Angel "Java" Lopez en Blog

Febrero del 2008


Publicado el 29 de Febrero, 2008, 12:45

Sigo recolectando lecturas y comentarios sobre el intuicionismo matemático, pensamiento que trata a los objetos matemáticos como producto de la mente humana. Leyendo la segunda parte de Intuición y Razón, de Mario Bunge, encuentro:

Lo que el intuicionismo matemático debe a Kant se reduce a dos ideas:

a) el tiempo -aunque no el espacio, según los neointuicionistas- es una forma a priori de la intuición y está involucrado esencialmente en el concepto de número, que es generado por la operación de contar;

b) los conceptos matemáticos son esencialmente construibles: no son meras marcas (formalismos) ni son aprehensibles porque tengan una existencia previa (realismo platónico de las ideas), sino que son obra del espíritu humano.

La primera afirmación es inequívocamente kantiana, pero la segunda será aceptada por muchos pensadores no kantianos. Los matemáticos que simpatizan con el intuicionismo matemático tienden a aceptar la segunda tesis, aunque ignoren la primera.

Curiosamente, el tiempo tiene una flecha, y el espacio no. De ahí que se abandone como básico al espacio en el intuicionismo. Intuyo una aritmetización de la geometría, en lugar de tomarla nacida de la intuición de espacio. Imagino que en el tiempo en el que nació el intuicionismo matemático (mucho después de Kant), la existencia de geometrías no euclideanas daba para abandonar como "básica" la geometría común.

El tiempo nos da la base para abstraer el concepto de sucesión. Sigue Bunge, introduciendo a Brower:

Además, la forma en que la intuición del tiempo interviene, según Brower, en la construcción de la matemática es cualquier cosa menos claramente intuible, es decir, inmediata y evidente. En realidad, según este destacado representante del intuicionismo matemático, la intuición primigenia (Urintuition) de la matemática, que es "el fenómeno fundamental del pensamiento matemático", es "la intuición de la desnuda duidad" (en holandés twee-eenigheid, en inglés two-ity o two-oneness) que, por ser una intuición básica, no puede ser elucidada.

Brower no parece hacer sido un escritor claro en estos puntos. Lo que trata de decir, entiendo, es que a partir de la unidad, y la diversidad (aunque sea en su versión mínima, de distiguir dos cosas), intuiciones que tenemos comos seres humanos (capaces de ver "un árbol" separándolo del resto de la realidad, así como de reconocer "dos piedras"), se puede construir el concepto matemático de número natural.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 28 de Febrero, 2008, 14:30

En el libro "El conocimiento humano", Capítulo 12: "Verdad y Falsedad", el bueno de Bertrand Russell investiga la naturaleza de la verdad.

Plantea que hay tres requisitos que busca para descubrir la naturaleza de la verdad:

1) Una teoría de la verdad debe ser tal que admita lo opuesto, la falsedad. Algunas posturas han olvidado este requisito, y luego tienen problemas en explicar cómo un pensamiento o método puede llegar a una conclusión falsa.

2) La verdad o falsedad es de las creencias, no de las cosas y hechos. En un universo donde sólo exista materia, no hay verdad ni falsedad. Estas aparecen con nosotros y nuestras creencias y afirmaciones.

3) Pero, la verdad o falsedad de una creencia o afirmación nuestra, depende siempre de algo que exterior a la creencia misma.

Tal vez discutiría esto último en el caso de opiniones sobre valores y gustos personales. Pero no es a ese tipo de opiniones a los que se refiere Russell con "creencias y afirmaciones": éstas son siempre creencias y afirmaciones sobre hechos.

Alguien podría contraponer contra esta teoría de la verdad como correspondia con hechos, otra teoría basada en la coherencia entre los conocimientos que presente. El problema de esta postura, plantea Russell, es que es posible que un novelista construya todo un mundo coherente y aún ser todo ese mundo un mundo falso. La coherencia no asegura la existencia y correspondencia. Tal vez podamos pedir la coherencia como condición necesaria, pero no suficiente.

Un punto más oscuro, en contra de la coherencia, es, según Russell, que toda idea de coherencia se basa en presuponer la verdad de las leyes lógicas. Escribe

Dos proposiciones son coherentes cuandas ambas pueden ser verdaderas a la vez, e incoherentes cuando una, por lo menos, debe ser falsa. Pero para saber si dos proposiciones pueden ser verdaderas a la vez, debemos conocer verdades como la ley de contradicción. Por ejemplo, las dos proposiciones, "este árbol es un haya" y "este árbol no e sun haya", no son coherentes, a consecuencia de la ley de contradicción. Pero si la ley de contradicción debiera someterse a su vez a la prueba de la coherencia, resultaría que si nos decidiéramos a suponerla falsa, no podría hablarse ya de incoherencia entre diversas cosas. Así, las leyes lógicas proporcionan la armazón o el marco dentro del cual se aplica la prueba de la coherencia, y no pueden a su vez ser establecidas mediante esta prueba.

Por estas dos razones, la coherencia no puede ser aceptada como algo que nos dé el sentido de la verdad, aunque sea con frecuencia una prueba muy importante de la verdad, cuando nos es ya concoida cierta suma de verdad.

Así nos vemos precisados a mantener que la correspondencia conun hecho constituye la naturaleza de la verdad.

Hoy, muchos declaman "no hay hechos sino interpretaciones". Si bien considero saludable tener "awareness" de que todo conocimiento está empapado de algo humano, algo que ponemos nosotros, no veo que esto invalide que detrás de toda creencia, de alguna forma hay un hecho correspondiente, o no, en cuyo caso, la creencia es falsa. No todo es interpretación.

Habría que analizar más en detalle qué es hecho y cuál es esa correspondencia, tema para varios posts.

Concluye el bueno de Russell, cerca del final del capítulo

Como se puede ver, los espíritus no crean la verdad ni la falsedad. Crean las creencias, pero una vez creadas éstas, el espíritu no puede hacerlas verdaderas o falsas, salvo el caso especial en que conciernen a cosas futuras que están en el poder de la persona que cree.... Lo que hace verdadera una creencia es un hecho, y este hecho (salvo en casos excepcionales) no comprende en modo alguno el espíritu de la persona que tiene la creencia.

Como es frecuente, leer a Russell da claridad a mi mente.

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 27 de Febrero, 2008, 14:10

Sigo leyendo partes del libro "Intuición y Razón" de Mario Bunge, donde en su segunda parte trata del intuicionismo matemático:

El intuicionismo matemático se comprende mejor si se lo considera como una corriente de pensamiento originada entre los matemáticos: a) como reacción contra las exageraciones del logicismo y el formalismo; b) como tentativa de rescatar a la matemática de nuestro siglo, como resultado del descubrimiento de paradojas en la teoría de los conjuntos; y c) como producto menor de la filosofía kantiana...

Los logicistas, como los realistas o platónicos medievales, hablan de objetos matemáticos que existen independientemente de mentes capaces de construirlos de manera efectiva, y de proposiciones que existen aun en ausencia de mentes capaces de probarlas. Contra ellos, los intuicionistas matemáticos sostiene que existen -en la mente humana y no en un reino de Ideas platónico (logicismo) o únicamente en el papel (formalismo)- sólo aquellos entes que han sido construidos, y que sólo son verdaderos aquellos enunciados que hemos demostrado de una manera directa o constructiva.

En una nota al pie de página Bunge comenta:

El paralelo entre el logicismos y el realismo (o platonismo) entre el formalismo y el nominalismo (o signismo), y entre el intuicionismo y el conceptualismo, ha sido señalado, entre otros, por Quine, From a Logical Point of View (1953), pp. 14-15

No es la primera vez que me encuentro con nominalismo y conceptualismo, pero no me queda claro todavía lo que afirman.

Contra los formalistas (Kempe, Hilbert y nuestro contemporáneo, el mítico Bourbaki) que, como los nominalistas medievales, sostienen que los que denominamos objetos matemáticos no son otra cosa que marcas que trazamos sobre un papel, los intuicionistas sostienen que los objetos matemáticos genuinos son objetos de pensamiento, y los básicos son intuiciones puras, mientras que los derivados son conceptos.

Como puede observarse, el intuicionismo matemático está más cerca del conceptualismo -que sostendría que "3" es un signo que representa el concepto del número tres y no debe confundirse con este último- que del intuicionismo filosófico. Hasta cierto punto, el intuicionismo matemático es apoyado por algunos matemáticos que reaccionan indignados contra la frívola caracterización de la matemática como un juego de lógica formal (formalismo) o como una mera aplicación de la lógica (logicismo). En este sentido, el intuicionismo matemático es una defensa de la profesión matemática. Desgraciadamente, algunas de las armas de los defensores no son mejores que las de sus atacantes.

No diría que para los formalistas los objetos matemáticos son marcas en un papel. Entiendo que para ellos es las matemáticas son un juego donde las reglas las ponemos nosotros, y no corresponden con algún objeto platónico, ni con algo de la realidad física. Pero así como una partida de ajedrez no es las jugadas en el papel, tampoco para los formalistas una estructura matemáticas es sólo marcas escritas. 

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 26 de Febrero, 2008, 11:38

Andrew Wiles se ha convertido en matemático famoso al haber encontrado, luego de años de trabajo, una demostración del último teorema de Fermat. Basándose en trabajos de anteriores matemáticos, terminó demostrando en 1993 una parte de la conjetura Taniyama-Shimura que implicaba el famoso teorema.

Leamos una explicación en sus propias palabras de forma de trabajo:

Solía subir a mi estudio y comenzar a buscar patrones. Trataba de hacer cálculos que explicaran algún aspecto de las matemáticas. Trataba de ajustarlos a alguna idea anterior más amplia que clarificara el problema particular en el que estaba pensando. Algunas veces ello implicaba revisar en algún libro para ver cómo lo hacían allí. Algunas veces era cuestión de modificar las cosas un poco mediante algunos cálculos adicionales. Y otras veces me daba cuenta de que nada de lo que se había hecho antes iba a servir. Entonces tenía que encontrar algo completamente nuevo: es un misterio de dónde viene eso.

Se trata básicamente de pensar. Con frecuencia uno escribe algo para aclarar sus pensamientos, pero no es necesario. En particular, cuando uno se tropieza con un verdadero punto muerto, cuando hay un problema real que uno quiere superar, el pensamiento matemático rutinario no sirve para nada. En el camino hacia esa nueva idea tiene que haber un período largo de tremenda concentración en el problema, sin ninguna distracción. Uno no puede pensar en nada distinto al problema; sólo concentrarse en él. Luego uno se detiene. Después hay algo así como un período de relajación durante el cual el subconsciente parece hacerse cargo, y es durante ese interregno cuando surgen algunas nuevas ideas.

