Angel "Java" Lopez en Blog

Junio del 2010


Publicado el 30 de Junio, 2010, 11:17

Ayer escribí algo sobre teoría de números en el post:

Un pequeño ejercicio en Teoría de Números

como para ir calentando motores. Hoy comenzamos a estudiar en este post la función indicatriz de Euler:

 

Es la cantidad de números naturales 1 <= a <= n, tales que (a , n) = 1, su máximo común divisor. Es decir, la cantidad de los números 1..n que son primos con n.

Veamos los primeros valores:









Siempre es bueno tener una visualización de su distribución, primeros valores:

(los rojos son los primos con el número más a la derecha de cada secuencia). Algunos valores más:

¿Notan alguna regularidad?

Uno podría preguntarse ¿para qué Euler necesitó esta función? Vamos a explorar sus cualidades, que son muchas. Euler la usó para demostrar algunos resultados de Fermat, que éste había publicado sin demostración, y los extendió. Notablemente, esta función fue apareciendo en varios temas, así como otras del mismo tipo. Euler, como solía hacer con todo tema que le interesara, prácticamente le sacó todo el jugo posible a esta función y sus aplicaciones. Es notable cómo uno de los más grandes matemáticos de la historia, recorría hasta el final cualquier camino interesante que se le presentara.

En próximos posts veremos qué son las funciones multiplicativas, y las completamente multiplicativas, en futuros posts. Por ahora, exploremos ésta primera función, muy interesante.

Primer tema ¿Cómo podemos calcular φ(n) para cualquier n? Vayamos por partes. Primero, es fácil ver que:

cuando p es primo > 1.

Para ir a otros n, podemos encarar el tema en dos ramas. Deberíamos probar que si n = mp, p primo, (m,p)=1, es decir, p no divide a m, entonces

Luego, deberíamos probar que si n=mp, (m,p)=p, entonces:

Si probamos eso, entonces ¿Qué pasa cuando n es potencia de primo p?

Y luego, podemos deducir el valor para cualquier n (basta descomponerlo en potencias de primos).

Primer tema interesante:

Donde la suma se extiende a los divisores de n. Tenemos que explorar otras sumatorias y sus consecuencias. Veremos de ir demostrando estos resultados, y encontrando otros. Como trabajo para el hogar, pueden ir tratando de demostrarlos. Especialmente las dos ramas de cómo calcular φ(mp) para los dos casos: p no divide a m, p divide a m.

Dos enlaces para ir estudiando:

Leonhard Euler
Euler's Totient Function

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 29 de Junio, 2010, 0:17

Esta última semana, estuve enfermo, sufriendo de congestión nasal, garganta irritada, y demás síntomas que prefiero no recordar. Lo que me dió la oportunidad de pasar parte de la convalencencia en cama, con varias lecturas matemáticas. Volví a leer sobre Teoría de Números. Tengo que postear sobre los libros que tengo sobre el tema, luego de mi consolidación de mi biblioteca.

Hoy quisiera, simplemente, pasar en limpio una demostración sobre el máximo común divisor de dos números enteros, digamos a, b. Tomaré:

(a , b)

como expresión del máximo común divisor. Usando propiedas sencillas de divisibilidad, y alguna de los subconjuntos de enteros, mi demostración es como sigue (en mis libros encontré otras demostraciones, que deberé comentar; no recuerdo de dónde salió la de este post, pero trato siempre de conseguir demostraciones de los teoremas que estudio, antes o luego de leerlos, y buscando otras demostraciones).

Primero, el m.c.d. existe, porque por lo menos existe el 1, hay un conjunto de divisores comunes no vacío, hay positivos, y está acotado. Entonces, existe el máximo (ésta es una de las propiedades de subconjuntos enteros o naturales, que uso).

Luego, veamos el conjunto de los números:

A = {ax + by, x, y enteros }

Es claro que es cerrado para la suma y la resta. Y que no es vacío, y que tiene números naturales. Tomemos el mínimo de esos números naturales (mayor que cero) (por la propiedad de existencia de mínimo en todo subconjunto de naturales). Sea d de la forma:

ax + by = d

Puedo demostrar que todos los números de A son múltiplos de d. Si no fuera así, si existiera

aw + bz = d * n + r (con resto r)

entonces

aw + bz - d = a(w-x) + b(z-y) = r < d

pertenecería a A, y sería menor que d, contra lo supuesto.

Entonces, d divide a todos los elementos de A. En particular, divide a:

a = 1.a + 0.b
b = 0.a + 1.b

Entonces, d es divisor común de a y b. Si hubiera otro divisor de a y b, digamos f, entonces debe dividir a todos los

ax + by de A

en particular a d. Queda demostrado que d es el m.c.d, es (a , b).

Las demostraciones más difundidas hacen uso del algoritmo de Euclides, o de su refinamiento, el algoritmo de división. Siempre me parecieron algo trabajosas. Prefiero la de arriba. Algunas notas: A es un grupo, un subgrupo de Z para la suma; todos los subgrupos de Z son de ese tipo: Zd, múltiplos de Z (tengo que escribir de teoría de grupos, como había insinuado en Grupos: definición y ejemplo).

Pero este es un resultado mínimo. Quiero escribir sobre algunos temas un poco más avanzados e interesantes como:

- Ecuaciones diofánticas
- Teorema chino del resto
- Reciprocidad cuadrática
- Anillos e Ideales en Teoría de Números
- Series L de Dirichlet
- Funciones aritméticas como la indicatriz de Euler
- La función gamma de Euler: ¿cómo aparece en este tema?
- Producto de Dirichlet
- Convoluciones generalizadas
- Número de clase
- Funciones multiplicativas
- El teorema de distribución de los números primos

Pero tengo que entrenarme en la publicación de post usando fórmulas matemáticas.

Notablemente, algunos temas son relativamente sencillos, y otros se complican. También, notablemente, para investigar algunos de esos temas, ha debido acudirse al análisis matemáticos, números complejos y más. Lo que indica lo interesante de la teoría, y su relación no trivial con muchas de las otras ramas de las matemáticas. Y si alguno de esos temas avanzan en este blog, posiblemente llegue a escribir un poco de la historia, de uno de esos "grandes y famosos" temas, como el último teorema de Fermat, y su resolución.

Y todo esto por una gripe... ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 28 de Junio, 2010, 15:08

Recuerdo que fue hacia 1998, cuando vi una señora en un cibercafé, acá en Buenos Aires, Argentina, que pedía escribir un email para comunicarse con su nieta en España. La señora tenía dirección de email, creo que en Hotmail, y se comunicaba no sólo con su nieta, sino con sus amigas de su misma ciudad. Eso me indicó que Internet, más que la web, comenzaba a llegar a la gente.

Mi primer cuenta de email la obtuve en 1995. Desde entonces, he visto que ha crecido mi capacidad de expresarme por escrito, y me parece que es bueno. Lo bueno del email, es que permite expresar una idea, una información, un conocimiento, algo, sin que la otra persona tenga que simplemente oirlo, tratando de captar todo en una conversación. Al estar escrito, un email es una comunicación que se puede repasar, consultar, releer, analizar, guardar para usar después. Ejemplo más sencillo: ¿qué es más fácil? ¿que me pasen la dirección de un encuentro en una conversación en un café? ¿o que me lo pasen por escrito en un email?

Ya conocen mi predilección por el texto, como escribí en:

La difusión del conocimiento en Internet
Lo que no está escrito no existe

Como comento en ese primer post sobre el texto, el email permite que la comunicación no necesite que las dos personas estén presentes y disponibles en el mismo lugar y tiempo. Y quien recibe el email, lo puede atender en el momento que considere más conveniente.

También, al estar en texto, se puede copiar, pegar, reenviar a otros. Y notablemente, podemos usar email en una lista de correo, sobre un tema: un email, no sólo puede ser interesante e importante, sino que puede ser compartido por cientos o miles de personas. Una opinión, una información, un poco de conocimiento, puede ser difundido de una gentil y gran manera.

Pero quisiera destacar otra cosa: el email, al no saber si será leído en 10 minutos desde su envio, permite decantar la información importante de la urgente. Eso es muy bueno. Atareados como estamos en el día a día, veo que mucha gente se ocupa de lo urgente, y no de lo importante. Claro que tenemos urgencias: pero también veo gente que no lucha ni hace nada para disminuir esas urgencias. Es parte de lo que me enseñó Stephen Covey en sus libros, e inspirado en la matrix de Eisenhower: ocuparse de lo importante, más que de lo urgente, y hacer todo para que lo urgente sea cada vez menor.

Entonces, esa característica del email (no estar seguros de si va a ser leído o no en 10 minutos), permite que nos concentremos en lo importante.

Hoy me entero (por segunda mano), que un profesional, ya con décadas en su profesión, comentaba:

- "Yo comencé a usar email, porque otros lo usan. Lo uso para las conferencias, comunicarme con colaboradores más jóvenes. Pero tengo colegas que abren el email una vez por semana.". Como diciendo que poco le servía el email con esas personas.

Aconsejaría a esos colegas, prestar más atención. Pero igual, veo que email puede servir: enviar alguna información interesante, que no tenga que "caducar" en una semana: la información de un congreso que se abre en tres meses, la llamada a "papers", un poco de humor, un agradecimiento. Me doy cuenta hoy, qué bueno que ha sido el email en mi vida, en estos últimos quince años.

(Como consecuencia de mi tratar de luchar para que lo urgente sea cada vez menos en mi vida, está mi "hábito" de no usar celular o teléfono de tierra. Pienso igual, que ese tipo de comunicaciones es para lo personal. Todo lo demás, puede decantarse por email: si es urgente y no personal, deberíamos haberlo previsto; si es importante, no neceista de la inmediatez).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Internet

Publicado el 28 de Junio, 2010, 1:09

Como comentaba ayer, gracias a la consolidación de mis libros, me reencontré con el monumental "Análisis Matemático" de Rey Pastor, Pi Calleja, y Trejo. Hace unas dos semanas, leyendo el primer capítulo, me topé sobre estas aclaraciones en teoría de conjuntos:

Un solo elemento a puede también concebirse como un conjunto {a} que consta de la sola unidad a, pero en este caso son conceptos distintos los de unidad a y conjunto {a} que ella sola forma.

Hoy hablaríamos de elemento, en vez de unidad. Advierten en nota:

Prescindir de esta distinción u otras, así como introducir conceptos y razonamientos en círculo vicios (tal la expresión "el conjunto de todos los conjuntos"), da lugar a antinomias o paradojas famosas, como las de Cervantes (Don Quijote de la Mancha, 2da. Parte, cap. LI), Burali Forti, Russell, etc. Estas corresponden al siguiente tipo de proposición: "Es una regla que todas las reglas tienen excepciones". Si la regla anterior tiene excepción, entonces debe haber alguna regla sin excepción, contra lo afirmado por la proposición, que queda así sin sentido.

Hay tanta tela para cortar sobre todo lo mencionado en este párrafo. Pero lo que me llamó la atención, es que mencionaba al Quijote. Uno de los libros con los que me he reencontrado es justamente, el Quijote de Cervantes. La última vez que lo habré leído (parcialmente), habrá sido cerca de 1995, en un viaje al interior de mi pais, Argentina. Durante unos días estuve a punto de ver buscar esa paradoja. Pero ayer, en mis lecturas matemáticas de la tarde, me encontré con un resumen, en el otro gran libro, "Historia de la matemática", de Rey Pastor y Babini, que mencioné en el post Matemáticas y Ciencia en el siglo XVII.

Leo ahí, en el capítulo XI, Hacia la matemática del siglo XX, sección 5, La teoría de conjuntos, nota 1:

La paradoja del Quijote. Aparece entre las cuestiones sometidas al juicio de Sancho Panza como gobernador de la ínsula de Barataria (Parte II, Cap. II).

La actuación de Sancho como gobernador es una de las más interesantes del libro. Destaca su buen tino en resolver los problemas de justicia que se le presentan.

En resumen es la siguiente: El dueño de un río había impuesto como condición a quien quisiera pasar un puente que lo cruzaba, que debía "jurar primero a dónde y a qué va; y si jurase verdad, déjenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la hora que allí se muestra". Ocurrió entonces que un hombre, que sin duda había leído a Russell, dijo que no iba a otra cosa que "a morir en aquella horca", con lo cual los encargdos del cruce del puente quedaron desconcertados, pues si lo dejaban pasar libremente el hombre había mentido y debía morir en la horca, pero si era ahorcado había dicho verdad y se debía dejar pasar libremente. Lo que sigue ya no es cuestión de lógica, pero vale la pena terminar el cuento. Consultado el buen Sancho, que no entiende de sutilezas lógicas, propone al principio una imposible solución salomónica: "que deste hombre aquella parte que juró verdad la dejen pasar y la que dijo mentira la ahorquen", mas luego, cediendo a razones no lógicas pero sí humanitarias, resuelve que lo dejen pasar libremente "pues siempre es alabado más el hacer bien, que mal".

Notable, no conocía esa paradoja. ¿En qué se habrá inspirado Cervantes? No creo que la haya encontrado en el libro sobre Paradojas, de Martin Gardner. Posiblemente, por ser un texto de origen español, ha sido pasado por alto en los comentarios de paradojas en el ámbito anglosajón.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 27 de Junio, 2010, 21:50

Gracias a mi reciente consolidación de libros, me he reencontrado con muchos excelentes volúmenes. Uno lo mencioné en el post de esta mañana Matemáticas y Ciencia, en el siglo XVII: "Historia de la matemática", de Julio Rey Pastor y José Babini. Y también, con los excelentísimos tres volúmenes del "Análisis Matemático", de Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo, notable libro, que fue uno de mis primeros contactos con la matemática "seria". Ahora, vuelvo a él, y confirmo lo que recordaba: la riqueza de temas, y lo interesante y profundas que eran sus notas, tanto en historia como en conceptos. Rey Pastor era español, pero pasó la mayor parte de su vida en Argentina, mi pais. Sería bueno que las generaciones más jóvenes lo recordaran. En el post de hoy a la mañana, encontré un poco de su historia:

Writing the history of mathematics: its historical development

Traduzco ahora:

En 1917 el matemático Julio Rey Pastor (1888-1962) visitó Argentina, y se permaneció ahí por el resto de su vida, excepto por los frecuentes viajes a España. Fue profesor en la Universidad de Buenos Aires. Además de sus importantes contribuciones a las matemáticas, principalmente en geometrías proyectivas, Rey Pastor es bien conocido por sus contribuciones a la historia de las matemáticas, especialmente a la historia de los matemáticos ibéricos del siglo XVI. Rey Pastor también marcó nuevas direcciones en historiografía al poner atención en los logros matemáticos que hicieron posible la era de la navegación. Lo poco de la histria de las matemáticas habían sido escritas en el siglo XIX se había concentrado solamente en los desarrollos que habían desembocado en las matemáticas actuales. Rey Pastor, sin embargo, al exporar las matemáticas menos relevantes a los desarrollos contemporáneos, ayudó a elucidar que era los esencial a los adelantos prácticos del periodo en cuestión. Rey Pastor fue, entonces, pionero de una moderna, sofisticada, académica aproximación a la historia de las matemáticas. Indicativo de este modo es su "La Ciencia y la Técnica en el Descubrimiento de América" (Rey Pastor 1942). En este pequeño libro, Rey Pastor critica a los historiadores que sólo se interesan en los hechos que han sido reconocidos científicamente, pero que fallan al evaluar su importancia o lugar en el contexto de los cuales fueron hechos. El proclama que es prematuro esperar encontrar "ciencia" como un orgánico y bien definido conjunto de ideas en la Edad Media. Particular importancia le da en el libro a la astronomía, las ciencias naúticas, y a la metalurgia.

Rey Pastor siempre se ocupó de rescatar los avances matemáticos ibéricos, que fueron olvidados por mucho tiempo, sobrepasados por los ingleses, italianos, alemanes y franceses.

El texto nombrado en el fragmente, lo pueden leer en línea:

La ciencia y la técnica en el descubrimiento de América

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 27 de Junio, 2010, 17:13

Pienso que para comprender una disciplina del conocimiento humano, es importante conocer su historia. Hoy, en las instituciones de enseñanza, no se da mucho hincapié en eso. Por ejemplo, en matemáticas, se nos enseña ya todo "cocinado", sin llegar a apreciar cómo se llegó a los resultados. Vean a alguien que realmente comprende su disciplina, y muchas veces encontraran a alguien que conoce su historia. Por ejemplo, Einstein, junto con Infeld, escribe ese clásico libro sobre la historia de la evolución de la física.

De ahí, que muchas de mis lecturas sean sobre la historia de la ciencia, la filosofía o las matemáticas. Con mi recience consolidación de libros, me he reencontrado con los excelentes dos volúmenes de "Historia de la matemática", Gedisa Editorial, de Julio Rey Pastor y José Babini (por lo que leí, el texto original era de Rey Pastor, pero Babini fue perfeccionándolo hasta su muerte, en los ochenta del siglo pasado).

Hoy encuentro este texto en el segundo volumen, en el capítulo sobre el siglo XVII:

...la influencia del saber griego y del álgera ha de agregarse otro factor favorable al desarrollo de la matemática en la edad moderna; un factor intrínsico a la ciencia moderna: la matematización del mundo o mejor una renovación de este proceso que se había producido entre los griegos y abandonado durante los tiempos medievales.

Tengo que revisar cómo fue la vinculación de matemáticas y física en la edad media.

Pero tal matematización del mundo moderno es distinta de la matematización antigua. En ésta el proceso era a cara descubierta, en la naturaleza idealizada, platonizante, de los antiguos, las figuras geométricas eran elementos del mundo. Baste recordar la óptica geométrica, la astronomía con sus excéntricas y epiciclos, las leyes de la palanca y el equilibrio de los cuerpos flotantes de Arquímides.

Recordemos que para Platón, la realidad era la de las ideas, y los conceptos matemáticos estaban cerca de ese mundo. Lo que hoy llamamos realidad, para Platón era sólo una ilusión, una sombra (recordemos el mito de la caverna). De ahí, que el estudio de las matemáticas, nos acercaba a los elementos de esa "realidad platónica". Dudo que otros griegos siguieran a Platón: Aristóteles es un caso destacado de oposición.

La ciencia moderna seguirá sí la senda abierta por Arquímedes pero, obediente a los nuevos tiempos, devolverá esas leyes a su hábitat natural, el mundo físico, y la aplicación de la matemática a los fenómenos naturales no obedecerá ya a la abstracción matemática, sino al proceso lógico de la abstracción, lo que equivale a reconocer que el mundo es inteligible y está sometido a las leyes de la razón, por ende a su instrumento natural, la matemática.

No concuerdo tanto con semejante afirmación (que parece tener más sentido a la época a la que se refiere el párrafo). Veo que la ciencia moderna se funda en: hay una realidad, y la realidad tiene un "funcionamiento". Tiene la esperanza, la apuesta, de que tal funcionamiento está dentro de los alcances del entendimiento humano. Decir que el "mundo está sometido a las leyes de la razón", puede que sea otra forma de decir lo mismo, pero ahí en esa expresión se filtra "razón" como "razón humana". No lo pondría así.

Las figuras geométricas ya no serán elementos del mundo sino, como dirá Galileo, son el lenguaje, la escritura del mundo y estarán, por lo tanto, al alcance de la mano.

Ciertamente, las matemáticas nos han ayudado en ciencia. Es conocida la frase de Galileo: las matemáticas como el lenguaje del mundo. Queda por ver, ¿por qué? Aclaro que su principal aplicación ha sido en las ciencias físicas. A medida que nos alejamos de la física, menos influencia ha habido de las matemáticas. Mi postura: las matemáticas nos hay servido para dar "formuleo" a mecanismos físicos. Pero esas fórmulas son emergentes de mecanismos: así como la ley de los gases se explica en términos atómicos. Vemos que hasta las fuerzas como la gravedad, se están tratando de explicar con mecanismos: intercambios de "partículas", donde la formación de campos es, digamos, una consecuencia de ese mecanismo.

Pueden ver una reseña de la actividad de Rey Pastor y Babini en el estudio de la historia de las matemáticas en:

Writing the history of mathematics: its historical development

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 26 de Junio, 2010, 19:02

Hoy encuentro en el capítulo 2 de las Lectures on Physics de Richard Feynman, estos párrafos, que me sirven para comentar de qué trata la ciencia:

Las cosas de las cuales nos preocupamos en ciencia se presentan en miríadas de formas y con una multitud de atributos. Por ejemplo, si estamos parados en la playa y observamos el mar, vemos agua, el romper de las olas, la espuma, el movimiento chapoteante del agua, el sonido, el aire, los vientos y las nubes, el sol y el cielo azul y luz; hay allí arena y rocas de diferente dureza y duración, color y textura. Hay animales y algas, hambre y enfermedad, y el observador en la playa; puede haber aun felicidad y pensamientos. Cualquier otro lugar en la naturaleza tiene una variedad similar de cosas e influencias. Siempre será tan complicado como aquello, cualquiera que sea el lugar. La curiosidad exige que formulemos preguntas, que intentemos enlazar las cosas y tratemos de entender esta multitud de aspectos tal como resultan quizás de la acción de un número relativamente pequeño de cosas elementales y fuerzas que actúan en una variedad infinita de combinaciones.

Acá, Feynman apuesta a que hay una explicación, basado en menos elementos que los que se nos presenten. Dos pilares de la ciencia: que hay una realidad, y que tiene un funcionamiento. Otro pilar, de la epistomología: que podemos ir avanzando en la compresión de ese funcionamiento. Feynman y el resto de los científicos, han estado viendo, en los últimos siglos, que la realidad se explica con un conjunto de elementos, conceptos, mecanismos, representaciones, que son "menos" en cantidad que lo aparente.

Por ejemplo: ¿Es la arena diferente a las rocas? Es decir, ¿es la arena quizás nada más que un gran número de piedras muy diminutas? ¿Es la luna una gran roca? Si entendiéramos las rocas, ¿entenderíamos también la arena y la playa?

Hoy, resulta extraño, pero por mucho tiempo, en la historia humana, luna y roca se consideraron esencialmente distintos.

¿Es el viento un chapoteo del aire análogo al movimiento chapoteante del agua en el mar? ¿Qué características comunes tienen los diferentes movimientos? ¿Qué es común a las diferentes clases de sonido? ¿Cuántos colores diferentes existen? Y así en tantas otras cosas. De esta manera tratamos de analizar gradualmente todas las cosas, de enlazar cosas que a primera vista parecen diferentes, con la esperanza de poder reducir el número de cosas diferentes y de esta manera comprenderlas mejor.

Esa es la esperanza del método científico: encontrar que la explicación del funcionamiento de las cosas.

Hace algunos cientos de años, se estableció un método para encontrar respuestas parciales a estos interrogantes. Observación, razonamiento y experimentación constituyen lo que llamamos el método científico.

Discutiría el término experimentación: también basta la experiencia, el ver lo que pasa en la realidad, sin llegar a plantear un experimento. Ese es el camino de ciencias como la astronomía, donde no es fácil montar un experimento.

En el siglo XX, se alza una crítica al método científico así esbozado. No he visto que sea una crítica que se mantenga, aunque puede que algún punto de la misma sea interesante. Mientras tanto, los científicos, han seguido practicando la actitud científica, para seguir avanzando en la explicación y comprensión de la realidad.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Junio, 2010, 0:03

En estas últimas semanas, he vuelto a leer mucho sobre física y cosmología, y sobre vida y biología, todo para ir delineando qué es lo que sabemos sobre "¿qué hace el Universo?", lanzado desde el post El Universo ¿piensa? . Son temas interesantes, que se cruzan con temas generales y particulares de ciencia, historia de la ciencia, epistemología, filosofía, filosofía de la ciencia, matemáticas, historia de las matemáticas, filosofía de las matemáticas, sistemas, etc...

Gracias a la consolidación de mis libros, este mes de Junio ha sido de reencuentro con varios libros. Uno es "Más rápido que la velocidad de la luz", de Joao Magueijo, que daría para comentar en varios posts: Magueijo plantea su "lucha" para difundir sus ideas sobre cosmologia, que no están alineadas con la "ortodoxia". Es un interesante tema para analizar. Pero no es el tema de este post.

Como en muchos otros libros de divulgación, el autor describe mucho de las historias de las ideas científicas (a veces eso es interesante, otras veces, dilata la explicación del quid del libro). En este libro, encuentro un texto que no conocía.

Einstein es el científico más conocido del siglo XX, y posiblemente, de la historia. Es todo un tema a investigar por qué ha sucedido así. Otros físicos teóricos, como Dirac, Pauli, Feinman, no consiguieron tanta fama. Recordemos que en su infancia y adolescencia no se destacó en los institutos a los que acudió, aunque se deba más a su rechazo a la formas de enseñanza, que a su falta de aptitudes. Pero luego de terminar los estudios, tampoco encajó en el mundo de la ciencia de Alemania. Gracias a una recomendación, consiguió un trabajo en la oficina de patentes de Berna, un puesto alejado de la "élite" de profesores de física, que era la forma entonces (fines del siglo XIX, principios del siglo XX) de sostenerse mientras se hacía investigación, teórica o experimental.

Llegados al año 1905, Einstein envía a publicar a la revista Annalen der Physics, tres artículos: en uno da una explicación del efecto fotoeléctrico, en otro trata el movimiento browniano, y dos más (creía que era uno solo) sobre la equivalencia de masa-energía y la electrodinámica de los cuerpos en movimientos. Este último fue la presentación de la teoría especial de la relatividad. Hasta ese momento, las ecuaciones de Maxwell no eran invariantes ante las transformaciones de Galileo/Newton. Notablemente, Einstein abandona esas transformaciones, mantiene las ecuaciones de Maxwell, y se atreve a cambia la teoría de Newton, camino que no se había encarado antes.

Uno podría esperar que semejante artículo despertaría un inmediato aplauso. Pero no. Einstein nunca fue partidario de notas autobiográficas personales. Gracias a su hermana Maja, que escribió años después sobre su hermano, hoy leo, este texto, citado en el libro de Magueijo:

El joven teórico se imaginó que la publicación del artículo en una revista científica de renombre, que además contaba con muchos lectores, llamaría la atención de inmediato. Pero se decepcionó; después de la publicación hubo un silencio mortal. La actitud general que adoptaron los círculos profesionales fue aguardar y ver qué sucedía. Luego de algún tiempo desde la publicación, Einstein recibió una carta de Berlin: la enviaba el célebre profesor Max Planck, quien le pedía que aclarara algunos puntos que le resultaban oscuros. Fue el primer indicio de que alguien había leído el artículo. El júbilo del joven científico fue enorme porque el reconocimiento de su trabajo provenía de uno de los físicos más eminentes de la época.

Tengo que confirmar si ese artículo era el tercero de 1905. Magueijo lo da a entender, pero no está explícitamente mencionado.

Gracias a esos trabajos, Einstein comenzó a ser reconocido por los físicos profesionales, y pudo, más tarde, conseguir puestos que le permitirían ir desarrollando más sus ideas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 23 de Junio, 2010, 0:09

Luego de mi consolidación de libros, me he reencontrado con muchos volúmenes que hace un tiempo que no consultaba. "Planetas Habitables" de Stephen Dole, es uno de esos libros. Editado en español en 1972, su primera edición fue en 1968, antes de pisar la Luna. Yo lo compré en 1978, y fue mi primer libro que no era de texto o de divulgación: era un libro de ciencia, que planteaba y desarrollaba un tema, no para un estudiante, sino para cualquiera interesado, aficionado o profesional, en el tema. A mí, me fascinó. Pero me costó entenderlo por completo, unos años (por suerte, fueron pocos; necesitaba una formación universitaria en algunos temas de física y matemáticas, que conseguí a principios de los ochenta).

Dole planteaba qué características debían tener planetas habitables por el ser humano. No se ocupaba de vida extraterrestre. No, su punto era evaluar: ¿cuál era la probabilidad de encontrar planetas que pudiéramos habitar, como humanidad? Para contestar esa pregunta, se iba planteando:

- La probabilidad de que una estrella tuviera planetas
- La probabilidad de que un planeta tuviera una órbita adecuada para la vida humana
- La probabilidad de que un planeta tuviera una masa adecuada
- La probabilidad de que un planeta tuviera una atmósfera adecuada
- y así...

Fue mi primer encuentro con las estrellas binarias (que son más frecuentes de que lo que imaginaba), y de las extrañas órbitas que podían adoptar los planetas en esos sistemas. El libro también me presentó los problemas de la aparición de la vida, la estabilidad de las atmósferas, nuevas formas matemáticas de presentar resultados (como las escalas logarítmicas), la formación de hipótesis, etc.

Leo a Dole:

En el momento de escribir este libro [antes de 1968] ningún ser humano ha viajado nunca más allá de varios centenares de kilómetros a partir de la delgada película esférica que podemos llamar nuestro mundo. Antes de nosotros, toda la especie humana ha vivido y muerto en la superficie de una esfera con poco más de seis mil kilómetros de radio, una esfera que gira alrededor de una simple estrella ordinaria que existe en uno de los brazos espirables de una galaxia aislada conocida como la Vía Láctea, la cual contiene más de cien mil millones de estrellas, en tanto que hay miles de millones de galaxias más en el universo. Y ante todo esto ¿quién puede dudar aún de que durante el curso de nuestras vidas los hombres podrán viajar a la Luna y probablemente a otros planetas del sistema solar?

Pisamos la Luna en 1969. Todavía nos falta llegar (en vuelo tripulado humano) a otro planeta. No parece fácil. Pasaron más de cuarenta años, y no llegamos a Marte. Igualmente, parece más provechoso, en el estado del arte actual, no lanzar vehículos con pasajeros humanas: hemos adelantado mucho con visitas no tripuladas, por todo el sistema solar.

La especie humana está pronta y a punto para llevar a cabo sus primeras expediciones importantes al espacio. ¿Por qué hay algunos hombres ansiosos de abandonar las comodidades de sus hogares para arriesgar la vida en las inhospitalarias regiones de este vasto espacio desconocido? Es tan fácil de entender y tan difícil de explicar como las emigraciones de nuestros antepasados de la Tierra del Fuego y de los isleños hawaianos, los viajes de Colón, la perseverancia del almirante Byrd, la determinación de Hillary. Las razones están precisamente en las cualidades que hacen de nosotros, los seres humanos, unos seres con capacidad para desHoafiar lo desconocido, para ahondar en las fronteras del conocimiento y para convertirse en exploradores y en adelantados.

No parece que estemos en una época de exploración espacial humana. Deberán pasar quizás algunas décadas para que los adelantos técnicos necesarios estén al alcance de entidades privadas, o públicas pequeñas. Hoy, la exploración tripulada del espacio no parece cercana.

En estos últimos años hemos adelantado mucho en el conocimiento de planetas extrasolares. Por lo menos, sabemos que existen (al menos, tenemos evidencia). Sería interesante revisar los resultados de Dole, con todos los conocimientos que tenemos hoy sobre el espacio.

Hoy veo que el libro de Dole se reeditó, ver:

Habitable Planets for Man

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 22 de Junio, 2010, 0:20

Henri Poincaré (1854-1912) fue uno de los matemáticos más grandes de la historia. Francés, su erudición iba más allá de las matemáticas. En 1902, cuando ya era reconocido en el mundo de las matemáticas profesionales, comenzó a escribir obras de divulgación de matemáticas, que eran muy populares en las cafeterías de París.

Su familia fue importante para Francia. Su primo, Raymond Poincaré, fue presidente de Francia durante la Primera Guerra Mundial. Otros familiares también desempeñaron cargos públicos. Poincaré creció en un ambiente rico en cultura y relaciones. No se reveló claramente como matemático en su infancia, porque era un universalista, un hombre del Renacimiento. Por ejemplo, desde joven destacó como escritor. Tenía una memoria prodigiosa. Pero también, cuando ya se sumergió de lleno en las matemáticas, ganó fama de distraido. Hoy leo una anécdota de su vida, en el capítulo 39 del libro "El último teorema de Fermat", de Amir D. Aczel, Fondo de Cultura Económica, recuperado en mi consolidación de libros:

En una ocasión un matemático finlandés viajó hasta París expresamente para entrevistarse con Poincaré y consultarlo respecto de unos problemas matemáticos. El visitante estuvo espererando durante tres horas fuera del despacho de Poincaré mientras el distraído matemático iba y venía por su interior (como era su costumbre cuando trabajaba). Por fin, Poincaré se asomó a la sala de espera y gritó: "Señor! está usted molestándome!", ante lo cual su visitante se marchó de París para no volver.

Ya mencioné a Poincaré en:

Poincaré y la belleza en ciencia
Poincaré y la topología
La creación matemática, según Poincaré
Más sobre la creación matemática, según Poincaré

En estos días, encontré el texto completo (editado) de su artículo "La creación matemática" que mencionaba en uno de esos posts. Tengo que comentarlo. También tengo que terminar de comentar su rechazo de la geometría no euclídea aplicada a la realidad (postura curiosa). Tengo que escribir sobre sus estudios de la estabilidad planetaria, su forma de aproximarse a ese problema, apelando a ideas topológicas, y su contribución al determinismo en física. También tendrá que ser mencionado, cuando me ocupe de relatividad (tema que va apareciendo a la vuelta de cada esquina, cada vez que he escrito sobre lo que sabemos del Universo, y de su historia).

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 21 de Junio, 2010, 14:28

Muchas veces un resultado científico se toma como base para algunas especulaciones o teorías filosóficas. La más de las veces, el resultado es "estirado" o malinterpretado, y las conclusiones que se sacan no están soportadas directamente por el resultado: hay una operación humana de agregar cosas, de tergiversar, de exagerar, que no debería hacerse, por lo menos, no sin advertirlo. Un caso así ha sido la "expropiación" del teorema de Godel, que tanta letra escrita a producido. Pero hay un caso más famoso, del que quería un día escribir: el de tomar las teorías de la relatividad de Einstein como punto de partida para variantes de "todo es relativo" (por supuesto, ignorando que antes Galileo y Newton ya usaron y asentaron un principio de relatividad). Por suerte, no tengo que escribir yo sobre el tema: hoy encuentro en las excelentes Physics Lectures de Richard Feynman, unos párrafos sobre el tema, al comienzo del capítulo 16, del primer volumen:

Cuando esta idea [la teoría de la relatividad] se progagó por el mundo, causó un gran revuelo entre los filósofos, especialmente los "filósofos de salón" quienes dijeron: "Ah! es muy simple, la teoría de Einstein dice que todo es relativo". Realmente una sorprendente cantidad de filósofos, no solamente aquellos que se encuentran en fiestas (pero con el ánimo de no avergonzarlos, sencillamente los llamaremos "filósofos de salón"), dirán "que todo es relativo, es una consecuencia de Einstein y tiene una profunda influencia en nuestras ideas".

Quien llegue a esa conclusión, poco bien le habrá hecho a la filosofía.

Además dicen: "Se ha demostrado en física que los fenómenos dependen del sistema de referencia".

Eso venía desde Galileo, prácticamente, no hizo falta llegar a Einstein.

Se escucha esto muy a menudo, pero es difícil saber lo que significa. Probablemente los sistemas de referencia a que se refirieron originalmente eran los sistemas de coordenadas que usamos en el anáalisis de la teoría de la relatividad. De manera que el hecho que "las cosas dependen de su sistema de referencia" ha tenido una profunda influencia en el pensamiento moderno. Uno podría muy bien preguntarse por qué, ya que, después de todo, que las cosas dependan del punto de vista de uno es una idea tan simple, que ciertamente no puede haber sido necesario todo el trastorno de la teoría de la relatividad física, para descubrirla.

Yo agrego: lo que pasó, es que un resultado particular, como las teorías de la relatividad de Einstein, se usaron para apoyar ideas, aprovechándose de su "tinte" científico. Aparentemente, tener una teoría científica por detrás, cuando conviene a lo que queremos decir, es aceptado (cuando la ciencia no soporta lo que alguien quiere afirmar, aparecerá alguna acusación a la ciencia en algún momento, o que la ciencia no abarca el aspecto humano, o variantes de ese "ataque"). Lo mismo pasó con la cuántica, donde la interpretación de Copenhague (apenas una interpretación, entre varias), ha dado tanto pie a hablar de "observador", "sujeto" y que no existe realidad independiente del sujeto, y más afirmaciones QUE no se siguen de lo que hemos descubierto de la cuántica.

Por eso es importante tomar todo, lo de la ciencia y lo de la filosofía, con una actitud crítica. Muchas veces, aceptamos lo que queremos aceptar, lo que nos es afín o simpático, lo que encaja con nuestras concepciones y visiones del mundo. Hay que ejercitarse para ir más allá: poner bajo análisis todo lo que nos llega.

Y levantar la guardia (no rechazar, sino detenerse, analizar,  ver si es así la cosa), cuando escuchamos "la teoría científica X apoya Y". Puede que sea verdad, pero es generalmente una gran afirmación, que merece un detenido análisis. No es una cuestión de salón.

Ya había usado el texto de Feynman (coautores Leighton, Sands) en:

Atomos y Estrellas, por Richard Feynman
El universo en una copa de vino
Información, átomos y Feynman

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Junio, 2010, 14:36

Ahora que tengo consolidados mis libros, me reencuentro con algunas joyitas, como el volumen I de las "Feynman Lectures on Physics". Tengo una edición español-inglés, y es un placer volver a leerla. Encuentro que algunos textos de Feynman que comenté anteriormente en:

El universo en una copa de vino
Información, átomos y Feynman

son en realidad, parte de este volumen (están en los primeros dos capítulos).

En uno de los primeros capítulos, Feynman aborta la relación entre la física y otras ciencias. Escribes sobre física y astronomía:

... el descubrimiento más notable de la astronomía es que las estrellas están hechas de átomos de la misma naturaleza que los que se encuentran en la tierra.

Algo que llevó siglos conseguir (recordemos que para Aristóteles los cielos eran distintos del mundo inmediato). Y ante esta gran afirmación, Feynman agrega una gran nota al pie:

Qué manera de precipitarme a través de esto! Cuánto contenido tiene cada frase de esta breve historia. "Las estrellas están hechas de los mismos átomos que los de la tierra". Corrientemente yo tomo un pequeño tópico como éste para dictar una clase.

Las Lectures son una transcripción editas de un curso de física que dictó Feynman durante dos años, en los sesentas, en el Instituto Tecnológico de Califronia.

Los poetas dicen que la ciencia elimina la belleza de las estrellas -meros globos de átomos de gas-. Nada es "mero". Yo también puedo ver las estrellas en una noche despejada y sentirlas. ¿Pero veo yo más o menos? La vastedas de los cielos ensancha mi imaginación -clavado en este carrusel, mi pequeño ojo puede recibir luz de un millón de años de edad. Una vasta estructura de la cual yo soy parte -quizás mi material fue arrojado de alguna estrella olvidada, como el que está arrojando una allí. O verlas con el ojo más grande de Palomar [se refiere al telescopio del observatorio de Monte Palomar], apartándose desde un punto común de partida donde quizás estuvieron todas juntas. ¿Cuál es la estructura, o el significado, o el porqué? No le hace daño al misterio conocer un poco de él. Porque mucho más maravillosa es la verdad que la que cualquier artista en el pasado imaginó! ¿Por qué los poetas del presente no hablan de ella? ¿Qué hombres son los poetas que pueden hablar de Júpiter como si fuera un hombre, pero si es una inmensa esfera rotante de metano y amoníaco deben permanecer mudos?

Habría que esperar unos años más, para encontrar más divulgación de la belleza en la ciencia, por ejemplo, de la mano de Carl Sagan.

El texto de Feyman es una pieza más para tratar de responder ¿Qué hace el Universo?, pregunta lanzada en:

El Universo ¿piensa?

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 17 de Junio, 2010, 11:18

Gracias a la consolidación de mis libros, me reencuentro con un volumen excelente, conteniendo reedición de artículos publicados en el Scientific American, sobre matemáticas. Tiene como título "Matemáticas en el Mundo Moderno". El artículo primero, "Innovación en Matemáticas", de Paul R. Halmos, hace referencia a un ejemplo de John von Neumann sobre la relación entre matemáticas y tecnología. Ya había escrito sobre su postura en:

Abstracción y Matemáticas, según von Neumann

Ahora leo en ese artículo de Halmos:

A John von Neumann le agradaba citar este ejemplo de la relación entre el desarrollo tecnológico y la matemática pura. Hace cieno cincuenta años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada, del cual dependía el desarrollo de la industria, del comercio y del gobierno, era el problema de salvar vidas en el mar. Las estadísticas de las pérdidas eran terroríficas. La cantidad de dinero y esfuerzos gastados en resolver el problema eran también terribles, y a veces absurdos. Ningún aparato por complejo que fuese era demasiado ridículo para ser dejado a un lado. Trasatlánticos equipados con estabilizadores como cierto tipo de canoas tal vez hayan parecido curiosos, pero valía la pena probarlos.

