en otras situaciones, y servirnos igual de bien (ver mi post 5 de mis notas sobre lagrangianos y hamiltonianos de más abajo). Algo notable en la historia de la física es que se descubrió que muchas situaciones se pueden describir con un lagrangiano, y aplicando lo que se llama las ecuaciones de Lagrange, que aparecen en breve más abajo, SE OBTIENEN LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO. Muchos problemas entonces son: dado el sistema X, encontrar su lagrangiano, de tal forma que las ecuaciones de Lagrange nos den las ecuaciones de movimiento correctas. Esto es algo que no todos los libros de texto o de divulgación avanzada declaran claramente. Muchos se quedan en que el lagrangiano es simplemente T – V y no hacen énfasis en que es un caso especial. Y que el caso general es notable: es fascinante que los modelos físicos funcionen de tal manera que dado un L podamos sacar tanta información. Algo similar pasa con otras funciones (como la función de onda de Schrodinger) en la física cuántica: una función nos da multitud de información sobre el sistema. No era evidente que la realidad física pudiera mapear a tamaño formulismo.

Pero nos quedamos a mitad de camino. Tenemos la expresión de arriba para el lagrangiano. Y ahora ¿dónde vamos? Pues bien, veamos que al ser el potencial independiente de la velocidad (lo cual no es siempre el caso en otros ambientes):

Pero también sabemos que

Ese signo menos es que de alguna forma decidió a Lagrange a decantarse por T-V.  Entonces la hermosa fórmula:

Queda expuesta como:

Son TRES ecuaciones, para i=1,2,3. Terminan relacionando posiciones y velocidades en el tiempo. Si podemos dar con estas ecuaciones (lo que es fácil conociendo el lagrangiano) y resolverlas (lo que no siempre es fácil), podemos expresar posición y velocidad futuras de la partícula, en función del tiempo. En un campo de fuerzas conservativo, estas ecuaciones son EQUIVALENTES a las derivadas de la segunda ley de Newton. Acá sólo mostré el camino Newton -> Lagrange, pero se podría hacer a la inversa.
Todo muy lindo, hermosa la fórmula, y muy interesante las ecuaciones de Lagrange. Pero ¿qué ganamos desde el punto de vista físico? No queda evidente del desarrollo de arriba. Tenemos que explorar algunos ejemplos concretos. Pero adelantemos algo: LA FORMA de las ecuaciones de Lagrange, no cambia si cambiamos las coordenadas, no sólo girando el laboratorio, sino cambiando de coordenadas cartesianas a polares, u a otras, la FORMA de la ecuaciones de Lagrange se conserva. Es decir, basta con transformar el lagrangiano a su expresión en las nuevas coordenadas, y las ecuaciones de Lagrange tienen la misma forma, derivada parcial por las velocidades de las nuevas coordenadas y derivada por las coordinadas. ESO NO ERA EVIDENTE. De nuevo, tendremos que estudiarlo en futuros posts.

Esa invariancia de forma permite plantear un problema en otras coordenadas, que podrían hacer al lagrangiano más fácil de tratar. Llamamos a las nuevas coordenadas, coordenadas generalizadas, digamos qi en vez de xi. Hasta podría ser que en el lagrangiano deje de depender de alguna coordenada qi, digamos la q1, con lo que tenemos

Entonces de la ecuación de movimiento para q1:

Ya que el segundo miembro de la izquierda es cero, podemos deducir:

O lo que es lo mismo

Es decir, podemos encontrar algo que se mantiene constante en toda la evolución del sistema partícula. Se lo llama constante del movimiento. Ya vamos a encontrar cómo en casos donde el sistema no se ve influido por temas externos, hay constantes como el momento lineal, el momento cinético, y la energía. Pero paso a paso. Ya llegaremos a temas tan importantes, relacionados con la simetría de la forma de algún lagrangiano, ver que no cambia de forma ante algunas transformaciones (como rotaciones, translaciones y otras más que aparecen en relatividad einsteniana).

El desarrollo de arriba lo tomé del excelente "Fundamentos de Mecánica Cuántica" de Sidney Borowitz, hay una edición de Reverté. Me sirvió el comienzo del capítulo 6, donde Borowitz introduce la lagrangiana, que le va a servir para explicar luego hamiltoniana, y la relación que encontró Schrodinger entre las ópticas geométrica/de ondas por un lado, y la mecánica clásica/cuántica por el otro.

Post relacionados:

Post relacionados:
Mecánica Clásica (2) Fuerza, Momento, Velocidad
Mecánica Clásica (1) Primeros Conceptos
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (1)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (2)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (3)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (4)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (5)
Las leyes de movimiento de Newton

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Veo hoy de revisar las resoluciones de enero y plantear las de febrero. No fue un mes fácil el que pasó, con temas personales de los que ocuparse, pero he podido cumplir bastante de las resoluciones:

- Escribir post sobre Stephen Jay Gould [completo] ver post
- Escribir post de mi serie Topología General [completo] ver post
- Seguir mi serie Notas sobre Variedades Suaves [pendiente]
- Seguir mi serie Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [completo] ver post y ver post
- Seguir mi serie La necesidad de una teoría cuántica de campos [completo] ver post
- Estudiar topología [completo]
- Estudiar variedades [completo]
- Estudiar física cuántica [completo]

Además estuve escribiendo de historia de la física:

Bohr según Pauli y Heisenberg
Sommerfeld según Pauli
Teoría de Maxwell-Lorentz (4)

Para febrero, quiero:

- Escribir post sobre Stephen Jay Gould
- Seguir mi serie de Notas sobre Variedades Suaves
- Seguir mi serie de Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger
- Seguir mi serie sobre Espacios Vectoriales
- Iniciar serie Grupos y Partículas Elementales
- Estudiar Topología
- Estudiar Espacios Vectoriales
- Estudiar Teoría de Grupos

Algo ambicioso, pero interesante.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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En el anterior post, descubrimos que puede haber, en un espacio topológico, puntos de acumulación de un conjunto cualquiera M, que tengan una cantidad de puntos finita en la intersección de sus abiertos con el conjunto M. Eso no es lo que se espera en general. Los puntos de acumulación que nos aparecen en la historia del cálculo (límites de sucesiones) en general tienen una cantidad infinita de puntos del conjunto al que se "aproximan". ¿Que es lo que nos falta?

Es que hemos considerado espacios topológicos generales. Pongamos una condición adicional; manejemos espacios topológicos que cumplan:

- Dados dos puntos distintos a, b, siempre hay un entorno del punto a que no contiene al punto b.

Gráficamente:

.

El punto a tiene siempre un entorno (en el que está incluido) que no contiene al punto b. Por supuesto, cada entorno del punto a puede tener o no más puntos. Pero siempre podemos ahora elegir un entorno de a que no contenga al punto b. En definitiva: el punto a no está "pegado" al punto b, se lo puede separar en un entorno.

Con esta simple condición, la situación de los puntos de acumulación comienza a cambiar. Sea un punto de acumulación de M, el punto a. Si TODO entorno del punto a sólo tuviera una cantidad finita de puntos de M, entonces veremos que podemos construir un entorno del punto a QUE NO contenga puntos de M, y entonces el punto a dejaría de ser de acumulación. Veamos.

Sea E(a) un entorno del punto a que tenga una cantidad FINITA de puntos de M. Sea b uno de los puntos de M que está en E(a). Ahora, por la condición enunciada arriba, hay un segundo entorno del punto a, digamos E'(a), QUE NO contiene a B. La intersección de E(a) y E'(a) sigue siendo un entorno de a, digamos E''(a). Este nuevo entorno del punto a, tiene MENOS puntos de M que el entorno del que partimos inicialmente. Siguiendo con este procedimiento, cada vez tenemos un entorno nuevo del punto a, que va teniendo menos puntos de M. Al final, como supusimos desde el principio de todo que la cantidad de puntos del entorno inicial que caían en M era finita, terminamos con un entorno del punto a QUE NO TIENE ningún punto en común con M, distinto de a. Es como que vamos quitando de a uno los puntos en común hasta quedarnos sin ninguno.

Esto es una contradicción con la suposición: el punto a es punto de acumulación de M.

Conclusión: no pueden ser a la vez ciertas:

- punto a es punto de acumulación de M
- existe E(a) con una cantidad FINITA de puntos de M, distintos de a

Corolario:

- Si punto a es de acumulación de M, TODOS sus entornos tienen una CANTIDAD INFINITA de puntos de M distintos del mismo punto a

Es notable que con la simple adición de la condición expresada recuperemos la infinitud de la "adherencia" de los puntos de acumulación. Históricamente, los espacios topológicos fueron tratados al principio con esa condición. Sólo generalizando se vió que era una condición que podía estar o no estar. Veremos en próximos posts la historia de ese desarrollo, y condiciones similares que le podemos adosar a un espacio topológico.  Tengo que visitar, por ejemplo, los distintos axiomas de separabilidad.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Uno de los libros que me explica lagrangianos y hamiltonianos es "Fundamentos de Mecánica Cuántica" de Borowitz. Es un muy buen libro, que recorre el camino seguido por Schrödinger: la conexión entre la mecánica clásica y la cuántica es similar a la relación entre óptica geométrica y ondulatoria.

En uno de los capítulos, por ejemplo, desarrolla todo sobre series y transformaciones de Fourier. Es un libro bastante autocontenido e interesante por el detalle que pone. Hoy tomo de ahí una breve nota, del capítulo donde presenta lagrangianos y hamiltonianos, el capítulo 6, titulado Dinámica:

Nota 6

Primero presenta a Newton:

La resolución de problemas referentes a fenómenos de partículas clásicas se inicia con las leyes del movimiento de Newton, sobre todo con la segunda ley. En realidad, las partículas pueden ser definidas como entes cuyo movimiento se rige por estas leyes. Como las ecuaciones clásicas del movimiento no se asemejan en absoluto a la ecuación de ondas (la segunda ley de Newton conduce a ecuaciones diferenciales ordinarias y no a ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales como la ecuación de ondas), para establecer la conexión entre fenómenos corpusculares y ondas será necesario llevar a cabo algunas transformaciones. Este capítulo y el siguiente están dedicados al estudio de los principales avances y evoluciones de la mecánica de los cuales resultó el establecimiento de dicha conexión.

Para Newton, ver:

Las leyes de movimiento de Newton
Mecánica Clásica (1) Primeros Conceptos

Borowitz pasa a deducir un primer lagrangiano, suponiendo ya fórmulas para energía cinética, potencial, que es una fuerza conservativa, y que el potencial entonces sólo depende de la posición y no de la velocidad ni del tiempo. Son varias restricciones, pero sirven para comenzar a tratar el tema. Una vez obtenida la expresión de las ecuaciones de Lagrange (derivadas sobre L el lagrangiano), afirma que esas ecuaciones son mejores que la formulación de Newton porque no cambian de forma ante un cambio de sistema de coordenadas. No da una prueba, y sugiere hacer la sustitución algebraica. Tengo pendiente esa deducción. Es más fácil deducir que las ecuaciones de Lagrange son invariantes por cambios de coordenadas si se parte del principio de Hamilton (donde cierta integral de L es extremal) y se aplican entonces las ecuaciones de Euler de cálculo variacional. Todos temas para otra serie de post, más matemática.

Pero no quiero olvidarme de algo que mencione, que en muchos textos de mecánica no está tan explícito. En la segunda sección, presenta el principio de mínima acciób de Hamilton. Y escrribe lo que comienza a ser la conexión entre mecánica y óptica:

Puesto que la dinámica puede formularse en términos de un principio variacional es posible establecer una conexión entre la óptica y la dinámica. La generación de trayectoria en un problema mecánico puede concebirse como un intento por parte del sistema de mantener la acción en un mínimo, del mismo modo que la generación de una trayectoria en óptica se efectúa a lo largo de un camino que mantiene en un mínimo al tiempo.

Describe una lagrangiana para fenómenos ópticos, y escribe:

Esta "lagrangiana" no parece hallarse asociada con una diferencia entre una "energía cinética" y una "energía potencial", pero este hecho no debe por sí mismo disuadirnos. Existen sistema dinámicos en los que la lagrangiana no es expresable como diferencia entre las energías cinéticas y potencial. En realidad, se suele considerar como lagrangiana apropiada a aquella función de las coordenadas y del tiempo que, introducida en las ecuaciones de Lagrange, proporciona las ecuaciones del movimiento correctas. Esta función no ha de ser necesariamente expresable como diferencia entre las energías cinética y potencial.

