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Publicado el
6 de Diciembre, 2018, 8:28
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Ultimo mes del año. Como siempre, primero repaso de las resoluciones del mes pasado:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [completo] ver post
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Mucho trabajo professional en estos días. Sigo con las mismas resoluciones para este nuevo mes de diciembre:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
2 de Diciembre, 2018, 14:50
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Siempre vuelvo a estudiar la vida y la obra de Paul Erdös. En estos días estoy disfrutando de una biografía de este gran matemático, publicada en la serie de matemáticos de editorial RBA. Espero poder escribir sobre historias que encontré ahí.
Hoy quiero recorder un tema que a Erdös le importaba mucho: su idea de que hay un Libro, donde están todas las demostraciones matemáticas, expresadas de forma simple y bella. El decía que siempre que buscaba una prueba, quería alcanzar la version "del Libro". Encuentro este párrafo en el libro "Proof of THE BOOK" de Martin Aigner y Günter Ziegler:
Paul Erdös liked to talk about The Book, in which God maintains the perfect proofs for mathematical theorems, following the dictum of G.H.Hardy that there is no permanent place for ugly mathematics. Erdös also said that you need not believe in God but, as a mathematician, you should believe in The Book.
En el libro, los autores muestran unas 44 demostraciones, de diversos campos como la teoría de números, teoría de grafos, combinatoria, análisis, geometría. Me llama la atención que expongan SEIS demostraciones sobre la infinitude de los números primos. La representación de números como la suma de dos cuadrados, es un clásico (estuve escribiendo serie de posts, debería retomar) así como la ley de reprocidad cuadrática. Me gusta que exista para los autores al menos una demostración del postulado de Bertrand que se acerque a la version del libro: el enunciado es tan simple, dado n >=1 siempre hay un primo entre n y 2n.
Podría estar horas describiendo brevemente las pruebas aportadas. Realmente una lectura muy interesante, y siempre, tratando de encontrar pruebas por nuestro propio esfuerzo, antes de llegar a estudiar la prueba DEL LIBRO.
Ver también
https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_from_THE_BOOK
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
10 de Noviembre, 2018, 13:40
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Se acerca el fin de año, otro mes que pasa. Mucho trabajo professional en este octubre que pasó, apenas si pude avanzar en alguna resolción:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
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Mis resoluciones para el nuevo mes siguen siendo:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
6 de Octubre, 2018, 11:20
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Ya se acerca el fin de año. Antes de escribir las resoluciones de octubre, reviso las de septiembre:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [completo] ver post
- Escribir sobre Matemáticas [completo] ver post
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
El tema de agosto en matemáticas, fue la prueba presentada por Atiyah, de la Hipótesis de Riemann. Todo indica que no es una prueba, porque usa propiedades de una función T que no están claramente demostradas. Pero por lo menos es un interesante "approach".
Mis resoluciones para el nuevo mes:
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
2 de Octubre, 2018, 13:04
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Publicado el
1 de Octubre, 2018, 14:41
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Publicado el
28 de Septiembre, 2018, 13:30
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Publicado el
25 de Septiembre, 2018, 12:12
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Publicado el
24 de Septiembre, 2018, 18:13
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Publicado el
23 de Septiembre, 2018, 18:50
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La hipótesis de Riemann podría considerarse como el problema del siglo. Es uno de los problemas matemáticos pendientes de solución más famosos. Mientras que el Ultimo Teorema de Fermat y la Conjetura de Poincare fueron probados. la hipótesis de Riemman se resiste todavía, luego de más de siglo y medio de haber sido formulada.
Cuéntase que el matemático Hardy, cuando tenia que cruzar el Atlántico, enviama un telegrama al otro declarando que tenia una prueba de la hipótesis. De esta forma, esperaba que ninguna divinidad dejaría que le pasara algo en el viaje.
