Publicado el 8 de Julio, 2010, 14:40
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Hace un tiempo escribía: La función indicatriz de Euler sobre la función
que era la cantidad de números naturales 1 <= a <= n, tales que (a , n) = 1, su máximo común divisor. Es decir, los primos con n. Luego, en otro post, deducía una fórmula para calcularla: Calculando la función indicatriz de Euler La fórmula que habíamos conseguido es:
que los p recorreren los primos que dividen a n. Curiosamente, aparecen fracciones, aunque el resultado es entero. Es fácil ver por qué: los p dividen a n. También notamos que no depende tanto de la potencia de cada p: cada primo aparece una vez sola en la multiplicación. De alguna forma, cada p que aparece, "retira" 1/p números de los que van quedando. Veamos gráficamente. Veamos de calcular la función para n=12. Sean los números iniciales:
Luego, el primer divisor es 2. Marcamos/tachamos los divisibles por 2 (algo parecido al algoritmo de la "criba de Eratóstenes") los marcamos en azul
Y ahora, quitamos los siguientes, tachamos los rojos que quedaron que sean divisibles por 3 (marcados en verde):
Notamos que YA hay números divisibles por 3 YA tachados por haber sacado los pares. Pero igual, de los que quedan, justamente retiramos 1/3. Y los que quedaban por marcar, eran un número divisible por 3. Tenemos que estudiar todas las propiedades de esta función, ver funciones parecidas, definir funciones aritméticas, definir multiplicación apropiada de estas funciones (usando convolución de Dirichlet), y al fin, llegar a ver dónde se usan en teoría de números. Ya vimos, en el post un uso de la indicatriz para lo que se llama el teorema de Euler-Fermat:
Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 8 de Julio, 2010, 0:28
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Uno de los libros que reencuentro luego de mi consolidación de libros, es el excelente "Treinta años que conmovieron la física", de George Gamow. Debo haberlo leído una decena de veces, y casi un cuarto de siglo después de haberlo comprado, sigo volviendo a él. Gamow describe el nacimiento de la física cuántica, de la cual él fue partícipe, habiendo compartido reuniones, discusiones y congresos con gente como Einstein, Bohr, Heisenberg, Schrodinger, Dirac, Pauli y otros. Cuando describe a uno de estos científicos, encabeza cada capítulo con un retrato a tinta de esa persona, dibujado por el propio Gamow. Leo ayer un pasaje, donde Gamow recuerda con aprecio a Paul Ehrenfest. Gamow escribe sobre quienes acudían al instituto de Niels Bohr, en los años veinte/treinta del siglo XX:
Delicadamente, Gamow no menciona las circunstancias de la muerte de Ehrenfest. Escribí sobre el tema en: El triste caso de Paul Ehrenfest Sigo leyendo:
Como comentaba en el post mencionado, Ehrenfest se encontró con toda una nueva física, que un poco lo apabulló. Post relacionados: El Efecto Pauli, según Gamow Nos leemos! Angel "Java" Lopez |