Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 7 de Junio, 2010, 0:32

Sigo comentando fragmentos del excelente "El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días", de Morris Kline. Escribía sobre geometría y realidad en:

La realidad de la geometría no euclídea (Parte 1)
Euclides, geometría y realidad, por Martin Gardner (Parte 1)
Euclides, geometría y realidad, por Martin Gardner (Parte 2)

En el capítulo 38, Kline sigue mencionando matemáticos que no aceptaron las geometrías no euclideanas al mismo nivel que la de Euclides. Por ejemplo:

Cayley fue un firme partidario del espacio euclídeo y aceptó las geometrías no euclídeas solamente en cuanto que podían ser realizadas en el espacio euclídeo por medio de nuevas fórmulas para la distancia. En 1883, en su discurso presidencial a la "British Association for the Advancement of Science" (Asociación Británica para el Progreso de la Ciencia), dijo que los espacios no euclídeos eran a priori una idea equivocada, pero que las geometrías no euclídeas eran aceptables porque resultaban meramente de un cambio en la función distancia del espacio euclídeo. No garantizó la existencia independiente de las geometrías no euclídianas sino que las trató como una clase de estructuras euclídeas especiales, o como una manera de representar las relaciones proyectivas en la geometría euclídea. Su opinión era que:

"El duodécimo [décimo] axioma de Euclides en la forma que dio Playfair no necesita demostración, sino que es parte de nuestra noción de espacio físico de nuestra propia experiencia -esto es, el espacio con el que llegamos a conocer por medio de la experiencia, pero que es la representación subyacente en el fundamento de toda experiencia exterior.

Se puede decir que la opinión de Riemann es que, teniendo in intellecta una noción más general de espacio (de hecho una noción de espacio no euclídeo), aprendemos por medio de la experiencia que el espacio (el espacio físico de la experiencia) es, si no exactamente, al menos en el más alto grado de aproximación, espacio euclídeo."

Se refiere a Arthur Cayley, matemático británico (1821-1895). Su postura llenaría de alegría a Kant, si éste se hubiera enterado. Hoy no se ve el mencionado postulado de Euclides (el famoso de las paralelas) no necesita demostración. Se ve que es independiente de los demás y que se pueden construir, definir geometrías que no lo cumplen. Pero, por lo que veo en estos posts y lecturas, todo eso tuvo resistencia, más de la que hubiera imaginado. Kline no menciona lo que sigue de esa presentación de Cayley, según su página en la Wikipedia:

But suppose the physical space of our experience to be thus only approximately Euclidean space, what is the consequence which follows? Not that the propositions of geometry are only approximately true, but that they remain absolutely true in regard to that Euclidean space which has been so long regarded as being the physical space of our experience.

Kline sigue mencionando:

Klein consideró el espacio euclídeo como el espacio fundamental necesario. Las otras geometrías eran meramente euclídeas con las nuevas funciones para las distancias. Las geometrías no euclídeas estaban en efecto subordinadas a la geometría euclídea.

Esta vez se refiere a Felix Klein, matemático alemán (1849-1925). Curiosa postura de Klein, que luego crearía su definición de geometría dentro del Programa de Erlangen. Veo que al igual que Cayley aceptó un cambio en las distancias como diferencia de las geometrías no euclidianas.

Tengo que escribir sobre la postura de Poincaré. Y sobre las ideas de Riemann, que luego tanta influencia tendrían en matemáticas y, notablemente, en física. Fueron mencionadas al pasar en el texto de arriba de Cayley. Temas interesanes, que merecen posts apartes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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