Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 19 de Julio, 2010, 0:39

Hace un tiempo en el post La función indicatriz de Euler, primeros pasos explicaba la función indicatriz de Euler:

como la cantidad de números naturales 1 <= a <= n, tales que (a , n) = 1, su máximo común divisor. (Ayer encontré que el nombre "indicador" o "indicatriz" fue dada por Gauss, creo que mi fuente fue la Historia de las Matemáticas, Vol II, Rey Pastor, Babini).
En ese post planteaba demostrar un resultado interesante:

Donde d recorre los divisores de n. Veamos de escribir acá, una demostración (la que me dí a mí mismo cuando llegué a esta fórmula, en el Introducción a la Teoría Analítica de Números de Tom Apostol). Para n = p primo, queda que los divisores son 1 y el propio p. con lo que

Pues hay p-1 primos con p. Ahora sea:

Donde p es primo, y no divide a m. Supongamos que [A] está demostrado para todo 1 a n-1 (vamos a aplicar el segundo principio de inducción). Entonces, veamos de desarrollar:

Por lo que sabemos del anterior post (sobre phi(mp)). Sacamos factor común:

La sumatoria da m, por hipótesis inductiva. El segundo factor da p elevado a la alfa. Queda

Como queríamos probar.

(En algún momento, tendría que postear la demostración que da Tom Apostol, más elegante que ésta).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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