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Publicado el
19 de Enero, 2019, 9:33
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Publicado el
18 de Enero, 2019, 12:29
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Publicado el
8 de Enero, 2019, 13:57
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Comienza el nuevo año. Igual, sigo con resoluciones personales mensuales. Revisión de las del mes de diciembre:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [completo] ver post ver post
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Escribí sobre Max Jammer y su descripción del formalismo de la mecánica cuántica, de los tiempos de von Neumann y Dirac.
Mis resoluciones para el nuevo mes:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
2 de Enero, 2019, 12:14
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Publicado el
29 de Diciembre, 2018, 16:01
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Publicado el
27 de Diciembre, 2018, 15:23
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Publicado el
24 de Diciembre, 2018, 15:51
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No sabía que el trabajo de von Neumann había sido desarrollado antes de la exposición de Dirac. Leo a Jammer:
The major part of the operator calculus in Hilbert space and, in particular, its spectral theory had been worked out by von Neumann before Paul Adrien Maurice Dirac published in 1930 his famous treatise in which he presented a conceptually most compact and notationally most elegant formalism for quantum mechanics. Even though von Neumann admitted that Dirac's formalism could "scarcely be surpassed in brevity and elegance," he criticized it as deficient in mathematical rigor, especially in view of its extensive use of the (at that time) mathematically unacceptable delta-function. Later, when Laurent Schwartz' theory of distributions made it possible to incorporate Dirac's improper functions into the realm of rigorous mathematics -a classic example of how physics may stimulate the growth of new branches in mathematics- Dirac's formalism seemed not to be assimilable to von Neumann's. Yet due to its immediate intuitability and notational convenience Dirac's formalism not only survived but became the favorite framework for many expositions of the theory. The possibility of assimilating Dirac's formalism with von Neu- mann's approach has recently become the subject of important investigations such as Marlow's presentation of the spectral theory in terms of direct integral decompositions of Hilbert space, Roberts recourse to "rigged" Hilbert spaces as well as the investigations by Hermann and Antoine.
Como escribía ayer, el tema de la función delta de Dirac era el núcleo de la crítica de von Neumann. Jammer menciona a Laurent Schwartz y su teoría de la distribución, donde hizo "acceptable" a la idea original de Dirac. Me encontré con esa teoría en "el Penrose". Ver también:
La utilidad de las matemáticas y Laurent Schwartz
Recordando a Beppo Levi (donde Mario Bunge menciona el trabajo de Schwartz)
John von Neumann y Operadores en Cuántica (donde aparece el origen del libro de von Neumann)
Las ideas de Dirac las estoy desarrollando en la serie:
Teoría de la Transformación de Dirac, un desarrollo moderno (1)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
23 de Diciembre, 2018, 12:06
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Hoy estoy leyendo el libro de Max Jammer "The Philosophy of Quantum Mechanics: The Interpretations of QM in historical perspectives". Ya nombré a Jammer en alguna cita de su libro más conocido "The Conceptual Development of Quantum Mechanics" en Uhlenbeck, Goudsmit y el spin del electron. Siempre me refresca conceptos leer a Jammer. En este libro de hoy, se refiere a
...nonrelativistic quantum mechanics of systems with a finite number of degrees of freedom
En particular, presenta su formalism matemático, basado en el trabajo de von Neumann, que en su tiempo fue crítico del trabajo de Dirac en el mismo campo. Comparto hoy:
Like other physical theories, quantum mechanics can be formalized in terms of several axiomatic formulations. The historically most influential and hence for the history of the interpretations most important formalism was proposed in the late 1920s by John von Neumann and expounded in I his classic treatise on the mathematical foundations of quantum mechanics.
In recent years a number of excellent texts have been published which discuss and elaborate von Neumann's formalism and to which the reader is referred for further details.
Von Neumann's idea to formulate quantum mechanics as an operator calculus in Hilbert space was undoubtedly one of the great innovations in modern mathematical physics.
Ese es un tema a analizar. Si bien yo he escrito algo sobre la aproximación de Schrödinger y la de Dirac, la de von Neumann, en su tiempo, satisfacía major algun rigor matemático, evitando la dudosa (en aquel entonces, los años 30 del siglo XX) "función" delta de Dirac.