Mencionado en el libro "El último teorema de Fermat", de Simon Singh.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 25 de Febrero, 2008, 9:46

Sigo leyendo a Martin Gardner, en su excelente "Los porqués de un escriba filósofo", en su capítulo 1, donde trata del realismo, el fanerón (el mundo fenoménico) y las posturas sobre el tema en la historia. Leamos sobre Aristóteles:

Aristóteles sostenía la opinión razonable de que detrás del fanerón hay un mundo de "materia" con una existencia independiente. Esta opinión ha sido sostenida también por casi todo el mundo desde entonces -filósofos, científicos y gente corriente. No nos preocuparemos ahora de qué es lo que aquí entendemos por materia. Existía antes de que existieran los seres humanos y seguiría existiendo si los seres humanos dejaran de existir. Es este mundo exterior el que es causa del mundo interior de nuestras sensaciones, el mundo que percibimos como nuestro fanerón.

Aguante Aristóteles. Un poco de sentido común nacido hace siglos. Pero leamos algo sobre su maestro Platón:

Antes de Aristóteles, Platón no sólo abogaba por la existencia de ese mundo exterior (es el que produce las sombras en la famosa alegoría de la caverna), también sostenía la existencia independiente de ideas universales tales como vaquidad o el número tres, además de la materia y las mentes humanas. Para Aristóteles, los universales no tienen ninguna realidad aparte del universo material, del mismo modo que la forma de un vaso no puede existir aparte del mismo vaso. En la Edad Media este debate tomó usualmente la forma de nominalismo contra realismo platónico, con distinciones terminológicas complejas y matices de opinión sutiles por los que no nos vamos a interesar. Lo importante es que los escolásticos medievales eran "realistas" al creer, como Platón y Aristóteles, que hay un vasto mundo "fuera", detrás del mundo de las apariencias, que no precisa de nuestra percepción para existir.

El problema de Platón es que pone la realidad en algo que no es de este mundo. De alguna forma, hay que entenderlo a Platón: en el medio de los problemas políticos que acosaban a Atenas, busca algo fijo, sólido, donde asentar no sólo el conocimiento, sino también la ética humana. Y lo encuentra no en lo aparente, sino inventando un mundo más allá.

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 24 de Febrero, 2008, 9:58

Visitemos hoy el anteúltimo capítulo del interesante "Los problemas de la filosofía" del bueno de Bertrand Russel, donde encontraremos estos fragmentos, luego de capítulos discutiendo los alcances, pretensiones y límites del conocimiento. Russell nos advierte que no hay un camino a la sabiduría para los filósofos, por ejemplo, basado sólo en la razón. Siempre hay que apoyarse de alguna forma, en conocimiento obtenido de la experiencia (también admite conocimientos a priori, pero ahí yo le discutiría al bueno de Russel, más que conocimiento a priori yo lo llamaría cableado de nuestras operaciones mentales):

Si lo que acabamos de decir es verdad, el conocimiento filosófico no difiere esencialmente del conocimiento científico; no hay fuente especial de sabiduría, abierta a la filosofía y no a la ciencia, y los resultados obtenidos por la filosofía no son radicalmente diferentes de los obtenidos por la ciencia. La característica esencial de la filosofía, que hace de ella un estudio distinto de la ciencia, la ciencia y en la vida diaria, inquiere las incongruencias que pueden hallarse en estos principios, y sólo los acepta si, como resultado de la investigación crítica, no aparece razón alguna para rechazarlos.

Prosigue, advirtiendo sobre las ambiciones de algunas posturas:

Si, como muchos filósofos han creído, los principios que sirven de base a la ciencia, una vez libres de detalles inoportunos, fuesen capaces de darnos un conocimiento relativo al Universo como un todo, este conocimiento tendría el mismo derecho a nuestra creencia que el conocimiento científico, pero nuestra investigación no ha revelado un conocimiento de este género, y, por consiguiente, su resultado ha sido principalmente negativo en lo que se refiere a las doctrinas especiales de los metafísicos más audaces.

Creo que ataca a algunas ideas, por ejemplo a las de Hegel. Luego aclara:

Pero en lo que se refiere a lo que se considera comúnmente como conocimiento, nuestro resultado es fundamentalmente positivo. Rara vez hemos hallado, como resultado de nuestra crítica, razón alguna para rechazar este conocimiento, ni hemos visto razón alguna para rechazar este conocimiento, ni hemos visto razón alguna para suponer al hombre incapaz de la especie de conocimiento que cree generalmente poseer.

Entre tanto pensamiento actual, que pone en cuestión el conocimiento que hemos alcanzado, es reconfortante ver alguien que pone esperanza en nuestras capacidades.

Post donde comentaba algo del mismo libro:

La realidad ahí afuera

Más sobre Bertrand Russell:

http://es.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
http://letras-uruguay.espaciolatino.com/claps/bertrand_russell.htm
Epistemología y teoría del conocimiento

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 23 de Febrero, 2008, 19:32

Leyendo un libro de hace más de cuarenta años, "Partículas y aceleradores", de Robert Gouiran, (en inglés en Amazon como Particles and Accelerators) encuentro en la introducción estos fragmentos:

Aunque en nuestros días se hacen tantos descubrimientos en un año como en cien de antaño, nuestros conocimientos no constituyen más que una etapa y nuestros más asombrosos resultados pronto estarán pasados de moda y polvorientos. Pero el empuje científico es un poder incontrolable y el hombre, destajista del saber, levanta así, penosa pero alegremente, los ladrillos esenciales de su universo. Para alcanzarlo sigue principalmente dos caminos: el del filósofo que examina su espíritu por medio de la dialéctica del ser y no ser y el del físico que ahonda en la materia para encontrar en ella el vacío. El estudio de las partículas fundamentales debe permitirnos averiguar bajo qué sutil forma ha podido surgir de la nada el ser asociado a su anti-ser, y cómo vuelve a ella con el fin de saber qué es este "polvo" del que estamos hechos. Y no sólo polvo de materia, sino también de espacio, ya que el físico va a tratar de encontrar cuál puede ser el punto más pequeño posible que pueda imaginarse. La continuidad del espacio y del tiempo es un concepto antiguo que ninguna teoría moderna puede utilizar o justificar, y un punto imaginario no puede carecer de dimensión, pues no sería más que una nada o un infinito de energía.

Vemos que ya entonces, los descubrimientos en física fundamental surgían de manera acelerada. Menciona al vacío, un tema que es centro de interés en las teorías actuales. Es interesante que Gouiran afirme que no hay cabida en las teorías de entonces (y podemos afirmar, en las actuales) a la continuidad, al infinito pequeño o al infinito de energía. Me recuerda el post "El horror al infinito".

Seguimos leyendo:

Los constituyentes de la materia, tales como las partículas estables, el protón y el electrón, ocupan un mínimo espacio que varía inversamente con la masa de la partícula. Pero si se la acelera, esta masa aumenta siguiendo los principios de la relatividad, y de este modo disminuye el espacio en que se pueda encontrarla, lo cual es una de las paradojas de la mecánica cuántica. Cuanto más de prisa va, más sutil y penetrante se vuelve, y más se espera medir distancias cada vez más pequeñas. He ahí uno de los motivos de interés de los aceleradores de partículas.

Hace entrada algunos de los resultados de la mecánica cuántica: el principio de incertidumbre aplicado al comportamiento del "espacio ocupado" por una partícula. Más adelante, sigue:

Aunque el elemento de materia tenga, pues, una extensión, no existen contornos netamente definidos. Pues aunque la energía presenta el discontinuo aspecto de los cuantos, el paso del exterior al interior del punto se hace de una manera continua por densidad creciente. No existen límites claros, y en realidad toda partícula ocupa todo el Universo; pero la probabilidad de encontrarla está concentrada casi por completo en un pequeño espacio. Existe una fundamental incertidumbre en cuanto al tamaño del objeto.

Ocurre lo mismo con "el instante", ese momento del tiempo, que no puede reducirse a cero sin correr el riesgo de ver cómo emergen de nuevo energías infinitas del vacío, como veremos en las relaciones de incertidumbre de Heisenberg. No parece posible definir tiempos inferiores a 10 ^ -23 segundos, un tiempo tan pequeño que comparado con una millonésima de segundo está en la misma relación que esta millonésima con diez mil millones de años, casi la edad de nuestro Universo. ¿Puede tener un significado físico un tiempo tan pequeño? No, ya que corresponde a fluctuaciones de energía que precisamente son las de las partículas fundamentales que vamos a estudiar.

Es tema que se sigue discutiendo hoy: lo que ocurre o no, en tiempos o espacios ínfimos. Cuarenta años después, tenemos muchos conocimientos nuevos acumulados, pero de alguna forma, seguimos con las mismas preguntas fundamentales.

(Curiosamente, Robert Gouiran aparece mencionado en un texto sobre vikingos en Paraguay, en un ejemplo de mención de cita fuera de contexto:

In the September/October 1966 edition of the magazine Planeta, French physicist Jerome Cardan reported that since 1965, according to CERN nuclear scientist Robert Gouiran, the United States had been conducting "serious investigations" towards admitting "the existence of at least one other universe co-existent with our own, and that a scientific announcement was to be made soon."

http://www.dark-truth.org/okt19-2006-12.html

)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 22 de Febrero, 2008, 0:10

El editor y fundador de Red Tienda, Erik G. Olsson, nos acerca en su newsletter #98 estas leyes de sus antepasados, leyes vikingas les dice:

§1 SE VALIENTE Y AGRESIVO

Se Directo
Atrapa Todas Las Oportunidades
Usa Métodos Variados De Ataque
Se Versátil Y Ágil
Ataca Un Objetivo A La Vez
No Planifiques Todo En Detalle
Usa Herramientas De Alta Calidad

§2 MANTENTE PREPARADO

Conserva Herramientas En Buenas Condiciones
Mantente En Forma
Encuentra Buenos Compañeros de Batalla
Ponte De Acuerdo En Puntos Importantes
Escoge Un Jefe

§3 SE UN BUEN COMERCIANTE

Averigua Lo Que El Mercado Necesita
No Prometas Lo Que No Puedes Cumplir
No Cobres Demasiado
Arregla Las Cosas Para Que Puedas Regresar

§4 MANTÉN EL CAMPO EN ORDEN

Mantén Las Cosas Ordenadas Y Organizadas
Organiza Actividades Agradables Que Fortalezcan Al Grupo
Asegúrate De Que Cada Uno Haga Un Trabajo Útil
Consulta A Todos Los Miembros Del Grupo Para Consejos

Más información en

http://www.redtienda.com/newsletter98.htm

Tienen un curso gratis para explicar su oferta de sitio para ventas:
CURSO GRATIS DE ECOMMERCE:
"Cómo Comenzar A Vender Tus Productos En El Internet"
http://www.redtienda.com/curso.htm

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 21 de Febrero, 2008, 9:11

Sigo leyendo a Mario Bunge, su libro "Intuición y Razón". Bunge describe una de las tesis principales del intuicionismo matemático. Ya había escrito

Intuición sensible en matemáticas
Intuición según Bunge

Leemos a Bunge, enunciando una primer tesis del intuicionismo matemático:

Las leyes de la lógica no son a priori ni eternas contrariamente a lo que sostiene el logicismo. Son hipótesis que el hombre formuló al estudiar el lenguaje por medio del cual expresaba su conocimiento de conjuntos finitos de fenómenos. Por consiguiente, las leyes de la lógica no deben considerarse como principios reguladores inmutables, sino como hipótesis corregibles que pueden fallar en relación con nuevos tipos de objetos, por ejemplo los conjuntos infinitos.

Es una gran tesis. En mi postura, la lógica, como la geometría, puede tomar varias formas, y habrá que ver cuál corresponde con la realidad, y cuáles de las formas son fructíferas para nuestro pensamiento. Es interesante notar que en esta tesis, se mencionan los conjuntos infinitos. Kronecker, al que se considera uno de los "pre-fundadores" del intuicionismo matemático, fue uno de los matemáticos que renegó del infinito, incluso de los infinitos números naturales, tomando sólo como base firme a la sucesión de naturales, sin aceptar nunca tomar al conjunto "completo" de una sola vez.

Comenta Bunge sobre esta tesis:

Esta concepción de la naturaleza y el status de la lógica, lejos de ser filosóficamente intuicionista, podría ser compartida por empiristas, pragmatistas, materialistas e historicistas. La historia de las paradojas lógicas y matemáticas nos debería advertir que esta tesis es digna de atención. Nada nos asegura que en el futuro no tengan que hacerse nuevas modificaciones radicales en la lógica formal con el fin de adecuarla mejor a los mecanismos inferenciales reales y a nuevos e imprevisibles tipos de entidades y operaciones. Más aún, cierto números de matemáticos y lógicos (baste recordar a Lewis, Gentzen, Carnap, Reichenbach y Tarski) han propuesto nuevas formulaciones de las relaciones de implicación y deducibilidad. Muchos están comenzando a dudar de que la lógica ordinaria sea una reconstrucción adecuada de la sintaxis del lenguaje ordinario o aun del científico.

Bien, una cosa es la lógica relacionada con el lenguaje, y otra con la realidad. Creo que el lenguaje humano ha sido creado de forma que no puede reflejar sin vaguedades y ambigüedades lo que queremos transmitir. Así que la búsqueda de nuevos lenguajes, aún pictóricos, o de la lógica formal, son bienvenidos. El tema de las "nuevas lógicas" ha sido bastante tratado en el siglo XX, y Bunge enumera algunos protagonistas de ese movimiento. No entiendo a qué se refiere con "los mecanismos inferenciales reales". Puede que se refiera a cómo funciona nuestra mente realmente, y no a "cómo funciona" la realidad. Recordemos la geometría: nuestra mente "funciona" como euclidiana, pero bien puede ser que la realidad no "funcione" de esa manera.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 20 de Febrero, 2008, 10:49

Sigo leyendo el clásico de Eric Temple Bell, "Historia de las matemáticas" (el libro más conocido de Bell es Men of Mathematics), excelente lectura. La historia de las matemáticas es fascinante. Como en estos días estoy viendo algunos temas relacionados con la Teoría de Galois, estuve leyendo sobre la influencia de esas ideas en la historia. Al final de un excelente capítulo X "La aritmética generalizada", Bell se permite discutir sobre cómo la sociedad trataría hoy a genios como Gauss, Abel o Galois, comparándolo con su época (cerca 1945):

... qué haría la "sociedad" hoy día por un Gauss, un Abel, o un Galois. Estadistas, y entre ellos Disraeli, han dicho que la sociedad es un asno; inspeccionándola más de cerca se revela como una abstracción nebulosa. Sin embargo, nos valdremos de aquel primer término, porque casi todo el mundo tiene una imagen clara de lo que significa.

Gauss, hijo de un jornalero y sin un centavo, fué educado por la sociedad representada por el duque de Brunswick. Hoy día hubiera sido educado a expensas del estado, por lo menos en Estados Unidos.

Abel, sin duda, hubiera sido enviado por las autoridades sanitarias municipales a un sanatorio donde quizá se hubiera curado.

Galois con casi absoluta seguridad no sería considerado persona respetable, estaría bajo la custodio de la policía por algún motivo inventado, o en un campo de concentración. Hay muy pocas pruebas de que los maestros sean hoy menos impotentes ante la incómoda presencia de un cerebro de extraordinaria inteligencia, de lo que eran en tiempos de Galois, aunque los custodios del derecho y del orden sean menos nerviosos de lo que fueron cuando sentenciaron a Galois a seis meses de cárcel por un tecnicismo legal. La fábula de Esopo del pavo real y los cuervos contiene  un elemento de permanencia: tú eres diferente de nosotros; márchate o te desplumamos.

Sin embargo, la sociedad ha aprendido algo que no sabía cuando permitió que Galois malgastara su vida en un duelo. No se consideraba a Galois "radical peligroso" a causa de sus matemáticas, sino a causa de su política que ahora nos parece extrañamente respetable. Era republicano, y con ese motivo se ofreció una recompensa por su captura. La sociedad de la realeza estaba preocupada por la continuada seguridad de su prolongada decadencia. Cuando consideramos los intereses de los individuos que componen la sociedad, ésta, de manera muy sensible, y poco después de 1830, fue completamente indiferente a las ideas revolucionarias que Galois tenía en matemáticas. Pero, poco despues de 1920 la sociedad descubrió que una teoría puramente matemática, la relatividad o la biometría, para ser concretos, puede encerrar peligrosas amenazas para el modo político de pensar. En Rusia se consideró con sospecha a la biometría; en Alemania a la relatividad. Parece, pues, injusto decir que la sociedad ha permanecido estacionaria desde que en 1832 eliminó a Galois.

Como en muchos párrafos de su libro, Bell aprovecha un hecho de la historia, para llevar agua para su molino. Imagina a Galois en un campo de concentración (Bell escribe esto durante la segunda guerra mundial). Y llama la atención sobre el rechazo de algunas ideas científicas, por razones políticas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 19 de Febrero, 2008, 10:32

Ayer escribía sobre el libro de Martin Gardner, "Los porqués de un escriba filósofo" (Tusquets Editores, "The Whys of a Philosophical Scrivener", y el concepto de mundo fenoménico, que Pierce bautizó "el fanerón" (ver El solipsipmo, según Martin Gardner). Leeamos a Gardner comentando sobre una idea de Reichenbach:

Uno de los razonamientos más pintorescos a favor de la existencia de un substrato tras el fanerón se lo debemos a Reichenbach.... Tomando el ejemplo de la caverna de Platón, Reichenbach imagina que nuestro universo consiste en una inmensa caja cúbica de caras traslúcidas. Fuera de la caja revolotean pájaros, pero lo único que pdemos ver son sus sombras sobre las caras del cubo. De entrada  pensamos que las sombras son la única realidad. Pero a la larga, después de observar numerosas regularidades en las formas cambiantes de las sombras, aparece un Copérnico que enuncia la hipótesis osada de que las sombras son producidas por objetos -pájaros, en este caso- que existen fuera de la caja.

Imaginad que el cubo se contrae hasta convertirse en nuestra piel. Tenemos entonces, dice Reichenbach, una analogía útil con la experiencia humana. Es evidente que todo lo que sabemos acerca del mundo exterior a nosotros lo inferimos a partir de algo que está dentro de nuestra piel, o mejor dicho, dentro de nuestro cráneo, donde se interpretan los datos sensoriales. Pero las regularidades de estos datos, tales como las formas de los pájaros en nuestras retinas, nos sugieren la hipótesis de que más allá de nuestros ojos hay un mundo independiente de nuestra experiencia interior. Esta hipótesis tiene un poder de explicación y de predicción enorme. Además, es una teoría de una simplicidad extrema y por ende, por el principio de la navaja de Occam, preferible a explicaciones más complejas. La hipótesis está confirmada empíricamente de la misma manera que cualquier otra teoría. En efecto, está mejor confirmada porque todos los seres humanos, a lo largo de la historia, la han confirmado en cada instante de su vida. No podemos decir que sea una hipótesis absolutamente cierta, pero seguramente está tan cerca de ser verdad como cualquier cosa que tengamos derecho a creer.

No es correcto, continúa Reichenbach, decir que esta hipótesis no tiene más valor que la concepción subjetivista. En primer lugar, significa algo completamente distinto para la persona que hace la afirmación. Una cosa es pensar que lo único que hay son las sombras de los pájaros sobre las caras del cubo de Reichbach, otra completamente distinta creer que son sombras de algo exterior al cubo, y otra aún más distinta pensar que no tiene sentido preguntarse cuál es el punto de vista verdadero. Por supuesto que nunca le podremos demostrar a un fenomenologista que las sombras son producidas por unos pájaros en el exterior. Aun en el caso de que practicáramos un agujero en el techo y viéramos los pájaros revoloteando, él podría mantener aún que los pájaros no son sino ilusiones producidas por las sombras y por ende menos reales que éstas. A su teoría podemos asignarle, sin embargo, una probabilidad prácticamente nula de ser verdadera.