Lo importante a entender es:

- Hay una lagrangiana L (una fórmula) que describe un sistema
- Hay ecuaciones adicionales sobre L (las ecuaciones de Lagrange)
- Y ESAS ECUACIONES dan las ecuaciones de movimiento del sistema
- La expresión de esas ecuaciones es tan fundamental que son invariantes a los cambios de coordenadas

Es notable que la naturaleza física "funcione" de esta manera. Es algo profundo que se nos asoma desde la mecánica clásica y las matemáticas. De ahí que tanto lagrangianas como hamiltonianos tengan un papel destacado en la formación de modelos matemáticas, tanto en física clásica como en cuántica.

Luego de deducir el primer lagrangiano desde las ecuaciones de Newton,

Posts donde ya mencioné el libro:

Hacia la Física Cuántica: Notas de su Historia
Estudiando Física Cuántica

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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El otro día presentaba y comentaba sobre Sommerfeld, su forma de investigar, según el discurso Nobel de Pauli. Hoy quería presentarles el siguiente párrafo de ese discurso, donde Pauli describe su relación con Bohr:

Una nueva fasede mi vida científica empezó cuando me encontré personalmente con Niels Bohr por primera vez. Esto fue en 1922, cuando dio una serie de conferencias invitadas en Gotinga en las que informó de sus investigaciones teóricas sobre el Sistema Periódico de los Elementos.

Debieron ser las mismas conferencias donde Heisenberg se encontró con Bohr por primera vez. Ver Bohr y Heisenberg: Primer encuentro. Las investigaciones de Bohr debieron estar relacionadas con determinar mejor las capas electrónicas y por qué se disponían de esa forma (relacionando energías con su postulado). Curiosamente, ni Heisenberg ni Pauli mencionan la presencia del otro.

Solo recordaré brevemente que el progreso esencial que aportaban las consideraciones de Bohr en esa época consistía en explicar, por medio de un modelo atómico esféricamente simétrico, la formación de las capas intermedias del átomo y las propiedades generales de las tierras raras. La cuestión de por qué  todos los electrones de un átomo en su estado fundamental no estaban ligados en su capa más interna y a había sido destacada por Bohr como un problema fundamental en sus trabajos anteriores. En sus conferencias en Gotinga trató en particular el cierre de esta capa K más interna en el átomo de helio y su conexión esencial con los dos espectros no combinantes del helio, los espectros del ortohelio y del parahelio.

El helio vendría a resolverse mejor con trabajos futuros de Heisenberg, y dio pie también a investigaciones de Pauli relacionadas con spin y estadística.

Sin embargo, ninguna explicación convincente para este fenómeno podía darse basándose en la mecánica clásica. Me causó una fuerte impresión que entonces y en discusiones posteriores Bohr estaba buscando una explicación general que fuera válida para el cierre de todas las capas electrónicas y en las que el número 2 se consideraba tan esencial como el 8, en contraste con la aproximación de Sommerfeld

Esa es la actitud de Bohr: tratando de encontrar la explicación de los fenómenos. La descripción de Pauli está de acuerdo con la impresión de Heisenberg (mencionada en el texto del enlace de arriba):

When the discussion was over, Bohr came to me and suggested that we should go for a walk together on the Heinberg outside Gottinguen. Of course, I was very willing. That discussion, which took us back and forth over Hainberg's wooded heights, was the first thorough discussion I can remember on the fundamental physical and philosophical problems of modern atomic theory, and it has certainly had a decisive influence on my later career. For the first time I understood that Bohr's view of his theory was much more sceptical than that of many other physicists - e.g. Sommerfeld - at that time, and that his insights into the structure of the theory was not a result of a mathematical analysis of the basis assumptions, but rather of an intense occupation with the actual phenomaena, such that it was posible for him to sense for relationship intuitively rather tan derive them formally.

Thus I understood: knowledge of nature was primarily obtained in that way, and only as the next step can one succeed in fixing one's knowledge in mathematical form and subjecting it to complete rational analysis. Bohr was primarily a philosopher, not a physicist, but he understood that natural philosophy in our day and age carries weight only if its everu detail can be subjected to the inexorable test of experiment.

Se puede leer aquí a un Heisenberg que está adelantando sus propias ideas al respecto, influido por el contacto con Bohr. Interesante tema. Y qué caminos tomaron los dos, luego con el desarrollo del nazismo y la segunda guerra.

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Tantos temas fascinantes e interminables. Les contagio, digo, comparto ;-) más enlaces:

Eight Wonders of the Mathematical World - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=lxAZ_FLudKc&feature=player_embedded

¿Cuál fue el error que cometió Cristobal Colón? - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/%C2%BFcual-fue-el-error-que-cometio-cristobal-colon/

IMO 2012 en Mar del Plata – Problema nº 2 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/imo-2012-en-mar-del-plata-problema-n%C2%BA-2/

It’s a Boson! The Higgs as the Latest Offspring of Math & Physics | The Crux | Discover Magazine
http://blogs.discovermagazine.com/crux/2012/07/30/the-mathematical-magic-behind-the-mysterious-higgs-boson/

Feit biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Feit.html

Monge biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Monge.html

Limerick primes — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/03/08/limerick-primes/

Eikonal equation - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Eikonal_equation

Lie Groups in Nature « DrMathochist
http://drmathochist.wordpress.com/2010/01/11/lie-groups-in-nature/

Lie groups, Lie algebras, and representations « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2007/03/20/lie-groups-lie-algebras-and-representations/

Zolotarev biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Zolotarev.html

Lexis biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lexis.html

IFS fractal - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=JlUMRMpLzRo&feature=fvsr

Lecture 6 page 1 at 100 DPI -- 6.885, Folding and Unfolding in Computational Geometry, Prof. Erik Demaine
http://courses.csail.mit.edu/6.885/fall04/erik_notes/100dpi/L6-1.html

Pat'sBlog: On This Day in Math - July 7
http://pballew.blogspot.de/2012/07/on-this-day-in-math-july-7.html

Mathematicians use network theory to model champion Spanish soccer team's style
http://phys.org/news/2012-07-mathematicians-network-theory-champion-spanish.html

Nash equilibrium - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_equilibrium

How Game Theory Solved a Religious Mystery - Mind Your Decisions by Presh Talwalkar
http://mindyourdecisions.com/blog/2008/06/10/how-game-theory-solved-a-religious-mystery/

Al Roth's game theory, experimental economics, and market design page
http://kuznets.fas.harvard.edu/~aroth/alroth.html

Game Theory 101: Game Theory Made Easy
http://gametheory101.com/

Andrey Kolmogorov - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Kolmogorov

Mis Enlaces
http://delicious.com/ajlopez/mathematics

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Hay veces que uno se entera de algo en la personalidad de un científico casi de casualidad. Muchas actitudes y caracteres pueden no mencionarse en los artículos de divulgación o de texto. En estos días encuentro el discurso Nobel de Wolfgang Pauli, 13 de diciembre de 1946. Al comienzo:

La historia del descubrimiento del "principio de exclusión", por el que he recibido el honor del Premio Nobel en 1945, se remonta a mis días de estudiante en Munichs. Aunque en la escuela en Viena ya había gaado algún conocimiento de la física clásica y la entonces nueva teoría de la relatividad de Einstein, fue en la Universidad de Munich donde fui introducido por Sommerfeld en la estructura del átomo, algo extraño desde el punto de vista de la física clásica. No me libré de la conmoción que todo físico, acostumbrado al modo de pensar clásico, experimentaba cuando llegaba a conocer por primera vez "el postulado básico de la teoría cuántica" de Bohr.