Ver también
John von Neumann y Operadores en Cuántica
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
22 de Diciembre, 2018, 11:11
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Publicado el
6 de Diciembre, 2018, 8:28
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Ultimo mes del año. Como siempre, primero repaso de las resoluciones del mes pasado:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [completo] ver post
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Mucho trabajo professional en estos días. Sigo con las mismas resoluciones para este nuevo mes de diciembre:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
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- Estudiar blues en guitarra
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Publicado el
2 de Diciembre, 2018, 14:50
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Siempre vuelvo a estudiar la vida y la obra de Paul Erdös. En estos días estoy disfrutando de una biografía de este gran matemático, publicada en la serie de matemáticos de editorial RBA. Espero poder escribir sobre historias que encontré ahí.
Hoy quiero recorder un tema que a Erdös le importaba mucho: su idea de que hay un Libro, donde están todas las demostraciones matemáticas, expresadas de forma simple y bella. El decía que siempre que buscaba una prueba, quería alcanzar la version "del Libro". Encuentro este párrafo en el libro "Proof of THE BOOK" de Martin Aigner y Günter Ziegler:
Paul Erdös liked to talk about The Book, in which God maintains the perfect proofs for mathematical theorems, following the dictum of G.H.Hardy that there is no permanent place for ugly mathematics. Erdös also said that you need not believe in God but, as a mathematician, you should believe in The Book.
En el libro, los autores muestran unas 44 demostraciones, de diversos campos como la teoría de números, teoría de grafos, combinatoria, análisis, geometría. Me llama la atención que expongan SEIS demostraciones sobre la infinitude de los números primos. La representación de números como la suma de dos cuadrados, es un clásico (estuve escribiendo serie de posts, debería retomar) así como la ley de reprocidad cuadrática. Me gusta que exista para los autores al menos una demostración del postulado de Bertrand que se acerque a la version del libro: el enunciado es tan simple, dado n >=1 siempre hay un primo entre n y 2n.
Podría estar horas describiendo brevemente las pruebas aportadas. Realmente una lectura muy interesante, y siempre, tratando de encontrar pruebas por nuestro propio esfuerzo, antes de llegar a estudiar la prueba DEL LIBRO.
Ver también
https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_from_THE_BOOK
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
10 de Noviembre, 2018, 13:40
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Se acerca el fin de año, otro mes que pasa. Mucho trabajo professional en este octubre que pasó, apenas si pude avanzar en alguna resolción:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
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Mis resoluciones para el nuevo mes siguen siendo:
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Publicado el
6 de Octubre, 2018, 11:20
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Ya se acerca el fin de año. Antes de escribir las resoluciones de octubre, reviso las de septiembre:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [completo] ver post
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- Estudiar blues en guitarra [completo]
El tema de agosto en matemáticas, fue la prueba presentada por Atiyah, de la Hipótesis de Riemann. Todo indica que no es una prueba, porque usa propiedades de una función T que no están claramente demostradas. Pero por lo menos es un interesante "approach".
Mis resoluciones para el nuevo mes:
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Publicado el
2 de Octubre, 2018, 13:04
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Publicado el
1 de Octubre, 2018, 14:41
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Publicado el
28 de Septiembre, 2018, 13:30
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Publicado el
25 de Septiembre, 2018, 12:12
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Publicado el
24 de Septiembre, 2018, 18:13
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Publicado el
23 de Septiembre, 2018, 18:50
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La hipótesis de Riemann podría considerarse como el problema del siglo. Es uno de los problemas matemáticos pendientes de solución más famosos. Mientras que el Ultimo Teorema de Fermat y la Conjetura de Poincare fueron probados. la hipótesis de Riemman se resiste todavía, luego de más de siglo y medio de haber sido formulada.
Cuéntase que el matemático Hardy, cuando tenia que cruzar el Atlántico, enviama un telegrama al otro declarando que tenia una prueba de la hipótesis. De esta forma, esperaba que ninguna divinidad dejaría que le pasara algo en el viaje.
