Angel "Java" Lopez en Blog

8 de Julio, 2010


Publicado el 8 de Julio, 2010, 14:40

Hace un tiempo escribía:

La función indicatriz de Euler

sobre la función

que era la cantidad de números naturales 1 <= a <= n, tales que (a , n) = 1, su máximo común divisor. Es decir, los primos con n. Luego, en otro post, deducía una fórmula para calcularla:

Calculando la función indicatriz de Euler

La fórmula que habíamos conseguido es:

que los p recorreren los primos que dividen a n. Curiosamente, aparecen fracciones, aunque el resultado es entero. Es fácil ver por qué: los p dividen a n. También notamos que no depende tanto de la potencia de cada p: cada primo aparece una vez sola en la multiplicación. De alguna forma, cada p que aparece, "retira" 1/p números de los que van quedando. Veamos gráficamente.

Veamos de calcular la función para n=12. Sean los números iniciales:

Luego, el primer divisor es 2. Marcamos/tachamos los divisibles por 2 (algo parecido al algoritmo de la "criba de Eratóstenes") los marcamos en azul

Y ahora, quitamos los siguientes, tachamos los rojos que quedaron que sean divisibles por 3 (marcados en verde):

Notamos que YA hay números divisibles por 3 YA tachados por haber sacado los pares. Pero igual, de los que quedan, justamente retiramos 1/3. Y los que quedaban por marcar, eran un número divisible por 3.

Tenemos que estudiar todas las propiedades de esta función, ver funciones parecidas, definir funciones aritméticas, definir multiplicación apropiada de estas funciones (usando convolución de Dirichlet), y al fin, llegar a ver dónde se usan en teoría de números. Ya vimos, en el post

Congruencias módulo m

un uso de la indicatriz para lo que se llama el teorema de Euler-Fermat:

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 8 de Julio, 2010, 0:28

Uno de los libros que reencuentro luego de mi consolidación de libros, es el excelente "Treinta años que conmovieron la física", de George Gamow. Debo haberlo leído una decena de veces, y casi un cuarto de siglo después de haberlo comprado, sigo volviendo a él. Gamow describe el nacimiento de la física cuántica, de la cual él fue partícipe, habiendo compartido reuniones, discusiones y congresos con gente como Einstein, Bohr, Heisenberg, Schrodinger, Dirac, Pauli y otros. Cuando describe a uno de estos científicos, encabeza cada capítulo con un retrato a tinta de esa persona, dibujado por el propio Gamow.

Leo ayer un pasaje, donde Gamow recuerda con aprecio a Paul Ehrenfest. Gamow escribe sobre quienes acudían al instituto de Niels Bohr, en los años veinte/treinta del siglo XX:

Uno de los visitantes de personalidad más pintoresca era Paul Ehrenfest, un profesor de la Universidad de Leyden. Había nacido en el año 1880 en la ciudad de Viena, estudiado con Boltzmann, recibido su grado doctoral en 1904, año éste en el que también contrajo enlace con una matemática rusa, de nombre Tatiana; se mudaron ambos luego a la entonces San Petersburgo (hoy Leningrado [en la época que escribe Gamow]), y permanecieron ahí hasta 1912. En esta fecha fue invitado desde la Universidad de Leyden a ocupar una cátedra de física. En esta ciudad, permaneció hasta su muerta, ocurrida en 1933.

Delicadamente, Gamow no menciona las circunstancias de la muerte de Ehrenfest. Escribí sobre el tema en:

El triste caso de Paul Ehrenfest

Sigo leyendo:

Su labor en la mecánica estadística y en la teoría de los invariantes adiabáticos es demasiado abstracta y complicada como para ser descrita en este volumen, pero en cambio sí podemos decir aquí que en todas las reuniones científicas resultaba un asistente de valor inapreciable por su amplio y profundo conocimiento de la física y su mente crítica, que le permitían descubrir lagunas (que a veces no eran tales), en la nueva teoría que alguien proponía. Le gustaba llamarse a sí mismo "maestro de escuela", y muchos de sus discípulos efectuaron una carrera científica brillante.

Como comentaba en el post mencionado, Ehrenfest se encontró con toda una nueva física, que un poco lo apabulló.

Post relacionados:

El Efecto Pauli, según Gamow
Anécdotas de Niels Bohr
Dirac según Gamow
Bohr según Gamow (Parte 1)
Bohr según Gamow (Parte 2)

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia