Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 31 de Enero, 2015, 13:59

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En el anterior post mostré la ecuación diferencial:

Y mencioné dos soluciones:

Y

Además de comprobarlas y luego, combinarlas linealmente. Pero ¿cómo podemos obtener esas dos soluciones particulares? Primero, podemos hacer que la diferencial de y sea escrita como:

Es simplemente un cambio de notación. Para ser más precisos, D no es un número que se multiplica por la función y, sino que podemos escribirlo mejor como:

Como una función, que aplicada a la función y, nos devuelve otra función, la derivada de y en la variable independiente x. D no es una función que se aplica a un número y devuelve un número, sino que es lo que los matemáticos llaman un funcional u operador funcional: algo que le damos una función y devuelve una función.

Una vez hecho ese cambio de notación podemos expresar nuestra ecuación como:

Y “estirando” la notación, poner:

Y de nuevo, estirando la notación, hacer que esto equivalga a:

Para cualquier y. D es un operador funcional. Si lo tratamos “como si fuera la incógnita de un número” , podemos resolver la ecuación anterior como una ecuación de segundo grado en D, dando como soluciones

Y

Pero D no es un número, es un funcional que podemos aplicar a y ( una función). Queda:

Y

Con lo que llegamos a las soluciones particulares:

Y

Todo esto es “malabarismo” sobre operadores funcionales, tratándolos formalmente como si fueran “números”. Pero funcionan. El pionero en este tratamiento fue Heaviside, ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus

Nos leemos!

Angel “Java” Lopez
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Publicado el 27 de Enero, 2015, 18:13

Como lo mío es un apostolado :-) vuelvo hoy a compartir un tema que se tratará en la próxima reunión del Café Filosófico de Buenos Aires. Ver lugar, horarios, costos, formato más en detalle en:

www.filosofiaparalavida.com.ar

Leo en email que me enviaron (sin acentos):

La neurociencia esta revelando los secretos de nuestras emociones.

Compartiremos el contenido de un libro reciente e inedito en el pais sobre este tema, escrito por el investigador Giovanni Frazzetto. Puede la ciencia explicar por si misma por que sentimos lo que sentimos? La filosofia es un buen complemento para el analisis de las emociones, que invaden cada porcion de nuestra vida. Un minuto estamos tristes, enseguida sentimos esperanza. Algunas emociones nos persiguen, otras nos eluden. Nos transportan lejos. Por eso es que a veces pensamos como podriamos librarnos de algunas de ellas. Es el dolor psiquico similar al dolor fisico? Tienen aspectos comunes en la configuracion cerebral que corresponde a cada uno de ellos? Que puede revelarnos sobre las emociones el escaneo del cerebro? Haremos un viaje a traves de algunas de las emociones mas comunes de la vida cotidiana. El impacto emocional de drogas paliativas como los opiaceos o la morfina.

Las experiencias de exclusion y su impacto a nivel neural. Un analisis de Wittgenstein sobre las emociones. La serotonina (hormona "del placer") y los estados emocionales. La ansiedad: el miedo a lo desconocido. William James y la relacion de las emociones con el cuerpo. La diferencia entre el miedo y la ansiedad: comparten la misma estructura cerebral, responden a los mismos circuitos neuronales o funcionan en forma independiente? La lectura que Giovanni Franzzetto hace del analisis de Heidegger sobre el tema de la ansiedad. Como podemos huir de la ansiedad? Como es posible que el cerebro aprenda a desviar la atencion? El contraste entre racionalidad y sentimientos, ciencia y poesia. Como enfrentando este contraste, podemos entendernos mejor a nosotros mismos y a los demas. Como se ve el efecto de la psicoterapia en el escaneo del cerebro.

La neurociencia tiene tanto para revelarnos sobre nuestra vida que algunos de sus terminos ya ingresaron al lenguaje popular: solemos decir que "necesitamos adrenalina", que la dopamina estimula el cerebro y que las endorfinas son opiaceos "hechos en casa". Podremos algun dia grabar los sueños y comprar experiencias artificiales (peliculas para la mente)? Como puede el cerebro aprender a desviar la atencion? La plasticidad del cerebro: como podemos condicionarnos a nosotros mismos para no ser dominados por la ansiedad.

Como transitar el proceso del duelo. Cual es el proposito del llanto? Por que lloramos de alegria? Es posible divorciar las categorias psiquiatricas de su contexto social? Veremos algunos aspectos particulares del placer, y algunas rutas que pueden ayudarnos a alcanzar la alegria. Los rasgos de la risa. El estudio de Robert Provine sobre los componentes de la risa. Las neuronas espejo y la risa. Por que suele ser contagiosa y no es solo un signo de alegria y entretenimiento? Que animales rien? Como lidiar mejor con las emociones, construyendo nuevas rutas en nuestro cerebro.

Giovanni Frazzetto. Darwin. William James. Wittgenstein.

(Adjuntamos un par de fragmentos sobre el tema)

La felicidad es buena para el cuerpo, pero es el dolor lo que desarrolla las fuerzas de la mente. Marcel Proust.

Cuando hacemos terapia en el cerebro se producen cambios en las conexiones sinapticas y se establece una nueva realidad mental. Un estudio con resonancias magneticas revelo que cuatro semanas de psicoterapia normalizan la hiperactividad de la amigdala (la region que regula las emociones) en pacientes que experimentan ataques de panico.

Abordar las emociones con una estrategia distinta es como tomar otro camino para llegar al mismo lugar. No se trata solo de una metafora. En el escaneo del cerebro se ven estas nuevas rutas.

Recomendaría para el tema emociones y neurociencia, los libros de Antonio Damasio, en especial "En busca de Spinoza". Para una muy buena introducción a un tema central en neurociencia, conciencia y cerebro, leer "De palacios y cavernas", de Diego Golombek.