El entender las causas que llevan a ese postulado, proponer un modelo que lo explique, fue gran parte del impulso que llevó al desarrollo de la mecánica cuántica. Pero en los tiempos que Pauli describe, todavía no se había llegado a tener un modelo explicativo, y solamente cabía aceptar el postulado, y ver de extenderlo. Sommerfeld y otros fueron los que llevaron el trabajo de Bohr más allá, incorporando por ejemplo nuevos números cuánticos, que explicaban otras "órbitas" de electrones. Pauli mismo colaboraría en esos desarrollos.

En esa época había dos aproximaciones a los difíciles problemas relacionados con el cuanto de acción. Una intentaba llevar un orden abstracto a las nuevas ideas buscando una clave para traducir la mecánica y la electrodinámica clásica en un lenguaje cuántico que constituiría una generalización lógica de las mismas. Esta fue la dirección tomada por el "principio de correspondencia" de Bohr.

A veces se olvida que tanto la relatividad como la cuántica tienen a la física clásica como uno de sus límites, para velocidades bajas la primera, y para números cuánticos grandes la segunda. Y acá leo algo que no conocía sobre Arnold Sommerfeld (tanto Pauli como Heisenberg fueron estudiantes de doctorado de Sommerfeld en Munich, y varios otros):

Sommerfeld, sin embargo, a la vista de las dificultades que bloqueaban el uso de los conceptos de los modelos cinemáticos, prefería una interpretación directa, lo más independiente posible de los modelos, de las leyes de los espectros en términos de números enteros, dejándose llevar, como Kepler hizo en cierta ocasión en su investigación del sistema planetario, por una sensación interna de armonía. Ambos métodos, que no me resultaban irreconciliables, me influyeron. La serie de números enteros 2, 8, 18, 32 que daba las longitudes de los períodos en el sistema natural de elementos químicos, era celosamente discutida en Munich, incluído el comentario del físico sueco Rydberg de que estos números son de la forma simple 2n2, si n toma todos los valores enteros. Sommerfeld trató especialmente de relacionar el número 8 con el número de vértices de un cubo.

Desconocía esa posición de Sommerfeld. Ciertamente, como señala Pauli, recuerda a los intentos de Kepler y sus modelos de los sólidos platónicos. Pero también es notable que se sepa tan poco de esa inclinación de Sommerfeld. Sin conocer la historia de la ciencia, vemos que lo que sobrevive es lo exitoso, y como el intento de Sommerfeld se reveló no fructífero, seguramente fue olvidado. Pero hay que rescatar estos comentarios, como el de Pauli, para ayudar a entender que la ciencia es una actividad humana.

El tema de principio de exclusión es fascinante, y está ligado con el problema de explicar la relación entre spin y estadística (Einstein/Bose o Fermi, bosones o fermiones). En la fuente que cito abajo, también hay un "paper" de Pauli donde explica cómo aparece esa relación por la influencia de la relatividad. Pero no parece que sea un tema claro de explicar (ver el post que menciono más abajo).

Encuentro el texto de arriba en la excelente recopilación de "papers" "Los sueños de los que está hecha la materia" de Stephen Hawking. Ahí está la "lecture" completa. Espero en poco publicar lo que escribe luego Pauli sobre Bohr.

Post relacionados:

El problema de explicar spin y estadística
El Efecto Pauli, según Gamow
Bohr y Heisenberg: Primer encuentro
Pauli, Dirac, Heisenberg y la religión

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La teoría de grupos termina estando en todas partes. Más enlaces (les recomiendo el de partículas elementales):

Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/division_algebras_and_supersym_1.html

Michael Aschbacher y la demostración más larga de la historia de las matemáticas
http://amazings.es/2011/09/22/michael-aschbacher-y-la-demostracion-mas-larga-de-la-historia-de-las-matematicas/

Particle physics and representation theory - Wikipedia, the ...
http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_physics_and_representation_theory

Group Theory and Elementary Particles
http://www.cmi.ac.in/~shreyas/grpth.pdf

Prize awarded for largest mathematical proof - physics-math - 09 September 2011 - New Scientist
http://www.newscientist.com/article/dn20893-prize-awarded-for-largest-mathematical-proof.html

Garrett Lisi on his theory of everything | Video on TED.com
http://www.ted.com/talks/garrett_lisi_on_his_theory_of_everything.html

