Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 22 de Octubre, 2014, 15:51

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The Invisible Bicycle Helmet | Fredrik Gertten
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PulsoConf September 28-30, Bogota
http://pulsoconf.co/
Bringing the best entrepreneurs, investors and hackers of the US and Latin America to build the future of tech entrepreneurship in Latin America.

Why Working More Than 40 Hours a Week is Useless
http://www.inc.com/jessica-stillman/why-working-more-than-40-hours-a-week-is-useless.html

Games Distribution Incubator HitFox Hatches Two New Startups: AppLift And App Discovery
http://techcrunch.com/2012/08/14/games-distribution-incubator-hitfox-hatches-two-new-startups-applift-and-game-finder/

Seattle Startup: PlayMySurvey Makes Napalm Smell Better In The Morning INTERVIEW
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Una buena idea (verde)
http://emprear.org.ar/club/?p=3082

Cómo traer cosas del exterior sin viajar y sin apelar al correo
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Kansas Startup: Lead Horse Technology Launches MedLoom Patient Safety Tool Interview
http://nibletz.com/2012/08/kansas-startup-lead-horse-technology-launches-medloom-patient-safety-tool/

The Fabs Shoes - Como funciona
http://www.thefabshoes.es/content/6-como-funciona

Richard Branson's 5 Rules for Good Business
http://www.entrepreneur.com/article/223979

The Node Firm
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Node.js consulting & training from the node.js developers you know and trust

¿Qué clase de pez es tu empresa?
http://www.marketingcomunidad.com/%C2%BFque-clase-de-pez-es-tu-empresa.html

ARMA EQUIPO para TRABAJAR MEJOR
http://www.fuerzatres.com/2012/03/arma-equipo-programa-inicia.html

Dell Launching $60M Fund To Invest In Storage Startups
http://techcrunch.com/2012/07/17/dell-storage-fund/

Groupon, Inc. (GRPN) -NasdaqGS
http://finance.yahoo.com/q/ta?s=GRPN&t=1y&l=on&z=l&q=l&p&a&c

Vinod Khosla: Maintain the Silicon Valley Vision
http://bits.blogs.nytimes.com/2012/07/13/khosla-the-silicon-valley-vision/

What Exactly Is GitHub Anyway?
http://techcrunch.com/2012/07/14/what-exactly-is-github-anyway/
Andreessen Horowitz announced a whopping $100 million investment in GitHub this week. You can read commentary and speculation all over the web about what GitHub will do with the money, whether this was a good investment for Andreessen Horowitz and whether taking such a large investment is a good thing for GitHub.

How To Create A Minimum Viable Product
http://techcrunch.com/2012/07/13/how-to-create-a-minimum-viable-product/
There’s been a lot of talk on the concept of minimum viable product lately, but not much has been written on how to actually implement one. Having gone through the process of developing one of the earliest social software mashups (GROU.PS) in PHP six years ago, and LoveBucks, a node.js Javascript app that is the Facebook “Like” Button for online content monetization (both alone), I want to describe to you a little bit what has really changed in web application development in recent years and the beauty of minimum viable product.

Tales from the Trenches: GitHub
http://gigaom.com/collaboration/tales-from-the-trenches-github/

GitHub finally raises funding: $100M from Andreessen Horowitz
http://gigaom.com/2012/07/09/github-finally-raises-funding-100m-from-andreessen-horowitz/

Don’t waste your time in crappy startup jobs.
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WikiSpeed The Car
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Why Startups Condense in America
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Publicado el 19 de Octubre, 2014, 18:06

Hace tiempo que no comento a Monod, ver:

La Biología y las ciencias, por Monod
El análisis en ciencia según Monod
Puntos de Materialismo Dialéctico, según Monod
Monod, Engels, dialéctica materialista y ciencia
Más Monod, Engels, dialéctica materialista y ciencia
La proyección animista, por Monod (Parte 1)
La proyección animista, por Monod (Parte 2)

La semana pasada, me encontré leyendo esto que quiero compartir, el comienzo de su capítulo 6 "Invariancia y Perturbaciones", de su clásico "Azar y Necesidad":

Desde su nacimiento, en las islas Jónicas, hace cerca de tres mil años, el pensamiento occidental se ha repartido entre dos actitudes en apariencia opuestas. Según una de esas filosofías, la realidad auténtica y última del universo no puede residir más que en formas perfectamente inmutables, invariantes por esencia. Según la otra, al contrario, es en el movimiento y la evolución, donde reside la única realidad del universo.

Alude a Platón (sin nombrar a Parménides) y a Heráclito. Y ahora hace un comentario importante, sobre el origen, el sustento humano de ambas posiciones:

De Platón a Whitehead, y de Heráclito a Hegel y Marx, es evidente que estas epistemologías metafísicas han estado siempre íntimamente asociadas a las ideas morales y políticas de sus autores.

Dice, no son posturas neutras.

Estos edificios ideológicos, presentados como a priori, eran en realidad construcciones a posteriori destinadas a justificar una teoría ético-política preconcebida.

Cita en una nota, a otro clásico, de Popper, The Open Society and its Enemies, donde está más en detalle expresada esta postura, sobre el origen moral de estas concepciones. Pero en tiempos modernos, dice:

El único a priori, para la ciencia, es el postulado de objetividad que le ahorra, o más bien le prohíbe, tomar parte en este debate. La ciencia estudia la evolución, sea la del universo o la de los sistemas que contiene, como el de la biósfera, comprendido el hombre.

Es interesante que nombre "la evolución del universo" como parte de los asuntos de la ciencia, que a veces se la ve como estudiando sólo lo que no cambia. Ver mi serie sobre Stephen Jay Gould, Ciencia e Historia.

Sabemos que todo fenómeno, todo acontecimiento, todo conocimiento, implica interacciones, por sí mismas generadores de modificaciones en los componentes del sistema. Esta noción, sin embargo, no es en ningún modo incompatible con la idea que existe de las entidades inmutables en la estructura del universo. Más bien al contrario: la estrategia fundamental de la ciencia en el análisis de los fenómenos es el descubrimiento de los invariantes.

Me temo que hay pocos invariantes, veo que todos provienen de las ciencias físicas. Lo demás es cambio y evolución.

Toda ley física, como además todo desarrollo matemático...

Yo pondría a las matemáticas en una zona distinta, de ciencias formales. Pero claro, en matemáticas es fundamental el concepto de invariante.

... especifica una relación de invariancia: las proposiciones más fundamentales de la ciencia son postulados universales de conservación. Es fácil ver, en todo ejemplo que se quiera escoger, que es de hecho imposible analizar un fenómeno cualquiera en otros términos que los de los invariantes conservados por este fenómeno. El ejemplo más claro es quizá la formulación de las leyes de la cinética, que exigió la invención de las ecuaciones diferenciales, es decir de un medio para definir el cambio en términos de lo que permanece sin cambiar.

No lo menciona, pero aparte de las ecuaciones diferenciales, surgió el concepto de cantidades de movimiento invariantes.

Es importante lo que escribe: nos da una base para ver la importancia de lo invariante y el cambio en la ciencia.

