Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 10 de Julio, 2010, 0:38

Hace unos días escribí sobre congruencias en teoría de números en mi post Congruencias módulo m. Ahí mencionaba al pasar que la congruencia fue un invento de Gauss. Hoy me reencuentro con el texto que me enseñó eso: está en el capítulo "Hacia la Estructura Matemática", sección "La congruencia desde 1801 a 1887", del excelente libro "Historia de las Matemáticas" de Eric Temple Bell, editorial Fondo de Cultura Económica. Leo:

Según la definición que dió Gauss en 1801 dos números enteros racionales a, b, son congruentes con respecto al módulo entero racional m, si, y sólo si, a y b dejan el mismo residuo al dividirlo por m, y lo expresó escribiendo:

 Dicho de otro modo, si a es congruente con b módulo m, entonces a - b (ó b - a) es múltiplo de m, y recíprocamente. x congruente con 0 indica que x es divisible exactamente por m.

Y acá viene un punto importante:

Este invento sencillo pero profundo es una de las mejoras ilustraciones de la observación de Laplace de que una notación bien ideada es a veces la mitad de la batalla de las matemáticas. Al escribir "x es divisible por m" de la forma a es congruente con 0 (mod m), se le ocurrieron inmediatamente a Gauss analogías muy fructíferas entre las ecuaciones algebraicas y la divisibilidad aritmética. Esto último es uno de los conceptos más importantes y más difíciles de aprehender de toda la aritmética. Con todo, para nuestros fines inmediatos no es este aspecto técnico de la congruencia el que tiene una importancia más primordial, sino otro de significado más profundo que no percibieron más que los sucesores de Gauss. Si Gauss se dió cuenta de ello, parece que no ha dejado ningún indicio de que así fuera.

¿Hacia dónde va Bell? Más adelante escribe:

La congruencia de Gauss ha demostrado ser la clasificación más fructífera de los números enteros racionales 0, +-1. +-2, +-3, ... en número finito de clases, como se puede apreciar sin más que inspeccionar un texto elemental cualquiera de teorías de números. Lo que Gauss no pudo prever fue que su invento de ordenar un grupo finito o infinito de individuos dentro de otro, clasificando los individuos del primero con respecto a una relación que tenga las propiedades abstractas de reflexibidad, simetría y transitividad, compartidas por su relación de congruencia, había de ser el principio que orientara la estructura de las teorías algebraicas. Con la evolución gradual de esta idea y de otras semejantes, las matemáticas fueron más allá del sueño pitagórico, y como en las teorías de grupos, campos, series de puntos, lógica simbólica, etc., escaparon de los números naturales a un dominio en que el número no es pertinente, y se investiga la estructura de las relaciones.

Es interesante a lo que apunta Bell. Recordemos: Gauss comenzó a usar muchos de los conceptos de grupos, en sus primeros trabajos de adolescencia, pero sin tener en claro esa estructura, como la tenemos hoy. Bell indica que esta clasificación por congruencias fue un paso, importante según él, para llegar al predominio de las estructuras (enumera algunas en el texto de arriba) de las matemáticas actuales. No sé si llegó a ver el nacimiento de la teoría de las categorías, donde se llevó todavía más lejos al concepto de relación, ahora entre estructuras y otros niveles.

Veremos cómo las congruencias de enteros dieron lugar a muchos problemas interesantes, algunos no resueltos hoy en día (tendría que revisar el estado actual del arte). Hoy puedo escribir que dieron uno de los primeros ejemplos de grupos finitos (otro de ese tiempo surgió con Lagrange y las raíces de un polinomio), y se extendieron a otros campos, no sólo a los enteros. También Gauss interviente en varios de esos desarrollos. A fines del siglo pasado, muchas de esas ideas llegan a niveles impensados. Hoy, las matemáticas están más activas que nunca.

Más información sobre Eric Temple Bell:

 

Eric Temple Bell - Wikipedia
Finding aid to E.T.Bell papers
E.T.Bell quotes
The development of mathematics (Amazon)
The search for E.T.Bell: also known as John Taine

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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