Angel "Java" Lopez en Blog

3 de Julio, 2010


Publicado el 3 de Julio, 2010, 21:22

Gracias a mi consolidación de libros, me he reencontrado con libros míos de todas mis épocas, incluso de la infancia. Uno de esos libros es el "Exploremos los planetas", de Roy Gallant, ilustrado por John Polgreen, editado por Cultural Argentina, S.A. Es un libro de divulgación, para niños, que leí por los setenta. Fue uno de los libros que más material me dió para investigar muchos temas de la ciencia, por años. Trata sobre los planetas del sistema solar (los únicos conocidos entonces, por ejemplo, Caronte "no está", Platón era aún un planeta). Tendría que escribir muchos sobre la cantidad de párrafos que me llamaron la atención.

Uno fue el primer texto donde encontré el nombre de Kant. He aquí el párrafo:

La primera teoría del origen de los planetas reconocida por los astrónomos fue una expuesta por Emmanuel Kant, el filósofo alemán.

Me llamó la atención que recién en tiempos relativamente modernos se expusiera un "origen de los planetas". Pero no hay que olvidar que no fue hasta Galileo donde se mostró que los planetas no son "entens inmutables" como había pensado Aristóteles.

En 1775 Kant publicó un ensayo relatando la historia general del cielo. Decía que el Sol y los planetas se habían formado de una inmensa nube de polvo y gas que se extendía por billones de kilómetros a través del espacio.

Ya mencioné la obra y otras ideas de Kant en:

Kant y las galaxias

Sigo leyendo

La materia más pesada de la nube, según Kant, se movía hasta el centro de la misma. Al mismo tiemp la nube trataba de expandirse. Esta acción, dijo, fue causa de que la inmensa nube iniciara un movimiento de rotación. Mientras tanto, las partículas de gas y polvo se atraían entre ellas y formabban globos de materia. Finalmente los globos se convirtieron en gigantescas esferas candentes que durante millones de años se enfriaron y se convirtieron en los planetas con sus satélites, los asteroides, meteoros y cometas. La teoría de Kant no tuvo gran aceptación en los círculos científicos de 1700. Pero en la actualidad, aparte de la forma en que explicaba cómo fue puesta en movimiento la nube, se reconoce cierto mérito a su teoría.

Interesante que Kant pensara un modelo para explicar la situación actual del sistema solar. De alguna forma, acepta la existencia de un "tiempo profundo", al contrario de otras ideas anteriores. En el mismo capítulo donde encuentro este párrafo, capítulo que se llama justamente "El nacimiento de los planetas", leo lo que fue mi primer contacto con otra idea:

En 1654, en medio de la excitación provocada por las novedades reveladas por las observaciones telestópicas, el arzobispo Ussher de Armagh anunció que el mundo había surgido a la existencia en el año 4004 a.C. Durante muchos años esa fecha apareció en la Versión Autorizada de la Biblia.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 3 de Julio, 2010, 11:53

Presentemos una notación que creó Gauss. Escribimos

Se dice, a es congruente con b, módulo m, cuando la división (a-b)/m da resultado entero. Es fácil demostrar, entonces que:

Es decir, se pueden simplificar los factores primos con m.

Lo bueno de la notación de Gauss, es que sugiere resolver ecuaciones, donde se desconoce una letra, como en:

Surge la pregunta, ¿para qué valores de a,b,m hay solución x? Esto es lo importante de una notación: su facilidad de uso y lo que sugiere usar. Exploremos alguna de las cualidades de esta ecuación.
Sea m,  se dice que m números no congruentes dos a dos módulo m, se llaman un sistema de restos completo módulo m. Para fijar ideas, si m=7, un sistema de restos completo es:

{0,1,2,3,4,5,6}

Si multiplicamos cada uno de esos elementos por un número a primo con m, por ejemplo, a=5, queda:

{0,5,10,15,20,25,30}

Son todos no congruentes dos a dos. Para verlo mejor, tomemos sus restos módulo m:

{0,5,3,1,6,3,2}

Notablemente, son los mismos de los que partimos. Eso es así para todo conjunto de restos completos B: si a es primo con m, aB es también un conjunto de restos completo. No hace falta que m sea primo. Para verlo, tomemos m=6, partimos desde

{0,1,2,3,4,5}

Multiplicamos por a=5

{0,5,10,15,20,25}

Tomamos resto módulo m=6

{0,5,4,3,2,1}

De nuevo tenemos un conjunto de restos completo módulo 6. Esto es asi porque los a*b que obtenemos son no congruentes, pues si

Por ser a primo con m, podríamos simplificar ambos lados por a, quedando

Contra lo supuesto de los elementos de B, que eran no congruentes dos a dos. Toda esta disquisición nos sirve para ver que la ecuación que habíamos planteado:

Tiene solución x si a es primo con m. Basta con hacer recorrer x por un sistema de restos completos, que obtendremos ax que recorrerá un sistema de restos completos, uno de sus valores TIENE que ser congruente con cualquier b que nos planteen.

Sigamos con el tema de restos. Primero, recordemos que para m natural, hay

números primos con m, entre 1 y m. Llamamos conjunto reducido de restos a φ(m) números no congruentes dos a dos, y que no son divisibles por m. Ejemplo, para m = 7, un conjunto reducido de restos es:

{1,2,3,4,5,6}

También podría ser

{8,9,3,4,5,20}

Como antes, si tenemos un conjunto reducido de restos módulo m:

Y los multiplicamos por a, donde (a, m) = 1 (primos entre sí):

Obtenemos de nuevo un conjunto reducido de restos módulo m. Veamos, son todos distintos, porque los bi eran distintos. Son entonces φ(m) números distintos. Como en el caso de sistema de restos completos, podemos probar que son no congruentes dos a dos. También cada uno de esos elementos es primo con m, pues tanto a como los b son primos con m. En conclusión, si B es conjunto reducidos de restos mod m, y (a, m) = 1, entonces aB también es un conjunto reducido de restos mod m.

Este pequeño resultado, nos permite demostrar un teorema de Euler, que demostró al tratar de demostrar un resultado de Fermat, llamado el pequeño teorema de Fermat, que dice:

Para p primo. El resultado de Euler, más general, es

Para demostrarlo, primero hay que ver que los elementos de un conjunto B reducido de restos, recorre los mismos φ(m)  restos módulo m, que el conjunto aB. Visto esto, queda que multiplicar los elementos de B da algo congruente a multiplicar los elementos de aB:

Entonces, reagrupando:

Como los bi son primos con n, se pueden ir simplificando uno a uno, quedando:

Como queríamos demostrar.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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