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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 18 de Octubre, 2014, 17:05

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Esta vez, vuelvo a leer "el Penrose" que ya había citado. Siguiendo el capítulo 20, leo:

... [investiguemos] la imagen lagrangiana... Coordenadas para el T(C) de Lagrange servirían para determinar las posiciones de todos los cuerpos newtonianos (incluidos los ángulos apropiados para especificar las orientaciones espaciales de los cuerpos rígidos, etc.) y también sus velocidades (incluidas las correspondientes velocidades angulares de los cuerpos rígidos, etc.). Las coordenadas de posición q1, ... qn normalmente denominadas "coordenadas generalizadas", etiquetan los diferentes puntos q del espacio de configuración C (quizás dadas solo "al modo de atlas"...) Cualquier sistema de coordenadas (adecuado) servirá. No hace falta que sean "cartesianas" ni de ningún otro tipo estándar. Esta es la belleza del enfoque lagrangiano (y también del hamiltoniano). La elección de coordenadas está gobernada simplemente por la conveniencia... En correspondencia con el conjunto escogido de coordenadas generalizadas están las "velocidades generalizadas" ...

Es bueno recordar la facilidad que nos da el planteamiento lagrangiano para acomodarnos a las coordenadas generalizadas que queramos. Ya mostraré en mi serie de posts matemáticos sobre lagrangianos y hamiltonianos un ejemplo concreto. Pero lo que hay que destacar ahora es que: cambiando las coordenadas, la expresión de la lagrangiana cambia, sus valores no, Y AL APLICARLE EL PROCEDIMIENTO de las ecuaciones de Euler, SE OBTIENEN ECUACIONES DE MOVIMIENTO equivalentes, es decir, no perdemos descripción física. Aún cambiando de coordenadas, la lagrangiana sigue describiendo el mismo sistema. Esto es así (de nuevo, lo veremos más en concreto en mi serie de posts más matemáticos) porque las ecuaciones de Euler expresan una condición GEOMETRICA, que no se pierde al cambiar las coordenadas, si la nueva lagrangiana tiene los mismos valores para Q1,...., Qn y sus velocidades, que los que tenía la vieja para el correspondiente q1,...qn y sus velocidades. Es similar a tener una función que nos dé la distancia entre dos puntos en el plano, y la transformemos a otras coordenadas (variables independientes), pero conservando sus valores, es decir, que nos dé el mismo valor para la distancia entre dos puntos cualesquiera, expresados en las nuevas coordenadas. Que f(x,y) nos dé lo mismo que g(X,Y), siendo f la vieja función con viejas coordenadas, y g la nueva función con nuevas coordenadas. En el caso de la lagrangiana es algo más complicado, porque lo que importa es que se conserve su valor, pero no es el valor de la lagrangiana lo que usamos DIRECTAMENTE, sino que "la trituramos" con las ecuaciones de Euler, y voilá, obtenemos ecuaciones del movimiento, en nuevas coordenadas, pero que describen el MISMO sistema físico.

Lo de "atlas" se refiere a variedades (manifolds) que pueden cubrirse por varios atlas de coordenadas, cada uno ocupa una región de la variedad.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 16 de Octubre, 2014, 15:34

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Enumeremos hoy algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Tenemos primero, ecuaciones como:

Donde todas las derivadas son totales, no hay derivadas parciales. La función que se quiere despejar es una función que depende, finalmente, de una sola variable (podría depender indirectamente de varias variables, pero éstas ser finalmente funciones de la única variable independiente).

Es común escribir la función a despejar sin poner su dependencia de variables, es decir, usar "y" en lugar de "y(t)", en el ejemplo de arriba. De esta ecuación se dice que es de primer orden, porque el orden más alto de las derivadas que presenta es uno.

En cambio:

Es de segundo orden. Otras veces, la función a buscar interviene con otras variables:

Estas ecuaciones diferenciales se llaman ecuaciones ordinarias, porque no contiene derivadas parciales.

Podemos tener ecuaciones con MAS DE UNA derivada (en orden):

"casi" como si fuera un polinomio con derivadas de distinto orden en vez de variable elevada a distintas potencias. Llegará el caso de explotar esta analogía.

Hay ecuaciones diferenciales ordinarias apenas más complejas, que arrastran una larga historia, como la ecuación de Legendre:

Donde p es una constante. Y la ecuación de Bessel:

Donde de nuevo p es una constante. Vemos en estos dos últimos ejemplos la falta de un término independiente (sin y ni x ni derivadas), y la mezcla en un mismo término de derivadas y variables.

Pero también hay ecuaciones donde la función a despejar depende de más de una variable, y entonces, las derivadas que aparecen son parciales. Ejemplos clásicos:



Donde en todos los casos la función incógnita es w, y depende de x, y, z y t, que podemos considerar coordenadas espaciales y el tiempo. Las tres son muy parecidas, pero describen distintos fenómenos físicos. Se trata, respectivamente, de las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas, con gran historia en la física matemática. Este tipo de ecuaciones en derivadas parciales aparecen en la mecánica de fluidos continuos, en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimientos ondulatorios.

Veremos que la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales es bien diferente de las ordinarias, y casi siempre más difícil. Así al que principio de esta serie, investigaremos algunos casos de ecuaciones ordinarias, para ir entrenándonos en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Principal fuente consultada: Ecuaciones Diferenciales, de George F. Simmons, McGraw Hill.

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Publicado el 15 de Octubre, 2014, 15:52

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Witch of Agnesi -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/WitchofAgnesi.html

Extreme Outfit Fridays: Get On The Damn Unicorn!
http://extremeoutfitfridays.blogspot.com.ar/2013/10/get-on-damn-unicorn.html

Christmas Trilogy 2013 Part I: The Other Isaac [1]. | The Renaissance Mathematicus
https://thonyc.wordpress.com/2013/12/25/christmas-trilogy-2013-i-the-other-isaac1/

By Napier's bones! A new exhibition celebrating the inventor of logarithms | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2014/01/by-napiers-bones-a-new-exhibition-celebrating-the-inventor-of-logarithms/

Airy biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Airy.html

Bernoulli_Johann biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Johann.html

Pat'sBlog: On This Day in Math - December 30
http://pballew.blogspot.de/2013/12/on-this-day-in-math-december-30.html

Pat'sBlog: On This Day in Math - December 26
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-26.html

A Brilliant Madness: A Mathematical Genius Descent into Madness - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=oM1SflhJDoc

Alan Turing, Enigma Code-Breaker and Computer Pioneer, Wins Royal Pardon - NYTimes.com
http://www.nytimes.com/2013/12/24/world/europe/alan-turing-enigma-code-breaker-and-computer-pioneer-wins-royal-pardon.html?_r=0

Ramanujan biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Ramanujan.html

Pat'sBlog: On This Day in Math - December 14
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-14.html

Mertens theorems | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/12/11/mertens-theorems/

Sylow biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Sylow.html

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Publicado el 14 de Octubre, 2014, 14:05

Paul Graham’s Checklist, Would You Make The Cut? [Video]
http://techcrunch.com/2010/07/30/paul-grahams-checklist-would-you-make-the-cut-video/

Stanford Students Build Their Own Y Combinator
http://techcrunch.com/2010/06/10/sse-labs/

Clustrix - Clustered Database Systems
http://www.clustrix.com/

How The Author Of “Founders At Work” Helps Y Combinator Discover And Mentor Startups – with Jessica Livingston | Mixergy - For ambitious upstarts and startups
http://mixergy.com/y-combinator-jessica-livingston-interview/

30 Startup Ideas from Y Combinator | Xconomy
http://www.xconomy.com/boston/2008/07/21/30-startup-ideas-from-y-combinator/

