Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Febrero, 2007, 10:17

En "Últimos pensamientos", Henri Poincaré describe la geometría métrica y la proyectiva, pero aclara que hay una tercera:

... en la cual la cantidad está suprimida por completo, y que es puramente cualitativa: el Analysis situs. En esta disciplina dos figuras son equivalentes, siempre que podamos pasar de una a otra por medio de una deformación continua, cualquiera sea la ley de esta deformación, a condición de que respete la continuidad. Así, un círculo es equivalente a una elipse o también a una curva cerrada cualquiera, pero no es equivalente a un segmento de recta, porque tal segmento no es cerrado; una esfera es equivalente a una superficie convez cuaquiera pero no es equivalente a un toro, porque en un toro hay una abertura que la esfera no posee. Supongamos un modelo cualquiera y la copia de este modelo realizada por un dibujante poco diestro; las proporciones están alteradas, las rectas, trazadas por una mano tembloroso, han sufrido importunas desviaciones y presentan curvaturas malhadadas. Desde el punto de vista de la geometría métrica, y aun desde el de la geometría proyectiva, las dos figuras no son equivalente; por el contrario , lo son, desde el punto de vista del Analysis situs.

El Analysis situs es una ciencia muy importante para el geómetra. Da lugar a una serie de teoremas tan bien enlazados como los de Euclides, y Riemann ha construido sobre este conjunto de proposiciones una de las teorías más notables y más abstractas del análisis puro. Citaré dos de estos teoremas para hacer comprender su naturaleza: dos curvas planas cerradas se cortan en un número par de puntos. Si un poliedro es convexo, es decir, si no se puede trazar una curva cerrada sobre su superficie sin cortarla en dos, el número de aristas es igual al número de vértices, más el de caras, menos dos; y esto sigue siendo válido cuando las caras y aristas del poliedro son curvas.

Y he aquí lo que despierta en nosotros el interés por este Analysis situs; es que en él interviene verdaderamente la intuición geométrica...

Poincaré junto con Riemann, llevaron a la topología a nuevos rumbos. Es notable el trabajo de Poincaré apelando a topología en el análisis de problemas en física, como el de resolver la estabilidad de las órbitas de más de dos cuerpos. Interesante la mención a la intuición geométrica, sobre la que prosigue más adelante:

... Esta observación bien simple nos muestra el verdadero papel de la intuición geométrica; es para favorecer tal intuición que el geómetra tiene necesidad de dibujar figuras o, por lo menos, representárselas mentalemente. Ahora bien, si desprecia las propiedades métricas o proyectivas de estas figuras, si sólo se atiene a sus propiedades puramente cualitativas, solamente entonces la intuición geométrica interviene verdaderamente.

Ciertamente, la intuición geométrica es parte de nuestras habilidades como seres humanos. Por un lado, estamos orientados a lo métrico: dos ojos en el frente de nuestra cara, nos permiten apreciar distancias, tan importante para la supervivencia en un ámbito de predadores y presas. Por otro lado, nuestras intuiciones métricas son aproximadas. De ahí que tengamos de alguna forma, lo que Poincaré menciona, la intuición geométrica. Agregaría que semejante intuición es una de las más difíciles de incorporar en un programa de computación. Conceptos como "dentro de una curva plana" o "fuera de la curva cerrada" son difíciles de representar y manejar en forma de programa.

Citado en el prólogo de "Introduccíón a la topología combinatoria" de M. Fréchet y Ky Fan, Eudeba.