Interesantes los temas planteados, por ejemplo, el tema risa en los animales. Soy algo excéptico al tema "nuevas rutas" como identifcadas como una estrategia distinta cada vez a las emociones. No sabemos realmente mucho de la importancia de lo que escaneamos. Es como examinar un auto andando por su temperatura, y darle importancia entonces al caño de escape. Tal vez las operaciones más importantes no son las más aparentes en un escaneo cerebral. Estamos dando recién los primeros pasos para comprender cómo funciona nuestro cerebro.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 26 de Enero, 2015, 15:53

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Tantos temas para ver, algunos enlaces adicionales:

Small doubling in groups « What’s new
http://terrytao.wordpress.com/2013/02/01/small-doubling-in-groups/

Great Circle Arc Intersections
http://www.jasondavies.com/maps/intersect/

Roice Nelson - Google+ - A sculpture of the Klein Quartic My first successful…
https://plus.google.com/u/0/112844794913554774416/posts/jUrUZD2EXH8

www.math.ias.edu/~mshulman/papers/sdg/pizza-seminar.pdf
http://www.math.ias.edu/~mshulman/papers/sdg/pizza-seminar.pdf

5 surpreendentes fatos matemáticos
http://hypescience.com/5-fatos-matematicos-surpreendentes-2/

Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 2 - Gaussianos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-baleares-2013-problema-2/

Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 3 - Gaussianos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-baleares-2013-problema-3/

Beauty in Mathematics | Video Lectures
http://video.ias.edu/1213/special-lecture/1211-bombieri

Runge–Kutta methods - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/RK4

Numeric Javascript
http://www.numericjs.com/

Math.NET Project
http://www.mathdotnet.com/

The Aperiodical | The perfect formula for mathsiness
http://aperiodical.com/2013/01/the-perfect-formula-for-mathsiness/

Pat'sBlog: On This Day in Math - January 5
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/01/on-this-day-in-math-january-5.html

Poinsot biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Poinsot.html

Ramanujan's Mock Modular Forms: Indian Mathematician's Dream Conjecture Finally Proven
http://www.huffingtonpost.com/2012/12/27/ramanujans-mock-modular-forms_n_2371680.html?utm_hp_ref=science

Van_Ceulen biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Van_Ceulen.html

Números y hoja de cálculo: ¿Cómo veo el 2013?
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/12/como-veo-el-2013.html

¿Y si divido infinito entre infinito? | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/12/26/y-si-divido-infinito-entre-infinito/

Un problema muy particular | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/12/24/un-problema-muy-particular/

Tito Eliatron Dixit: Matemáticas y Lotería de Navidad: una relación imposible
http://eliatron.blogspot.com.ar/2012/12/matematicas-navidad-imposible.html

Nota dominical: El método numérico del matemático palentino Fray Juan de Ortega « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/23/nota-dominical-el-metodo-numerico-del-matematico-palentino-fray-juan-de-ortega/

JIBLM.org - Journal of Inquiry-Based Learning in Mathematics - Journal Contents
http://www.jiblm.org/guides/index.aspx?category=jiblmjournal

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 25 de Enero, 2015, 16:23

Hace unas decádas, comenzaron a aparecer conceptos que dieron lugar a un nuevo fundamento de las matemáticas. Si bien se basaban en trabajos de miles de años, el lenguaje empleado era nuevo y aún hoy es un tema que no está muy difundido. Gracias al trabajo seminal de Eilenberg y MacLane de "A general theory of natural equivalences", fue que apareció una definición precisa de "categoría" y se hizo explícito que las relaciones entre ellas eran parte básica de las matemáticas.

Comienzo hoy esta serie de posts, para estudiar los conceptos de esta teoría, que no es difícil pero sí nueva y distinta. Comenzemos con algo que pasó hace siglos.

Galileo estudió el movimiento de cuerpos en el espacio. Para eso, se dió cuenta de la importancia de asociar el tiempo con la posición en el espacio de un cuerpo en movimiento. Podemos graficar:

Tenemos un conjunto de instantes de tiempo a la izquierda. Cada punto en el tiempo le corresponde un punto en el espacio, el conjunto de la derecha (estamos manejando conjunto de manera intuitiva, como una colección de cosas). Lo importante es que a cada elemento del conjunto de la izquierda (el dominio que le dicen los matemáticos) LE CORRESPONDE UNO Y SOLO UN elemento en el conjunto de la derecha (el codominio). Esta aplicación es nuestro primer ejemplo de lo que los matemáticos llaman MORFISMO.

Lo que notó también Galileo es que cada punto el espacio se puede mapear a un punto en el plano (dado por "la sombra" del punto en el espacio sobre "el piso") y a un punto en una línea (su altura):

Pudo entonces separar el estudio del movimiento en el espacio a un estudio en simultáneo pero separado, del movimiento en el plano y el movimiento en la línea de altura:

Entonces, la aplicación de tiempo a espacio, luego pudo combinarse con la aplicación de espacio a plano, y la de espacio a línea, quedando:

Esta composición de morfismos, sugiere que ESPACIO = PLANO X TIEMPO, una especie de multiplicación. Tenemos por ahora, tres conceptos a estudiar:

- Los morfismos
- Su composición (dos morfismos (uno atrás de otro como cachetada de loco ;-) originan otro morfismo)
- La multiplicación de conjuntos

Seguimos en el siguiente post. Fuentes consultadas: "Matemáticas conceptuales, una primera introducción a categorías", de Lawvere, Shanuel, editorial Siglo XXI.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 20 de Enero, 2015, 13:15

El tema de esta semana, en el Café Filosófico, de Buenos Aires, es Los límites del humor. Más información (horarios, lugar, costo, detalles) en:

www.filosofiaparalavida.com.ar

La descripción que recibo por correo electrónico, sin acentos:

El humor siempre fue una zona de riesgo. En la antigüedad clasica griega, la comedia de Aristofanes "Las nubes" contribuyo a que los atenienses condenaran a Socrates. En nuestro pais, la revista "Tia Vicenta" contribuyo con sus satiras políticas al derrocamiento del presidente Arturo Illia. Desde el humor televisivo, Tinelli ridiculizo al entonces presidente Fernando de la Rua y contribuyo a su descredito politico. El humor es una transgresion benigna para quienes rien.Para los ofendidos, en cambio, es una transgresion a secas. Pensar que el humor no hace apuestas por fuera del ambito de la comicidad es negar que una de sus potencialidades es ese terreno ambiguo que permite sostener las cosas que no podemos o no nos atrevemos a decir en serio.Por eso casi no hay chiste que no ofenda, porque el humor a menudo bordea el limite de la agresion. Pero cual es ese limite etico y pragmatico del humor? Como saber si una broma es adecuada para un individuo o para una situacion? Analizaremos los mecanismos para generar humor (y en ese sentido el encuentro servira para ampliar nuestros recursos de comicidad), y nos detendremos particularmente en la relacion que existe entre el humor y la agresion. Hemos realizado estudios experimentales que muestran diferencias en el humor que prefieren hombres y mujeres. Compartiremos sus resultados. Por que las mujeres prefieren a los hombres con sentido del humor? De que manera esa preferencia puede perjudicarlas? Por que el humor apela a los estereotipos?