StartupList: The first startup gets funded - Venture Hacks
http://venturehacks.com/articles/startuplist-first-funding

defmacro - Zen, or the art of YC interview
http://www.defmacro.org/ramblings/yc-interview.html

The Y Combinator Experience
http://www.defmacro.org/ramblings/yc.html

Hacker News
http://news.ycombinator.com/

Capital Factory:
http://www.capitalfactory.com/

Y Combinator Gets The Sequoia Capital Seal Of Approval
http://www.techcrunch.com/2009/03/16/y-combinator-gets-the-sequoia-capital-seal-of-approval/

Fixed point combinator - Wikipedia, the free encyclopedia
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Publicado el 13 de Octubre, 2014, 14:47

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Sigo leyendo a "An Elementary Primer for Gauge Theory" de K.Moriyasu:

One essential requisite for the study of gauge theory is at least a nodding acquaintance with some of the terminology of group theory. The heart of any gauge theory is the gauge symmetry group and the crucial role that it plays in determining the dynamics of the theory. Fortunately, much of the necessary group theory is already familiar to physics students from the treatment of angular momentum operators in quantum mechanics. The essential difference in gauge theory is that the symmetry group is not associated with any physical coordinate transformation in space-time. Gauge theory is based on an "internal" symmetry. Therefore, one cannot speak of angular momentum operators, but must replace them with the more abstract concept of group generators. This is more than a mere change of labels because the generators have mathematical properties which were previously ignored in quantum mechanics but are very useful in gauge theory. In particular, we will see that the proper understanding of gauge invariance leads naturally to a geometrical description of gauge theory that is both highly intuitive and strongly resembles the familiar geometrical picture of general relativity. By exploiting this geometrical feature of gauge theory, we can often find much simpler interpretations of complicated physical phenomena such as gauge symmetry breaking, which is one of the most important ingredients of the Weinberg-Salam theory.

Es importante destacar la gran diferencia que implica la aparición de simetrías "internas". Es algo que no siempre se pone de manifiesto en los artículos de divulgación: la aparición de "otras dimensiones" donde se juega las simetrías involucradas. Notablemente, reaparecen de otra forma la combinación de transformaciones PERO NO CONMUTATIVAS, como bien menciona al referirse a la similitud con el momento angular. La aparición de teorías gauges no conmutativas es relativamente reciente, podemos remontarnos a Yang-Mills y cía. Y sí, la imagen geométrica ayuda a captar los conceptos que aparecen. Pero no hay nada como una clara formulación matemática.

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Publicado el 12 de Octubre, 2014, 14:49

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Llega el momento del encuentro entre Heisenberg y Schrodinger:

Toward the end of the 1926 summer term, Sommerfeld invited Schrodinger to address the Munich seminar. I had been working in Copenhagen once again and had familiarized myself with Schrodinger's methods by applying them to the study of the helium atom...

Ese trabajo es un "clásico" de Heisenberg.

...I had finished the work while taking a brief holiday on Lake Mjosa in Norway, had stuffed the manuscript into my rucksack and had set out on unmade paths from Gudbrandsdal, across several mountain chains, to Sogne Fjord. After a short stay in Copenhagen, I finally went on to Munich, where I intended to spend the rest of the vacation with my parents -and so I could be present at Schrodinger's lecture, and discuss his theory with him in person. The audience included the director of the Institute for Experimental Physics in the University of Munich, Wilhelm Wien, who was extremely skeptical of Sommerfeld's "atomysticism."..

Tengo entendido que aún más escéptico era Wien de los métodos de Heisenberg.

... Schrodinger first of all explained the mathematical principles of wave mechanics by using the hydrogen atom as an illustration. All of us were delighted to see his elegant and simple solution by conventional methods of a problem that Wolfgang Pauli had been able to solve only with great difficulty using quantum mechanics...

Schrodinger en sus "papers" principales se había dedicado al tema del espectro de hidrógeno. Era un misterio que los átomos tuvieran un espectro definido. La física clásica apuntaba a que el espectro debía ser continuo o al menos arbitrario. La perplejidad de los físicos sería comparable a la de los astrónomos, si éstos encontraran que todos los exoplanetas tuvieran órbitas que caigan solamente en un conjunto de valores predeterminado de eje mayor.

... Unfortunately, Schrodinger went on to discuss his own intepretation of wave mechanics, and his arguments left me quite unconvinced. During the subsequent discussion, I therefore raised a number of objections, and, in particular, pointed out that Schrodinger's conception would not even help explain Planck's radiation law...

Heisenberg había esperado la oportunidad para discutir estos temas.

.. For this I was taken to task by Wilhelm Wien, who told me rather sharply that while he understood my regrets that quantum mechanics was finished, and with it all such nonsense as quantum jumps, etc., the difficulties I had mentioned would undoubtedly be solved by Schrodinger in the very near future.

En otro documento, creo que Heisenberg menciona a Wein (sin nombrarlo) como diciendo: "la teoría de Schrodinger nos va a librar de sus matrices". La aproximación de Schrodinger agradaba a muchos físicos, porque empleaba conceptos de la física clásica, como hamiltonianos y función de onda, y sólo en determinado punto (el cálculo de autovalores) hacía aparición la discontinuidad cuántica.

...Schrodinger himself was not quite so certain in his own reply, but he, too, remained convinced that it was only a question of time before my objections would be removed. My arguments had clearly failed to impress anyone-even Sommerfeld, who felt most kindly toward me, succumbed to the persuasive force of Schrodinger's mathematics.

De hecho, hoy mismo, el método de Schrodinger es más conocido en los textos, que la aproximación matricial de Heisenberg.

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Publicado el 10 de Octubre, 2014, 14:40

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Más temas para revisar, como relaciones entre números primos, formas, tensores, lagrangianos, etc...

Mathematician Claims Proof of Connection between Prime Numbers - Yahoo! News
http://news.yahoo.com/mathematician-claims-proof-connection-between-prime-numbers-131737044.html

Bocher biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bocher.html

Serre thm on noetherian regular local ring
http://www.math.u-psud.fr/~yliang/index/myarticles/Serre%20thm%20on%20noetherian%20regular%20local%20ring.pdf

Hilbert Syzygy Theorem - Induction step - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/27849/hilbert-syzygy-theorem-induction-step

Riemann–Stieltjes integral - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Stieltjes_integral

Chatelet biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Chatelet.html

The Alan Turing Legacy | Instituto de Ciencias Matemáticas
http://www.icmat.es/events/conferences/alanturing

Standard Model Lagrangian
http://nuclear.ucdavis.edu/~tgutierr/files/sml.pdf

Standard Model Lagrangian; Gutierrez, Thomas D. Gutierrez, Tom Gutierrez, T. Gutierrez, T.D. Gutierrez, T. Dominic Gutierrez, Thomas Dominic Gutierrez, Tom Dominic Gutierrez, Thomas Gutierrez
http://nuclear.ucdavis.edu/~tgutierr/files/stmL1.html

Lagrangian Field Theories
http://math.mit.edu/~jspeck/18.152_Fall2011/Lecture%20notes/18152%20lecture%20notes%20-%2021.pdf

Sylvester
http://sylvester.jcoglan.com/

Connection (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(mathematics)

Connection (principal bundle) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(principal_bundle)

Cartan connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Cartan_connection

Affine connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_connection

How To Use the Covariant Derivative Part 1 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=XDUn4BibPTc

Math Forum - Ask Dr. Math
http://mathforum.org/library/drmath/view/51503.html

Vectors, covectors, duality, tensors, algebras... - Numericana
http://www.numericana.com/answer/vectors.htm

Exterior Calculus
http://www.cs.sunysb.edu/~gu/lectures/lecture_11_exterior_calculus.pdf

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Publicado el 3 de Octubre, 2014, 7:30

Nuevamente, tiempo de escribir las resoluciones del nuevo mes, pero antes repaso de las de Septiembre:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [pendiente]
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Heisenberg [completover post
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [pendiente]
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin [completo] ver post
- Continuar mis notas sobre Teorías Gauge [completo] ver post ver post
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]

De las tareas con entregables visibles, hubo algunos posts adicionales interesantes

Teoría Cuántica de Campos y Partículas (3)
Una Carta de Einstein
John von Neumann y Operadores en Cuántica
Más Richard Feynman, por Freeman Dyson
Klein, Sommerfeld y Schrödinger
El Laboratorio Cavendish, por Steven Weinberg (2)
El Laboratorio Cavendish, por Steven Weinberg (1)

y también colecciones de enlaces a revisar:

Teorías Gauge: Enlaces y Recursos (2)
Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (16)
Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (15)
Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (10)

Las resoluciones para el nuevo mes

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Heisenberg
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales
- Continuar mis notas sobre Teorías Gauge
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Continuar mis notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Estudiar ecuaciones diferenciales
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica

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Publicado el 1 de Octubre, 2014, 13:58

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Tengo que estudiar el teorema de Wigner, por otro lado aclarar major el tema de las n-formas. Parece interesante la historia de los axiomas de separación en topología.

Basis vectors and covectors
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=125639

Cartan Einstein Unification
http://cartan-einstein-unification.com/go/

cartan-einstein-unification.com/pdf/On the Exterior Calculus.pdf
http://cartan-einstein-unification.com/pdf/On%20the%20Exterior%20Calculus.pdf

PH212 - Physical Mathematics II - Spring 2011
http://cosmology.kaist.ac.kr/pm2/

Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Skew_coordinates

One-form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/One-form

Wigner's classification - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_classification

Wigner's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_Theorem

Representations of the Symmetry Group of Spacetime
http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf

University of Toronto Mathematics - Geometry and Topology core course
http://www.math.toronto.edu/~mat1300/

History of the separation axioms - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_separation_axioms

Separation axiom - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom

Johann Heinrich Lambert - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert#Physics

Hamiltonian and potentials in derivative pricing models
http://srikant.org/Simulations.pdf

seagull.ukzn.ac.za/~richm/courses/mech-hons/notes.pdf
http://seagull.ukzn.ac.za/~richm/courses/mech-hons/notes.pdf

Understanding the Bias-Variance Tradeoff
http://scott.fortmann-roe.com/docs/BiasVariance.html

La matem´atica y sus elementos: de Euclides a Bourbaki
http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2002_05_3_07.pdf

Henri Poincaré: A Scientific Biography — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2012/08/09/poincare-biography/

Generalizations of open books « Low Dimensional Topology
http://ldtopology.wordpress.com/2012/08/15/generalizations-of-open-books/

[1006.2814] A counterexample to the Hirsch conjecture
http://arxiv.org/abs/1006.2814

Mis Enlaces
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Publicado el 28 de Septiembre, 2014, 12:52

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Veamos hoy que ni aún las matemáticas de la teoría cuántica de campos está a salvo de problemas. Leo a Freeman Dyson:

All through its history, quantum field theory has had two faces, one looking outward, the other looking inward. The outward face looks at nature and gives us numbers that we can calculate and compare with experiments. The inward face looks at mathematical concepts and searches for a consistent foundation on which to build the theory. The outward face shows us brilliantly successful theory, bringing order to the chaos of particle  interactions, predicting experimental results with astonishing precision. The inward face shows us a deep mystery. After seventy years of searching, we have found no consistent mathematical basis for the theory. When we try to impose the rigorous standards of pure mathematics, the theory becomes undefined or inconsistent. Prom the point of view of a pure mathematician, the theory does not exist. This is the great unsolved paradox of quantum field theory.

To resolve the paradox, during the last twenty years, quantum field theorists have become string-theorists. String theory is a new version of  quantum field theory, exploring the mathematical foundations more deeply and entering a new world of multidimensional geometry. String theory also brings gravitation into the picture, and thereby unifies quantum field  theory with general relativity. String theory has already led to important advances in pure mathematics. It has not led to any physical predictions that can be tested by experiment. We do not know whether string theory is a true description of nature. All we know is that it is a rich treasure of new mathematics, with an enticing promise of new physics. During the coming century, string theory will be intensively developed, and, if we are lucky, tested by experiment.

Escribe esto en Quantum Field Theory, A 20th Century Profile, editado por A. Mitra, publicado en 2000. Lo encuentro citado en el ya varias veces citado en este blog, "Quamtum Field Theory I", de Zeidler.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 27 de Septiembre, 2014, 16:27

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Sigamos leyendo el capítulo primero del Origen de las Especies, titulado Variación en Estado Doméstico. Darwin afirma:

Parece claro que los seres orgánicos, para que se produzca alguna variación importante, tienen que estar expuestos durante varias generaciones a condiciones nuevas, y que, una vez que el organismo ha empezado a variar, continúa generalmente variando durante muchas generaciones.

Curiosamente, no da ningún ejemplo para la necesidad de tener "condiciones nuevas" para la variación. Si hay algo que pasa en los animales y las plantas, es que de generación a generación varían. Justamente, Darwin sigue:

No se ha registrado un solo caso de un organismo variable que haya cesado de variar sometido a cultivo. Las plantas cultivadas más antiguas, tales como el trigo, producen todavía nuevas variedades; los animales domésticos más antiguos son capaces de modificación y perfeccionamiento rápidos.

Es interesante cómo Darwin apela al conocimiento que tenemos de los animales domésticos y de las plantas cultivadas. En su tiempo, lo que se sabía sobre la variación en el ambiente natural era mucho menos que lo que conocía sobre lo domesticado y cultivado.

Y otra curiosidad, veamos cómo imagina Darwin que las condiciones influyen sobre la variación:

Hasta donde puedo juzgar después de prestar mucho tiempo atención al problema, las condiciones de vida parecen actuar de dos modos: directamente, sobre el organismo o sobre ciertas partes solamente, e indirectamente, obrando sobre el sistema reproductor.

Veremos más adelante por qué Darwin pone a la influencia sobre sistema reproductor como origen de variaciones. El no conocía los mecanismos de la variación, y debía conjeturar distintas causas. Cada vez que no puede encontrar el mecanismo subyacente, propone varias explicaciones, dando argumentos para casi todas, pero con distinto peso.

Respecto a la acción directa, debemos tener presente en cada caso, como el profesor Weismann ha señalado hace poco y como yo he expuesto incidentalmente en mi obra sobre la Variation under Domestication, hay dos factores, a saber: la naturaleza del organismo y la naturaleza de las condiciones de vida. El primero parece ser, con mucho, el más importante, pues variaciones muy semejantes se originan a veces, hasta donde podemos juzgar, en condiciones diferentes; y, por el contrario, variaciones diferentes se originan en condiciones que parecen ser casi iguales.

