Hace unos días comenzaba a explorar un ejemplo concreto de grupo y simetría:

Simetrías del cuadrado (Parte 1)

El cuadrado en cuestión tenía los vértices numerados:

Había considerado solamente las rotaciones, lo que dió un grupo conmutativo, es más, era un grupo cíclico. Pero quedaron pendientes otras operaciones de simetría:

Podemos, en vez de rotar, "reflejar" el cuadrado, por el eje vertical, eje horizontal, o por las diagonales. Llamemos a las operaciones:

h : reflexión por eje horizontal
v : reflexión por eje vertical
d : reflexión por diagonal 1-3
g : reflexión por diagonal 2-4

Con un poco de paciencia, podemos construir la tabla de las operaciones:

Acá, si tenemos que calcular, digamos dh, es: primero, operamos h sobre el cuadrado, y luego aplicamos d. Es decir, si C es el conjunto de puntos del cuadrado

(dh)C = d(h(C))

Esto es una convención, bien podría decir "primero aplico la d y luego la h". ¿Cómo se busca el resultado de dh en la tabla? De nuevo, por convención, armé la tabla de tal forma que dh es: buscar la columna h, la fila d, y ver la intersección. Bien podría haber armado la tabla de otra forma.

¿Por qué esta vez tenemos que preocuparnos de cómo buscamos y aplicamos las operaciones? Porque esta vez el grupo (comprobar que las operaciones siguen siendo grupo), NO ES conmutativo. No siempre es ab = ba. Ver que dh = r, mientras hd = t.

Una curiosidad: vean que toda fila no tiene elementos repetidos, y toda columna tampoco. Si llamamos a este grupo G, queda:

aG = G para todo a perteneciente a los elementos de G

y así, cada elemento, podemos considerarlo como que define:

a : G --> G

una función para todo x de G, siendo

a(x) = ax

Esas funciones son biyectivas (sobreyectivas, porque cada elemento de G es alcanzado por algún ax, e inyectivas, porque ax = ay implica x = y). Todo esto no era evidente: vamos a ver que, entonces, todo grupo G puede considerarse como un subconjunto del conjunto de funciones biyectivas de G en G. Algo relacionado con esto, es que:

ax = y

como ecuación, dados a e y, tiene siempre solución: basta tomar

x = a'y

donde a' es el inverso de a, existente por los axiomas de grupo. Es decir, dado un elemento a fijo, todo otro elemento y de G es parte de la imagen de a: G --> G. Esto demuestra la sobreyectividad de a, tomada como función de G en G. Agregemos, si:

ax = ay

entonces

a'ax = a'ay
ex = ey
x = y

siendo de nuevo a' el inverso de a,  tal que

a'a = aa' = e

Hemos aplicado la distributividad (así pude escribir a'ax sin necesidad de distinguir entre (a'a)x y a'(ax)) y la existencia de inverso, dos de los axiomas de grupos que vimos en Grupos: definición y primer ejemplo. Se muestra así que cualquier elemento a, tomado como función de G en G, es inyectiva.

Bueno, bastante por hoy. Agrego: vean que el grupo R del anterior post (las rotaciones) está incluido en este nuevo grupo G que incluye las reflexiones. Vamos a ver que a R se le dice subgrupo de G. Tenemos que explorar cuáles subgrupos hay en G, y sus relaciones entre sí.

Otro punto: el grupo R era generado por un solo elemento, el r. Podemos escribir <r> al grupo generado por elemento r. Es un grupo cíclico y como todo grupo cíclico, es conmutativo. El grupo de hoy, G, no es conmutativo, entonces no es generado por un solo elemento. Pero notablemente, tenemos que llegar, en algún momento, a un resultado no trivial, para grupos finitos:

- Todo grupo finito H es subgrupo de un grupo G generado por sólo DOS elementos

Relacionado con esto, tenemos que ver la relación entre todo grupo finito, y algún grupo de permutaciones (funciones biyectivas de un conjunto finito X). Pero no quiero adelantarme, ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Creo que ha quedado claro mi interés por algunos temas, a lo largo de todos estos años escribiendo un post por día. Escribí sobre matemáticas, filosofía, ciencia, física en particular, filosofía de la ciencia, algo de filosofía moral, epistemología, historia de la ciencia, historia de las matemáticas, y algo más. Quisiera hoy escribir un comentario breve, no sé si crítica, más bien un "levantar la mano" y llamar la atención sobre una situación.