Hilbert lo propuso como uno de los problemas de su lista de 1900. Es uno de los pocos que pasado el siglo veinte todavía no tiene solución. Hilbert decía que si se durmiera tres mil años y se despertara, lo primero que preguntaría es si se había resuelto el problema. Del siglo XX al XXI pasó a ser uno de los problemas del milenio, según el instituto de matemáticas Clay.
Yo estoy tratando de explicar la hipótesis en mi serie La Hipótesis de Riemman. Ya a fines del siglo XIX se vió que no era necesaria su verdad para probar el teorema de los números primos, (ver teorema de Hadamard y de la Vallée-Poussin) pero se espera que si es verdad, la distribución de los primos sea la esperada.
Ver también:
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis#Function_fields_and_zeta_functions_of_varieties_over_finite_fields notablemente se demostró la hipótesis para otros campos, y hay varias generalizaciones
En estos días el mundo matemático está esperando la conferencia de Michael Atiyah, medallista Field, anunciada para mañana lunes 24 de septiembre. Ver
Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis
https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/
News regarding ABC conjecture and Riemann Hypothesis
https://www.johndcook.com/blog/2018/09/20/abc-conjecture-riemann-hypothesis/
Michael Atiyah claims proof of Riemann Hypothesis
https://aperiodical.com/2018/09/michael-atiyah-claims-proof-of-riemann-hypothesis/
Hay algún escepticismo sobre la validez de la prueba, que no fue publicada todavía. No se espera que Atiyah haya encontrado el éxito donde otros muchos matemáticos fracasaron. Pero esperemos a maña. Me he referido a Atiyah varias veces en este blog, por ejemplo en relación a un teorema de Hilbert. Ver su entrevista en
https://www.lavanguardia.com/lacontra/20111228/54241694041/sir-michael-atiyah-el-camino-mas-corto-para-crear-es-un-largo-rodeo.html
Pero hay un dato interesante en las noticias publicadas sobre el tema. En Aperiodical leo:
Atiyah will speak at the HLF on Monday at 9am CEST, and his abstract, available to read through the HLF conference app, claims he will present "a simple proof using a radically new approach […] based on the work of Von Neumann (1936), Hirzebruch (1954) and Dirac (1928)."
Hirzebruch es conocido por el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch, luego opacado en parte por el trabajo novedoso de Gothrendieck, que lo extendió más allá del resultado original. Ver
Friedrich Hirzebruch
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Hirzebruch
Atiyah trabajó con Hirzebruch, en sus años jóvenes, y será interesante ver qué camino aprovechó de los descubrimientos de su maestro para llegar a su proclamada prueba. Pero en el párrafo que mencioné arriba, mencionan a Von Neumann y a Dirac, dos "habitué" de este blog. Eso da una pista, y acá apuesto que la prueba tiene que ver con:
MATRICES HERMITIANAS
usadas tanto en la mecánica cuántica que tanto Von Neumann como Dirac ayudaron a desarrollar. No es un camino nuevo en los intentos de demostración de este problema. La idea es que la hipótesis afirma que la función zeta de Riemman
z(x + iy)
tiene TODOS sus ceros no triviales en x = 1/2. Pero eso equivale a que, haciendo cambio de variables (rotación 90 grados y desplazamiento 1/2), todas los ceros no triviales de otra función:
h(y + ix - i/2)
SON REALES. El camino de las matrices hermitianas, mostraría que existe una matriz "infinita" M, que sea hermitiana (igual a su transpuesta conjugada), tal que el determinante de M - wI, o sea su polinomio característico, sea igual a la función h de arriba.
Se sabe que las matrices hermitianas solo tienen autovalores (los ceros de su polinomio característico) reales. Con eso se completaría la demostración. Claro que una cosa es decirlo, y otra es encontrar esa matriz M infinita que cumpla con todo eso. Pero bien podría Atiyah haber encontrado un camino nuevo en este forma de solucionar el problema: una forma de "armar" esa matriz para obtener la función h, transformada de la zeta. Pero lo mío es solo un albur, veremos si es así.