Vemos que Darwin ya había escrito una obra sobre la variación en la domesticación, motivada por sus estudios sobre el origen de las especies. Tomó primero el caso más particular, el de la variación en las plantas y animales cultivados y criados por el ser humano, para luego pasar a la variación natural. La naturaleza de las variaciones, su mecanismo interno, que hoy sabemos reposa, por un lado, en la recombinación y mutación del material hereditario, y por otro lado, en las condiciones de crianza, era un tema que Darwin no podía sino tocar con ejemplos y conjeturas. Pero así avanza la ciencia: Darwin notó que la variación existía, notó que también existía en la domesticación, y se abocó a usarla para explicar la aparición de las especies.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 26 de Septiembre, 2014, 13:42

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Varios temas a estudiar, como operadores hermíticos, las matemáticas de los campos físicos, y otros temas de matemáticas y física:

Moebius Noodles » Knot Theory for Young Kids
http://www.moebiusnoodles.com/2012/08/knot-theory-for-young-kids/

High-dimensional knot theory Algebraic surgery in codimension 2
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/books/knot.pdf

La derivation d'ordre non entier (fractional calculus) : histoire et signification d'un concept mathematique
http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html

Fractional calculus - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus

Jot Down Cultural Magazine | Clara Grima: "Lo que más me preocupa es cómo popularizar las matemáticas"
http://www.jotdown.es/2012/08/clara-grima-lo-que-mas-me-preocupa-es-como-popularizar-las-matematicas/

[1208.0370v1] The Chaos Within Sudoku
http://arxiv.org/abs/1208.0370v1

El caos determinista permite medir la dificultad de un sudoku « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/06/el-caos-determinista-permite-medir-la-dificultad-de-un-sudok-en-la-resolucion-de-un-sudoku-permite-medir-su-dificultad/

Edward Witten revisita la teoría de supercuerdas perturbativa en Strings 2012 « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/09/edward-witten-revisita-la-teoria-de-supercuerdas-perturbativa-en-strings-2012/

La física oculta en el infinito, la transmutación dimensional en teorías de Yang-Mills y un millón de dólares « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2009/11/17/la-fisica-oculta-en-el-infinito-la-transmutacion-dimensional-en-teorias-de-yang-mills-y-un-millon-de-dolares/

El bosón de Higgs y el problema del salto de masa para las ecuaciones de Yang-Mills « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/06/04/el-boson-de-higgs-y-el-problema-del-salto-de-masa-para-las-ecuaciones-de-yang-mills/

Me ha defraudado Óscar García Prada en su charla sobre la "Existencia de Yang-Mills y del salto de masa" « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/06/02/me-ha-defraudado-oscar-garcia-prada-en-su-charla-sobre-la-existencia-de-yang-mills-y-del-salto-de-masa/

Confusiones típicas de los físicos sobre el problema del salto de masa en teorías de Yang-Mills puras « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/14/el-problema-del-salto-de-masa-en-las-teorias-de-yang-mills-puras-y-la-masa-de-los-gluones/

Home Page of Physics 582
http://webusers.physics.illinois.edu/~efradkin/phys582/physics582.html

Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing

Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/15/los-conceptos-de-campo-particula-particula-virtual-y-vacio/

Golden ratio discovered in uterus | Alex Bellos | Science | guardian.co.uk
http://www.guardian.co.uk/science/alexs-adventures-in-numberland/2012/aug/14/golden-ratio-uterus

The Aperiodical | A glider on an aperiodic cellular automaton exists!
http://aperiodical.com/2012/08/a-glider-on-an-aperiodic-cellular-automaton-exists/

The Aperiodical | David"s de Bruijn sequence card trick
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Publicado el 25 de Septiembre, 2014, 8:38

De nuevo hoy voy a citar el libro de Zeidler, "Quantum Field Theory Vol I". Esta vez, encuentro mencionada una carta de Einstein. Es de sus últimos años, pero no tengo la fecha y el destinataria. Comenta sus estudios de joven:

Between the ages of 12-16, I familiarized myself with the elements of  mathematics. In doing so I had the good fortune of discovering books which were not too particular in their logical rigor. In 1896, at the age of 17, I entered the Swiss Institute of Technology (ETH) in Zurich. There I had excellent teachers, for example, Hurwitz (1859-1919) and Minkowski (1864-1909), so that I really could get a sound mathematical education. However, most of the time, I worked in the  physical laboratory, fascinated by the direct contact with experience. The rest of the time I used, in the main, to study at home the works of Kirchhoff (1824-1887), Helmholtz (1821-1894), Hertz (1857-1894), and so on. The fact that I neglected mathematics to a certain extent had its cause not merely in my stronger interest in the natural sciences than in  mathematics, but also in the following strange experience. I saw that mathematics was split up into numerous specialities, each of which could easily absorb the short life granted to us. Consequently, I saw myself in the position of Buridan's ass which was unable to decide upon any specific bundle of hay. This was obviously due to the fact that my intuition was not strong enough in the field of mathematics in order to differentiate clearly that which was fundamentally important, and that which is really basic, from the rest of the more or less dispensable erudition, and it was not clear to me as a student that the approach to a more profound knowledge of the basic principles of physics is tied up with the most intricate mathematical methods. This only dawned upon me gradually after years of independent scientific work. True enough, physics was also divided into separate fields. In this field, however, I soon learned to scent out that which was able to lead to fundamentals.

Menciona a sus profesores de matemáticas en el ETH, pero no parece haber causado buena impresión como estudiante. Tendría que confirmar, pero parece que fue Minkowski el que declaró en esos tiempos de Einstein estudiante, que el futuro premio Nobel no llegaría a nada. Sin embargo, todo eso cambió al inicio del nuevo siglo, cuando Minkowski abrazó la representación geométrica de las ideas de Einstein sobre relatividad especial.

Es interesante el argumento que Einstein menciona para preferir la física a las matemáticas: éstas, demasiado amplias, sin poder discernir que era importante y que era solamente interesante, mientras que la física tenía de alguna forma más los pies en la tierra.

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Septiembre, 2014, 14:44

Ya apareció en este blog el tema operadores, de forma leve, en:

Operadores en Mecánica Cuántica, por Richard Feynman
Operadores en Mecánica Cuántica, por Roger Penrose

y va a seguir apareciendo, seguramente en mi series Matemáticas y Física Cuántica y Ecuaciones Diferenciales. Uno de los que contribuyó a la teoría de los operadores fue John von Neumann, al que estoy citando en Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann.

Ayer cité al excelente  "Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics", de Eberhard Zeidler. Y hoy lo vuelvo a citar, porque encuentro dos referencias al trabajo de von Neumann, la primera de Dieudonne:

In the fall 1926, the young John von Neumann (1903-1957) arrived in Gottingen to take up his duties as Hilbert's assistant. These were the  hectic years during which quantum mechanics was developing with breakneck speed, with a new idea popping up every few weeks from all over the  horizon. The theoretical physicists Born, Dirac, Heisenberg, Jordan, Pauli, and Shrodinger who were developing the new theory were groping for adequate athematical tools. It finally dawned upon them that their 'observables' had properties which made them look like Hermitean operators in Hilbert space...

Tengo que escribir sobre los espacios de Hilbert y cómo los observables terminan siendo operadores lineales en ese espacio. La condición de hermíticos es la que asegura que la aplicación de operador en un producto definido sobre un vector tenga resultado real, no complejo. Notablemente, Hilbert había desarrollado sus ideas décadas antes de la necesidad de usarlas en la naciente mecánica cuántica.