Resulta que la divulgación de la ciencia física tiene abundantes libros. Desde el siglo pasado, se han ido publicando libros para el público en general, sobre relatividad, cuántica, astronomía, cosmología, partículas elementales, quarks. El tema se ve renovado en este siglo con la búsqueda del bosón de Higgs, y el Larga Hadron Collider. Los nuevos fenómenos a explicar, desde la cosmología (las aparentes materia y energía oscuras) hasta las partículas elementales (posible masa de los neutrinos, p.ej.), se tratan en artículos de divulgación, desde revistas generales hasta otras especializadas.

Pero de alguna forma, si uno es inquieto, como pienso que soy, se queda con un gusto a poco, o con algo que no alcanza. Veamos:

- Se habla mucho de simetría y su relación con leyes de conservación, pero no se muestra claramente cómo la simetría implica conservación de algo.

- Se explican conceptos, y no se muestra ninguna fórmula. Una notable excepción, que demuestra la regla, es "el Penrose".

- Se trata la relatividad especial, pero sólo la parte cinemática, algo de la dinámica, y casi nada de electromagnetismo. Por ejemplo, se olvida fácilmente que el artículo de Einstein que inaugura el tema en 1905, era sobre el electromagnetismo de cuerpos en movimientos.

- Se trata la relatividad general, pero de nuevo, apenas alguna fórmula: horror terrible a explicar un tensor, por ejemplo.

- Casi nunca se muestra el razonamiento de Planck de su artículo seminal de 1900. Se dice que tuvo que poner un h, y apenas más.

- Jamás se discute un hamiltoniano o un lagrangiano.

- Se habla de grupos, se muestra quizás algún ejemplo, tal vez se llega al cubo de Rubik, pero nada de cómo se manejan en las teorías físicas. Si se nombre O(1), SU(2), SU(3), sólo queda en eso, en nombrarlos.

- Se menciona a la función de onda: nunca un ejemplo de la dichosa función, o algún resultado concreto de su uso.

- Se menciona que las aproximaciones a la mecánica cuántica de Schrodinger y Heisenberg son equivalente, pero ni se describe cuál es la de Heisenberg. Apenas se menciona su principio, pero no se lo deduce de nadie.

- Se menciona que los fermiones obedecen a una estadística (la de Fermi) mientras los bosones obedecen a otra (la de Bose-Einstein). Pero no se aclara por qué: ¿por qué los fermiones tiene espin no entero? Nunca se demuestra que las partículas o sistemas con espín no entero DEBEN obedecer la estadística de Fermi y por qué deben cumplir con el principio de exclusión de Pauli.

- Se habla de teorías "gauge", pero no se aclara nada qué significan, menos las gauge locales. O se menciona que tienen partículas de espin 1, y no se explica por qué eso da un campo gauge.

- Al hablar de varias dimensiones, se nombra a Kuluza-Klein, en algún momento se menciona a Yang-Mills, pero más que algunos datos históricos, no se da más dato para comprender de qué van esas teorías.

- Se habla mucho del colapso de onda en cuántica, no se muestra cómo se relaciona con la función de onda, porque ni siquiera se explica a esta última.

- Se hacen algunos diagramas de cuerdas, pero no se discute por qué hay distintas teorías, qué eso de heteróticas, o de E8xE8, y más. Se las menciona, pero no se da ningún dato duro como para comprender a qué refieren.

