Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 27 de Julio, 2010, 1:19

Ya traté sobre congruencias y sus relaciones con la divisibilidad en:

Congruencias módulo m

Algo de su importancia histórica en:

Gauss y la congruencia, por E.T.Bell

Es hora de plantear una estructura, donde se pueden plantear varios temas de divisibilidad y otros, así como definir sobre ella lo que vamos a ver como clases de restos. Es la estructura de anillo conmutativo (podría comenzar por la de anillo, en general, pero para los temas de teorías de números y otros a visitar, es más conveniente, simple e intuitivo comenzar por anillo conmutativo).

Tenemos un conjunto A y dos operaciones + * binarias en A (es decir, a+b, a*b estan definidas para todo a, b perteneciente a A y el resultado pertenece a A). Se dice que <A, +, *> es un anillo conmutativo si cumple, para cualesquiera a,b,c de A:

(Conmutatividad de +) a + b = b + a

(Asociatividad de +) a + (b + c) = (a + b) +c

(Asociatividad de *) a*(b*c) = (a*b)*c

(Distributividad) a*(b + c) = a*b + a*c

(Cero) Existe en A un elemento 0 tal que a + 0 = a para todo a en A

(Unidad) Existe en A un elemento 1 <> 0 tal que a*1 = a para todo a en A

(Inverso de +) a + x = 0 tiene solución x en A para todo a en A

Lo interesante en matemáticas al plantear una estructura, es ir descubriendo qué podemos afirmar partiendo de los axiomas, las propiedades iniciales de esa estructura. En la historia, las estructuras nacieron como abstracciones de instancias de esa estructura. En el caso de anillos conmutativos, el más común y tal vez, más "antiguo" que se trató, es el conjunto de los enteros con la suma y multiplicación habituales. Pero veremos que hay otras instancias de anillos conmutativos, y veremos que al haber deducido teoremas generales, podemos aplicar esas conclusiones a todos ellos.

Es fácil ver que los enteros forman un anillo conmutativo. Pero encontraremos más ejemplos de anillos conmutativos.

Las estructuras y conceptos relacionados (como los homomorfismos que soporten) también sugieren analogías entre conceptos diferentes en matemáticas. También es importante ver cuándo abandonar una estructura, y adoptar otra (como en el caso de anillos no conmutativos, grupos finitos, cuerpo, dominios de integridad, módulos, ideales, etc...), porque no se cumplen todos los axiomas.

Para la definición de arriba, me he basado en el clásico Algebra Moderna, de Birkhoff y MacLane. Ellos agregan también:

(Cierre) a + b y a*b pertenecen a A

(Unicidad) si a = a', b = b', entonces a+b = a'+b', a*b = a'*b'

pero yo lo incluí al afirmar que son operaciones binarias bien definidas en A.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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