... and that by an extraordinary coincidence, the 'spectrum' of Hilbert (which he had chosen around 1900 from a superficial analogy) was to be the central conception in the explanation of the 'spectra' of atoms. It was therefore natural that they should enlist Hilbert's help to put some mathematical sense in their formal computations. With the assistance of Nordheim and von Neumann, Hilbert first tried integral operators in the space L2, but that needed the use of the Dirac delta function 5, a concept which was for the mathematicians of that time self-contradictory. John von Neumann therefore resolved to try another approach.

Jean Dieudonne (1906-1992)
History of Functional Analysis



La segunda es de un matemático que también contribuyó al tema, Marshall Harvey Stone:

Stimulated by an interest in quantum mechanics, John von Neumann began the work in operator theory which he was to continue as long as he lived. Most of the ideas essential for an abstract theory had already been developed by the Hungarian mathematician Pryges Riesz...

Conozco levemente el trabajo de Riesz, justamente leyendo algún libro de teoría funcional.

... who had established the spectral theory for bounded Hermitean operators in a form very much like as regarded now standard. Von Neumann saw the need to  extend Riesz's treatment to unbounded operators and found a clue to doing this in Carleman's highly original work on integral operators with singular kernels...

Desconocía el trabajo sobre operadores "unbounded", y su importancia. Tema para estudiar. 

The result was a paper von Neumann submitted for publication to the Mathematische Zeitschrift but later withdrew. The reason for this  withdrawal was that in 1928 Erhard Schmidt and myself, independently, saw the role which could be played in the theory by the concept of the adjoint operator, and the importance which should be attached to self-adjoint operators. When von Neumann learned from Professor Schmidt of this  observation, he was able to rewrite his paper in a much more satisfactory and complete form... Incidentally, for permission to withdraw the paper, the publisher exacted from Professor von Neumann a promise to write a book on quantum mechanics. The book soon appeared and has become one of the classics of modern physics.

Marshall Harvey Stone (1903-1989)

A primera impresión, el libro de von Neumann es más árido que el clásico de Dirac. Pero será cuestión de tener perservarncia y leer ambos, muy interesantes los dos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 23 de Septiembre, 2014, 8:03

Ya había escrito hace tiempo:

Richard Feynman, por Freeman Dyson

Desde hace años me impresiona el trabajo personal de Feynman para reconstruir la física cuántica de entonces. Ese trabajo rindió sus frutos, porque de él emergió su idea de la "integral path", que podemos ver como un paso al límite del experimento de las rendijas (Ver "Quantum Field Theory in a Nutshell", de Zee, les debo post).Es decir, el electrón, para llegar de A a B, puede pasar por cualquiera de las dos rendijas (en el clásico experimento), y las dos trayectorias cuentan. Pero ¿y si ponemos tres rendijas? ¿y si ponemos cuatro? Lo mismo, todos los caminos cuentan. Pero ¿si ponemos 10, 20? Lo mismo. Pero entonces, ¿si ponemos infinitas rendijas? Es igual a tener al electrón libre de ir desde A a B, sin ninguna pared. Pero en vez de computar sólo la trayectoria directa, lineal, igual se siguen computando todas las posibles trayectorias. El descubrimiento de Feynman es que en el límite clásico, este "sumar todas las trayectorias" da lo mismo que "tomar la trayectoria directa", porque por cada trayectoria alternativa, hay otra que cancela su efecto.

Hoy encuentro el texto ampliado de Dyson, en el excelente "Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics", páginas 27-28, de Eberhard Zeidler, totalmente recomendable. Leo:

Dick Feynman (1918-1988) was a profoundly original scientist. He refused to take anybody's word for anything. This meant that he was forced to rediscover or reinvent for himself almost the whole physics. It took him five years of concentrated work to reinvent quantum mechanics. He said that he couldn't understand the official version of quantum mechanics that was taught in the textbooks and so he had to begin afresh from the beginning. This was a heroic enterprise. He worked harder during those years than anybody else I ever knew. At the end he had his version of quantum mechanics that he could understand...

The calculations that I did for Hans Bethe,5 using the orthodox method, took me several months of work and several hundred sheets of paper.

Hans Bethe (1906-2005) ganó el premio Nobel en 1967 por sus trabajos en las reacciones nucleares, especialmente por sus descubrimientos acerca de la producción de energía en las estrellas. Tengo pendientes leer varios libros de Bethe, muy interesantes, posts pendientes.

Dick could get the same answer, calculating on a blackboard, in half an hour...

In orthodox physics, it can be said: Suppose an electron is in this state at a certain time, then you calculate what it will do next by solving the Schrodinger equation introduced by Schrodinger in 1926. Instead of this, Dick simply said:

The electron does whatever it likes.

A history of the electron is any possible path in space and time. The behavior of the electron is just the result of adding together all the histories according to some simple rules that Dick worked out. I had the enormous luck to be at Coraell in 1948 when the idea was newborn, and to be for a short time Dick's sounding board...

Dick distrusted my mathematics and I distrusted his intuition.

Dick fought against my scepticism, arguing that Einstein had failed  because he stopped thinking in concrete physical images and became a  manipulator of equations. I had to admit that was true. The discoveries of Einstein's earlier years were all based on direct physical intuition. Einstein's later unified theories failed because they were only sets of equations without physical meaning...

Nobody but Dick could use his theory. Without success I tried to understand him... At the beginning of September after vacations it was time to go back East. I got onto a Greyhound bus and travelled nonstop for three days and nights as far as Chicago. This time I had nobody to talk to. The roads were too bumpy for me to read, and so I sat and looked out of the window and gradually fell into a comfortable stupor. As we were droning across Nebraska on the third day, something suddenly happened. For two weeks I had not thought about physics, and now it came bursting into my consciousness like an explosion. Feynman's pictures and Schwinger's equations began sorting themselves out in my head with a clarity they had never had before. I had no pencil or paper, but everything was so clear I did not need to write it down. Feynman and Schwinger were just looking at the same set of ideas from two different sides. Putting their methods together, you would have a theory of quantum electrodynamics that combined the mathematical precision of Schwinger with the practical flexibility of Feynman...

During the rest of the day as we watched the sun go down over the prairie, I was mapping out in my head the shape of the paper I would write when I got to Princeton. The title of the paper would be The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman.

Los tres, Tomonaga, Schwinger, Feynman recibirían el Nobel compartido. Schwinger era un genio temprano, que destacó antes que Feynman, pero luego quedó opacado por éste, por lo menos para el público. Es interesante notar que el trabajo de Schwinger fue influido por su trabajo durante la guerra (la segunda guerra mundial) en el RadLab, laboratorio de radiación, proyecto que insumió un costo del mismo orden del Proyecto Manhattan (el proyecto de las bombas atómicas). En su trabajo con técnicos, Schwinger aprendió que se necesitaba calcular prácticamente, no seguir el camino de los veinte-treinta, de buscar ecuaciones exactas, sino ir en busca de caminos simplificados. No conozco en detalle el trabajo de Schwinger, pero parece que también tomó un camino que otros no habían tomado, pero no fue tan aceptado y simple como el de Feynman.

