Desde la aparición del análisis matemático, en la época de Newton y Leibniz, la matemática vivió una época en la que todo era posible. El cálculo se desplegabla en todo su poder, tanto abstracto como aplicado en los problemas de la física naciente. La rigurosidad no caracterizó el avance de esos años en el análisis, sino el éxito de los métodos adoptados. Los matemáticos no se había preocupado de la condiciones de continuidad, convergencia de series, o derivabilidad de funciones.

En el siglo XIX aparecieron algunas sombras sobre los resultados obtenidos hasta entonces. Curvas continuas sin derivadas, líneas que llenaban una superficie, algunas paradojas del infinito, llevaron a los matemáticos a buscar fundamento de lo que habían hecho hasta el momento.

Hace un tiempo, comenté algunos párrafos del libro "El intuicionismo matemático" de Marta Martínez de la Fuente, Editorial Eudeba:

El razonamiento intuicionista

Leo en ese libro:

Los iniciadores de esta fundamentación, como Cauchy, Weierstrass, Dedeking y Cantor, ya habían introducido las primeras exigencias constructivistas en la aritmetización del análisis, cuando se descubrió inesperadamente la existencia de ciertas antinomias en la teoría de Cantor, que amanezaban con socavar los fundamentos de la lógica y la matemática.

Se hacía necesario, pues, reconstruir el edificio matemático analizando minuciosamente sus bases, controlando los métodos de razonamiento y verificando para cada caso en particular los resultados obtenidos. En resumen, se trataba de eliminar al máximo la intuición, por medio de los llamados métodos "constructivos".

Veo que el problema de la existencia en el mundo matemático fue uno de los temas que encararon:

El problema del estudio de los fundamentos se concretó alrededor de la noción de "existencia matemática", más precisamente, en la búsqueda del criterio que hiciera legítimo afirmar cuándo un objeto existe verdaderamente desde el punto de vista matemático.

Acá encuentro una descripción de las tres direcciones que se siguieron, y que me interesa presentar en este post: el logicismo, el intuicionismo y el formalismo.

El logicismo, sustentado entre otros por Frege, Peano, Russell y Whitehead, y expuesto en Principia Mathematica, de los dos últimos autores, considera que la matemática tiene su base en la lógica y que un objeto matemático existe si satisface los principios lógicos.

El intuicionismo, que cuenta entre sus principales partidarias a Brower y Heyting, afirma como criterio de existencia matemática la constructividad: un objeto matemático existe si se puede enunciar la ley que permite su construcción. Sus nociones básicas son los conceptos de construcción, de prueba constructiva y de serie de libre elección.

El formalismo se presenta como un intento de síntesis de las dos direcciones anteriores: logicismo e intuicionismo. Su autor, Hilbert, se propone salvar con su teoría el conjunto de la matemática clásica incluyendo la teoría del infinito, satisfaciendo al mismo tiempo las exigencias constructivistas de los intuicionistas. Según Hilbert, el criterio de existencia matemática es la no-contradicción. En la formulación de su teoría de la demostración, utilizaba los llamados "métodos finitistas", aunque debemos precisar que se comprobó que los métodos finitistas no agotan el concepto de constructivo.

No conocía en detalle lo de métodos finitistas de Hilbert. Se me escapa un caso donde "los métodos finitistas no agotan el concepto de constructivo". Mientras los intuicionistas rechazaban usar el principio de tercero excluido en sus demostraciones, exigiendo que la existencia de los objetos matemáticos se demostrara por su construcción, Hilbert los admite, pero con un toque metamatemático:

A nivel matemático todos los tipos de razonamiento son permitidos (aún el principio de tercero excluido y el axioma de elección), pero a nivel metamatemático se permite solamente el uso de métodos constructivos, que él llama métodos "finitistas", donde los conceptos utilizados pueden ser verificados mediante un número finito de pasos.

Más adelante:

El teorema de Gödel asestó un rudo golpe a la teoría de Hilbert. En efecto, Gödel demostró en 1931 la imposibilidad de probar la no-contradicción de la matemática clásica formalizada, utilizando los métodos "finitistas" de la teoría de la demostración.

El estudio de Gödel "Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y los sistemas asociados" mostró que no se puede establecer la consistencia de un sistema que abarque la teoría de los números y la lógica habitual, con el uso de la lógica reducida permitida por la Beweistheorie o metamatemática.

Esto es algo que se deriva, en parte, del teorema de incompletitud del mismo Gödel:

Esta conclusión es parte de un resultado más importante aún obtenido por el mismo Gödel en su teorema de incompletitud, que expresa: un sistema formal que contenga la teoría de los números no puede demostrar todos los enunciados que de él se derivan. Dicho de otro modo: existe en la teoría de los números un enunciado P tal que ni P ni no-P es un teorema de la teoría; o sea, existe un enunciado verdadero que no se puede demostrar.

El teorema de incompletitud es un gran resultado (en realidad, un teorema, y un corolario, parecido al de más arriba), pero que ha sido usado y abusado más allá de las matemáticas. Es un teorema con una demostración original, pero delicado de entender en su terminología: completitud, demostración, verdad matemática, son conceptos a entender claramente si se quiere captar el resultado del teorema. Tengo que leer a Penrose, en su "El Camino a la realidad", que tiene varias páginas dedicado al teorema de incompletitud, discute sus alcances, y hasta lo usa en otros de sus libros La mente nueva del emperador para criticar a la inteligencia artificial dura (adelanto que no me convence la postura de Penrose, me parece que está buscando el pelo al huevo). Otro libro, más prometedor para un principiante, es el "Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein, Antoni Bosch editor, al que ya recurrí para

Gödel, Einstein y la Constitución Americana

Y, aunque más alejado del tema, tengo que recomendar el excelente "Gödel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle", de Douglas Hofstadter.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com/