Uno de los libros que he rescatado en mi consolidación de cubiles ha sido el muy bueno "¿Qué es la matemática?" de Courant y Robbins. En estos días, encuentro una cita de Richard Courant (matemático alemán, 1888-1972), relacionado con el tema de mi anterior post Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann. Leo:

Del mismo modo que la deducción ha de venir suplementada por la intuición, el impulso hacia la generalización progresiva ha de verse atenuado y equilibrado por el aprecio y el respeto a los matices. No debe degradarse el problema individual al rango de mera ilustración particular de majestuosas teorías generales. De hecho, las teorías generales surgen de considerar lo específico, y carecen de sentido si no sirven para clarificar y ordenar las cuestiones más concretas subyacentes. Interacción entre generalidad e individualidad, deducción y construcción, lógica e imaginación, esa es la esencia profunda de una matemática viva. Cualquiera de esos aspectos puede estar en el centro de un cierto descubrimiento. En su desarrollo a largo plazo, todos se verán involucrados. Por lo general, tal desarrollo partirá de una base "concreta", arrojará lastre mediante abstracción y se elevará hasta capas altas de aire tenue, en las que son fáciles la navegación y la observación. Después de este vuelo llega la prueba crucial de tomar tierra y alcanzar objetivos específicos en las nuevas llanuras recién descubiertas de "realidad" individual. En resumen, el vuelo por generalidad abstracta debe iniciarse y terminar en lo concreto y específico.

Me gusta la imagen del vuelo. Me gustaría leer más sobre sus opiniones de uso de deducción e intuición, que las dos parecen indispensables en el desarrollo del pensamiento de un matemático.

Por lo que veo de la historia de las matemáticas, esto de "teoría general" vs "teoría particular" tiene una relación con la aparición de la abstracción. Como menciona Courant metafóricamente, en el pasaje de lo particular a lo general, la abstracción arroja lastre, para levantar vuelo. Desde ese punto, el abstracto, podemos separar la paja del trigo, ver algunos puntos más claros, y usar ese conocimiento en otros lugares (pondría como ejemplo, el desarrollo de la teoría de grupos, que se ha ido permeando y alimentando de tantas ramas de las matemáticas, y aún encuentras su lugar de aplicación en la física moderna, en lugares que Galois y otros no hubieran esperado).

Mi postura: no hay tanto vuelo desde una base concreta a un cielo abstracto, y vuelta. Veo que hay un "peloteo" entre lo abstracto y lo concreto, alimentado entre matemáticas puras y aplicadas. Comenté como caso la teoría de las supercuerdas, en el post mencionado arriba. Otro ejemplo que tengo que comentar, en sentido inverso, desde lo más o menos abstracto a su aplicación en física, es la historia de las cónicas, estudio creado por los antiguos griegos, que reaparece con bríos en Kepler, Galileo y Newton en física (notablemente, luego se sumergen de nuevo en las matemáticas, de otra forma, con la trigonometría hiperbólica, las integrales elípticas, las inversas de éstas, las funciones elípticas, y por uno de esos caminos tortuosos y admirables, llenos de toda maravilla, aparecen en el camino de la solución del último teorema de Fermat).

Encuentro el texto citado en el excelente "Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones y notas históricas" de George F. Simmon, una de las tres citas anteriores al primer capítulo (ya comenté una de Poincaré y otra de Von Neumann)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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