Curiosamente, una de las ideas de Feynman, el propagador temporal, tuvo una representación gráfica, los diagramas de Feynman, que se popularizaron. Ver Diagramas de Feynman, Fuerzas en Diagramas de Feynman, Positrones y Electrones en Diagramas de Feynman. La historia de la difusión y aceptación de esos diagramas, y los cambios que tuvieron en el tiempo, ha merecido artículos y libros completos. Tema para posts pendientes.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 22 de Septiembre, 2014, 13:50

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Más enlaces del tema interminable. Hay un par de joyitas sobre la relación entre grupos y partículas elementales:

Chiral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Chiral_symmetry

McCabism: What is an elementary particle?
http://mccabism.blogspot.com.ar/2009/02/what-is-elementary-particle.html

quantum mechanics - How is the physical meaning of an irreducible representation justified? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/16074/how-is-the-physical-meaning-of-an-irreducible-representation-justified

Group Theory and Symmetries in Particle Physics
http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/158707.pdf

Symmetry and Particle Physics
http://www.mth.kcl.ac.uk/~jbg34/Site/Resources/lectnotes(master).pdf

quantum field theory - Why do we say that irreducible representation of Poincare group represents the one-particle state? - Physics Stack Exchange
http://physics.stackexchange.com/questions/73593/why-do-we-say-that-irreducible-representation-of-poincare-group-represents-the-o

Elementary Particles
http://math.ucr.edu/home/baez/qg-spring2003/elementary/

p-group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/P-group

Why is group theory important?
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/math216/whygroups.html

Weinberg angle - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Weak_mixing_angle

Mis enlaces
http://delicious.com/ajlopez/grouptheory

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 21 de Septiembre, 2014, 16:23

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Veamos de resolver los coeficientes de la última ecuación del anterior post:

Tenemos alfa y beta para determinar. Pero aparte de satisfacer la ecuación de arriba, también tendría la solución que cumplir con las ecuaciones de de Broglie y de Einstein:

Y con la ecuación de la energía:

Sustituimos las relaciones de de Broglien y de Einsten en la ecuación de la energía:

Habíamos sustituido frecuencia v por frecuencia angular omega, y longitud de onda lambda por número de onda k:


Queda entonces que se debe cumplir también:

Reagrupemos nuestra ecuación con alfa y beta:

Para que esta igualdad se cumpla para todos los valores que pueden tomar los cosenos y senos, se debe cumplir que los coeficientes se anulen:


Esto se satisface si:


Sustituyendo en nuestra ecuación de partida:

Queda algo trivial:

Que ni siquiera nos sirve para tener en la expresión a la derivada temporal de la función de onda, que al ser alfa cero, desapareción de la expresión.

Conclusión: luego de tantos malabares, no llegamos a mucho. Si meditamos un momento, el problema surge de partir de una ecuación donde los cosenos y senos están mezclados de una forma no fructífera. Eso se debe a que tenemos derivadas parciales de distinto orden, y nuestra ecuación inicial sólo tenía senos:

Próximo intento: partir de una función de onda inicial QUE TENGA SENOS Y COSENOS, AMBOS, DESDE EL PRINCIPIO, a ver si tenemos más oportunidades de llegar a una relación no trivial e interesante.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Septiembre, 2014, 18:56

Estoy explorando una deducción de la ecuación de Schrödinger en:

La Ecuación de Schrödinger

pero no es el camino que siguió el propio Schrödinger. Este tomó una analogía entre óptica y mecánica, debida originalmente a Hamilton, para extender las ideas de de Broglie.

Encuentro hoy el excelente

The classical roots of wave mechanics: Schrödinger"s transformation of the optical-mechanical analogy

donde leo el resumen:

The optical-mechanical analogy played a central role in Schrödinger's reception of de Broglie's ideas and development of wave mechanics. He was well acquainted with it through earlier studies, and it served him as a heuristic model to develop de Broglie"s idea of a matter wave. Schrödinger"s struggle for a deeper understanding of the analogy in the search for a relativistic wave equation led to a fundamental transformation of the role of the analogy in his thinking into a formal constraint on possible wave equations. This development strongly influenced Schrödinger"s interpretation of the wave function and helps to understand his commitment to a wave interpretation in opposition to the emerging mainstream. The changes in Schrödinger's use of the optical-mechanical analogy can be traced in his research notebooks, which offer a much more complete picture of the development of wave mechanics than has been generally assumed. The notebooks document every step in the development and give us a picture of Schrödinger's thinking and aspirations that is more extensive and more coherent than previously thought possible.

No conocía la existencia de esas "notebooks", les recomiendo la lectura de este "paper".

Busqué hoy una relación que recordaba vagamente, entre algunas ideas de Klein, pasadas por Sommerfeld a Schrödinger sobre esa analogía entre óptica y mecánica. Parece que no tuvo tanta influencia como pensaba: Schrödinger había ya encontrado por otros medios parte de esa analogía, reflejada en un segundo "paper" que presentó. Sommerfeld, al leer el texto, todavía no publicado, le recordó la similitud entre una ecuación y la ecuación de la ecoinal. Buscando en Google Books, encontré este fragmento del excelente e interminable The Historical Development of Quantum Theory de Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg (varios tomos), pp 553 en adelante:

http://books.google.com.ar/books?id=-pL56OcVubgC&pg=PA555&lpg=PA555&dq=klein+sommerfeld+schrodinger&source=bl&ots=jBAw_YgITy&sig=ahmczaPjF7IEfYOCqSjDB8QIj5w&hl=en&sa=X&ei=QOEdVNylHda1sQSH2IHgBg&redir_esc=y#v=onepage&q=klein%20sommerfeld%20schrodinger&f=false

As this point we may insert a remark which is perhaps essentially superfluous here but nevertheless may help to avoid a wrong impression that one possibly obtains from reading the published paper. In a footnote to p. 490 of the latter, Schrödinger, just after stating the connection between Hamilton's dynamical principle and Huyguens' optical principle, added the remark: 'Felix Klein has since 1891 repeatedly developed the theory of Jacobi [i.e, Hamilton's theory in the pure mechanical formulation of Jacobi] from quasi-optical considerations in non-Euclidean higher spaces in his lectures on mechanics. Cf. F. Klein, Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver. 1, 1891 [Klein, 1892] and Zeit. f. Math. u. Phys. 46, 1901 [Klein, 1901] (Ges.-Abh, II, pp. 601 and 603). In the second note, Klein remarks reproachfully that his discourse at Halle ten years previously, in which he had discussed this correspondence and emphasized the great significance of Hamilton's optical works, had "not obtained the general attention, which he had expected." For this allusion to F. Klein, I am indebted to a friendly communication from Prof. Sommerfeld. See also Atombau, 4th ed., p. 803' (Schrödinger, 1926d, p. 490, footnote 1; English translation, footnote 3 on pp. 13-14)

Back in the fall of 1891, at the Versammlung Deutscher Naturforscher und Arzte in Halle, the Göttingen mathematician Felix Klein had spoken -as we have already pointed out in the previous section- on some recent English papers on mechanics, and had a particular called attention to the close relation of Hamilton's dynamical theory of light rays an his -Klein's- own consequences from this relation, namely, 'that one, moreover, by proceeding to higher-dimensional spaces, is able to reduce every mechanical problem to the determination of the path of ray propagating in a suitable optical medium' (Klein, 1892, p. 35). Klein had never published any detailed results of that sort in a journal; however, he reporter later in his Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19, Jahrhundert which appeared posthumously in 1926 (after Schrödinger first publications on wave mechanics): 'I have especially indulged, in the summer of 1891, in the pleasure of treating all mechanics, in the footsteps of Hamilton, as a kind of optics in the n-dimensional space; and I have included Jacobi's extension of the theory...; the elaboration of these lectures has been available for twenty years in the Göttingen Reading Room' (Klein, 1926, p. 198).

