Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Septiembre, 2009, 11:11

Ya saben de anteriores posts:

Resolviendo un problema de grupos del Fraleigh
Motivaciones para la Teoría de Grupos

Teoría de Galois

que me interesa la teoría de grupos: es por un lado simple, por otro lado no trivial, se aplica en muchas ramas de las matemáticas, tiene derivaciones inesperadas, y es la puerta de entrada a otras estructuras. Es, entonces, un tema ideal para ir ejercitando la escritura de temas matemáticos en este blog.

Hoy veremos la definición de grupo y algunos ejemplos iniciales. Me gustaría comenzar sin definición, para ir avanzando en la idea primero. Pero el concepto de grupo es tan sencillo, que podemos presentar la definición primero, y luego, ir explorando de dónde surge, dónde aparece, qué ejemplos simples tenemos, y qué ejemplos menos simples encontramos.

Primero, grupo es un conjunto G con una operación binaria * definida en ese conjunto G x G -> G. Es decir, es un par (G, *), aunque muchas veces, por abuso de notación, escribiremos grupo G. Muchas veces, al aplicar la operación binaria a dos elementos:

a * b

escribiré "a multiplicado por b", pero recordemos que es una operación cualquiera, bien definida, no necesariamente corresponda a una "multiplicación" (podemos tener un grupo sobre Z, los enteros, que tenga como operación algo que llamamos "suma").

Dicho esto, para que ese par sea grupo, debe cumplir:

G1) Existe elemento e en G que cumple  a * e = e * a para todo a de G

G2) Para todo a de G, existe a-1 tal que a * a-1 = a-1 * a = e

G3) La operación es asociativa, es decir, para todo a,b,c pertenecientes a G, se cumple (a * b) * c = a * (b * c)

Como vemos, son condiciones sencillas. Veamos un ejemplo:

(Z, +) es un grupo (recordemos, Z es el conjunto de los enteros) para la suma. El elemento identidad es 0, y para cada a, el inverso es -a. La asociatividad de la suma se debe probar a partir de su definición.

Veremos más adelante más ejemplos. Para probar que G es un grupo con operación *, debemos probar entonces G1, G2, G3 de arriba, además de confirmar que * es cerrada en G.

Un simple resultado:

a * x = b

siempre tiene solución en G, para cualquier a, b de sus elementos. Basta saber que existe a-1, y entonces:

a-1 * (a * x) = a-1 * b multiplicamos ambos por a-1 a la izquierda
(a-1 * a) * x = a-1 * b por asociatividad
e * x = a-1 * b por propiedad del inverso
x = a-1 * b

Es decir, siempre podemos "cancelar" al elemento a por la izquierda. De la misma forma, podemos probar que

x * a = b

siempre tiene solución.

Próximos temas a tratar:

- Más ejemplos "algebraicos" de grupos
- Ejemplos "geométricos" de grupos
- Primeros resultados
- Historia de la teoría de grupos
- Tabla de un grupo
- Grupo finitos, primeros ejemplos
- Permutaciones
- Subgrupos

y varios temas más (quisiera llegar por lo menos a los teoremas de Sylow, y comentar sobre grupos continuos y grupos en topología). Llevará tiempo, pero me servirá a mí, por lo menos, para pasar en limpio este tema, al que siempre vuelvo.

Trabajo para el hogar

Buscar ejemplos de grupo con los conjuntos Z (enteros), Q (racionales), R (reales), C (complejos) con las operaciones + y *. Pueden tratar quitar del conjunto original los elementos que no tenga inverso.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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