Analizaremos el caso del asesinato de los humoristas franceses, vinculandolo con el tema propuesto, que es el de los limites del humor, pero no dedicaremos la mayor parte del encuentro a el sino que aprovecharemos este episodio que surge de la actualidad para conocer un poco mas sobre los fascinantes mecanismos del humor. A traves de un video de un bebe que ríe analizaremos la relacion que hay entre el humor y el miedo. Que funcion biologica tiene el humor y cual es su relacion con el tema planteado para el encuentro? Por que en los velorios se cuentan chistes? Por que Platon y Aristoteles desconfiaban del humor? Tres pasos para generar comicidad: como se relaciona la agresion con la ambiguedad propia del humor. De acuerdo a los estudios cientificos disponibles, rien mas los hombres o las mujeres? Como influyen sus diversos estilos conversacionales en el tipo de humor que más aprecian?  Repasaremos las principales teorias del humor a la luz del tema de los limites entre el humor y la agresion.  Cuando podemos decir que un chiste o un comentario cualquiera es una "falta el respeto"? Hay areas tematicas en las que se considera mas frecuentemente que se falta el respeto? Que sostiene la tesis del "arte por el arte"?

Theophile Gautier y la conexion entre arte y moralidad. Ironia en sentido estricto (en que consiste esta figura retorica) y en sentido amplio. Sus diferencias con el humor y la hipocresia. El uso de la ironia en la comunicacion cotidiana (como siempre,habra muchos ejemplos). Que argumentan los filosofos que la critican, que argumentan los que la defienden. La ironia como arma. Los diversos tipos de ironia. Diferencias entre ironia y humor. Como nos alinea este acto de habla en relacion al interlocutor. La ironia como ataque y como defensa. La ironia y la sociolinguistica. La relacion de la ironia con la reduccion al absurdo. "Sobrar" a alguien. Ironia y malicia. Diferencias entre ironia y sarcasmo. El cinismo de los antiguos y el cinismo de los modernos. Las investigaciones neurocientificas sobre el humor. Compartiremos gran cantidad de chistes y los analizaremos. Ironias de Borges y Oscar Wilde.

Quintiliano, Ciceron, Shlegel, Shaftesbury,  Kierkegaard, Andre Comte-Sponville, Searle, Peter McGraw, Robert Provine

Habría tanto para comentar, pero hoy solo hay tiempo para compartir lo de arriba. Agregaría que el tema también es tratado en El nombre de la rosa, de Umberto Eco.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 18 de Enero, 2015, 16:42

Ya he tratado varios aspectos de la teoría de números. Ver:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2
Funciones Aritméticas

Cuando uno estudia números primos y sus propiedades, se interesa en la divisibilidad, descomponer un número entero entre sus divisores. Es lo que se llama teoría de números multiplicativa. También comenzó a aparecer la teoría analítica, aunque sea apenas insinuada en el tema de la hipótesis de Riemann: el uso del análisis matemático en cuestiones de teoría de números.

A los matemáticos les gusta descomponer a un elemento. En el caso de divisibilidad, ver cuáles son los divisores de un número entero. Pero también hay otro camino a explorar: dado un número natural, ver cómo descomponerlo en SUMANDOS. Por ejemplo, tengamos el número 5 (cinco). ¿Cómo podemos descomponerlo en sumandos naturales? ¿y de cuántas maneras distintas? Por "distintas" entendemos que no nos importa el orden, sino qué números usamos.

Queda entonces para descomponer al 5 (cinco) estas formas:

1 + 1 +  1 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 1
3 + 1 + 1
3  + 2
4 + 1
5

Es decir, hay siete formas distintas. He tomado la convención de poner los sumandos de mayor a menor.

Estas particiones:

2 + 1 + 1 + 1
1 + 2 + 1 + 1
1 + 1 + 2 + 1
1 + 1 + 1 + 2

Las consideramos "iguales", y tomamos la primera como "forma normal": la que aceptamos para expresar esta partición, la expresión que tiene los sumandos descendentes.

La cantidad de particiones diferentes del número n nos da una función aritmética, que llamamos p(n). Si la calculamos para los primeros números, queda:

p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 5
p(5) = 7
p(6) = 11
p(7) = 15

Les dejo calcular los siguientes valores. En los siguientes posts vamos a investigar las propiedades de p(n). Por ejemplo ¿habrá alguna fórmula directa para expresarla? ¿o alguna fórmula de recurrencia, donde p(n) se pueda expresar en términos de los p(n-1), p(n-2)…? ¿habrá algún patrón a descubrir en sus valores? ¿Alguna fórmula asintótica? Vamos a ver que hasta hay funciones inesperadas que, cuando se expresan en serie, sus coeficientes nos dan los valores de p(n).

Mientras, pueden leer

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_%28number_theory%29

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 17 de Enero, 2015, 15:32

En estos días me encuentro con este fragmento notable, de una carta de Kepler a su amigo Fabricius, de 1605:

Si se colocara una piedra fuera de la Tierra y se considerara que ambas carecen de cualquier movimiento adicional, entonces no solo la piedra se precipitaría hacia la Tierra, también la Tierra lo haría hacia la piedra; repartirían el espacio que las separa en una proporción inversa a sus pesos respectivos.

Digo notable, porque asoma acá la tercera ley de Newton, que todavía no había nacido. En otra carta, propone que la resistencia a moverse de un planeta es proporcional a su masa, aunque no tenía datos sobre la masa de los planetas. Pero hay diferencias. La gravedad, según Newton, es creada por la masa del Sol. Kepler pensaba que era generada por la ROTACION del Sol. Ese giro impulsaría a girar a los planetas, a los más cercanos con más velocidad que a los más lejanos. ¿Cómo se debilitaba esa fuerza con la que el Sol movía a los planetas? No lo dijo expresamente, pero mencionó que se debilitaba igual que la luz al alejarse de su origen. En otro lugar, demostró que el flujo luminoso se perdía según el inverso del cuadrado de la distancia.

¿Podrían haber influido estas ideas en Newton? Gran parte de ellas sólo se expresó en papeles privados. Esos papeles fueron heredados por Ludwig Kepler, su hijo, que los llevó a Konisberg. Cuando este hijo murió, los papeles fueron comprados por D.J.Hevelius, quien los adquirió de los herederos. Luego recorrieron un largo camino: Leipzig, Viena, Frankfurt, y finalmente acabaron en el observatorio de Pulkovo, en San Petersburgo, luego de haber sido adquiridos por Catalina II, gracias a un consejo de Leonhard Euler. Ahí es donde están actualmente. Ante tan largo periplo, es imposible que Newton tuviera acceso a ellos.

Post relacionados:

El modelo de Kepler, el mecanismo de Newton
El mecanismo de Kepler
Newton explicando la gravedad

Encuentro este fragmento en el excelente libro "Kepler, el movimiento planetrio, bailando con las estrellas", de Eduardo Battaner Lopez, publicado por RBA, y entregado acá en Argentina por el diario La Nación.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 15 de Enero, 2015, 7:11

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How to Reapply to YC — Medium
https://medium.com/@msjpenn/how-to-reapply-to-yc-f5aa6713e8ea

La escuela de las Startups
http://www.maestrosdelweb.com/startupschool2014-ycombinator/

Our Journey To and Through YC — Medium
https://medium.com/@UseShout/our-journey-to-and-through-yc-a1d118e47f5

Seventy-five start-ups describe the future at Y Combinator
http://www.newyorker.com/business/currency/fever-pitch

Half a Decade After Demo Day - Bill Clerico
http://blog.billclerico.com/half-a-decade-after-demo-day

The New Deal - Y Combinator Posthaven
http://blog.ycombinator.com/the-new-deal

Y Not -- Adventures in Functional Programming - Jim Weirich - Ruby Conference 2012
http://confreaks.com/videos/1287-rubyconf2012-y-not-adventures-in-functional-programming

Thinking for Programmers | Build 2014 | Channel 9
http://channel9.msdn.com/Events/Build/2014/3-642

Paul Buchheit: Help me distribute $100,000 to new entrepreneurs in Africa
http://paulbuchheit.blogspot.com.ar/2014/03/help-me-distribute-100000-to-new.html

Y Combinator's new startup teaches disadvantaged kids to code | It training - InfoWorld
http://www.infoworld.com/t/it-training/y-combinators-new-startup-teaches-disadvantaged-kids-code-237324

Sam Altman for President - Y Combinator Posthaven
http://blog.ycombinator.com/sam-altman-for-president

Sam Altman Taking Over As President Of Y Combinator, Replacing Paul Graham At The Helm | TechCrunch
http://techcrunch.com/2014/02/21/sam-altman-taking-over-as-president-of-y-combinator-replacing-paul-graham-at-the-helm/

Female Founders
http://paulgraham.com/ff.html

We've Open-Sourced Everything - CodeCombat Blog
http://sett.com/codecombat/we-have-open-sourced-everything

Y Combinator Dinner for Your Teen - Online Fundraising Auction - BiddingForGood
http://www.biddingforgood.com/auction/item/Item.action;jsessionid=WNDnv5zHrGioxBktnO4qdw**.app4?id=202802658

Y Combinator applicant advice — on startups — Medium
https://medium.com/on-startups/289c58a2ca89

The Evolution Of Hacker News | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/05/18/the-evolution-of-hacker-news/

The Problem With Silicon Valley Is Itself - TNW Entrepreneur
http://thenextweb.com/entrepreneur/2011/07/13/the-problem-with-silicon-valley-is-itself/

Y Combinator Is Boot Camp for Startups | Magazine
http://www.wired.com/magazine/2011/05/ff_ycombinator/

Y Combinator Numbers
http://ycombinator.com/nums.html

Clojure: Deriving the Y Combinator in 7 Stolen Steps « citizen428.blog()
http://citizen428.net/archives/1410

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Publicado el 14 de Enero, 2015, 12:39

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Varignon biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Varignon.html

Srinivasa Ramanujan, el enigmático genio matemático indio - Gaussianos
http://gaussianos.com/srinivasa-ramanujan-el-enigmatico-genio-matematico-indio/

[1212.3515] When does a cross product on R^{n} exist?
http://arxiv.org/abs/1212.3515

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/22/el-producto-vectorial-en-un-espacio-euclideo-de-7-dimensiones/

Matrix Factorization: A Simple Tutorial and Implementation in Python @ quuxlabs
http://www.quuxlabs.com/blog/2010/09/matrix-factorization-a-simple-tutorial-and-implementation-in-python/

Math ∩ Programming | A place for elegant solutions
http://jeremykun.com/

www.ams.org/notices/201301/rnoti-p97.pdf
http://www.ams.org/notices/201301/rnoti-p97.pdf

Moby Dick and the tautochrone — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/10/15/tautochrone/

Mathematical Background
http://www.jfsowa.com/logic/math.htm

Hallar los conjuntos - Gaussianos
http://gaussianos.com/hallar-los-conjuntos/

Ramsey Number Lower Bound | Math ∩ Programming
http://jeremykun.wordpress.com/2012/12/02/ramsey-number-lower-bound/

A calculus free proof of the spectral theorem « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2012/12/03/a-calculus-free-proof-of-the-spectral-theorem/

Groups — A Primer | Math ∩ Programming
http://jeremykun.wordpress.com/2012/12/08/groups-a-primer/

The spectral proof of the Szemeredi regularity lemma « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/12/03/the-spectral-proof-of-the-szemeredi-regularity-lemma/

How I teach topology: an inquiry-based learning approach « Division by Zero
http://divisbyzero.com/2012/12/16/how-i-teach-topology-an-inquiry-based-learning-approach/

10 Mathematical Equations That Changed The World - YouTube
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KGpb3_XkEvg

El problema de los cocos y el mono, o cómo apartar las matemáticas de la realidad - Gaussianos
http://gaussianos.com/el-problema-de-los-cocos-y-el-mono-o-como-apartar-las-matematicas-de-la-realidad

(Vídeo) Las 10 ecuaciones matemáticas que cambiaron el mundo - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-las-10-ecuaciones-matematicas-que-cambiaron-el-mundo/

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Publicado el 11 de Enero, 2015, 17:16

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Veamos hoy de presentar un ejemplo concreto y corto del tema tratado en el anterior post: tener un potencial que dependa de la posición y no de la velocidad.

Habíamos trabajado con una lagrangiana donde aparece el potencial restando:

Trabajemos con una sola partícula, viajando por una sola coordenada, en vez de un vector x con varias:

¿Qué potencial U podríamos usar? Bien, sea uno que cuando la partícula esté ubicada en el origen (x1 = 0), su potencial sea nulo. Y que cuando se desplace hacia los x1 positivos, o los x1 negativos, el potencial crezca de la misma manera (no importa si x1 es positivo o negativo, el potencial dependerá de su desplazamiento absoluto). Un potencial así puede ser:

Donde k es una constante positiva de proporcionalidad. Un potencial así es el del oscilador armónico:

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator

El lagrangiano completamente expresado en x1 es:

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange

Obtenemos:

O lo que es lo mismo:

Digamos que los x1 positivos estan "hacia la derecha" del punto de origen. Lo de arriba dice: si estamos a la derecha del punto de origen, hay un valor negativo –kx1 que se aplica a la variación en el tiempo del momento (masa por velocidad). Es decir, que este momento va a disminuir (considerando "velocidad hacia la derecha" como positiva). Si estamos con x1 a la izquierda del punto de origen, el momento tendrá una variación temporal positivo. Sea un entorno no relativista, donde la masa no cambia con el tiempo ni la velocidad, apliquemos el dt a la velocidad:

Tenemos que recordar que nos gustaría encontrar la solución de x1 en función del tiempo. Una solución posible es:

Nos quedamos con la parte real, y tomamos e elevado a la a como un parámetro libre que indica la posición al comienzo del tiempo:

Hemos resuelto la ecuación del movimiento.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Enero, 2015, 15:11

Mientras sigo explorando teoría de números (ver posts:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2

) comienzo hoy una serie de posts sobre un tema nuevo, por un lado sencillo, por otro lado de profunda influencia: las funciones aritméticas. Si hasta puede que el desarrollo del tema nos lleve cerca del teorema de los números primos.

¿Qué es una función aritmética? Es una función sobre los números naturales (desde el 1), que da valores numéricos (digamos, enteros, reales, complejos):

Por ejemplo, tenemos la función aritmética identidad: a cada valor n entrega como resultado el mismo valor n:

Donde

Vamos a ir viendo qué utilidad puede tener una función tan simple. Pero también podemos tener una función aritmética en la función indicatriz de Euler:

Donde para cada n, phi(n) no s da la cantidad de números naturales a, 1 <= a <= n, tales que (a, n) = 1, es decir, que son primos con n.

Comienza a aparecer la relación con la teoría de números: muchas funciones aritméticas interesantes dan resultados que dependen de temas como primos, divisibilidad, que son el pan y la manteca de la teoría de números. Veremos que las funciones aritméticas se pueden clasificar por sus propiedades, y notablemente se pueden combinar entre sí : aparecerá un conjunto de funciones aritméticas que se pueden combinar con una operación binaria que forma grupo, con identidad, inverso, etc.

Antes de terminar esta introducción al tema, quisiera mencionar que también aparecen en series de potencias formales, llegaremos a estudiar las operaciones sobre series infinitas:

Donde los coeficientes son los resultados de una función aritmética f(n). ¿Qué coeficientes nacen de la multiplicación formal de dos de tales series?

Mi principal fuente de consulta para el tema: La introducción a la teoría analítica de números, de Tom Apostol, editorial Reverté.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 8 de Enero, 2015, 8:09

Vuelve la actividad del Café Filosófico en Buenos Aires. Ver más información en

www.filosofiaparalavida.com.ar

Me llega el correo (sin acentos):

Con gran alegria les anunciamos que el proximo viernes 9 y sabado 10 de enero retomamos nuestros Cafes Filosoficos de todos los fines de semana, y seguiremos a lo largo de todo el verano. Durante estos meses estuve escribiendo un libro y desarrollando otros trabajos academicos, entre ellos presentaciones a congresos que he grabado y traducido para compartirlas con ustedes. Adquirimos material de reciente aparicion, inedito en Argentina, y tambien lo compartiremos. Iniciamos el año con un tema central para pensar la vida, a partir de los desarrollos de uno de los referentes mundiales en esta disciplina. El material no ha sido traducido al español (y no es probable que llegue al pais).

Agradecemos los mensajes de afecto recibidos en estos meses, de a poco nos pondremos a dia con la correspondencia y esperamos verlos en la antigua "red social" del "cara a cara".

El primer tema sera:

 FELICIDAD: ULTIMAS INVESTIGACIONES BASADAS EN LA EVIDENCIA CIENTIFICA

Es la primera vez que lo proponemos para la reflexion

Viernes 9 de enero a las 19hs (en punto y hasta las 21.15)

Viernes 9 de enero a las 22.30hs (en punto y aprox. hasta las 0.45hs)

Sabado 10 de enero a las 19hs (en punto y aprox. hasta las 21.15hs)

Sabado 10 de enero a las 22.30hs (en punto y hasta las 0.45hs)

 Terminamos la exposicion teorica con un video e ilustramos la charla en powerpoint.

 La entrada cuesta $100 e incluye el refrigerio de la pausa con infusiones y deliciosas cookies artesanales.

Ambiente climatizado

Empezamos muy puntual, recomendamos llegar quince minutos antes. Mientras es posible ver la exposicion de filosofia que hay en nuestro salon.

La descripción más en detalle:

Dos de los mas reconocidos investigadores del tema de la felicidad (o bienestar subjetivo) desfian nuestros presupuestos sobre el tema. Ed Diener (Universidad Illinois) y su hijo Robert Biswas-Diener (Portland State University) comparten los resultados de tres decadas de investigaciones sobre la felicidad. Por un lado muestran con evidencia cientifica que el concepto no esta sobrevaluado y es bueno en terminos de salud, longevidad, relaciones sociales, satisfaccion en el trabajo y altruismo, y por el otro explican por que la "super-felicidad" no es una meta deseable. Roberto Biswas es considerado el "Indiana Jones" de la investigacion por los riesgos que asumio estudiando este tema en Groenlandia, India, Kenya y otros lugares del mundo, y entre los Amish y otras comunidades. ¿Cual seria el optimo nivel de felicidad en el que no perseguimos la euforia sino la satisfaccion, el significado y la frecuencia de emociones positivas, reconociendo que algunas emociones negativas son parte de la vida feliz? ¿Por que ser feliz no es suficiente? Fenomenos intuitivos y contraintuitivos que causan la felicidad. Un modelo para desarrollar una disposicion satisfactoria hacia la vida: Atencion, Interpretacion y Memoria (AIM). Dos estudios
sobre las disposiciones geneticas en relacion a este tema. Las consecuencias ventajosas y perjudiciales tanto de las emociones positivas como negativas. El rol de las emociones para predecir la
salud y la longevidad, de acuerdo a la evidencia cientifica (segun Diener, un tema acerca del cual los medicos saben poco). Ocho maneras en que la felicidad hace que enfermemos menos. De acuerdo a los estudios cientificos disponibles, como influye el nivel de satisfaccion con la propia vida en el sistema inmunologico, en las enfermedades cardiovasculares y en otros problemas fisicos? En promedio, ¿cuantos años mas viven las personas que se sienten felices? Cuales son, de acuerdo a la evidencia cientifica, los problemas de salud que empeoran cuando una persona se siente extremadamente feliz? Por que ocurre este efecto paradojico? Cuantos años mas viven en promedio los mayores con sosten emocional? La felicidad y las relaciones sociales: son los amigos quienes incrementan la felicidad o es que las personas de buen animo forman amistades con mas facilidad? Las investigaciones del premio Nobel Daniel Kahneman sobre las mujeres y la soledad. En el mundo (en promedio) las personas pasan mas tiempo solteras o en pareja? De que depende el bienestar en el trabajo? Una sorprendente respuesta de acuerdo a investigaciones realizadas en la Universidad de Yale. Cuatro formas de ver el trabajo. Diener hizo un seguimiento para ver si los mas satisfechos con sus vidas al ingresar a la universidad ganaban salarios mas altos años despues de recibidos. Compartiremos los resultados de este estudio. Hay caracteristicas objetivas para los mejores trabajos? Cuales? Los mas recientes estudios cientificos sobre la relacion entre el dinero y la felicidad.

Cerraremos el encuentro con un video que resume las principales estrategias para tener en cuenta a la hora de incrementar el bienestar en nuestras vidas. Recomendaremos especialmente las contraintuitivas y las que no suelen aparecer en la literatura sobre el tema que no esta basada en la evidencia cientifica.

Incluimos algunos fragmentos a modo de adelanto.

De acuerdo a los estudios de John Gottman, es necesario contar por lo menos con una interaccion positiva por cada cinco negativas si se quiere mantener una buena relacion (de pareja, con los hijos, los amigos, los compañeros de trabajo).

El tipo de amor que genera felicidad es el que consiste en hacer cosas por el otro aunque no se entere.

En un experimento tenian que calcular la cantidad de kilometros que separaban a una ciudad de otra. Si imaginaban que irian con un amigo, la distancia que estimaban era mas corta. El mismo rol cumplen las restantes emociones positivas: aligeran la carga y nos hacen percibir el mundo como un lugar mas accesible.

Lo comparto por acá, porque me parece un tema más que interesante. Me sirve también para que quede anotado en este blog algunos autores a explorar. Ya saben que pienso que la felicidad (por lo menos como muchos la conciben) está sobrevaluada, y que lo importante es aprovechar la vida. Pero seguimos siendo individuos que necesitamos tener momentos felices.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 4 de Enero, 2015, 7:29

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Veamos otra prueba de la irracionalidad de raíz cuadrada de 3, usando descenso infinito.

Sea

Donde a1, b1 son naturales. Usemos la relación:

Para deducir:

Quedando una nueva fracción:

Como sabemos que la raíz es menor que 2:

Deducimos:

Y entonces:

Y también:

Es decir, el numerador de la nueva fracción es positivo, y el denominador de la nueva fracción es menor que el anterior denominador.

Sabemos también que

De donde sacamos:



Es decir, el nuevo denominador es positivo.

Y también deducimos:

Que el nuevo numerador a2 es menor que el anterior a1. Repitiendo el proceso queda:

Una secuencia de numeradores/denominadores estrictamente decreciente: lo que es absurdo. Entonces, la raíz no es racional.

Ejemplo tomado del "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Enero, 2015, 15:20

Comienza otro año. Sigo planteando resoluciones por mes, me parece mejor que poner resoluciones por año. En general, están relacionadas con actividades, pero pocas veces las actividades son LA RESOLUCION, sino que pongo un entregable como resolución, algo para compartir y dar evidencia de la actividad. Vaya primero el repaso de las resoluciones no profesionales de diciembre de 2014:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Electromagnetismo [completo] ver post
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg [completo] ver post
- Iniciar nueva serie Hacia la Mecánica Cuántica [completo] ver post
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica [completo]

Este mes hubo más tiempo libre (vean las semanas de las fiestas, la cantidad de feriados en mi pais, Argentina), y lo aproveché para completar los entregables "más pesados" en tiempo y forma. Además, pude escribir sobre:

La Hipótesis de Riemann (1) Introducción
Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica (11)
Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica (10)
La teoría de Heisenberg, por Schrodinger
Charles Proteus Steinmetz y Henry Ford
Interferencia de Fotones, por Dirac (5)
Interferencia de Fotones, por Dirac (4)

Las resoluciones para el nuevo mes:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg
- Continuar mi serie sobre Hacia la Mecánica Cuántica
- Iniciar serie sobre Series de Fourier
- Iniciar serie sobre El Ultimo Teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre La Hipótesis de Riemann
- Estudiar ecuaciones diferenciales
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 31 de Diciembre, 2014, 11:06

Es tiempo hoy de comenzar esta serie de posts, para describir y comentar el desarrollo histórico y conceptual de la mecánica cuántica, que tomó forma en el primer cuarto del siglo pasado, pero que hunde sus orígenes en el siglo XIX y aledaños.

Tendremos que visitar las principales fuentes de su origen. Por un lado, la termodinámica y la relación entre radiación y materia. Nos encontraremos con Kirchoff, Boltzmann, Planck y hasta el aporte de Einstein, entre otros. Por otro lado, tenemos que estudiar cómo influyó la existencia de espectros de sustancias simples (al comienzo no se hablaba de espectros atómicos, porque la teoría atómica no estaba todavía asentada y admitida), y luego la estructura del átomo, con el gran avance del modelo de Rutherford, basado en los experimentos de Mardsen, Geiger, y la contribución esencial a su entendimiento cuántico por parte del modelo de Bohr de 1913 (de nuevo, con extensiones de Sommerfeld y otros; el desarrollo de la mecánica cuántica ha involucrado el cruce de ideas, modelos y experimentos por décadas). La naturaleza de la luz, la aparición de su conducta corpuscular (recordemos el "paper" de Einstein de 1905, donde entre otros, la ponía en el tapete con el fenómeno fotoeléctrico (no es el único experimento al que apelaba)), la aparición de la estadística en la emisión y absorción de radiación, y la extensión "mágica" de la naciente dualidad de la luz a las partículas, de la mano de de Broglie. Notablemente, la idea de onda es la base de la teoría de Schrodinger, mientras que Heisenberg prácticamente no usa nada de esas ideas, apoyándose en los fenómenos de radiación por parte de la materia.

