Ayer escribí algo sobre teoría de números en el post:

Un pequeño ejercicio en Teoría de Números

como para ir calentando motores. Hoy comenzamos a estudiar en este post la función indicatriz de Euler:

Es la cantidad de números naturales 1 <= a <= n, tales que (a , n) = 1, su máximo común divisor. Es decir, la cantidad de los números 1..n que son primos con n.

Veamos los primeros valores:

Siempre es bueno tener una visualización de su distribución, primeros valores:

(los rojos son los primos con el número más a la derecha de cada secuencia). Algunos valores más:

¿Notan alguna regularidad?

Uno podría preguntarse ¿para qué Euler necesitó esta función? Vamos a explorar sus cualidades, que son muchas. Euler la usó para demostrar algunos resultados de Fermat, que éste había publicado sin demostración, y los extendió. Notablemente, esta función fue apareciendo en varios temas, así como otras del mismo tipo. Euler, como solía hacer con todo tema que le interesara, prácticamente le sacó todo el jugo posible a esta función y sus aplicaciones. Es notable cómo uno de los más grandes matemáticos de la historia, recorría hasta el final cualquier camino interesante que se le presentara.

En próximos posts veremos qué son las funciones multiplicativas, y las completamente multiplicativas, en futuros posts. Por ahora, exploremos ésta primera función, muy interesante.

Primer tema ¿Cómo podemos calcular φ(n) para cualquier n? Vayamos por partes. Primero, es fácil ver que:

cuando p es primo > 1.

Para ir a otros n, podemos encarar el tema en dos ramas. Deberíamos probar que si n = mp, p primo, (m,p)=1, es decir, p no divide a m, entonces

Luego, deberíamos probar que si n=mp, (m,p)=p, entonces:

Si probamos eso, entonces ¿Qué pasa cuando n es potencia de primo p?

Y luego, podemos deducir el valor para cualquier n (basta descomponerlo en potencias de primos).

Primer tema interesante:

Donde la suma se extiende a los divisores de n. Tenemos que explorar otras sumatorias y sus consecuencias. Veremos de ir demostrando estos resultados, y encontrando otros. Como trabajo para el hogar, pueden ir tratando de demostrarlos. Especialmente las dos ramas de cómo calcular φ(mp) para los dos casos: p no divide a m, p divide a m.

Dos enlaces para ir estudiando:

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez