Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 13 de Septiembre, 2009, 19:31

Hace más de dos décadas, tuve mi primer encuentro con la teoría de grupos. Desde entonces siempre vuelvo a ese "primer amor" en matemáticas. La idea de grupo como estructura ha ido surgiendo en la historia de las matemáticas, desde distintas ramas: la teoría de números, la resolución de ecuaciones por radicales, la geometría. Pero hoy quisiera comentar, qué motivaciones hacen que la teoría de grupos aparezca en tantas ramas de las matemáticas, desde las mencionadas, hasta la topología y aún más sorprendente, la física moderna.

Examinemos la ecuación:

5 + x = 2

¿Cómo encontramos la solución, x? Para fijar ideas, pongamos que la ecuación está planteada sobre Z, el conjunto de los enteros.

Podemos plantear los pasos:

5 + x = 2 (está dado)
-5 + (5 + x) = -5 + 2  (sumamos -5 a ambas partes)
(-5 + 5) + x = -5 + 2  (aplicamos ley asociativa a la izquierda)
0 + x = -5 + 2  (-5 anula 5)
x = -5 + 2  (propiedad del 0)
x = -3  (calculamos -5 + 2)

Examinemos qué propiedades necesitamos para avanzar por esa vía.

0 es un elemento que en la adición, cumple 0 + x = x + 0 = x, para todo x en el conjunto Z.

Después, necesitamos que el elemento 5 tenga un inverso, -5, tal que -5 + 5 = 5 + (-5) = 0.

Y por último, necesitamos que existe la ley asociativa sobre la suma a + (b + c) = (a + b) + c, en Z.

Pues justamente, eso es lo que cumple la estructura de grupo:

- Tener unidad
- Tener inverso
- Operación asociativa

Esto es lo que ha guiado a la aparición de la definición de estructura de grupo. Con simples propiedades iniciales, se construyó una teoría, que en poco más de dos siglos, se ha transformado en un pilar de las matemáticas. Quisiera en próximos posts, presentar tanto la historia como los desarrollos principales de esta teoría. El siglo XX ha visto cómo las matemáticas abrazaron las estructuras, como la de semigrupo, grupo, anillo, cuerpo, categorías, esquemas, llevando todas estas ideas a niveles que serían insospechados aún para sus creadores originales. Esta es una propiedad de las matemáticas modernas: el poder de la abstracción, que a veces nos aleja del problema concreto, pero que nos das alas para ir más allá de lo evidente.

Post basado en la lectura del excelente "Algebra Abstracta", Capítulo 2, Grupos, de Fraleigh.

Enlaces relacionados:

Definiciones en matemáticas según Fraleigh
Teoría de Galois

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez