Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 17 de Julio, 2010, 11:52

En el post sobre congruencias:

Congruencias módulo m

Había escrito una demostración de lo que se llama el teorema de Euler-Fermat:

La demostración que dí en ese post, la encontré en el libro de Tom Apostol, Introducción a la Teoría de Números. Cuando estudio un tema como éste, trato de encontrar una demostración a cada resultado que se presenta en un libro. A mí no se me hubiera ocurrido la solución de Apostol, no fácilmente, por lo menos. Hubiera tomado otro camino. El esquema de la demostración sería:

Primero, mostrar que los

números primos con n forman un grupo multiplicativo. Luego, cada elemento a de ese grupo, genera:

Como es un grupo finito, no pueden repetirse siempre. El grupo <a> generado por a, es subgrupo del inicial. Por Lagrange, el orden (la cantidad de elementos) de un subgrupo divide al orden del grupo (no sería difícil de demostrar, mostrando las clases formadas por xG, x recorriendo G). Queda que a no puede repetirse más de orden de <a>. Sea h el orden de <a>. Queda que al llegar a

Alguno de los elementos se debe repertir. No es difícil probar que

Como h divide a

, multiplicando ambas partes de la congruencia anterior por sí mismas, hasta llegar:

Pero vean, la demostración sería más larga que la dada en el anterior post. Lo de arriba es sólo un esbozo informal, una demostración debería completar los detalles. Pero, desde otro punto de vista, puede ser más interesante, porque nos hace visitar temas que podrían aplicarse en otros casos. La demostración original es, digamos, más orientada a obtener ese resultado y nada más. Siguiendo esta demostración más larga, podríamos ganar nuevos conocimientos en el camino (como el grupo multiplicativo de los primos con n, en realidad, de sus clases residuales).

El teorema se llama de Euler-Fermat, porque fue Euler el primero en demostrarlo, pero por lo que sé, Fermat no enunció el teorema. Fermat había enunciado el que se llama hoy el pequeño teorema de Fermat:

Cuando p es primo (tengo que escribir una demostración usando inducción sobre a). Como era su costumbre, Fermat enunció este teorema, sin demostrarlo. Era común en su época enunciar sin demostrar, como una especie de desafío a los demás matemáticos. Años después, Euler recoge el guante de muchos de los enunciados de Fermat, y los demuestra. En el camino, encontró la generalización que vimos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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