Spinors, Chirality, and Majorana Mass « An American Physics ...
http://fliptomato.wordpress.com/2008/01/04/spinors-chirality-and-majorana-mass/

Particles, Casey Blood, interpretations of quantum mechanics ...
http://implications-of-quantum-mechanics.com/qm41_references-for-understanding-quantum-mechanics.html

Mass, Spin, and Charge Are Properties of the Wave Function
http://implications-of-quantum-mechanics.com/qm11_mass-spin-charge-properties-of-wave-function.html

Burnside biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Burnside.html

The Birkhoff-Kakutani theorem « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/05/17/the-birkhoff-kakutani-theorem/

Morwen Thistlethwaite - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Morwen_Thistlethwaite

God's Number is 20
http://cube20.org/

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Este es un tema interminable e importante, en física clásica y cuántica. En esta nueva nota, quería comentar una continuación de la nota 1 del primer post

Nota 5

Sigo leyendo "el Penrose". Cerca del comienzo del capítulo 20, escribe Penrose:

Consideremos un sistema newtoniano que consiste en un número (finito) de partículas individuales y quizás algunos cuerpos rígidos, cada uno de ellos considerado como una entidad indivisible. Habrá un espacio de configuración, C, de un número grande, N, de dimensiones, cada uno de cuyos puntos representa una única disposición espacial de todas estas partículas y cuerpos... En el transcurso del riempo, ese único punto de C que representa a todo el sistema se moverá dentro de C de acuerdo con cierta ley que engloba el comportamiento newtoniano del sistema;... Resulta muy notable (y muy valioso computacionalmente) el hecho de que esta ley puede obtenerse por un procedimiento matemático a partir de una única función.

Cierto: es muy notable. Las ecuaciones de movimiento que describan la evolución de las N dimensiones se pueden obtener de una única función. Y esa función es el lagrangiano del sistema (o el hamiltoniano). Lo que se busca en la física actual, ante un problema concreto, es encontrar el lagrangiano correspondiente. Es el tema a estudiar: ¿qué lleva a la naturaleza a tener ese esquema tan notable? Tal vez es sólo una ilusión matemática, un "emergente" de algo más básico que no conocemos (esta frase apunta a lo que quiero seguir proponiendo: la realidad no funciona de "forma continua", sino de alguna otra forma; el que tengamos modelos continuos basados en números reales y complejos, y estas formulaciones lagrangianas y hamiltonianas, bien puede ser sólo una aproximación a algo más fundamental).

En la imagen lagrangiana (al menos en su forma más simple y habitual), esta función - denominada la función lagrangiana - se define sobre la fibra tangente T(C) del espacio de configuración C ...

Penrose debe ser el único de mis lecturas principales que menciona lo de fibra tangente (y más abajo, fibra cotangente). Son términos más matemáticos que físicos, y en muchos libros de texto no aparecen (por ejemplo, no los encontré en la "Mecánica Clásica" de Goldstein, ni en Landau).

En la imagen hamiltoniana, la función - denominada función hamiltoniana - se define sobre la fibra cotangente T*(C)... denominada espacio de fases. Notemos que tanto T(C) (cada uno de cuyos puntos representa un punto Q de C, junto con un vector tangente en Q) como T*(C)(cada uno de cuyos puntos representa un punto Q de C, junto con un vector cotangente en Q) son variedades 2N-dimensionales.

Si bien entiendo espacio vectorial tangente, tengo que captar mejor la idea del cotangente, y luego, lo de fibras (temas que luego tienen contacto con conexión gauge, como trata el propio Penrose en otro capítulo). Veremos que en ambos tratamientos, lagrangiano y hamiltoniano, hay coordenadas generalizadas. Pero hay otras coordenadas: en el primero, hay "velocidades", y en el segundo "momentos" generalizados. Pero tiempo al tiempo. Seguiré tomando notas, y en algún momento, comenzará serie de post con desarrollo más concreto, fórmulas y ejemplos.