Vean que menciona "in the footsteps of Hamilton". Tengo que encontrar la referencia, pero todos los comentadores señalan que Hamilton ya se había dado cuenta de la relación entre su trabajo en óptica geométrica y la mecánica.

As in his paper of 1901, Klein complained here about the total neglect that physicist had accorded to the powerful ideas suggested by him. Perhaps one reason for this particular neglect -at least in Germany- may be seen in the fact that physicists in general paid hardly any attention to the sketchy hints in the mathematical journals, nor did they have access to the Reading Room in the Mathematical Institute at the University of Göttingen where the elaborated lectures of Klein lay...

Acá los autores insertan dos notas, que no quiero saltear:

267: The only exception, to which Klein referred, was the mathematician Eduard Study; the latter had, in a paper 'Uber Hamiltons geometrische Optik und deren Beziehung zur Theorie der Beruhrungstransformations' ('On Hamilton's Geometrical Optics and Its Relation to the Theory of Contact Transformations,' Study, 1905): 'worked out from the correct point of view a new form' (Klein, 1926, p. 198). In a footnote, which he had obviously added much latter -the manuscript of the lectures of mathematics in the nineteenth century must have been written in the years after 1910- Klein quoted two further papers by another mathematician, Georg Prange, entitled 'W.R.Hamiltons Bedeutung fur die geomestrische Optik' ('W.R.Hamilton's Importance for Geometrical Optics,' Prange, 1921) and 'W.R.Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik' ('W.R.Hamilton's Papers on Ray Optics and Analytical Mechanics,' Prange, 1923).

268: As we have mentioned and discussed in Section 4, the British mathematician Edmund Whittaker discussed, in his textbook on analytical mechanics (Whittaker, 1904, and later editions), the optical analogue to Hamilton's dynamics in some detail; he also presented (in Sections 125 and 126 of his book) the connection between Huyguens' principle and contact transformations and he considered higher-dimensional spaces.

Volvamos al texto principal:

... However, there was one physicist, Arnold Sommerfeld, who had indeed seen the manuscript of the above-mentioned lectures when he was assistant for mathematics at Göttingen during 1894-1897. He had also referred to Klein's two notes -quoted above- in his book Atombau und Spektralinien...

Ese libro instruyó a toda una generación de físicos cuánticos, sobre el espectro atómico.

..., for example, in the fourth edition in Appendix 7. There he wrote:

Finally, several remarks on the origin of Hamilton's theory. We base our statements on two notes of F. Klein ([1892, 1901]). Hamilton was an astronomer who studied the propagation of light rays in optical instruments. He had available the ray-optics (Newton's emissive optics), which describes the path of light particles in a section-wise homogeneous, or more generally, an inhomogeneous medium by means of integrable ('totale') differential equations. Hamilton attempted to incorporate this method into the then developed wave optics, which describes the optical states by partial differential equations. The real differential equations of wave optics is the equation of vibration (I), from which one derives -for sufficiently small wavelengths- the differential equation of wave surface (II), i.e.,

Here u represents a vector, v a scalar, delta2 denotes the so-called "second differential parameter", and delta1 the "first differential parameter", that is, for a Euclidean line element,

Tengo que revisar el por qué de esas dos notaciones. Imagino que varían en espacios no euclideanos.

If one integrates Eq. (II), one obtains a family of wave surfaces or surfaces of equal phases by putting v = const. Their ortogonal trajectories are the orbits of the light particles, and hence constitute the light rays. Provided we know a complete solution of Eq. (II), then we can derive from it the trajectories of the light particles by mere differentiation... Of course, one must use, for the purpose of general dynamics, a non-Euclidean line element; and one must, for systems having more thant three degrees of freedom -as Klein realized- go over to a higher-dimensional space. (Sommerfeld, 1924d, pp. 803-804).

Es interesante mencionar una nota:

269 In his autobiographical sketch, published posthumously, Sommerfeld mentioned that he went to Göttingen in October 1893, where he soon came under the decisive influence of Felix Klein; Klein drew his attention to the problems of mathematical physics and tried to win him 'for his view of the problems which he had formulated in previous lectures' (Sommerfeld, 1968, p. 675). In 1894, Sommerfeld became 'Klein's assistant at the mathematical reading room and had, in this position, to work out his lectures' (Sommerfeld, 1968, p. 675).

Sigamos con el texto principal. Veamos la acción de Sommerfeld sobre Schrödinger.

Evidently, Eqs. (I) and (II) correspond to Eq. (209) and the eiconal equation (208a), respectively, as Sommerfeld and Runge had shown in 1911 in a paper quoted by Sommerfeld in Atombau. Sommerfeld also reported in his book that in the extension of Hamilton's theory by Jacobi the optical aspect had been lost, and that later Bruns rediscovery it in his theory of the eiconal. When he (Sommerfeld) then say, in February 1926, the manuscript of Schrödinger's second communication on Quantisierung als Eigenwertproblem, he wrote to Zurich and reminded Schrödinger of the ideas of Klein and of those in his own paper. Obviously, Schrödinger did not known of Klein's work, and had also overlooked the above-quoted passage in the fourth edition of Atombau, a book, which he had otherwise study quite carefully. In any case, he immediately dispatched a letter to Wein. He wrote:

Please do excuse me for having to bother you with a request to insert the enclosed two remarks in my manuscript "Quantisierung als Eigenwertproblem, Zweite Mitteilung" [for the] Annalen der Physik... I owe both hints to a friendly postcard from Professor Sommerfeld, which he still wrote to me just before his departure for England. It would not only be very embarrasing for me to omit the citations of Klein and Sommerfeld, but I am also extremely happy to point to none other than Felix Klein as that person, who 35 years ago, and unfortunately in vain, had hinted at the importance of these connections. Had Klein's lectures been distributed in a form other than the valuable and rare manuscript editions, then probably the connection with quantum theory would have been discovered some time ago. It is indeed so evident. From time immemorial one writes the first term of the action function as: minus the energy multiplied by time. Therefore, as soon as one interprets the action function as the phase of the wave, i.e., forms a periodic function of it, one must note that the frequency of this wave is proportional to the mechanical energy constant (Schrödinger to Wein, 4 March 1926)

No se encontró la "postcard" de Sommerfeld, pero debe datar de principios de marzo. La relación entre energía y frecuencia es uno de los grandes descubrimientos de la física: una relación inesperada, que permea todos los desarrollos posteriores.

Concluyen los autores:

Thus the references to Felix Klein's work as well as to the paper by Sommerfeld and Runge -and to Appendix 7 in Atombau- were added to the second communication only after the author had completed the manuscript; they did not influence his results and development at all.

Interesante tema. Si quieren los detalles matemáticos y físicos, les recomiendo el excelente Fundamentos de Mecánica Cuántica, de Borowitz, donde el autor sigue el camino de Schrodinger para llegar a sus resultados, explorando entonces las relaciones entre óptica geométrica y mecánica, y luego pasado de óptica geométrica a ondas, para conseguir unir la mecánica con las ondas, el germen de la mecánica cuántica de entonces.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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Por ajlopez, en: Ciencia