Interesante la metáfora de Reichenbach. Me recuerda a algo que había escrito en este blog, más orientado a una visión de la física, hace más de un año, en Que es la realidad:

Agrego, algo insertada a fuerza, una metáfora, que imaginé hace ya tiempo, con reminiscencias de la caverna de Platón. Sea un cubo en el espacio, y una luz detrás del él. Proyecta una sombra sobre el piso, una sombra extraña, un polígono irregular. Los habitantes del piso, sólo conocen dos dimensiones, y para ellos el piso es el universo. Ven que en su universo, hay zonas claras y oscuras. Van descubriendo la medida. Miden ángulos y lados del polígono. No saben explicar su aparición. Y ahora, la luz se mueve, el polígono cambia, más desconcierto entre los planares. El problema último de su ciencia, de su teoría del todo, debería explicar la forma del polígono, sus ángulos y lados, y su evolución. Lo que para ellos es el ángulo A, para nosotros es la carga del electrón. Lo que para ellos es el largo de un lado b, para nosotros es la constante de estructura fina. Quizás nuestras constantes no sean tan constantes, como a ellos les cambian los ángulos, tal vez a nosotros nos cambien las constantes. Pero aún en los valores iniciales, y en el cambio, hay una relación oculta: todo es la sombra de un cubo según una luz. La ciencia física está tratando de encontrar el modelo que ligue todos los valores arbitrarios de nuestro universo, que explique su aparición y su valor. Vemos sólo la "sombra" del universo, no nos hemos dado cuenta aún, de cúal es el cubo, y dónde está la luz...

Mi postura, es que hay "algo" detrás del mundo fenoménico, detrás del fanerón. Esa es mi posición ontológica, podríamos decir. Habrá que discutir la posición gnoseológica: ¿podemos y cómo y cuánto, conocer qué hay detrás del fanerón? La razón, o la intuición, en solitario, no nos llevarán más allá. Debemos apoyarnos en las tres, en la contrastación con la experiencia, la ayuda de la ciencia (que nos permite "ver" más allá de los sentidos) y la actitud filosófica para discutir lo que vayamos urdiendo, que nos pone "aware" de nuestra naturaleza humana, y nuestra tendencia a interpretaciones humanas, muy humanas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 18 de Febrero, 2008, 10:59

En el excelente y muy recomendable libro de Martin Gardner, "Los porqués de un escriba filósofo" (Tusquets Editores, "The Whys of a Philosophical Scrivener", encuentro un primer capítulo, donde Gardner explica su postura ante el realismo, titulado "El mundo: por qué no soy solipsista".

Escribe Gardner:

El solipsismo es la creencia insensata de que sólo existe uno mismo. Todas las otras partes del universo, incluida la otra gente, son ficciones insubstanciales de la mente de la persona individual, que es lo único verdaderamente real.

Yo encuentro esta postura, muy cercana a la que sostiene la gente cuando dice "la realidad es como yo la veo". El "yo" aparece como constructor, parte indispensable, de la realidad.

Es casi lo mismo que pensar que uno es Dios, y que yo sepa, nunca ha habido un auténtico solipsista que no acabara en una institución mental o que en el pasado no fuera considerado loco.

Guardo la esperanza que alguna vez se considere loco a cualquiera que enuncie eso de "la realidad es como yo la veo"... :-).

Prosigue Gardner:

¿Por qué, pues, perder el tiempo comenzando mi confesión con un capítulo que trata de por qué no soy solipsista?

Y acá se despacha con un interesantísimo capítulo, donde llega a tratar el tema del realismo. Avancemos hoy en algunos párrafos.

Una de las razones es que muchos filósofos han sostenido que no hay ninguna manera racional de refutar el solipsismo; que la creencia en que tanto la otra gente como un mundo exterior existen ha de estar basada en una especie de "fe animal", o que quizás no es más que un postulado que uno ha de hacer para no volverse loco, o porque es conveniente.

Y acá viene un punto importante, por lo menos para mí, donde Gardner destaca la aparición de nuevas posturas cercanas al solipsismo:

En los últimos años se ha reavivadoo el interés por unas ideas que, si bien distan de ser solipsistas, están fuertemente teñidas de argumentos solipsistas. Curiosamente, dichas opiniones son expresadas a veces por físicos eminentes interesados en las implicaciones filosóficas de la mecánica cuántica. En este capítulo trataré de desenmarañar algunos de los enredos lingüísticos de este antiguo debate y adoptaré una actitud clara que es esencial para todas las convicciones que expondré en el resto del libro.

Todo pensador debe enfrentarse alguna vez al tema del realismo. Gardner lo enfrente directamente desde el principio.

A Bertrand Russell le gustaba recordar una carta que había recibido de una respetable lógica, Mrs. Christine Ladd-Franklin, en la que ella manifestaba ser solipsista. Dicha doctrina le parecía tan irrefutable, añadía, que no podía comprender por qué no lo eran también otros filósofos. En un sentido trivial, el solipsismo es, en efecto, irrefutable. Todos somos prisioneros de lo que se ha dado en llamar nuestro "predicamento egocéntrico". Todo lo que sabemos del mundo se basa en información que recibimos por nuestros sentidos. Este mundo de nuestra experiencia -la totalidad de lo que vemos, oímos, gustamos, sentimos y olemos- es lo que se llama a veces nuestro "mundo fenoménico". Evidentemente, no hay ninguna posibilidad de percibir nada más que aquello que puede ser percibido, ni de experimentar cualquier cosa aparte de aquello que puede ser experimentado. Charles S. Peirce inventó un término útil para este mundo fenoménico. Lo llamó el "fanerón".

Este es un término que no conocía, y es importante. Las posiciones filosóficas se dividen entre quienes hay fenómenos pero nada más, o quienes afirman que los fenómenos corresponden a "cosas en sí", númenos que están "por abajo", o quienes dicen que no importa la diferencia (notable posición).

¿En qué podemos basarnos para creer que existe algo afuera de nuestro fanerón particular? Admitamos que una vez que no hay forma de demostrar a un solipsista (en el caso improbable de que alguna vez nos encontremos con uno) que existen cosas fuera de su fanerón, entendiendo por "demostrar" lo mismo que se entiende cuando se demuestra un teorema en lógica o en matemáticas. La situación es peor aún. Como han señalado a menudo los filósofos, no hay modo de que un solipsista pueda demostrar, ni tan siquiera a sí mismo, que él existía antes de ayer. Quizás él y todo su mundo fenoménico, incluida la totalidad de su memoria, entraron en la realidad el martes pasado. Ni tampoco puede demostrar que él y su fanerón existirán después del jueves próximo. Así pues, uno ha de conformarse finalmente con lo que se ha dado en llamar "solipsismo del momento". Uno sólo puede estar seguro de que "existe ahora", el punto de partida de la filosofía de Descartes.

Pero, ¡un momento! Ni tan siquiera esto es seguro. Quizá, queridos lectores, no sois más que una ficción en el sueño de algún dios, igual que Sherlock Holmes fue una ficción en la mente de Sir Arthur Conan Doyle. Hay hindúes que creen que el universo entero, nosotros incluidos, es un sueño de Brahma, y dejará de ser real inmediatamente después que éste desperte. Alicia, detrás del espejo, pensaba que era ella la que estaba soñando con el Rey Rojo. Pero el Rey Rojo se pasa todo el cuento durmiendo, y alguien le cuenta a Alicia que ella no es más que una "especie de algo" en el sueño del Rey Rojo. Una vez, en una de las clases de filosofía de Morris Cohen, un estudiante levantó la mano para preguntar: ¿Cómo sé que existo? A lo que el profesor Cohen replicó: ¿Quién ha preguntado?

Como todo nuestro conocimiento del mundo y de la otra gente se deriva de la información que se filtra en nuestra conciencia a través de los sentidos, no hay ninguna manera acorazada de refutar el solipsismo. Con "acorazada" quiero decir una manera estrictamente lógica. No hay ninguna manera absoluta de refutar nada que no pertenezca a la lógica pura o a la matemática, y aun ahí la refutación siempre se hace de acuerdo a un sistema formal de axiomas y reglas aceptados por convenio. Aceptad los axiomas y reglas de la geometría euclídea y podréis refutar la afirmación de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados. Pero esto no difiere en mucho de refutar la afirmación de que hay siete huevos en media docena. Sin embargo, a pesar de esa irrefutabilidad en sentido estrico, ningún filósofo sensato ha sido solipsista. ¿Por qué?

Esa es una gran prengunta, que plantea Gardner. En el resto del capítulo, y de gran parte del libro, explica las razones para el rechazo del solipsismo, en gran parte acudiendo a la historia. Otros pensadores ya le dedicaron tiempo al problema, y Gardner va planteando sus posturas. Espero poder seguir "blogueando" sobre el tema.

Interesante que mantenga que aún la lógica es convención. Desde la aparición de las geometrías euclidianas, hay una tendencia a ver también a la lógica como una convención, que bien puede que corresponda o no a lo que sucede en la realidad, de la misma forma que bien puede ser euclidian o no la geometría a aplicar en los temas físicos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 17 de Febrero, 2008, 21:23

Se ha manejado, durante gran parte de la historia humana, que algunas proposiciones matemáticas son intuitivas, como los axiomas de Euclides. Hemos tenido que esperar a los desarrollos de los siglos XIX y XX para encontrarnos que la situación no es tan clara: hay geometrías no euclideanas, tan consistentes como la del bueno de Euclides.

De ahí, el nacimiento de una desconfianza en la intuición, que me parece saludable, siempre que no se llegue a extremos. Ya vimos que intuición es un término amplio (ver Intuición según Bunge). La intuición, en general, es una herramienta, no un camino seguro. Para avanzar hacia alguna verdad, debe estar acompañada de la razón, y en el caso de verdades no matemáticas, de corroboración con la realidad.

En el caso de las matemáticas, sigamos leyendo a Mario Bunge, en su libro Intuición y Razón, refiriéndose a una clase de intuición, la sensible:

La intuición sensible y la intuición geométrica (capacidad para representación espacial o imaginación visual) hoy tienen pocos defensores en la matemática, porque se ha demostrado de una vez por todas que son tan engañosas lógicamente como fértiles heurística y didácticamente....

Un temprano ejemplo de las limitaciones de la intuición geométrica fue la invención de las geometrías no euclideanas. Un ejemplo posterior lo constituye la prueba de la existencia de una infinidad de fracciones entre dos fracciones dadas, cualesquiera sea la proximidad de ambas.... Otros ejemplos son las curvas continuas sin tangente y las curvas que llenan toda una región del plano; las superficies de una sola cara; los números transfinitos, y la correspondencia biunívoca entre los puntos de un segmento y los de un cuadrado, lo cual va en contra de la noción "intuitiva" de dimensión.