Mientras, pueden leer mis series La ecuación de Schrodinger, Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica, Entendiendo a Heisenberg, donde se desarrollan más puntualmente algunos temas.

Las principales fuentes que quiero consultar son:

- The Conceptual Development of Quantum Mechanics, de Max Jammer
- The Formation and logic of quantum mechanics, de Mituo Taketani, Masayuki Nagasaki
- Varios libros biográficos (Planck, Heisenberg, Schrodinger, Einstein....) de ediciones RBA
- The Golden Age of Theoretical Physics, de Jagdish Mehra
- Sources of Quantum Mechanics, editado por van der Waerden
- Y otras fuentes que iré mencionando a medida que aparezcan, como artículos de divulgación, y libros de texto

Quedará fuera de alcance: la física cuántica posterior, la teoría cuántica de campos y extensiones relativistas, que espero tengan merecido otra serie de posts sobre su desarrollo.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 29 de Diciembre, 2014, 7:40

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Tomemos otro caso concreto, sencillo. De nuevo, el caso es el de una partícula, pero esta vez, en vez de estar totalmente libre, está viajando por un potencial que depende sólo de la posición (no del tiempo ni de la velocidad). Guiados por los primeros posts, donde el lagrangiano fue igualado a energía cinética MENOS energía potencial (no siempre es así), ponemos:

Donde el x con punto es un vector velocidad (y ese primer término de la derecha es la energía cinética de la partícula), y el x sin punto es un vector posición. La U(x) es la energía potencial, que esperamos sólo depende de la posición de la partícula, y no varía con el tiempo (es decir, sus valores para cada punto del espacio se mantienen constantes; si hay cambio, es porque hay cambio en x, no en t)

Expresado en coordenadas cartesianas, queda el lagrangiano:

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange:

Quedan TRES ecuaciones de movimiento, UNA POR COORDENADA. Por ejemplo, para x1:

¿Qué significa? Supongamos que con el tiempo, la velocidad x punto aumenta (el primer término de la izquierda aumenta). Para que se mantenga la suma cero, el segundo término tiene que disminuir. Y para eso, se deberá haber desplazado la partícula a un lugar donde la nueva U sea menor que la original. Es decir, a mayor cantidad de movimiento, pasamos a estar en un punto que tiene menor potencial. Y viceversa. Lo que ganamos en energía cinética, lo perdemos en energía potencial. De nuevo, resultados que concuerdan con la mecánica newtoniana clásica.

Vemos que en el análisis de arriba, la velocidad se considera como una variable más, "independiente" de la variable posición. Es algo raro de ver, pero funciona.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 28 de Diciembre, 2014, 6:35

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Sea que tenemos ahora una carga q, puesta en el medio de un campo eléctrico E. El campo ejerce fuerza sobre la carga, y la va moviendo, digamos, desde el punto A hasta el punto B, siguiendo una trayectoria C. A medida que va ejerciendo su fuerza, el campo efectúa trabajo sobre la carga. El trabajo realizado es, por definición:

Donde ABC indica que el desplazamiento dr se toma siempre a lo largo de la trayectoria ABC.

En física, una fuerza se llama conservativa si el trabajo neto hecho alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero. Veamos, el integrando de arriba es un diferencial perfecto, es decir, es el diferencial de una función. Si expresamos el campo E con la ley de Coulomb:

Donde r sombrero es el vector unitario, lo que es:

Y ahora el diferencial perfecto es:

Resultando que el integrando de arriba corresponde a la derivada de una función de r. Cuando la solución de la integral tiene esa forma, su valor sobre una curva cerrada es cero:

Tenemos entonces que el campo eléctrico es un campo conservativo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 27 de Diciembre, 2014, 15:20

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Ha llegado el tiempo de retomar este tema. Hemos visto:

- Hay grupos abstractos (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (1))
- Hay representaciones de grupo (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (2))
- Hay grupos continuos. Pudimos representarlos con matrices (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (3))
- Las representaciones de grupos por matrices operan sobre vectores, que forman un espacio vectorial
- El campo de coeficientes de esos espacios vectoriales, puede ser real o complejo
- En los espacios vectoriales reales, nos interesaron las operaciones que preservan el producto interno, las transformaciones son ortogonales (y en la representación de matrices, vimos las características de las matrices ortogonales)
- En los espacios vectoriales complejos, las transformaciones que preservan el producto interno se llaman unitarias, y sus matrices tienen una forma especial (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (4))

No han aparecido todavía las partículas elementales. Les adelanto que aparecerán en los vectores (y tensores) sobre los que operan las representaciones de matrices.

Los grupos como SO(3), SU(2) son grupos continuos y vimos elementos de esos grupos que pueden asimilarse a rotaciones en el espacio vectorial, rotaciones que conservan el producto interno. Por ejemplo, tomando SO(3) (grupo ortogonal en 3 dimensiones, que no invierte el espacio), tenemos las rotaciones paramétricas:



El parámetro es el ángulo de rotación alrededor de un eje. Si cada una de estas matrices la multiplicamos por su traspuesta, obtenemos la matriz unidad. Son matrices ORTOGONALES, que preservan el producto interno en el espacio vectorial REAL.

Una matriz n x n real ortogonal, con determinante +1, tiene n (n-1) /2 parámetros independientes. Por ejemplo, las matrices de SO(2) necesitan 2 * 1 / 2 parámetros,  es decir, basta con indicar el ángulo único de rotación que tenemos disponibles. En cambio, en SO(3) necesitamos 3 * 2 / 2 parámetros, necesitamos 3 parámetros independientes (que pueden ser los ángulos de rotación alrededor de los tres ejes).