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Hasta ahora, sólo apareció Maxwell en los anteriores posts. Ahora, aparece Hendrik Lorentz, con una teoría que yo no había reconocido como suyo. Cuando uno aprende algo de física en estos días, ya sea en libros de textos o de divulgación, no siempre queda claro el camino histórico de una idea. Leo:

The next great advance was the formulation of the electron theory of Lorentz. He conceived that all electromagnetic and optical interactions of matter were due to the presence of corpuscular charges, "electrons," within the matter. This is a partial return to the earlier viewpoint, in which the action of charge on charge played the entire role. But with Lorentz, the Maxvell theory is preserved. Instead of direct description of the action of charge on charge, the theory is phrased in terms of the action of medium on charge, and charge' on medium. Electrons produce a "field" which is propagated in the medium, and which acts on all other electrons. The role of the medium, in Lorentz' theory, become far more clearly that of an intermediary only. With the negative result of all aether drag experiments, the proof of the covariance of the field equations under the Lorentz transformation, and the statement of the theory of relativity, the aether, as a mechanical concept, vanished. To it was not even left the role of determining a system of reference. The idea of the field remained, however, as its trace, and electromagnetic theory remained a field theory, whether the field was thought of in terms of its components with their energy densities or as a world-tensor.

Veamos, Lorentz pone de nuevo a las partículas (los electrones) como parte fundamental del electromagnetismo. Si bien Maxwell propuso algunos modelos mecánicos (algo complejos) para explicar su teoría, su formulación se basa en la existencia de un campo, y todas sus ecuaciones operan sobre ese campo. El concepto "campo" aparece con Faraday, intuitivamente, pero Maxwell es el que le agrega toda la matemática para hacer de un "campo" un objeto manejable en su modelo. Lorentz dice: "bien, está el campo, pero todo es producido por los electrones". Y en vez de abandonar el campo y sustituirlo (a la Newton) por acciones a distancias entre partículas, pone que un electrón, en vez de actuar sobre otro electrón, lo que hace es generar y alterar un campo. Comienza a explicar ese campo continuo de Maxwell, con entidades puntuales, como los electrones. Hay una tensión entre estos dos conceptos, que se vive aún hoy en día: ¿qué es lo fundamental? ¿la partícula o el campo? ¿ambos? ¿otra cosa? Ver Teoría Cuántica de Campos y Partículas.

Al principio, parece que Lorentz y otros consideraban al campo como algo que actuaba sobre un medio, el éter. Con los experimentos fallidos para detectarlo, el concepto de éter se fue abandonando. Para Lorentz, el éter no se movía y era una esperanza de tener un espacio absoluto. Mientras la teoría del electrón se desarrolló desde 1892, en el noventa y cinco, Lorentz da con una explicación para entender los resultados negativos de los experimentos de Michelson/Morley, exponiendo que los cuerpos cambiaban de longitud al moverse por el éter. Antes ya había propuesto el concepto de "tiempo local", tan mentado por Poincaré a principios del siglo XX. Hoy, todas esas ideas, bien formuladas pero conceptualmente erróneas, has sido adoptadas por la relatividad de Einstein.

The end result of Lorentz' theory is the direct description, through the retarded potentials, of the action of charge on charge. Thus, though this is not at all the viewpoint of Lorentz' own presentation, we may conceive that we are back in spirit to action at a distance, but action after a lapse of time. Whether we use the language of action at a distance or action in the medium is obviously a matter of words only, if the analytical formulations are really equivalent; but it is not a matter of indifference if the question becomes one of extension or modification of the theory. In such attempts, intuition is led by the picture accepted as fundamental. If the electrodynamic field be considered as fundamental, such concepts as the localization of energy in space and flux of energy density seem a compelling, not an arbitrary, assumption. Certainly, in consideration of such a searching question as the reconciliation of quantum ideas on energy interchanges with general theory, the type of attempted modification will depend upon the choice of viewpoint in this particular.

Aparece de nuevo, el concepto de potencial retardado. La acción a distancia se conserva, pero no es la acción inmediata de Newton, sino que se desarrolla en el tiempo. No seguí del todo el razonamiento de "If the electrodynamic field be considered as fundamental.." pero es parte de la tensión que describía antes.

Ver

The Theory of Electron
The Theory of Electrons and the Propagation of Light la "lecture Nobel" de Lorentz
Lorentz ether theory donde se ve la postura de Lorentz respecto al éter

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