Prosigue:

Hoy se comprende que los entes, relaciones y operaciones matemáticas no se originan todos en la intuición sensible; se advierte que son construcciones conceptuales que pueden carecer por completo de correlato empírico, aunque algunos de ellos puedan servir como auxiliares en teorías acerca del mundo, por ejemplo la física. También se reconoce hoy que la evidencia no sirve como criterio de verdad y que las pruebas no pueden ofrecerse por medio de figuras solamente, pues los razonamientos son invisibles. En particular, ya no se exige que los axiomas sean "evidentes"; por el contrario, en razón de ser casi siempre más ricos que los teoremas para explicar los cuales han sido inventados, los axiomas suelen ser menos "evidentes" que los teoremas que originan, y, por tanto, tienden a aparecer más tarde que los teoremas en el desarrollo histórico de las teorías. Por ejemplo, es más fácil obtener teoremas sobre triángulos equiláteros que establecer proposiciones generales acerca de los triángulos.

Es interesante que mencione lo de construcción conceptual, y lo de falta de correlato empírico. No todos los matemáticos, creo, tienen esta postura. Sigue Bunge, para presentar el intuicionismo matemático:

Luego del fracaso de las intuiciones sensibles y espacial (o geométrica) como guías seguras para la construcción matemática, debía ensayarse la llamada intuición pura; y puesto que la intuición pura del espacio kantiana llegó a ser sospechosa hasta para algunos neokantianos, como Natorp y Cassirer, era menester ensayar la intuición pura del tiempo, o de la sucesión. Esta tentativa fue llevada a cabo por el llamado intuicionismo matemático (o neointuicionismo, como prefiere ser denominado). El neointuicionimo está lejos de ser una puerilidad o una mera declamación antiintelectualista. Por el contrario, constituye una respuesta a legítimos y difíciles problemas que han preocupado a pensadores serios y profundos como Henri Poincaré (1854-1912), Hermann Weyl (1885-1955), L.E.J.Brouwer (1881-1966) y Arend Heyting (1898-1966), respuesta que es ciertamente controvertible y en algunos aspectos incluso peligrosa para el futuro de la ciencia.

Bien, tengo que estudiar algo sobre intuicionismo matemático, y sorprende el final de la última frase de Bunge. Se refiere a puerilidad y declamación antiintelectualista, porque antes, en el mismo libro, ha debido tratar a intuicionismos filosóficos, como el de Bergson y Dilthey.

Fragmento tomado del libro mencionado, parte II, El intuicionismo matemático, capítulo 1, Las fuentes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Febrero, 2008, 9:56

En estos días, encontré estas frases:

“La ética sin ciencia es ciega, y la ciencia sin ética es coja".

“Sin cultura ética --basada en el amor y la cooperación; no en la rivalidad, la competencia o el deseo de poder-- difícilmente habrá solución a los grandes problemas de la humanidad".

“Sin cultura ética, el desarrollo de la tecnología será como un arma peligrosa en manos de un niño".

“Sin cultura ética, no habrá riqueza en el interior de los hombres. Si uno necesita lujos y placeres excesivos es porque su interior esta vacío".

“Es necesaria una intensa y urgente difusión de las nociones básicas de la ética, para que se comprenda que los problemas humanos no se resuelven por la violencia o el poder sino mediante facultades superiores, latentes en todos los seres humanos”.

Son frases pronunciadas por Mischa Cotlar, matemático, humanista, en una visita a mi país, Argentina, en abril de 2006. Recibía entonces el premio Senador Domingo Faustino Sarmiento. Nacido en Ucrania, en 1913, supo viajar y vivir en distintos paises, dejando siempre un legado humano y de conocimiento.

Conocía a Cotlar como un apellido más, de matemático. No conocía su pensamiento, y su historia de vida, su relación con Argentina. Encuentro en el blog de Hugo Scolnik, un personal recuerdo:

Recuerdos de Mischa Cotlar

Leemos ahí:

Ingresé a Exactas de la UBA en 1959 luego de un secundario horroroso, y un difícil comienzo en Ingeniería. Encontrarme de repente con gente que creaba, y que por lo tanto no eran meros repetidores de libros o apuntes obsoletos, constituyó una experiencia inolvidable. Uno era obviamente Mischa, recién llegado al país. Lo conocí en el Aula Magna cuando iba a dar mi primer examen (Algebra, dada por Cora Ratto de Sadosky, cuyo libro con Mischa fue y es un clásico). Una alumna estaba dando oral con Oscar Varsavsky, profesor temible. Y estaba aterrorizada. Mischa la rescató, se sentó con ella detrás mío, y le explicaba con santa paciencia, cosa que Varsavsky le criticó más tarde. Realmente no sabía nada, pero luego entendí que Mischa pensaba que todos eran “rescatables”.

Lean el "post" de Scolnik, lleno de detalles de vida.

Una entrevista a Cotlar, del 2001:

Los caminos de un matemático

Ahí encontramos:

El compromiso social de Cotlar

Cualquier comentario acerca de Mischa Cotlar que excluya su militancia humanista contiene una carencia insalvable, porque su preocupación para que los científicos asuman responsabilidades ante la sociedad formó parte de una prédica incansable que lo llevó a integrar distintas organizaciones internacionales que luchaban por la paz, en tiempos de la guerra fría y la amenaza nuclear.

«Si la humanidad progresó en temas como los derechos humanos fue porque hubo gente con ideas nobles que despertaron la conciencia de los que estaban a su alrededor, porque alguien alguna vez ayudó, le dio una mano desinteresadamente a otros» ilustra Cotlar.

Para «Mischa», la desaparición de la guerra fría no provocó grandes cambios:

«Sigue habiendo científicos que trabajan para la destrucción, para incrementar el poder de matar de los poderosos. Si los científicos y técnicos se negaran a desarrollar el armamento que cada día es más mortífero y preciso, el mundo sería muy distinto y no tendríamos lo que vemos hoy en día, donde mueren tantos inocentes que no tienen nada que ver con el conflicto mientras que los responsables quedan a salvo».

Testimonios en recuerdo de Cotlar, de Octubre de 2007, en:

An Afternoon in Honor to Mischa Cotlar

Por ejemplo, el recuerdo de Cora Sadosky:

On the life and work of Mischa Cotlar

Imágenes de su vida:

Web site with images of Mischa Cotlar

Una biografía en español:

Mischa Cotlar, Notas biográficas y bibliografía

Las frases que mecioné al principio, tomadas de su conferencia del 2006, y más detalles, en el artículo de Rodolfo Terragno:

Mischa Cotlar, testamento de un sabio

Terragno recuerda su muerte, en el 2007:

Doscientos ochenta días más tarde, Cotlar murió. Fue el martes 16 de enero. El acontecimiento no irrumpió en las primeras planas de los diarios, ni fue anunciado en los noticieros.

Pocos sabían que Mischa era un sabio. Pocos sabían que era un patrón moral.

Ciertamente, en los diarios de mi país no aparecen estas cosas....

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Febrero, 2008, 17:45

En estos días, estoy estudiando algunos detalles de álgebra abstracta: algo de grupos, y algo de anillos y cuerpos. Cuando se investigan esos temas, uno se topa con la elegante teoría de Galois, a la que todavía tengo que comprender completamente.

Evaristo Galois fue un matemático francés (1811-1832) que murió joven, antes de cumplir veintiún años, cayendo víctima de un duelo. En su corta vida, produjo ideas que dieron nacimiento al álgebra moderna, alcanzando nuevas alturas de abstracción. Tanto la teoría de grupos como el álgebra abstracta más general, se vieron alimentados por las ideas de Galois. La llamada teoría de Galois trata de conocer cuales polinomios sobre un campo pueden tener solución por aplicación de radicales y operaciones comunes. Para resolver esos polinomios, la teoría transforma el problema a un problema de grupos, asociando a cada ecuación a resolver un grupo de Galois, y consigue determinar qué grupos de Galois corresponden a ecuaciones resolubles por esas operaciones.

En la versión más moderna de la teoría, se parte de campos, extensiones de campos, y otros conceptos, derivados de las estructuras de campo y anillo.

Investigando en la red, encontré estos recursos:

El libro de James Milne, es un clásico, y se puede obtener en formato PDF desde:

Fields and Galois Theory

No dejen de visitar el sitio de Milne

http://www.jmilne.org
http://www.jmilne.org/math/index.html
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594f.html

Otro libro en PDF, de Andrew Baker:

An introduction to Galois Theory

De nuevo, no se pierdan la página de Baker:

http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/

con más información sobre grupos, grupos de Lie, espectros de anillos, topología, y hasta la conjetura Moonshine.

Un resumen de conceptos de Algebra abstracta en:
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/

Todo sobre Galois, su vida, su obra, documentación, enlaces, su teoría en:
http://www.galois-group.net/
http://www.galois-group.net/g/EN/theory.html
http://www.galois-group.net/g/EN/intro.html

Teoría de Galois en Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois

Un libro (de papel) clásico, el de Cox:
http://www.cs.amherst.edu/~dac/galois.html

La teoría de Galois en Wolfram:
http://mathworld.wolfram.com/FundamentalTheoremofGaloisTheory.html
http://mathworld.wolfram.com/GaloisGroup.html
http://mathworld.wolfram.com/SplittingField.html

Una prueba de la teoría de Galois:
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=5958

Me pareció muy interesante el post de John Baez sobre fìsica, simetrías, y Galois en:
http://math.ucr.edu/home/baez/week201.html

Grupos de Galois en Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_group

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 12 de Febrero, 2008, 12:09

Hace un par de años, conseguí un libro que me intrigaba, y que sigo leyendo, en algunos momentos. Es "Leyendo a Euclides", de Beppo Levi, donde explica la situación de la matemática y en especial, la geometría, en el pensamiento griego, centrado en el texto clásico de Euclides. Con este libro, conocí que Levi, matemático, había vivido sus últimos años en mi pais, Argentina. La edición está prologada por Mario Bunge, que conoció a Levi personalmente. Leamos un fragmento:

Beppo Levi (1875-1961) fue un matemático tan versátil como distinguido. Aunque trabajó principalmente en Geometría Analítica, hizo importantes incursiones (o correrías, como él mismo las llamaba) en otros campos, tales como el Análisis Matemático, la Teoría de Números, la Teoría de Conjuntos, la Lógica, y la Didáctica de la Matemática. Semejante universalidad es inconcebible hoy día, en parte porque se sabe tantísimo más, y en parte porque se sobreestima la especialización, sin reparar en que las fronteras entres las disciplinas son en parte articiales.

Se ha dicho que, entre 1897 y 1909, Levi partició activamente en todos los nuevos desarrollos de la matemática de la época (Schappacher y Schoof 1996). Su nombre aparece asociado, directa o indirectamente, con los nombre de casi todos los grandes matemáticos de su tiempo, entre otros Hilbert, Lebesgue y Poincaré. Además, sus contribuciones pertenecen a la prehistoria de varias ramas de la matemática que emergieron después de Levi.

Entre otras cosas, Levi fue quizá el primero en formular explícitamente y en criticar el famoso axioma de elección, usualmente atribuido a Zermelo (Moore 1982). Descubrió que se lo había estado usando tácitamente en muchas demostraciones matemáticas. (Dicho axioma sigue siendo motivos de estudios.) Pero Levi es mejor conocido por el lema que lleva su nombre, y que se refiere a integrales de sucesiones monótonas de funciones. También se lo conoce por su estudio, más importante, de singularidades de superficies algebraicas.

Iróicamente, este gran hombre ha sido llamado el matemático más petiso del siglo, era jorobado, tenía una voz chillona, y estaba casado con una mujer hermosa, con quien tuvo tres hijos, entre ellos Laura, la física de la familia. Aunque Levi no pasó el examen de pureza racial, vivió muchos más años, se comportó muchísimimo mejor, y consicibió y crió más hijos y más ideas que su victimario, Benito Mussolini.

La legislación antisemita promulgada por el gobierno fasciasta italiano en 1938 privó a Levi de su cátedra en Bologna y le obligó a emigrar junto con su familia. A los 64 años de edad recomenzó su vida: vino a parar a la rama rosarina de la Universidad Nacional del Litoral. Esto se debió a la gestión de su ilustrado rector, el Ingeniero Cortés Plá, y del matemático Julio Rey Pastor, gran animador de la ciencia en Argentina y España. (Yo tuve el privilegio de tratar a los tres, y la suerte de que Levi y su colega, el jusfilósofo José Luis Bruera, votaran en favor mío cuando se concursó la cátedra de Filosofía de la Ciencia en la Universidad de Buenos Aires).

En su nueva patria, Levi hizo un poco de todo. Dictó cursos para ingenieros; en 1940 fundó y dirigió el Instituto de Matemática y su revista, Mathematicae Notae; alentó a los pocos jóvenes que entonces se interesaban por la matemática pura; participó en reuniones de físicos; siguió cultivando las humanidades; e incluso encontró tiempo para responder algunas cuestiones matemáticas que le formulé. Era un trabajador entusiasta, incansable y diligente. Vivió los últimos 23 años de su fecunda vida en Rosario, donde enseño hasta los 84.

Levi ponía pasión en todo lo que hacía. Por ejemplo, solía retarnos vehemente a los físicos que, apurados por calcular, teníamos poco respeto por el rigor formal. En particular, le indignaba la famosa delta de Dirac, sin la cual los físicos cuánticos no podíamos avanzar. Levi sostenía, con razón, que no era una función sino un mostruo (afortunadamente, muy poco después el gran matemático Laurent Schwart, rigorizó el concepto).

(Las referencias citadas son Moore, G.E., Zermelo's Axiom of Choice, y Schappancher N. y R. Shcoof, Beppo Levi and the arithmetic of elliptic curves).

Termina Bunge:

¿Qué resultó del encuentro de Euclides con Levi a la vuelta de veintidós siglos? Lo averiguarán quienes lean este libro tan original como claro.

Aprenderán a ver a Euclides, e incluso a su posible maestro, Platón, con ojos modernos. Y aprenderán, si no lo saben ya, los deleites de la conversación con muertos sin recurrir a trucos esperitistas.

No conocía el dato de la relación de Levi con el axioma de elección. En Internet, encontré más información:

Un interesante comentario de este libro de Beppo Levi, escrito por Guillermo Martinez
http://guillermo-martinez.net/notas/Leyendo_a_Euclides

Instituto de Matemática Beppo Levi
http://www.fceia.unr.edu.ar/labinfo/info_academica/institutos/matematica.html

Beppo Levi en Wikipedia
http://es.wikipedia.org/wiki/Beppo_Levi

Una biografía de Beppo Levi
http://www.argiropolis.com.ar/index.php?option=com_content&task=view&id=440&Itemid=61

Maratones Matemáticas Beppo Levi
http://www.ips.edu.ar/clubmatematica.php

Beppo Levi and the arithmetic of elliptic curves
http://www.mat.uniroma2.it/~schoof/beppo.pdf

Una reseña del libro Leyendo a Euclides
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/cultura/Literatura/OrigLib.asp

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 11 de Febrero, 2008, 11:30

Srinivasa Ramanujan Aiyangar fue un matemático hindú. Miembro de una familia brahmán, era de humilde condición. Su padre era contable, y su madre era una mujer de "gran sentido común", según cuenta el biógrafo de Ramanujan, Seshu Aiyar.

Nació en 1887, en el distrito Tanjore de la presidencia de Madrás, en India. Ramanujan fue prodigio de la matemática, desde joven, que era prácticamente al único tema al que se dedicaba (lo que le complicó siempre el obtener becas o ayudas en su estudio). Como no manejaba bien el inglés, fracasó en exámenes para mantener una beca que había obtenido a los dieciséis años, para estudiar en un "college" de la India.

A los quince años, un amigo le consigue el libro Synopsis of Pure Mathematics, de Carr, la única obra de matemática superior que tuvo la oportunidad de leer. Con esa base fue construyendo "un asombroso edificio de conocimiento e investigación analítica".

Se dirige a Madrás, donde también fracasa ante otro examen. Tuvo que continuar en solitario su estudio de las matemáticas. En 1909 se casó y tuvo que buscar un empleo permanente. Cuando estaba trabajando, consiguió una carta de recomendación para un amante de la matemática, Diwan Bahadyr R. Ramanachandra Rao, recaudador de Nalore. Escribe Rao:

Hace algunos años, un sobrino mío, ignorante por completo de todo conocimiento matemático me dijo: "Tío, tengo un visitante que habla de matemáticas y no lo comprendo. ¿Podría mirar si ha algo de interés en su charla?". Y en la plenitd de mi sabiduría matemática, condescendí a que Ramanujan se acercara a mi presencia. Una pequeña figura rústica, vigorosa, sin afeitar, desaliñada, con un rasgo llamativo, ojos brillantes, entró con un gastado libro de notas bajo el brazo. Era extremadamente podre: Había huido de Kumbakonam a Madrás a fin de conseguir cierto desarrollo para proseguir sus estudios. Jamás pidió ninguna distinción. Necesitaba desahogo. En otras palabras, que se le suministrara el mínimo vital sin esfuerzo de su parte y que se le permitiera soñar.

Abrió el libro y comenzó a explicar algunos de sus descubrimientos. Al punto vi claramente que era algo fuera de lo corriente, pero mis conocimientos no me permitieron juzgar si hablaba con sentido o sin él. Suspendido todo juicio le pedí que viniera de nuevo y así lo hizo. Apreció debidamente mi ignorancia y me demostró algunos de sus hallazgos más simples. Estos iban más allá de los libros existentes y ya no tuve duda de que era un hombre notable. Después, paso a paso, me inició en las integrales elípticas y en las series hipergeométricas y, finalmente, su teoría de las series divergentes, no divulgada todavía, me convirtió....

Rao lo ayuda un tiempo. Luego, Ramanujan no quiere seguir dependiendo para su subsistencia, y acepta un pequeño cargo en las oficinas de la Compañía del Puerto de Madrás. Pero no deja sus estudios de matemáticas. Publica algunos artículos. Entonces, en una carta fechada el 16 de enero 1913, que sus amigos le ayudaron a redactar en inglés, se dirige a G.H. Hardy, matemático inglés, entonces miembro del famoso Trinity College, de Cambridge:

Apreciado señor:

Me permito presentarmete a usted como un oficinista del departamento de cuentas del Port Trust Office de Madrás con un salario de 20 libras anuales solamente. Tengo cerca de 23 años de edad. No he recibido educación universitaria, pero he seguido los cursos de la escuela ordnaria. Una vez dejada la escuela he empleado el tiempo libre de que disponía para trabajar en matemáticas. No e pasado por el proceso regular convencional que se sigue en un curso universitario, pero estoy siguiendo una trayectoria propia. He hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los resultados a que he llegado son caligicados como "sorpredentes" por los matemáticos locales...

Yo querría pedirle que repasara los trabajaos aquí incluuidos. Si usted se convence de que hay alguna cosa de valor me gustaría publicar mis teoremas, ya que soy pobre. No he presentado los cálculos reales ni las expresiones que he adoptado, pero he indicado el proceso que sigo. Debido a mi poca experiencia, tendría en gran estima cualquier consejo que usted me hiciera. Pido que m eexcuse por las molestias que ocasiono.

Quedo, apreciado señor, a su entera disposición.

S. Ramanujan

En la carta había 120 teoremas, de los cuales, Hardy comentó años más adelante (seleccionando 15 de esos teoremas):

Quisieran que comenzaran por tratar de reconstruir la reacción inmediata de un matemático profesional corriente que recibe una carta como ésta de un contable hindú desconocido.

EL primer problema era el de saber si yo podría reconocer alguna cosa... Nunca había visto antes nada, ni siquiera parecido a ellas [refiriéndose a 3 fórmulas en particular]. Una ojeada es suficiente para comprender que solamente podían ser escritas por un matemático de la más alta categoría. Tenían que ser ciertas, porque, si no lo fueran, nadie habría tenido suficiente imaginación para inventarlas. Por último...., el autor tenía que ser enteramente sincero, ya que son más frecuentes los matemáticos eminentes que los ladrones o charlatanes de destreza tan increíble...

Hardy consiguió que Ramanujan fuera admitido en Cambridge, en el Trinity, dejando a su familia en India. Hardy escribe:

Había un gran rompecabezas ¿Qué método debía seguirse para enseñarle matemáticas? Las limitaciones de su conocimiento eran tan asombrosas como su profundidad. Era un hombre que podía trabajar con ecuaciones modulares y teoremas de multiplicación compleja, con medios desconocidos. Su dominio de las fracciones continuas era, por lo menos en el aspecto formal, superior al de cualquier matemático del mundo. Había encontrado por sí solo la ecuación funcional de la función 3 y el tecnicismo usual de los más famosos problemas de la teoría analítica de números. Pero nunca había oido hablar de una función doblemente periódica o del teorema de Cauchy ni tenía la más remota idea de lo que era una función de variable compleja. Describía nebulosamente su concto acerca de lo que constituía una demostración matemática. Había obtenido todos sus resultados, nuevos o viejos, verdaderos o falsos, por un proceso mixto de demostración, intuición e inducción, del cual era completamente incapas de dar cualquier razón coherente.

Interesante observación de Hardy sobre el proceso de pensamiento de Ramanujan.