Veamos explícitamente el caso 2 x 2. Tenemos una matriz general:

Por ser ortogonal (o lo que es lo mismo, si le exigimos que preserve el producto interno), debe ser que multiplicada por su traspuesta nos de la unidad:

Queremos que su determinante sea +1 = ad – cb

Todo esto se cumple para la matriz:

Vemos que nos basta con un solo parámetro (en este caso, a es el seno del ángulo de rotación)
Pasemos a examinar el caso 2 x 2 pero unitario (coeficientes complejos) en SU(2). En este caso se tiene que dar, determinante igual a +1 = ad-cb, y el unitarismo:

Esto implica que la matriz original sea de la forma:

Cumpliendo además con la restricción:

Cada número complejo a, b tiene DOS componentes independientes. En total son 4, pero sujetas a la restricción de arriba quedan TRES componentes independientes. En el caso unitario n x n general, hay n * n – 1 elementos independientes. Por ejemplo, en SU(3) tenemos 3 * 3 – 1, ocho elementos, los que veremos que forman el llamado "camino óctuple".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 26 de Diciembre, 2014, 15:40

En agosto de 1859, Bernhard Riemann pasó a ser miembro de la Academia de Berlin, lo que era un gran honor para un matemático tan joven (tenía entonces 32 años). Como se acostumbraba en esas ocasiones, Riemann presentó un "paper" a la Academia dando cuenta de alguna de sus investigaciones. El título del "paper" era "Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada". Ahí investigaba un problema directo de la aritmética ordinaria. Por ejemplo ¿cuántos primos hay menores que 20? ¿y menores a 2000? ¿y cuántos menores a veinte millones? ¿habría alguna fórmula que nos diera el resultado, aunque sea aproximado?

Riemann atacó el problema con las matemáticas más avanzadas de su tiempo, usando herramientas que aún hoy sólo se mencionan en cursos avanzados. Presentó un objeto matemático, la función zeta extendida a los números complejos, y a la tercera parte de su "paper" hizo una conjetura sobre ese objeto, y comentó:

One would, of course, like to have a rigorous proof of this, but I have put aside the search for such a proof after some fleeting vain attempts because it is not necessary for the immediate objective of my investigation.

Traduzco libremente:

Se podría, por supuesto, obtener una prueba rigurosa de esto, pero yo han dejado de lado la búsqueda de tal prueba después de un vano y fugaz intento porque no es necesario para el objetivo inmediato de mi investigación.

Durante décadas, la conjetura pasó desapercibida, pero poco a poco se fue apoderando de la imaginación de los matemáticos, terminando en ser uno de los problemas no resueltos más famoso de nuestra época.

Esa conjetura se conoce como la hipótesis de Riemann. Y ha resistido más de siglo y medio a ser demostrada o refutada. Curiosamente, su demostración implicaría una demostración del teorema principal de distribución de los números primos, que era el tema principal del "paper" de Riemann. Ese teorema se terminó probando por otros caminos, pero la hipótesis de Riemann todavía se yergue como EL problema no resuelto de nuestros tiempos.

David Hilbert comentaba en el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900:

Essential progress in the theory of the distribution of prime numbers has lately been made by Hadamard, de la Vallee Poussin, von Mangoldt and others. For the complete solution, however, of the problems set us by Riemann's paper "On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity," it still remains to prove the correctness of an exceedingly important statement of Riemann...

donde entonces menciona la hipótesis de Riemann. Pasemos a enero de 2000, a Phillip A. Griffits, director del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, y anterior profesor de matemáticas en Harvard:

Despite the tremendous achievements of the 20th century, dozens of outstanding problems still await solution. Most of us would probably agree that the following three problems are among the most
challenging and interesting. The Riemann Hypothesis. The first is the Riemann Hypothesis, which has tantalized mathematicians for 150 years....

El Instituto de Matemáticas Clay (fundado por el financista bostoniano Landon T. Clay en 1998) ha ofrecido un premio de un millón de dólares por su prueba o refutación. El Instituto Americano de Matemáticas (establecido en 1994 por el emprendedor californiano John Fry) ha tratado el tema de la hipótesis de Riemann, en tres conferenccias dedicadas (1996, 1998, 2000), a las que asistieron investigadores de todo el mundo.

No es fácil explicar la hipótesis, pero en este primer post puedo enunciarla:

Todos los ceros no triviales de la función zeta tiene una parte real igual a un medio

Esta serie de posts es ambiociosa, porque el tratamiento de la hipótesis no es trivial. Nos llevará a visitar a varios resultados matemáticos, y visitaremos la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el camino anterior y posterior de la hipótesis. Una cosa que quisiera explicar es LA RELACION que tiene la hipótesis con LA DISTRIBUCION de los números primos. Hay varios textos de divulgación que tratan la historia y el desarrollo, pero es raro encontrar una explicación de POR QUE la distribución de los ceros de esa tal "función zeta" arroja luz sobre la distribución de los números primos.

Entonces, tenemos que investigar:

- ¿Qqué es esa "función zeta"?
- ¿Cuáles son sus ceros no triviales? Debe haber entonces ceros triviales
- ¿Cómo se pasa de los ceros no triviales de la función zeta a la distribución de números primos?
- ¿Cómo aparecen los números complejos, reales y conceptos de cálculos en algo tan ligado a los números enteros?
- ¿Qué relación hay con la física cuántica?
- Y toda la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el desarrollo del tema

Mis fuentes principales, los libros:

Stalking the Riemann Hypothesis: The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers, de Dan Rockmore (un gran desarrollo histórico, con muchos detalles, pero sin la explicación matemática última)

Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, por John Derbyshire (donde sí hay desarrollo matemático detallado)

También tengo como fuentes a:

Introducción a la Teoría Analítica de Números, de T.M. Apostol (editorial Reverté)

Fundamentos de la Teoría Analítica de los Números, de A.A.Karatsuba (editorial Mir)

y varios otros libros que iré mencionando.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 25 de Diciembre, 2014, 14:42

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Sea la expresión general de una ecuación diferencial ordinaria, en una variable:

Podría faltar alguna de las derivadas, o incluso la variable explícita. Sea por ejemplo:

¿Cómo resolvemos esta ecuación? Algún método ya vimos en Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Serie de Potencias. También vimos de resolver:

En el post Series de Potencias (1). Pero nos va a llevar gran parte de esta serie discutir y mostrar los métodos de resolución más generales. Más fácil es comprobar que una función es una solución de la ecuación. Sea la ecuación:

Sean las funciones:

Y

Si las reemplazamos en la ecuación diferencial, vemos que son soluciones de la misma. Por ejemplo, para la primera función tenemos:



Y reemplazando esos valores en la ecuación diferencial, vemos que se cumple la ecuación:

Es más, si combinamos linealmente las dos soluciones propuestas:

También esa combinación lineal, con coeficientes a, b, es una solución de la ecuación. Que la combinación lineal de soluciones sea una solución, no siempre se cumple.

Nos leemos!

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