Al tiempo que los dirigentes del gobierno y de la industria fomentaban desesperadamente tales experimentos estrafalarios, los matemáticos iban desarrollando una herramienta que iba a salvar más vidas que las que todos los chiflados inventores se hubieran atrevido a esperar salvar. Esa herramienta es lo que ha llegado a ser conocido como la teoría de funciones de una variable compleja (una variable que contiene el número "imaginario" y la raíz cuadrada de menos uno). Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las más fructíferas es la teoría de la comunicación por radio. Desde el matemático Karl Friedrich Gauss al invento Guglielmo Marconi hay solamente unos pocos pasos que casi cualquier par de genios, tales como James Clerk Maxwell y Heinrich Hertz, podrían recorrer fácilmente.

No sabía de lo terrible del problema. Y curiosa la forma en que algo tan abstracto y aparentemente alejado de la realidad, como los números complejos, ganan en unas décadas una gran colina en las aplicaciones físicas. Tengo que comentar sobre esta gran capacidad de las matemáticas para ser usadas en la física, y más, en la física moderna. Alguien escribió sobre la "asombrosa" capacidad de las matemáticas para ser usadas en explicaciones del mundo físico, no sólo para aplicaciones tecnológicas.

Ya había mencionado a Halmos en:

"Quiero ser matemático" Conversando con Paul Halmos
El problema de los apretones de manos, de Paul Halmos

Ya había usado este volumen de artículos en:

La historia de Ramanujan

El artículo de Halmos fue publicado en Septiembre, 1958, en el Scientific American.

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Publicado el 16 de Junio, 2010, 12:09

Me encuentro con un curioso fragmento, que no conocía. Ayer en mi post:

Física como rama de la Filosofía

comentaba algo sobre la física de Aristóteles, que en su tiempo era una rama de la filosofía. Un punto destacado de su postura, es su separación del Universo en un mundo sublunar, y otro que comprende los cielos. El primero es compuesto de agua, aire, tierra, y fuego, con movimientos simples hacia el centro del universo (que para Aristóteles es el centro de la Tierra), o alejándose de ese centro. En cambio, en el mundo celestial, estaba el éter, cuyo movimiento simple era el circular.

Hay que destacar que su física no fue universalmente aceptada por sus contemporáneos, ni en los siglos de la antiguedad que le sucedieron. Eso de tener DOS mundos no era algo que todos los griegos aceptaran. Hubo un renacer de Aristóteles en Europa, en la tardía Edad Media (digamos siglo XIII, luego de unos siglos donde fue Platón el preferido por esos lares). Pero también hubo rechazo de sus ideas, antes del Renacimiento. Pero a Descartes y Galileo le enseñaron Aristóteles, que era el "preferido" por la Iglesia de entonces.

El texto que encuentro, es una crítica temprana de Ockham (1288-1348) a la física de Aristóteles:

Me parece que la materia de los cielos es del mismo tipo que aquella de todas las demás cosas que hay debajo, porque ha sido frecuentemente dicho: uno no debe asumir más de lo necesario. Ahora, no hay razón en este caso que asegure la postulación de un tipo diferente de materia aquí y allí, porque de cada cosa explicada asumiendo diferentes materias también se puede dar cuenta, o explicar mejor, postulando una sola clase de materia.

Lo encuentro citado en el primer capítulo del excelente "The Philosophy of Physics" de Roberto Torretti. Es interesante que Ockham recurra a un argumento parecido a su propia "navaja de Ockham", que mencioné en:

Un ejemplo de lógica y realidad

Habría que esperar a Galileo, con su telescopio, mostrando los accidentes de la Luna y los satélites de Júpiter, y a Newton, mostrando que la manzana y la Luna sufren la misma gravedad, para volver a unificar el Universo físico. Un punto más: leyendo esas páginas, Torretti llama la atención hacia un punto: Galileo no quería tanto "conquistar" los cielos, sino mostrar que los éxitos de la matemática aplicada en astronomía, podían aplicarse a los movimientos de nuestro entorno. Traer el orden de los cielos a una nueva física.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 15 de Junio, 2010, 0:25

En estos días donde las ciencias físicas están tan especializadas, y estamos explorando el primer segundo del Universo por un lado, y las partículas elementales por otro, es fácil olvidar que en un tiempo el estudio de la naturaleza, en especial de la física, era considerada una rama de la filosofía.

Comenzando la filosofía occidental en Grecia, recordemos que algunos de los presocráticos, como Tales, Anaximandro, fueron llamados los "fisicalistas" por preguntarse por la physis, término griego que traducimos a "naturaleza". En esa postura, trataban de explicar lo que veían, remitiendo a que todo era Agua (como decía Tales) o que todo derivaba del agua, tierra, aire y fuego. Luego vino la idea de una "quinta esencia", que explicaría los cielos.

La filosofía griega trataba de explicar todo. Y para un filósofo como Aristóteles, la física era una rama de la filosofía. Las otras ramas eran la lógica y la ética, y al final, como pregunta por todo lo que es, la metafísica. Aristóteles escribía en De caelo:

The science which has to do with nature clearly concerns itself for the most part with bodies and magnitudes and their properties and movements, but also with the principles of this sort of substance, as many as they may be. For of things constituted by nature some are bodies and magnitudes, some possess body and magnitude, and some are principles of things which possess these.

Pero lo que quiero dejar escrito en este blog, que hasta el siglo XVIII y alrededores, en Occidente la física y aledaños era llamada "Filosofía natural". Descartes comparó a la filosofía con un árbol, del que la física era el tronco. Galileo pidió agregar el término "filósofo" a su cargo de "matemático" en su presentación ante los Medici. Newton escribió los Principios Matemáticos de la Filosofía Natural. Sólo a partir de entonces se comenzó a separar la física. Gracias en gran parte a Galileo, Kepler, y Newton (y a la explicación abarcativa de las teorías de este último) es que va naciendo la ciencia física a la manera que la conocemos hoy, como parte de la actividad científica. Actividad que se apartó de los usos y costumbres de la filosofía, para hacer más énfasis en la formación de modelos, contrastación con la realidad, no sólo con experiencia, sino también con experimentos.

Igual hay que recordar que ya en la Edad Media, en Europa, había precursores, que comenzaban a disentir de los resultados de Aristóteles, el principal filósofo griego que influyó en las visiones de la naturaleza que había entonces. Aristóteles había tomado caminos erróneos en la explicación del movimiento. Sus causas incluían la "causa final", cuyo abandono sería una de las características de la actividad científica en los siglos que vendrían luego del Renacimiento (aunque hay que reconocer que si moderamos algunas de sus conclusiones, Aristóteles es un muy buen "explicador" biológico; ahí hay cierta esperanza de poder aplicar algunas de las ideas del estagirita). Mientras que Aristóteles separaba la física en dos: una para la materia y eventos terrenos, y otra para los cielos, fue la genial idea de Newton la que terminó con esa separación: la manzana y la Luna, ambas se veían afectadas de la misma forma; la gravitación era universal.

Este post nace de la lectura de los primeros párrafos del excelente libro de Roberto Torretti, "The philosophy of Physics", que ya mencioné en:

Experiencia y experimento
Una refutación de Galileo a Aristóteles

Es uno de los libros del que recuperé la lectura, luego de mi consolidación de libros.

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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 13 de Junio, 2010, 16:18

El Hombre de Vitruvio El tema de la simetría es un gran tema. En los libros de divulgación de matemáticas, se la asocia rápidamente con la teoría de grupos, pero no se profundiza. También aparece en geometría, en definiciones modernas de geometrías (como la de Klein), en el teorema de Noether. Notablemente, en el último siglo y algo más, aparece en física. También acá, los libros de divulgación la proclaman, presentan algo de teoría de grupos, tal vez el cubo de Rubik, y mencionan "la ruptura de la simetría", pero sin aclarar mucho sobre cómo se aplica en física. Es por todo esto, que el tema es grande para escribir sobre él. Incursionaré en él a medida que tenga tiempo y material, pero no esperen una rápida resolución del tema.

Veamos de dónde viene la palabra "simetría". Como tantas otras, viene del griego: "sym" y "metria", que se puede traducir como "la misma medida". No siempre significó lo que hoy en matemáticas, o en lenguaje común. Los antiguos griegos decían que una obra de arte o un diseño arquitectónico era simétrico cuando se podía identificar una pequeña parte de la obra, de tal forma que las dimensiones de las otras partes contenían esa parte en una cantidad entera de veces. Decían que las partes eran "conmensurables". Vean que esa definición corresponde más a lo que llamamos hoy "proporción" que "simetría".

Filósofos como Platón y Aristóteles, pronto asociaron la simetría con la belleza (aún hoy en día, buscamos en rostros y cuerpos humanos, proporción y simetría). Según Aristóteles: "Las principales formas de la belleza son disposición ordenada [en griego taxis], proporción [symmetria], y definitud [horismenom], cualidades que son reveladas en particular por las matemáticas".

La influencia de los antiguos griegos llegó a Roma. El arquitecto romano Vitruvio trató el tema en el primer siglo antes de Cristo. La imagen que acompaña este post, es el famoso "Hombre de Vitruvio" dibujo de Leonardo Da Vinci, basado en el trabajo de Vitruvio sobre las proporciones del ser humano; imagen tomada del artículo de la Wikipedia. En su "Diez libros de arquitectura", la biblia de la arquitectura en Europa por varios siglos, Vitruvio escribe:

El diseño de un templo depende de la simetría, sus principios deben ser cuidadosamente observados por el arquitecto. Se deben a la proporción. La proporción es la correspondencia entre las medidas de los miembros de la obra completa, y las del todo a una cierta parte seleccionada como estándar. De aquí resultan los principios de la simetría.

Vemos que en esos tiempos seguía siendo asociado "simetría" con "proporción". No fue hasta la era moderna donde aparece el significado que me interesa. Parece que fue introducido en la segunda parte del siglo XVIII. Hablando desde el punto de vista de las matemáticas, simetría es algo como "inmunidad a un posible cambio". La traslación de un cuadrado en un plano, de tal forma que sus vértices queden trasladados a otro vértice, de alguna forma produce el "mismo" cuadrado". Sus rotaciones y reflexiones son el origen de todas esas traslaciones. Tengo que escribir un post sobre ejemplos de grupos, y veremos que esas operaciones forman grupo (ver Grupos: definición y ejemplo).

Para terminar esta introducción, recuerdo al matemático Hermann Weyl (1885-1955) que escribió:

Una cosa es simétrica si hay algo que podemos hacer con ella de tal forma que cuando terminemos, la cosa parezca la misma que al principio

Encontré estos datos en: "The equation that couldn't be solved: How mathematical genius discovered the language of symmetry" de Mario Livio. El libro trata sobre la vida y los resultados fascinantes de Evaristo Galois (ver Teoría de Galois, Motivaciones para la teoría de grupos; Galois murió jovencísimo, y no tuvo una vida fácil, ver Gauss, Abel, Galois en la sociedad, según Bell ). Livio también es autor de otro libro, "The Golden Ratio" sobre la razón aúrea.

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Publicado el 12 de Junio, 2010, 16:32

Uno de los libros que he rescatado en mi consolidación de cubiles ha sido el muy bueno "¿Qué es la matemática?" de Courant y Robbins. En estos días, encuentro una cita de Richard Courant (matemático alemán, 1888-1972), relacionado con el tema de mi anterior post Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann. Leo:

Del mismo modo que la deducción ha de venir suplementada por la intuición, el impulso hacia la generalización progresiva ha de verse atenuado y equilibrado por el aprecio y el respeto a los matices. No debe degradarse el problema individual al rango de mera ilustración particular de majestuosas teorías generales. De hecho, las teorías generales surgen de considerar lo específico, y carecen de sentido si no sirven para clarificar y ordenar las cuestiones más concretas subyacentes. Interacción entre generalidad e individualidad, deducción y construcción, lógica e imaginación, esa es la esencia profunda de una matemática viva. Cualquiera de esos aspectos puede estar en el centro de un cierto descubrimiento. En su desarrollo a largo plazo, todos se verán involucrados. Por lo general, tal desarrollo partirá de una base "concreta", arrojará lastre mediante abstracción y se elevará hasta capas altas de aire tenue, en las que son fáciles la navegación y la observación. Después de este vuelo llega la prueba crucial de tomar tierra y alcanzar objetivos específicos en las nuevas llanuras recién descubiertas de "realidad" individual. En resumen, el vuelo por generalidad abstracta debe iniciarse y terminar en lo concreto y específico.

Me gusta la imagen del vuelo. Me gustaría leer más sobre sus opiniones de uso de deducción e intuición, que las dos parecen indispensables en el desarrollo del pensamiento de un matemático.

Por lo que veo de la historia de las matemáticas, esto de "teoría general" vs "teoría particular" tiene una relación con la aparición de la abstracción. Como menciona Courant metafóricamente, en el pasaje de lo particular a lo general, la abstracción arroja lastre, para levantar vuelo. Desde ese punto, el abstracto, podemos separar la paja del trigo, ver algunos puntos más claros, y usar ese conocimiento en otros lugares (pondría como ejemplo, el desarrollo de la teoría de grupos, que se ha ido permeando y alimentando de tantas ramas de las matemáticas, y aún encuentras su lugar de aplicación en la física moderna, en lugares que Galois y otros no hubieran esperado).

Mi postura: no hay tanto vuelo desde una base concreta a un cielo abstracto, y vuelta. Veo que hay un "peloteo" entre lo abstracto y lo concreto, alimentado entre matemáticas puras y aplicadas. Comenté como caso la teoría de las supercuerdas, en el post mencionado arriba. Otro ejemplo que tengo que comentar, en sentido inverso, desde lo más o menos abstracto a su aplicación en física, es la historia de las cónicas, estudio creado por los antiguos griegos, que reaparece con bríos en Kepler, Galileo y Newton en física (notablemente, luego se sumergen de nuevo en las matemáticas, de otra forma, con la trigonometría hiperbólica, las integrales elípticas, las inversas de éstas, las funciones elípticas, y por uno de esos caminos tortuosos y admirables, llenos de toda maravilla, aparecen en el camino de la solución del último teorema de Fermat).

Encuentro el texto citado en el excelente "Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones y notas históricas" de George F. Simmon, una de las tres citas anteriores al primer capítulo (ya comenté una de Poincaré y otra de Von Neumann)

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Publicado el 10 de Junio, 2010, 0:31

Sigo encontrando textos a comentar, en el excelente "Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones y notas históricas" de George F. Simmons, como en mi anterior post:

Poincaré y la belleza en ciencia

El libro tiene muchas notas sobre la historia de las matemáticas, y textos citados de matemáticos célebres. Alguien que ha destacado en el siglo XX, fue John Von Neumann (1903-1957). Nacido en Hungría, emigró a Estados Unidos, donde fue uno de los primeros integrantes del Instituto Avanzado de Princeton, junto con Eintein y Gödel (ver Gödel y Einstein en Princeton). Participó en el desarrollo de la bomba atómica, así como en los fundamentos de la teoría de conjuntos, la formalización de la física cuántica, y otros temas como economía: prácticamente inventó la teoría de juegos, que asentó en un libro clásico escrito con Oskar Morgenstern. Curiosamente, al prolífico Von Neumann se le escapó una idea, en ese libro, que dió pie para que John Nash planteara, un poco después de la segunda guerra, su famoso equilibrio Nash, que al final lo llevó al premio Nobel de Economía. Hay varias anécdotas sobre Von Neumann, que dará para otros post. Agrego también su trabajo en autómatas finitos, y en la arquitectura de computadores de su tiempo, que hoy se reflejan en las computadoras actuales.

Leo el texto de Von Neumann (Simmons no aclara la fuente):

Cuando una disciplina matemática se aleja de sus fuentes empíricas o, más todavía, si pertenece ya a una segunda o tercera generación inspirada sólo de manera indirecta en ideas procedentes de la "realidad", le acechan graves peligros. Irá convirtiéndose cada vez más en algo puramente esteticista, más y más l'art pour l'art. Esto no es necesariamente malo, siempre y cuando esa disciplina esté arropada por temas correlacionados que mantengan más estrechas conexiones empíricas, o esté bajo la influencia de hombres de gusto excepcionalmente bien formado. Ahora bien, entraña un grave riesgo que el tema se desarrolle siguiendo las líneas de menor resistencia, que la corriente, tan lejos ya de sus orígenes, se escinda en multitud de ramales intrascendentes, y que la disciplina acabe desembocando en un cúmulo informe de detalles y complejidades. En otras palabras, a gran distancia de su fuente empírica, o tras excesiva endogamia "abtracta", un tema matemático corre peligro de degeneración.

Como enumeré, gran parte del trabajo de Von Neumann se baso en aplicaciones prácticas. Tal vez, lo más alejado de inmediato uso, fue su trabajo sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos (también aportó a las conclusiones de Gödel; había asistido al seminario en Konisberg donde Gödel enunció sus hoy famosos dos teoremas, aunque en aquel momento sólo provocó algún levantamiento de cejas, excepto quizás en Von Neumann que vió de inmediato su importancia).

Pero veo que si hoy viviera, la daría un patatús. La abstracción en matemáticas ha ido avanzado. Desde la aparición de estructuras, como grupo (en los trabajos seminales de Abel y Galois, donde también aparece, sin ese nombre, la estructura de cuerpo; ver Teoría de Galois), su desarrollo al principio del siglo XX, la aparición de ideas como la teoría de categorías a mitad del siglo XX, los esquemas, de la mano de Grothendiek y otros, son todos temas que dominan gran parte de la matemática actual. Por ejemplo, la resolución del llamado último teorema de Fermat, implicó el uso de teorías y conjeturas y herramientas, que han nacido prácticamente de la abstracción. El programa de Langlands es un monumento a la abstracción.

Pero hay que reconocer (como mencioné al pasar en Física y Matemáticas según Einstein) ha habido un intercambio bidireccional, influencia en ambos sentidos, entre matemáticas y ciencia, en especial, con la física. Ejemplo de estos últimos días: los avances producidos en matemáticas para alimentar la teoría de supercuerdas, que notablemente llevaron a Edward Witten a ganar la medalla Fields.

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Publicado el 9 de Junio, 2010, 11:45

Hace un tiempo escribí sobre la relación entre Einstein y Gödel en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton:

Gödel, Einstein y la constitución americana
Gödel y Einstein en Princeton

Pensé que ahí había comentado sobre un supuesto diálogo entre los dos, donde cada uno exponía por qué había elegido la física o las matemáticas. Tengo que buscar ese diálogo. En estos días, con la consolidación de libros, me reencuentro con la biografía de Einstein escrita por Banesh Hoffmann. Ahí leo una explicación de Einstein:

El hecho de que descuidara en cierta manera las matemáticas tenía como explicación no sólo mi mayor interés por la ciencia que por las matemáticas, sino también esta curiosa experiencia. Yo veía que las matemáticas estaban divididas en numerosas especialidades, cada una de las cuales podía absorber los pocos años de una vida humana. Por consiguiente, me veía en posición del asno de Buridán, incapaz de decidirse al hecho de que mi intuición no era demasiado fuerte en el campo de las matemáticas.... Sin embargo, en física aprendí en seguida a seguir la pista de lo que podía llevarme hasta los principios básicos y dejar de lado todo lo demás, el cúmulo de cosas que invaden la mente y la alejan de lo esencial.

Ciertamente, Einstein tenía esa capacidad: llegar al quid de una cuestión. Interesante su decisión. En contrapartida, hay que reconocer que mucho de las matemáticas se ha ido construyendo desde las necesidades de avance de la física. También ha pasado (curiosamente) que matemáticas que al parecer no tenían aplicación práctica, terminaron siendo usadas en física y otras ciencias. Tengo que escribir ejemplos de ambos casos. Pero a lo que apunta Einstein es al tema de la decisión: las ciencias, no formales, tienen un "diálogo" con la realidad; digamos, uno tira la pelota, y le responde el frontón de la realidad. Hay un hilo conductor, que nos va diciendo si vamos o no por el buen camino. A veces, no es clara la respuesta de la realidad. Un caso que, pienso, le asombraría a Einstein, es todo lo que se armó en cosmología (por ejemplo, la teoría de la inflación de Guth), montado en una larga cadena de inferencias, que tienen poca corroboración. O el paisaje cósmico de Susskind y otros, que prácticamente no tiene forma hoy de ser contrastada. Relacionado con esto último, las teorías de supercuerdas, que están pendientes de experimentos que apenas podemos alcanzar a hacer; veremos qué nos depara el Large Hadron Collider del CERN.

Un buen libro para iniciarse en la divulgación de la relatividad, lo comenté en:

100 años de relatividad

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 8 de Junio, 2010, 14:45

Como saben, cada día me ocupan varias lecturas. Hay varios temas que estoy estudiando, y revisando, para comentar por acá. Por ejemplo, tratando de contestar al bueno de @carlospirovano sobre ¿qué hace el Universo?, tema que comenzó a aparecer desde:

El Universo ¿piensa?

Gracias a la consolidación de mis libros, en estos días me reencuentro con un libro que tengo pendiente de leer. Como muchas de mis lecturas últimas fueron sobre física, a cada tanto aparecen temas de cálculo, diferenciales y demás. Así que estoy estudiando algo del libro "Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones y notas históricas" de George F. Simmons. Les adelanto que es muy bueno, claro, y además, salpicado y enriquecido con notas sobre matemáticos y sus descubrimientos. Yo pienso que es muy importante no sólo conocer algo, sino también el desarrollo histórico de ese conocimiento. De ahí que varias de mis lecturas sean sobre historia de la ciencia, de la física, de la filosofía, y de la matemática.

Al comienzo de ese libro, encuentro citado a Henri Poincaré, gran matemático francés, también dedicado a la teoría de la física y a la filosofía de la ciencia:

Los científicos estudian la naturaleza no porque sea útil, sino porque encuentran placer en ello, y encuentran placer porque es hermosa. Si no lo fuera, no merecería la pena conocerla, y si la naturaleza no mereciera la pena, la vida tampoco. No me refiero, claro está a la belleza que estimula los sentidos, la de las cualidades y las apariencias; no es que menosprecie tal belleza, nada más lejos de mi intención, mas ésta nada tiene que ver con la ciencia< me refiero a esa hermosura más profunda que emana del orden armonioso de las partes, susceptible de ser captado por una inteligencia pura.

Interesante párrafo. No tengo datos de la fuente original. Concuerdo con Poincaré: los científicos, en general, encuentran placer en el estudio de la ciencia. Lo pueden comprobar también en los que se inician en el estudio de la ciencia. Hay que desterrar esa idea, de alguna corriente humanista alimentada por lecturas de Francis Bacon, de la ciencia como búsqueda de dominar la naturaleza.

Pero Poincaré pone más: no sólo los científicos encuentran placer en la ciencia, sino también belleza. Es muy difundida esa idea, y es así. Sólo advertiría: la ciencia busca explicar la realidad; muchas veces, al formular un modelo, el científico se guía por un criterio de belleza, armonía, o aún, simetría (el caso paradigmático, Einstein y su teoría de la relatividad, en particular la general). Es un camino que ha resultado fructífero. Pero tengo que advertir: la ciencie busca la realidad. Si algún día, la explicación de la realidad no fuera bella, tendríamos que admitirlo, y aceptarla.

Hace poco mencioné: para Galileo, lo "bello" eran las órbitas planetarias circulares; le disgutaba, entonces, las elipses de su contemporáneo Kepler (tengo que escribir sobre sus disputas). Lo que es bello para nosotros, no tiene que ser lo que corresponda a la realidad. Einstein se resistía a la física cuántica, por lo menos a lo que no le gustaba: la aparición del azar.

Sencillez, belleza, armonía, simetría, son pistas, heurística fructífera. Pero no el fundamento.

Recientemente, mencioné a Poincaré en varios post sobre geometrías no euclidianas y realidad. Pero hace un tiempo, también lo mencioné en:

Poincaré y la topología
La creación matemática, según Poincaré
Más sobre la creación matemática, según Poincaré

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

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