En 1917, comenzó a manifestarse una enfermedad en Ramanujan, y nunca volvió a recuperarse completamente. En otoño de 1918, tuvo una mejoría, reanudando su trabajo activo, estimulado por su elección para la Sociedad Real. Según Hardy, algunos de sus mejores teoremas fueron descubiertos en esa época. Fue elegido para una Trinity Fellowship.

A principios de 1919, Ramanujan vuelve a su India natal, donde muere al año siguiente.

Volvamos a las opiniones de Hardy sobre el pensamiento de Ramanujan:

Se me ha preguntado a menudo si Ramanujan tenía algún secreto especial, si sus métodos diferían cualitativamente de los del resto de los matemáticos, si había alguna cosa realmente anormal en su modo de pensar. No puedo contestar a estas preguntas con seguridad y convicción, pero no lo creo. Mi opinión es que todos los matemáticos piensan, en el fondo, con el mismo método y que Ramanujan no era la excepción. Tenía, por supuesto, una memoria extraordinaria. Podía recordar las características de los diferentes números de una manera misteriosa. Creo que fue Mr. Littlewood quien señaló que "cada entero positivo era uno de sus amigos". Recuerdo una vez que fui a verle cuando yacía enfermo en Putney. Yo había viajado en el taxi número 1.729 y observé que el número me parecía más bien insípido y esperaba que no le fuera de mal agüero. "No", contestó, "es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como suma de dos cubos de dos maneras diferentes". Le pregunté, naturalmente, si conocía la respuesta al problema correspondiente para la cuarta potencia y él replicó, después de un momento de reflexión, que el ejemplo no era obvio y que el primero de tales números debía ser muy grande...

Lo más asombroso era su intuición en fórmulas algebraicas, transformaciones de series infinitas y demás. En este aspecto, ciertamente, no he encontrado nadie parecido y sólo puedo compararlo con Euler o Jacobi. Trabajaba por intuición a partir de ejemplos numéricos mucho más que la mayoría de los matemáticos modernos. Todas sus propiedades de congruencia de particiones, por ejemplo, fueron descubiertas de esta manera. Pero añadió a su memoria, a su paciencia y a su facilidad de cálculo, un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad de modificación rápida de sus hipótesis realmente sorprendentes y que le sitúan, en su campo, en el lugar más destacado.

Generalmente se dice que ahora es mucho más difícil que un matemático sea original de lo que era en los días épicos en que se establecían los fundamento del análisis modern. Sin duda, es verdad en cierto modo. Puede haber opiniones diferentes acerca de la importancia del trabajo de Ramanujan de la medida con la que debería juzgársele y de la influencia que probablemente tendrá en las futuras matemáticas. No tiene la simplicidad y la inevitabilidad de las más grandes obas. Podría ser más importante si fuera menos extraña. Pero tiene un don que no puede negársele: una profunda e insuperable originalidad. Probablemente, Ramanujan habría sido mejor matemático si lo hubieran descubierto y educado un poco en su juventud. Habría descubierto más cosas nuevas y, sin duda, de mayor importancia. Habría descubierto más cosas nuevas y, sin duda, de mayor importancia. Por otra parte, habría sido menos parecido a Ramanujan y más semejante a un profesor europeo  y así la pérdida hubiera tal vez sido mayor que la ganancia.

La fuente para este "post" es el artículo de James R. Newman, sobre Ramanujan, publicado en el Scientific American, Junio 1948. Newman escribe:

No era un geómetra, le tenía sin cuidado la física matemática y menos aún la posible "utilidad" de su trabajo matemático en otras disciplinas. En cambio, la intuición de Ramanujan estaba a sus anchas en los ricones enmarañados del sistema numérico... En la simplícima ordenación de los números, descubrió propiedades maravillosas y relaciones que habían escapado a la sagacidad de los matemáticos más dotados. La moderna teoría de números era al mismo tiempo una de las ramas de las matemáticas más ricas, más engañosas y más difíciles.

Más información:

Ramanujan en Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

Sobre Hardy
http://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy
http://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology

Sobre los números primos de Ramanujan
http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_prime

Sobre el número del taxi
http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy-Ramanujan_number

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com/

Publicado el 10 de Febrero, 2008, 14:55

Quisiera hoy pasar en limpio alguna idea, para implementar aquí en mi país, Argentina. Es una idea para que la gente que pueda ahorrar algo, también pueda invertir lo que ahorra, sin que quede diluído por la inflación (que en mi país alcanza los dos dígitos anuales).

El mercado inmobiliario está en auge, por lo menos por la zona de la ciudad de Buenos Aires. Hay varias empresas constructoras, pequeñas, medianas, grandes. Muchas de esas empresas financian sus construcciones con aportes de inversores particulares. Hay inversiones que se llaman "desde el pozo": se aporta cuando todavía el edificio de departamentos está por construirse. Cada inversor puede comprar una unidad, departamento, con un monto inicial, luego aportes mensuales, y refuerzos cada tantos meses. Al final, cuando el edificio está construido, el inversor puede quedarse con la unidad que compró, o venderla, a un monto que supera su inversión, aun aplicando los ajustes por el tiempo que esperó.

Ahora bien: el monto inicial de inversión para entrar en ese negocio, y el aporte mensual, es alto para la mayor parte de la población.

Pero se podría armar una organización, una cooperativa (desconozco los términos legales y comerciales), donde se promueva la formación de grupos de pequeños inversores. Cada miembro de un grupo se compromete a aportar un monto fijo mensual, que él decide: 200, 300, 1000 pesos, lo que considere que pueda aportar. No se le pide mayor requisito a cada miembro, que comprometerse en un monto fijo. Cada grupo va ahorrando durante un tiempo, para formar un fondo de reserva. Luego, en algún momento, decide invertir en una construcción, por ejemplo, comprar un departamento futuro desde el pozo. De ahí en más, el grupo, con los aportes de los miembros, se hace cargo de las cuotas mensuales de su compra, y los refuerzos periódicos. Al final, al quedar terminado el edificio, el grupo es dueño de una unidad, que puede revender, obteniendo ganancias. O puede alquilar, para tener un flujo de dinero. Esto último lo desaconsejaría en los departamentos nuevos: su uso los deprecia rápidamente.

Otra opción es que un grupo, luego de ahorrar un monto, participe de alguna subasta judicial de inmueble. O que invierta en el mercado de hipotecas.

Si la organización hace pie firme, podría convertirse en una aportante activa de fondos a proyectos de construcción y otras oportunidades. Tal vez, hasta podría crear sus propios emprendimientos. Hay un déficit habitacional por estas zonas, y en algún momento, se saturará el mercado de alta inversión. La organización podrá ocuparse de participar en la compra, construcción de inmuebles más accesibles.

Un peligro: futura baja generalizada en el mercado inmobiliario.

Otros problemas: volatilidad en los miembros de un grupo. Si un miembro no puede pagar, entonces, se debe contemplar algunas opciones. Una, que alguien que quiera ser miembro del grupo (en la organización se formarían constantemente nuevos grupos), le compre su participación. La otra, es que al retirarse, pierda lo aportado y los demás miembros se harán cargo de su aporte mensual.

Como siempre, es todo un trabajo de organización y coordinación de personas. El cobro coordinado de las cuotas, el pago de los compromisos con las constructoras, necesitaría una organización preparada. Creo que usando tecnología, Internet, transferencias bancarias, por ejemplo, se puede coordinar mucho de la formación y control de grupos. Se necesitaría una gerencia, y gente idónea en inversiones y construcción. Para mitigar esos obstáculos, se podría apoyar en un banco o en una cámara de la construcción o del ámbito inmobiliario.

Aclaro que no es un plan para que una persona se compre una casa. No, está orientado más a que los pequeños y medianos ahorristas, puedan participar de un mercado en auge. Pero en algún momento, si el sistema funciona, puede dedicarse a crear sus propios emprendimientos.

¿Hay otras organizaciones así en otros lugares? ¿Es factible su realización?

He encontrado alguna información de venta de inmuebles por el estado para quienes no tienen propiedad, en:

http://www.ahorre.com/credito/

Más información, en inglés, en:

http://en.wikipedia.org/wiki/Foreclosure
http://www.foreclosure.com/
http://www.foreclosures.com/

El ingeniero Sergio C, en la lista de Guía del Emprendedor

http://ar.groups.yahoo.com/group/guiadelemprendedor/

envió este enlace, de su país, Perú, más orientado a comprar la casa propia:

http://www.mivivienda.com.pe/portal/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com/

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 9 de Febrero, 2008, 10:17

El año pasado tuve el gusto de encontrar y leer un libro de Robert Laughlin, titulado Un universo diferente, editorial Katz.

Es uno de los libros de divulgación que me costó leer, y que merece de mi parte, una relectura más detenida. Me costó porque Laughlin se refiere a conceptos de su especialidad, la materia condensada, helio superfluido y demás, sin explicarlos, dándolos muchas veces por sabido. También acude a metáforas, y hasta tortura a su hijo en diálogos, para poner de manifiesto lo poco que sabemos de algunos temas. Acude a parábolas, anécdotas, da sus vueltas, en vez de ir al grano. Supongo que lo hace porque intuye que tiene que luchar con lo establecido, de ahí los rodeos para plantear su postura. Eso pasa en los primeros capítulos. Luego, pone más carne en el asador y se pone más interesante. Describe algunos fenómenos, como el efecto Hall cuántico más en detalle. Otro punto interesante, son sus recuerdos autobiográficos, su recuerdo de John Bardeen y de Klaus von Klitzing. Pero tengo que releerlo cuidadosamente, antes de comentarlo.

Así que en vez de encarar un resumen por mi cuenta, quisiera comentar acá el resumen y crítica de otro autor y físico, Leonard Susskind. En su libro El paisaje cósmico, comenta:

Las leyes de la Naturaleza son emergentes

Esta es una de las ideas favoritas de algunos teóricos de la materia condensada que trabajan en las propiedades de materiales hechos de átomos y moléculas ordinarios. Su proponente principal es el ganador del premio Nobel Robert Laughlin, que describe sus ideas en su libro Un universo diferente (A Different Universe: Reinventing Physics from the Bottom Down). La idea central es la vieja "teoría del éter" que mantiene que el vacío es un material especial. La idea del éter fue popular en el siglo XIX, cuando Faraday y Maxwell trataban de considerar los campos electromagnéticos como tensiones en el éter. Pero después de Einstein, el éter cayó en descrédito. A Laughlin le gustaría resucitar la vieja idea imaginando el universo como un material con propiedades similares al helio superfluido. El helio superfluido es un ejemplo de un material con propiedades "emergentes" especiales, propiedades que se manifiestan (emergen) sólo cuando se reúnen enormes números de átomos en cantidades macroscópicas. En el caso del helio líquido, el fluido tiene sorprendentes propiedade superfluidas tales como fluir sin ninguna fricción. En muchos aspectos, los superfluidos son similares al fluido de Higgs que llena el espacio y da a las partículas sus propiedades. Hablando en general, la misión de Laughlin puede resumirse diciendo que vivimos en un material de este tipo que llena el espacio. Podría decirlo incluso con más fuerza: el espacio es dicho material emergente. Además, él cree que la gravedad es un fenómeno emergente.