Vivimos tiempos interesantes.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
22 de Septiembre, 2018, 17:47
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Publicado el
16 de Septiembre, 2018, 14:42
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Las matemáticas son fascinantes, y van más allá de lo que mucha gente piensa. No son solamente hacer números, sino manejar conceptos, ideas, teorías completas, que van desarrollándose en la historia. Pero lo notable es cómo alguna de esas ideas van creciendo y se van descubriendo relaciones inesperadas entre ellas.
En los primeros días de enero de 1967, Robert Langlands se encuentra por coincidencia con André Weil, en un pasillo del Institute for Defense Analysis de Princeton. Ambos llegaban para escuchar una conferencia de Shiing-Shen Chern. En ese momento, Weil estaba en sus sesenta años, prominente miembro del grupo Bourbaki, matemático consagrado y creativo, uno de los individuos más influyentes del siglo XX, especialmente en geometría algebraica y teoría de números. Por otro lado, Langlands era treinta años más joven, un matemático prometedor, pero todavía en sus primeros años de carrera. No sabiendo cómo iniciar una conversación, Langlands le comenta alguna de sus propias ideas sobre conexiones entre las formas automorfas y la teoría de números. Weil le sugiere entonces que le envíe por escrito esas ideas. Langlands pensó que era una forma amable de sacarse de encima a un joven inoportuno, pero igual plasma por escrito sus pensamientos, y días después le envía una carta, comenzando:
"En respuesta a su invitación ... escribí esta carta. Luego de haberla escrito me doy cuenta que difícilmente tenga una afirmación de la que esté seguro. Si desea leerla como pura especulación, apreciaría su gesto; si no, estoy seguro que tiene un bote de basura cerca".
Weil no respondió a la carta, pero la tipeó, y envió esa transcripción a otros matemáticos. El contenido de la carta comenzó a conocerse como "las conjeguras de Langlands".
Con el tiempo, esas conjeturas dieron frutos inesperados: de alguna forma participaron del camino a la demostración del Ultimo Teorema de Fermat. Pero fueron más allá. Dieron lugar al llamado "programa de Langlands" que predice la existencia de una red de conexiones entre las formas automórficas y los grupos de Galois. Ese programa está guiando investigaciones modernas, para probar y mostrar esas conexiones. En este año, 2018, Langlands fue galardonado por el premio Abel.
Sería largo explicar el programa, aún sus ideas base, pero debo confesar que es fascinante de explorar. Con conexiones desde la teoría de números hasta las curvas elípticas y más, nos da una vívida impresión de la unidad de las matemáticas y los resultados no evidentes que se están manejando en estos tiempos.
Lecturas adicionales
The Abel Prize Laurate 2018
A glimpse of the Laureate’s work
17 handwritten pages that shaped a whole area of mathematical research
From quadratic reciprocity to Langlands’ program
Letter to André Weil
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
8 de Septiembre, 2018, 15:05
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Ya estamos más cerca del fin de año. Comienza un nuevo mes, primero revisión de las resoluciones del mes anterior:
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Mis resoluciones para el nuevo mes;
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- Escribir sobre Matemáticas
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Espero esta vez poder escribir sobre historia de las matemáticas y de la ciencia; tengo algunos temas pensados, pero hay que poner manos a la obra.
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Publicado el
2 de Septiembre, 2018, 16:03
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Publicado el
1 de Septiembre, 2018, 15:27
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Sigo leyendo y comentando "The Arithmetic of Elliptic Curves" de Silverman. En el anterior post enuncié el teorema de Hasse-Minkowski, Tendría que corregir su enunciado: no trata sobre módulo p, sino sobre los campos p-ádicos Qp. Leo:
In other words, a quadratic polynomial has a solution in Q if and only if it has a solution in every completion of Q. Hensel’s lemma says that checking for solutions in Qp is more or less the same as checking for solutions in the finite field Z/pZ, and this is turn is easily accomplished using quadratic reciprocity. We summarize the steps that go into the Diophantine analysis of quadratic equations.
(1) Analyze the equations over finite fields [quadratic reciprocity].