- Se trata a Newton, Galileo, Einstein, sus distintas teorías de la relatividad, pero no se habla de cómo sus representaciones de espacio corresponden a ideas matemáticas como fibrados y variedades.

- Se menciona a Maxwell, el electromagnetismo, pero nunca un fórmula o explicación. Dudo que se mencionen las diferencias entre el campo eléctrico y magnético, y sus relaciones.

- Se usan los diagramas de Feynman, pero no se menciona su ideas de "integral path", y ni una fórmula para las perturbaciones.

- Se dice que la partícula de Higgs le "da la masa" a las otras partículas y se aduce una "ruptura espontánea de la simetría". Se muestra un sombrero mejicano, y nada más.

- Se pone a la interpretación de Copenhagen (Bohr y cía) como la universalmente aceptada.

- Se habla de la constante cosmológica de la relatividad general de Einstein: nunca una fórmula donde aparece.

- Se habla de los modelos de Friedman, Lemaitre, Sutton, y otros: nunca una miserable fórmula que los explique, o algo que indique en qué se diferencian.

Bueno, basta. Podría escribir más, pero por ahora es suficiente. Si se me ocurre otro punto lo agregaré. Alguno de estos puntos los atacaré en posts dedicados. Pero apenas atacará una milésima parte de estos temas. Me gustaría que hubiera apéndices avanzados en los libros de divulgación. Comentaré algunos libros con los que me he encontrado de mi reconsolidación, que tratan de ir más allá en sus explicaciones y que merecen ser destacados.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ayer habíamos comenzado a explorar las simetrías del cuadrado, limitándonos a las rotaciones. Tenemos que expandirlas para incluir reflexiones. Vimos que las transformaciones cumplía:

T(X) = X

donde X es el conjunto de puntos del cuadrado, y que TAMBIEN mantenían las distancias. Esa "fórmula" de arriba no da una clave para ir entendiendo el concepto de simetría: cambiamos algo, para que al final, quede la "misma forma" (el cuadrado), manteniédose algo invariante (las distancias). Vimos que las operaciones de rotación forman grupo (agregando la operación de identidad).

Veamos en este video, del usuario de Youtube mathexpression. Muestra las simetrías rotacionales del cubo (tendríamos más adelante que definir qué es eso de "rotación", por ahora la manejamos intuitivamente):

De nuevo, transformaciones biyectivas, y que siguen manteniendo invariante la distancia. Vemos que también es un grupo (aunque habría que armar la tabla y comprobar las propiedades de grupo). Cuesta un poco verlo, pero ya comienza a ser un grupo no conmutativo. El video también muestra el "orden" de cada operación: la cantidad de veces que se repite hasta llegar a la identidad. Todo elemento de un grupo finito (de cantidad finita de elementos) tiene orden definido.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Hace un tiempo definí y di un ejemplo sencillo de grupo, en:

Grupos: definición y ejemplo

Veamos ahora otro ejemplo, simple pero jugoso, como veremos. Sea un cuadrado:

Numeramos los vértices, pero el cuadrado es todo lo "verde": no solamente los vértices y los lados. Si giramos a ese cuadrado 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj, y llamamos a esa operación r obtenemos:

Si repetimos esa operación y llamamos rr = s (o sea, aplicamos r (la de la derecha), y luego otra r (la de la izquierda), obtenemos otra operación que llamamos s):

Si de nuevo aplicamos r, y llamamos a la operación t:

Si aplicarámos otra vez r, llegaríamos a la posición inicial, que podemos llamar la que se consigue aplicando la operación e (la identidad). Haciendo una tabla de multiplicación:

Algunos puntos:

- Esas operaciones, e, r, s, t, forman grupo, por lo que vimos en el post mencionado al comienzo
- Es un grupo conmutativo, pues ab = ba para cualesquiera operaciones
- Es un grupo cíclico, generado por r: ¿qué es esto? Que todas las operaciones se obtienen de repetir r, rr, rrr, y así, hasta rrrr = e y luego vuelve el ciclo.
- No es difícil ver que un grupo cíclico es conmutativo ¿se atreven a demostrarlo?