Hilbert lo propuso como uno de los problemas de su lista de 1900. Es uno de los pocos que pasado el siglo veinte todavía no tiene solución. Hilbert decía que si se durmiera tres mil años y se despertara, lo primero que preguntaría es si se había resuelto el problema. Del siglo XX al XXI pasó a ser uno de los problemas del milenio, según el instituto de matemáticas Clay.
Yo estoy tratando de explicar la hipótesis en mi serie La Hipótesis de Riemman. Ya a fines del siglo XIX se vió que no era necesaria su verdad para probar el teorema de los números primos, (ver teorema de Hadamard y de la Vallée-Poussin) pero se espera que si es verdad, la distribución de los primos sea la esperada.
Ver también:
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis#Function_fields_and_zeta_functions_of_varieties_over_finite_fields notablemente se demostró la hipótesis para otros campos, y hay varias generalizaciones
En estos días el mundo matemático está esperando la conferencia de Michael Atiyah, medallista Field, anunciada para mañana lunes 24 de septiembre. Ver
Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis
https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/
News regarding ABC conjecture and Riemann Hypothesis
https://www.johndcook.com/blog/2018/09/20/abc-conjecture-riemann-hypothesis/
Michael Atiyah claims proof of Riemann Hypothesis
https://aperiodical.com/2018/09/michael-atiyah-claims-proof-of-riemann-hypothesis/
Hay algún escepticismo sobre la validez de la prueba, que no fue publicada todavía. No se espera que Atiyah haya encontrado el éxito donde otros muchos matemáticos fracasaron. Pero esperemos a maña. Me he referido a Atiyah varias veces en este blog, por ejemplo en relación a un teorema de Hilbert. Ver su entrevista en
https://www.lavanguardia.com/lacontra/20111228/54241694041/sir-michael-atiyah-el-camino-mas-corto-para-crear-es-un-largo-rodeo.html
Pero hay un dato interesante en las noticias publicadas sobre el tema. En Aperiodical leo:
Atiyah will speak at the HLF on Monday at 9am CEST, and his abstract, available to read through the HLF conference app, claims he will present "a simple proof using a radically new approach […] based on the work of Von Neumann (1936), Hirzebruch (1954) and Dirac (1928)."
Hirzebruch es conocido por el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch, luego opacado en parte por el trabajo novedoso de Gothrendieck, que lo extendió más allá del resultado original. Ver
Friedrich Hirzebruch
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Hirzebruch
Atiyah trabajó con Hirzebruch, en sus años jóvenes, y será interesante ver qué camino aprovechó de los descubrimientos de su maestro para llegar a su proclamada prueba. Pero en el párrafo que mencioné arriba, mencionan a Von Neumann y a Dirac, dos "habitué" de este blog. Eso da una pista, y acá apuesto que la prueba tiene que ver con:
MATRICES HERMITIANAS
usadas tanto en la mecánica cuántica que tanto Von Neumann como Dirac ayudaron a desarrollar. No es un camino nuevo en los intentos de demostración de este problema. La idea es que la hipótesis afirma que la función zeta de Riemman
z(x + iy)
tiene TODOS sus ceros no triviales en x = 1/2. Pero eso equivale a que, haciendo cambio de variables (rotación 90 grados y desplazamiento 1/2), todas los ceros no triviales de otra función:
h(y + ix - i/2)
SON REALES. El camino de las matrices hermitianas, mostraría que existe una matriz "infinita" M, que sea hermitiana (igual a su transpuesta conjugada), tal que el determinante de M - wI, o sea su polinomio característico, sea igual a la función h de arriba.
Se sabe que las matrices hermitianas solo tienen autovalores (los ceros de su polinomio característico) reales. Con eso se completaría la demostración. Claro que una cosa es decirlo, y otra es encontrar esa matriz M infinita que cumpla con todo eso. Pero bien podría Atiyah haber encontrado un camino nuevo en este forma de solucionar el problema: una forma de "armar" esa matriz para obtener la función h, transformada de la zeta. Pero lo mío es solo un albur, veremos si es así.
Vivimos tiempos interesantes.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
22 de Septiembre, 2018, 17:47
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