(2) Use this information to study the equations over complete local fields Qp [Hensel’s lemma]. (We must also analyze them over R.)
(3) Piece together the local information to obtain results for the global field Q [Hasse principle].
Es interesante notar que la reciprocidad cuadrática surge asociada a campos finitos. De alguna forma, las cuadráticas están bien entedidas, gracias a resultados como los de arriba. Y cuando se quiere ir más allá, ahí aparecen en primer lugar las curvas elípticas:
Where does the geometry appear? Linear and quadratic equations in two variables define curves of genus zero. The above discussion says that we have a fairly good understanding of the arithmetic of such curves. The next simplest case, namely the arithmetic properties of curves of genus one (which are given by cubic equations in two variables), is our object of study in this book. The arithmetic of these so-called elliptic curves already presents complexities on which much current research is centered. Further, they provide a standard testing ground for conjectures and techniques that can then be fruitfully applied to the study of curves of higher genus and (abelian) varieties of higher dimension.
Este es un punto a destacar: el genus. Por un lado, podemos leer una definición orientada a geomtría algenbraica:
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Genus_of_a_curve
Pero es más interesante notar que genus tiene otros significados:
https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)
Para una curva algebraica, se relaciona con la superficie que forma EN LOS COMPLEJOS. Y como en las superficies reales,, el genus está relacionado con la cantidad de "agujeros" que presenta. Mientras que las cuadráticas tienen genus 0, las elípticas son las primeras con genus 1. Al no ser "tan regulares" cono las de genus 0, tienen otras propiedades. Mordell debe haber sido iuno de los primeros que tratar de clasificar esas propiedades. Ver la conjetura de Mordell:
http://mathworld.wolfram.com/MordellConjecture.html
probada por Faltings:
https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
Como se llegó con esto a la solución del Ultimo Teorema de Fermat, es cuestión de otros posts.
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Publicado el
26 de Agosto, 2018, 14:30
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Hoy voy a comenzar a comentar un libro de Joseph H. Silverman. No crea que termine en un solo post el comentario; es un libro muy interesante. Primero, como otros libros que comenté, es un libro para matemáticos. Pero también es bastante autocontenido, así con unos pocos preliminares se puede comenzar a leerlo y entenderlo. Es el "The Arithmetic of Elliptic Curves", estoy leyendo la segunda edición de Springer.
Comienza presentando algunas curvas simples en X, Y. Leo:
The study of Diophantine equations, that is, the solution of polynomial equations in integers or rational numbers, has a history stretching back to ancient Greece and beyond. The term Diophantine geometry is of more recent origin and refers to the study of Diophantine equations through a combination of techniques from algebraic number theory and algebraic geometry. On the one hand, the problem of finding integer and rational solutions to polynomial equations calls into play the tools of algebraic number theory that describe the rings and fields wherein those solutions lie. On the other hand, such a system of polynomial equations describes an algebraic variety, which is a geometric object. It is the interplay between these two points of view that is the subject of Diophantine geometry.
¿ Cuál es el tipo de curva mas simple que presenta? Las aX + bY = c , las rectas. Se sabe que si a, b, c son racionales, estas curvas siempre tienen puntos (X, Y) con X, Y racionales. Cuando pasamos a curvas de segundo grado, no es evidente cuándo tenemos puntos racionales (aún cuando todos los coeficientes sean racionales). Desde hace tiempo se sabe clasificar esas curvas en distintos tipos, como elipses, hipérbolas, parábolas. Primero, como resultado de conceptos geométricos en los antiguos griegos, luego llegado Descartes y sus coordenadas, desde el punto de vista algebraico esa clasificación es posible. Debe ser uno de los gérmenes de la geometría algebraica.
Un teorema que no conocía: el de Hasse-Minkowski. Sea un polinomio f(X, Y) cuadrático con coeficientes racionales. Entonces, tiene tiene puntos racionales SI Y SOLO SI tiene tiene ALGUNA solución racional para TODO módulo p, siendo p primo. Es común pasar a aritmética modular y probar con primos, por ejemplo, en el último teorema de Fermat. Notablemente, este teorema no se puede aplicar a polinomios valorizados sobre campos finitos.
Lo importante ahora, es entender que esos puntos racionales sobre curvas algebraicas, serán la base para operaciones sobre las curvas elípticas, operaciones que forman grupo. El estudio de los puntos racionales de esas curvas ha sido altamente fructífero.
Para llegar a esos resultados, Silverman primero presenta variedades afines y curvas algebraicas. Pero eso será tema de un próximo post.
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Publicado el
20 de Agosto, 2018, 12:18
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Hay algo en las matemáticas, que es hermoso: la relación que tienen diversos temas, la unidad que se va descubriendo en su estructura. Es notable cómo se ha ido progresando en este sentido, tan notable que es la principal pista para aceptar la existencia de un mundo matemático, distinto del físico o del mental. Sería increíble que todo esto se deba a la creación humana.
Esa relación en los temas se ve en la historia de las curvas elípticas. Hoy quiero comentar brevemente el libro:
Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke de Ranjan Roy
Tiene pocas menciones de curvas elípticas, pero es interesante por su desarrollo histórico de los temas que trata. Comienza con las formas modulares en su estado en el siglo XIX. Primero presenta el grupo modular, estudiado por Lagrange es su estudio de las formas cuadráticas (cita un trabajo de 1775). El estudio de las formas cuadráticas (expresiones en x, y, con grado 2 en sus términos) es la semilla de multitud de desarrollos que llegan a los tiempos actuales. Lagrange, por ejemplo, estudió qué enteros se podían obtener de una forma cuadrática cuando sus variables adoptaban valores enteros, y mostró la equivalencia entre formas cuadráticas, ante algunas transformaciones. Aparece el grupo modular y sus generadores S y T (notación introducida no por Lagrange sino por Mordell y Rademacher, ya en el siglo XX). Desde comienzo, el libro se despacha con la historia de todo lo que derivó, pasando por Gauss (con resultados que no publicó), Jacobi, Abel, Einsenstein, Dedekind (su paper sobre formas modulares, y las sumas de Dedekind), algunos resultados tempranos de Euler (como su producto), Klein, Hermite, Hurwitz, Hecke y más.
Es justamente Hurwitz el que muestra que las curvas elípticas (que aparecen en la historia LUEGO de las integrales elípticas, y las funciones elípticas (éstas tan estudiadas, por ejemplo, por Abel)), son PARAMETRIZABLES por dos funciones. ¿Qué significa esto? Así como los puntos de una circunferencia (x, y) se pueden expresar por dos funciones periódicos de UN parámetro (sen(t), cos(t)), lo mismo pasa con las curvas elípticas, con dos funciones, esta vez, en vez de ser funciones circulares como el seno y el coseno, son funciones elípticas, CON DOBLE PERIODO (el tema de este doble periodo aparece en muchos de los resultados, como en el grupo modular).
Hurwitz publica este resultado en un conocido "paper", leo en 12.1:
Hurwtiz"s 1881 paper and its 1904 update were regarded during the early twentieth century as providing fundamental foundations for the theory of modular functions. In his 1917 paper on Ramanujan"s conjectures, Mordell wrote in a footnote, concerning Hurwitz"s original 1881 paper, "For an elementary introduction to the modular functions, see Hurwitz . . . ." Again, perhaps because of J. P. Serre"s 1957 lecture on modular forms,2 employing several key ideas from Hurwitz"s 1904 paper, Hurwitz"s proofs of basic results on modular forms have become well known and commonly used. For these reasons, we discuss Hurwitz"s paper in its entirety and provide a translation into English as an appendix.
Vean cómo sus ideas llegan hasta Mordell y Serre, en el siglo XX. Leo algo sobre Mordell (que tan importante fue en el camino de la demostración del Ultimo Teorema de Fermat), leo en 13.1:
Louis J. Mordell (1888–1972) was born in Philadelphia, Pennsylvania, but after secondary
school, he traveled to Cambridge, England, to study mathematics. He took the Mathematical Tripos examinations and went into research in number theory. In 1917, he published a paper on the representations of numbers as sums of an even number of squares in which he utilized the theory of modular forms. According to J. W. S. Cassels, "Mordell was, apparently, the first to treat the representation of integers as the sum of a fixed number n of squares by using the finite dimensionality of the space of modular forms of given dimensions to establish identities thereby unifying the existing mass of results for individual values of n." This paper established Mordell as an expert in elliptic modular functions in Britain. When Hardy drew his attention to Ramanujan"s conjectures, Mordell quickly found the solution within Hurwitz"s work on the multiplier equation. Textbooks generally concentrate on Mordell"s work on the Euler product of delta(ω1, ω2), and it is not usually mentioned that Mordell also considered delta 12/a (ω1, ω2), where a is a divisor of 12. Mordell evidently did not attempt to generalize these results to other modular forms, and this was done almost two decades later by Hecke, then unaware of the earlier work on this topic of Ramanujan and Mordell.
Espero que esto ayude a empezar a ver las múltiples relaciones entre distintas partes de las matemáticas, siendo curvas elípticas una de las puntas del iceberg que sobresale.
Una nota personal: ver que ese factor 12 debe estar relacionado con el 24 de alguna conjetura de Ramanujan y el "lattice" de Leech y grupos esporádicos.
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Publicado el
13 de Agosto, 2018, 11:14
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Publicado el
5 de Agosto, 2018, 13:08
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Nuevo mes, tiempo de escribir las resoluciones mensuales. Antes, una revisión de las del mes anterior:
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También escribí algo más sobre matemáticas:
La Matemática es Diferente, por Ian Steward
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Publicado el
2 de Agosto, 2018, 21:01
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Sigo leyendo libros de Ian Stewart, esta vez, "Significant Figures, The Lives and Work of Great Mathematicians". Me llama la atención su comparación de las matemáticas con otras ciencias en su historia:
ALL BRANCHES OF SCIENCE can trace their origins far back into the mists of history, but in most subjects the history is qualified by ‘we now know this was wrong’ or ‘this was along the right lines, but today’s view is different’. For example, the Greek philosopher Aristotle thought that a trotting horse can never be entirely off the ground, which Eadweard Muybridge disproved in 1878 using a line of cameras linked to tripwires. Aristotle’s theories of motion were completely overturned by Galileo Galilei and Isaac Newton, and his theories of the mind bear no useful relation to modern neuroscience and psychology.
Mathematics is different. It endures. When the ancient Babylonians worked out how to solve quadratic equations – probably around 2000 BC, although the earliest tangible evidence dates from 1500 BC – their result never became obsolete. It was correct, and they knew why. It’s still correct today. We express the result symbolically, but the reasoning is identical. There’s an unbroken line of mathematical thought that goes all the way back from tomorrow to Babylon. When Archimedes worked out the volume of a sphere, he didn’t use algebraic symbols, and he didn’t think of a specific number π as we now do. He expressed the result geometrically, in terms of proportions, as was Greek practice then. Nevertheless, his answer is instantly recognisable as being equivalent to today’s πr3.
Hay ciencias cuyos primeros resultados perduran desde la antiguedad, como la estática desde Arquímedes. Pero otras han ido formando modelos explicativos de la realidad, que luego se cambian por otros, como ahora tenemos las ideas de Einstein que reemplazaron a las de Newton. Pero las matemáticas formas modelos que al no tener que corresponder con una realidad, pueden ser formulados y extendidos sin desecharlos. La geometría de Euclides sigue siendo tan verdadera en su base hace 2000 años como ahora, aun cuando sabemos que no es la geometría a aplicar al mundo físico. Tiene ese encanto la matemática: es el "gran juego" que vamos armando a lo largo de los siglos. Habrá que ver cuanto de esta "creación humana" es creación propia o es descubrimiento de un mundo matemático que existe más allá de nuestra experiencia.
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