Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 17 de Septiembre, 2009, 12:15

En estos días estoy leyendo el excelente libro "Algebra Abstracta" de Fraleigh, sobre el que ya escribí en:

Motivaciones para la Teoría de Grupos
Definiciones en Matemáticas

Tengo planeada una lista de posts sobre introducción a la teoría de grupos, guiado por la presentación que hace Fraleigh de esa estructura.

Pero hoy quería pasar en limpio, una solución que encontré a uno de los problemas que aparecen en el libro. Ayer en el desayuno encontré este problema, luego me dediqué al trabajo de todos los días, y al volver a mi departamento, jugué con algunas ideas, y finalmente, apareció una solución: no leí todavía la solución del libro.

Es el problema 6.9. El enunciado es:

Sea G un grupo, supóngase que el elemento a pertenece a G y genera un subgrupo cíclico de orden 2. Además, es el único elemento con esa propiedad. Muéstrese que ax = xa para todos los x de G.

Un problema corto, sencillo, pero que se las trae. Fraleigh agrega un comentario:

Quizá se haya observado que puede ser difícil encontrar una demostración en álgebra, aun cuando existan demostraciones fáciles. Por lo general, no se pueden dibujar "figuras" que ayuden a visualizar la demostración. A menudo se tiene que inventar el "truco" adecuado. Para encontrar los trucos adecuados hace falta experiencia, intuición y a veces sólo suerte. Uno de los principales algebristas de este siglo [escribe en el siglo XX] observó alguna vez que la manera de hacer investigación en álgebra es pensar en algún truco y después encontrar un problema que se pueda resolver con este truco, en lugar de tratar de encontrar el modo de resolver un problema específico. Bien, inténtese resolver este ejercicio; si se presentan dificultades, consúltese el "truco" que está en la sección de respuestas.

Recordemos, según el problema, aa = e (la unidad del grupo), a <> e.

Jugué un poco con la expresión axa = x, traté de llegar a contradicción si axa <> x. Traté de encontrar que si así fuera, habría otro elemento de orden 2. Multipliqué axa por sí mismo, varias veces, y así.

Ahora va la solución que encontré. Recomiendo igualmente que traten de resolverlo por su cuenta, es interesante para apreciar el problema.

Finalmente, estudié x-1ax, donde x-1 es el inverso de x, tal que x-1x = xx-1 = e. Si multiplicamos x-1ax por sí mismo, nos da:

x-1axx-1ax = x-1aax = x-1x = e

por ser xx-1 = e, aa = e, e unidad del grupo.

Entonces, lo de arriba muestra que x-1ax es de orden 2. Como el único elemento de orden 2 es a, queda que

x-1ax = a

de donde sigue

ax = xa

Problema a seguir: ¿habrá propiedad interesante entre a y cualquier x, si a es el único elemento de orden n, n>2?

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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