Angel "Java" Lopez en Blog

29 de Junio, 2010


Publicado el 29 de Junio, 2010, 0:17

Esta última semana, estuve enfermo, sufriendo de congestión nasal, garganta irritada, y demás síntomas que prefiero no recordar. Lo que me dió la oportunidad de pasar parte de la convalencencia en cama, con varias lecturas matemáticas. Volví a leer sobre Teoría de Números. Tengo que postear sobre los libros que tengo sobre el tema, luego de mi consolidación de mi biblioteca.

Hoy quisiera, simplemente, pasar en limpio una demostración sobre el máximo común divisor de dos números enteros, digamos a, b. Tomaré:

(a , b)

como expresión del máximo común divisor. Usando propiedas sencillas de divisibilidad, y alguna de los subconjuntos de enteros, mi demostración es como sigue (en mis libros encontré otras demostraciones, que deberé comentar; no recuerdo de dónde salió la de este post, pero trato siempre de conseguir demostraciones de los teoremas que estudio, antes o luego de leerlos, y buscando otras demostraciones).

Primero, el m.c.d. existe, porque por lo menos existe el 1, hay un conjunto de divisores comunes no vacío, hay positivos, y está acotado. Entonces, existe el máximo (ésta es una de las propiedades de subconjuntos enteros o naturales, que uso).

Luego, veamos el conjunto de los números:

A = {ax + by, x, y enteros }

Es claro que es cerrado para la suma y la resta. Y que no es vacío, y que tiene números naturales. Tomemos el mínimo de esos números naturales (mayor que cero) (por la propiedad de existencia de mínimo en todo subconjunto de naturales). Sea d de la forma:

ax + by = d

Puedo demostrar que todos los números de A son múltiplos de d. Si no fuera así, si existiera

aw + bz = d * n + r (con resto r)

entonces

aw + bz - d = a(w-x) + b(z-y) = r < d

pertenecería a A, y sería menor que d, contra lo supuesto.

Entonces, d divide a todos los elementos de A. En particular, divide a:

a = 1.a + 0.b
b = 0.a + 1.b

Entonces, d es divisor común de a y b. Si hubiera otro divisor de a y b, digamos f, entonces debe dividir a todos los

ax + by de A

en particular a d. Queda demostrado que d es el m.c.d, es (a , b).

Las demostraciones más difundidas hacen uso del algoritmo de Euclides, o de su refinamiento, el algoritmo de división. Siempre me parecieron algo trabajosas. Prefiero la de arriba. Algunas notas: A es un grupo, un subgrupo de Z para la suma; todos los subgrupos de Z son de ese tipo: Zd, múltiplos de Z (tengo que escribir de teoría de grupos, como había insinuado en Grupos: definición y ejemplo).

Pero este es un resultado mínimo. Quiero escribir sobre algunos temas un poco más avanzados e interesantes como:

- Ecuaciones diofánticas
- Teorema chino del resto
- Reciprocidad cuadrática
- Anillos e Ideales en Teoría de Números
- Series L de Dirichlet
- Funciones aritméticas como la indicatriz de Euler
- La función gamma de Euler: ¿cómo aparece en este tema?
- Producto de Dirichlet
- Convoluciones generalizadas
- Número de clase
- Funciones multiplicativas
- El teorema de distribución de los números primos

Pero tengo que entrenarme en la publicación de post usando fórmulas matemáticas.

Notablemente, algunos temas son relativamente sencillos, y otros se complican. También, notablemente, para investigar algunos de esos temas, ha debido acudirse al análisis matemáticos, números complejos y más. Lo que indica lo interesante de la teoría, y su relación no trivial con muchas de las otras ramas de las matemáticas. Y si alguno de esos temas avanzan en este blog, posiblemente llegue a escribir un poco de la historia, de uno de esos "grandes y famosos" temas, como el último teorema de Fermat, y su resolución.

Y todo esto por una gripe... ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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