Susskind menciona uno de sus temas preferidos, la partícula divina, el bosón de Higgs, y su campo, fluido. Es un tema que aparece a partir de la gran unificación de las fuerzas, y la sumersimetría. El bosón de Higgs debería existir, en estas ideas, como una partícula que le da las masas a las demás. Es un tema fascinante, pero que así expresado, casi metafóricamente, es confuso. Daría para un post más detallado.

Lo que menciona del libro de Laughlin, también merece una lectura más detallada, sino queda solamente en "la gravedad es un fenómeno emergente". Los que quieran tener una perspectiva más amplia sobre el tema de la emergencia, recomiendo el excelente libro de Bunge Emergencia y Convergencia.

Prosigue Susskind:

Uno de los temas principales de la física moderna es que los fenómenos emergentes tienen un tipo de estructura jerárquica. Pequeñas colecciones de moléculas o átomos se agrupan para formar entidades mayores. Una vez que se conocen las propiedades de estas nuevas entidades, se puede olvidar de dónde proceden. A su vez, las nuevas entidades se combinan y arraciman en otras nuevas de tamaño aún mayor. Una vez más, podemos olvidar de dónde proceden y agruparlas en grupos aún mayores hasta que todo el material macroscópico queda explicado. Una de las propiedades más interesantes de todos estos sistemas es que no importa dónde se empiece exactamente. Las entidades microscópicas originales no suponen ninguna diferencia para el comportamiento emergente - el material siempre sale con el mismo compartimiento a gran escala - dentro de ciertos límites. Por esta razón, Laughlin cree que no tiene sentido buscar los objetos fundamentales de la naturaleza, puesto que una amplia variedad de objetos básicos llevarían a las mismas leyes de la física - gravedad, modelo estándar y demás - en el mundo a gran escala. De hecho, hay todo tipo de "excitaciones" en materiales que se parecen a partículas elementales pero son en realidad movimientos colectivos de los átomos subyacentes. Las ondas sonoras, por ejemplo, se comportan como si estuvieran hechas de cuantos llamados fonones. Además, estos objetos se comportan de forma increíble como fotones u otras partículas.

Creo que Susskind ha hecho un buen resumen de la postura de Laughlin. Igual, insisto, lean el libro. Esto es apenas un resumen. De alguna forma, me hizo recordar a Solaris, de Stanislav Lem, donde un planeta "inteligente", consigue reproducir realidades de los visitantes humanos, manipulando neutrinos. Seres que parecen reales, son solamente cuerpos donde en lugar de moléculas normales, hay agrupaciones de nuetrinos.

Ahora, la crítica de Susskind:

Hay dos razones serias para dudar de que las leyes de la Naturaleza sean similares a las leyes de los materiales emergentes. La primera razón se refiere a las propiedades especiales de la gravedad. Para ilustrarlo, consideremos las propiedades del helio superfluido, aunque también serviría cualquier otro material. En los superfluidos tienen lugar todo tipo de cosas interesantes. Hay ondas que se comportan de modo similar a campos escalares y objetos llamados vórtices que se parecen a tornados que se mueven a través del fluido. Pero no hay ningún tipo de objeto aislado que se mueva en el fluido y se parezca a un agujero negro. Esto no es casual....

Susskind sigue argumentando que no hay materia que pueda explicar un mundo de mecánica cuántica y gravedad. Por una parte me convence. Por otra, debería estudiar mejor el formuleo actual, para llegar a convencerme del todo. Sigue más adelante:

En particular, el principio holográfico - un pilar del pensamiento actual - parece requerir tipos nuevos de comportamiento no vistos en ningún sistema de materia condensada conocido. De hecho, el propio Laughlin ilustra el punto argumentando que los agujero negros (en esta teoría) no pueden tener propiedades, tales como radiación de Hawking, que prácticamente todos los demás creen que tienen.

Un tema que tengo que estudiar es el principio holográfico, una piedra de toque a la discusión que mantuvieron Susskind y Hooft durante décadas con Hawkings. Igual no me convence que siga asociando todo lo de Laughlin a "sistema de materia condensada conocido". Tal vez, las ideas de Laughlin son rescatables de alguna forma.

En su segunda crítica, Susskind lleva agua para su molino. No expliqué la idea Susskind de su libro El paisaje cósmico. Bueno, daría para todo otro post. Creo que Susskind se comió la fruta del fondo del clericó y le pegó mal. Pero será tema de detalle y discusión más adelante. Por ahora, pueden buscar cosmic landscape en el Gran Google.

Pero supongamos que se encuentre un sistema emergente que tuviera algunas de las propiedades que buscamos. Las propiedades de los sistemas emergentes no son muy flexibles. Puede haber una enorme variedad de puntos de partida para el comportamiento microscópico de los átomos pero, como dije, tienden a conducir un número muy pequeño de puntos finales a gran escala. Por ejemplo, podemos cambiar los detalles de los átomos de helio de muchas maneras sin cambiar el comportamiento macroscópico del helio superfluido. La única cosa importante es que los átomos de helio se comportan como pequeñas bolas de billar que simplemente rebotan unas en otras. Esta insensibilidad al punto de partida microscópico es lo que más gusta de los sistemas emergentes a los físicos de la materia condensada. Pero la probabilidad de que a partir del pequeño número de puntos fijos (puntos extremos) posibles hubiera uno con las propiedades increíblemente bien ajustadas de nuestro mundo antrópico es despreciable. En particular, no hay explicación del más espectacular de estos ajustes finos, la pequeña pero no nula constante cosmológica. Un universo basado en la emergencia de la materia condensada convencional me parece una idea que no lleva nada.

Para los que a no están al tanto de la postura de Susskind, les comento que él y sus colegas (no está solo) proponen una cantidad grandísima de universos, de los cuales el nuestro sólo sería uno más, entre 10 a la quinientas posibilidades. Trata así de explicar, con una especie de principio antrópico débil, por qué el universo en el que estamos es tan adecuado para el ser humano.

Más sobre Laughlin:

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1998/laughlin-autobio.html

Sobre el efecto Hall cuantificado
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1985/klitzing-lecture.html
http://www.osti.gov/accomplishments/laughlin.html
http://www.suite101.com/article.cfm/biographies_scientists/114430

Su página en Stanford
http://www.stanford.edu/dept/physics/people/faculty/laughlin_robert.html
http://large.stanford.edu/rbl/

Un proyecto en el que participa: Herring Brain Box
http://large.stanford.edu/rbl/herring/brain/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com/

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 8 de Febrero, 2008, 10:29

Uno de mis temas preferidos es la historia de las matemáticas. Cuando uno quiere realmente conocer una disciplina, conocer la historia es una forma de aprenderla. Los caminos tomados, los errores, aciertos, la gente que contribuyó, las ideas que se fueron formando, nos dan una perspectiva del conocimiento actual, en matemáticas, física, y otras ramas de la ciencia.

Uno de los libros más interesantes sobre historia de las matemáticas que tengo, es un clásico de Eric Temple Bell, Historia de las Matemáticas, de Fondo de Cultura Económica. Publicado en 1940, revisado en 1945, Bell tiene un estilo especial para describir la historia (también fue escritor de ciencia ficción).

Al final de este libro (en mi edición son 600 páginas), leemos:

Aquí llegamos al fin de nuestro viaje. Mirando hacia atrás, al largo y tortuoso camino, vemos que las matemáticas en los seis o siete mil años de progreso conocido, han aportado a la civilazación dos cosas que prometen valor duradero: el método de razonamiento deductivo, en el estado de desarrollo que ha adquirido en las matemáticas técnicas; la descripción matemática de la naturaleza.

Fue en las matemáticas donde primero se presentó el razonamiento deductivo, y de esa misma fuente han surgido sus sucesivas ampliaciones y perfeccionamientos. En su forma más poderosa, el razonamiento deductivo es matemáticas. El aparato lógico que se emplea en matemáticas es incomparablemente más variado, más sutil y más creador de coordinaciones nuevas que el asociado con cualquier otra rama del saber. Y todavía falta idear un método más eficas que el matemático que permita a los seres humanos razonar acerca de los resultados de las observaciones y experimentos físicos.

Comparados con estos dos, todo el resto es cuestión es cuestión de táctica. Así, por ejemplo, el hecho de que el análisis haya demostrado a partir del siglo XVII ser más adaptable que la geometría sintética para la descripción matemática de la naturaleza, tiene interés histórico, pero no necesariamente ningún significado duradero. En el pasado la geometría guardaba con las ciencias la misma posición relativa que hoy día el análisis. Dentro de un siglo la topología u otra rama de las matemáticas todavía no creada podría haber revitalizado la geometría restituirla al favor científico. Pero a menos que el método matemático evolucione transformándose en otro tan distinto de lo que las matemáticas son ahora, como el empirismo que las precedió lo es de las matemáticas, parece probable que la descripción matemática de la naturaleza conservará su significado.

Notable mención de la topología: en los cuarenta del siglo pasado, la topología apenas si tenía aplicación en física (más allá de algunas ideas nacidas con Poincaré sobre estabilidad de sistemas de cuerpos). Y hoy, es la reina mimada, puente de comunicación entre físicos y matemáticos.

Hay alternativas concebibles, y hasta posibles. Los místicos, para los cuales los hábitos mentales científicos son menos repelentes que la precisión de las matemáticas con su claridad dura y aguda, profetizan un método más intuitivo que los de la ciencia y las matemáticas. Sus adeptos percibirán el universo como "es" sin ningún esfuerzo de los sentidos ni del pensamiento. Han sucedido cosas aún más extrañas, y quizás la más rara de todas sea la maravilla de que las matemáticas sean posibles para un género próximo a los monos.

Acá un atisbo de la ironía propia de Bell (que en varias partes del libro ataca al irracionalismo, en parte picado por el auge del nazismo en el tiempo de su escrito). Y sí, es notable que tengamos la capacidad matemática para comprender algo de la realidad.

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com/

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