Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 17 de Febrero, 2008, 21:23

Se ha manejado, durante gran parte de la historia humana, que algunas proposiciones matemáticas son intuitivas, como los axiomas de Euclides. Hemos tenido que esperar a los desarrollos de los siglos XIX y XX para encontrarnos que la situación no es tan clara: hay geometrías no euclideanas, tan consistentes como la del bueno de Euclides.

De ahí, el nacimiento de una desconfianza en la intuición, que me parece saludable, siempre que no se llegue a extremos. Ya vimos que intuición es un término amplio (ver Intuición según Bunge). La intuición, en general, es una herramienta, no un camino seguro. Para avanzar hacia alguna verdad, debe estar acompañada de la razón, y en el caso de verdades no matemáticas, de corroboración con la realidad.

En el caso de las matemáticas, sigamos leyendo a Mario Bunge, en su libro Intuición y Razón, refiriéndose a una clase de intuición, la sensible:

La intuición sensible y la intuición geométrica (capacidad para representación espacial o imaginación visual) hoy tienen pocos defensores en la matemática, porque se ha demostrado de una vez por todas que son tan engañosas lógicamente como fértiles heurística y didácticamente....

Un temprano ejemplo de las limitaciones de la intuición geométrica fue la invención de las geometrías no euclideanas. Un ejemplo posterior lo constituye la prueba de la existencia de una infinidad de fracciones entre dos fracciones dadas, cualesquiera sea la proximidad de ambas.... Otros ejemplos son las curvas continuas sin tangente y las curvas que llenan toda una región del plano; las superficies de una sola cara; los números transfinitos, y la correspondencia biunívoca entre los puntos de un segmento y los de un cuadrado, lo cual va en contra de la noción "intuitiva" de dimensión.

Prosigue:

Hoy se comprende que los entes, relaciones y operaciones matemáticas no se originan todos en la intuición sensible; se advierte que son construcciones conceptuales que pueden carecer por completo de correlato empírico, aunque algunos de ellos puedan servir como auxiliares en teorías acerca del mundo, por ejemplo la física. También se reconoce hoy que la evidencia no sirve como criterio de verdad y que las pruebas no pueden ofrecerse por medio de figuras solamente, pues los razonamientos son invisibles. En particular, ya no se exige que los axiomas sean "evidentes"; por el contrario, en razón de ser casi siempre más ricos que los teoremas para explicar los cuales han sido inventados, los axiomas suelen ser menos "evidentes" que los teoremas que originan, y, por tanto, tienden a aparecer más tarde que los teoremas en el desarrollo histórico de las teorías. Por ejemplo, es más fácil obtener teoremas sobre triángulos equiláteros que establecer proposiciones generales acerca de los triángulos.

Es interesante que mencione lo de construcción conceptual, y lo de falta de correlato empírico. No todos los matemáticos, creo, tienen esta postura. Sigue Bunge, para presentar el intuicionismo matemático:

Luego del fracaso de las intuiciones sensibles y espacial (o geométrica) como guías seguras para la construcción matemática, debía ensayarse la llamada intuición pura; y puesto que la intuición pura del espacio kantiana llegó a ser sospechosa hasta para algunos neokantianos, como Natorp y Cassirer, era menester ensayar la intuición pura del tiempo, o de la sucesión. Esta tentativa fue llevada a cabo por el llamado intuicionismo matemático (o neointuicionismo, como prefiere ser denominado). El neointuicionimo está lejos de ser una puerilidad o una mera declamación antiintelectualista. Por el contrario, constituye una respuesta a legítimos y difíciles problemas que han preocupado a pensadores serios y profundos como Henri Poincaré (1854-1912), Hermann Weyl (1885-1955), L.E.J.Brouwer (1881-1966) y Arend Heyting (1898-1966), respuesta que es ciertamente controvertible y en algunos aspectos incluso peligrosa para el futuro de la ciencia.

Bien, tengo que estudiar algo sobre intuicionismo matemático, y sorprende el final de la última frase de Bunge. Se refiere a puerilidad y declamación antiintelectualista, porque antes, en el mismo libro, ha debido tratar a intuicionismos filosóficos, como el de Bergson y Dilthey.

Fragmento tomado del libro mencionado, parte II, El intuicionismo matemático, capítulo 1, Las fuentes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com/