Todas estas operaciones son transformaciones del cuadrado en sí mismo, y de alguna forma, muestran las simetrías que tiene. Ya introduje un poco el tema simetría en:

Simetría: primeros pasos

Estas transformaciones que estamos considerando son:

- biyectivas: todo punto del cuadrado es cubierto por la transformación (sobreyectiva) y si el punto x y el punto y son transformados en el punto z, entonces x = y (inyectiva)
- mantienen las distancias de dos puntos cualesquieras. Es decir, sea d(x,y) la distancia de dos puntos del cuadrado inicial, d(x, y) = d(a(x), a(y)) para cualquier operación a que tenemos en el grupo.

Llamemos a el grupo encontrado, grupo R, de rotaciones del cuadrado. De alguna forma, todas estas transformaciones mantiene "la forma" del cuadrado. Los puntos cambian, la posición de los vértices, pero "la forma" permanece. Si no etiquetáramos los puntos vértices, no distinguiríamos un cuadrado de otro. De alguna forma, las simetrías aparecen cuando aplicamos una transformación T a un objeto matemático x, y queda:

Tx = x

(si consideramos que x "no cambia de forma"). Veremos más adelante otros ejemplos inspirados en la geometría, y otros más abstractos.

No todas las biyecciones de los puntos del cuadrado mantienen las distancias. Notemos también que hay un punto que se aplica a sí mismo en TODAS las transformaciones consideradas: el punto central. Pero esas operaciones no son las únicas que cumplen con la biyección y mantenimiento de la métrica. Tenemos también como operaciones para "agrandar" a este grupo R, las reflexiones por diagonales, y ejes vertical y horizontal.

Tarea para el hogar: armar la tabla de multiplicación con estas operaciones adicionales, ver que es grupo, y ya no será conmutativo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Sigamos explorando el tema del realismo. Comencé a escribir en:

¿Qué es la realidad? (Parte 1) Introducción

Prácticamente, todo realismo trata de definir la realidad mencionando qué es lo que existe. Por ejemplo, para Platón lo que existía realmente eran sus "Ideas", inmutables, que trascienden (está fuera) de este mundo de apariencias. Lo que vemos en el mundo, para Platón no es la realidad. Lo que tenemos en el mundo son imágenes imperfectas, corrompibles, mutables, sombra (recuerden el mito de la caverna) apenas de lo que es real, las "ideas" de Platón. Este se vió influenciado por las ideas de Parménides, para quien no era posible el cambio, el devenir del "ser", por ser éste único. Por otro lado, Heráclito señaló que todo cambia. Para Platón, lo que cambia no existe, lo inmutable sí. Se dice entonces que su postura es un "realismo de las ideas": los componentes de la realidad, lo que existe, son sus "Ideas". Agrego que también se vió influenciado por los pitagóricos, sus ideas y matemáticas. Platón ve en las matemáticas un nivel inmediato inferior a su "realidad de las ideas".

Pero no es la postura realista que voy a plantear. Al contrario, será casi la opuesta a ese "realismo de las ideas". Trataré de dar los componentes de la realidad, describirla como si fuera una receta de cocina: ¿qué encontraremos en este "guiso" que llamo realidad?

Comencemos por algo más general, el sustantivo neutro de objeto. Examinemos esta enumeración:

El escritorio sobre el que estoy escribiendo
Un electrón
La ciudad de Buenos Aires
Sancho Panza
La montaña dorada
círculo cuadrado
Anubis
El número 3
Un número natural que no sea la suma de dos primos

Todos son objetos. Pero hay diferencias. Del escritorio, electrón, ciudad de Buenos Aires, decimos que existen. Podemos decir "x existe" para ellos y dar una proposición verdadera. En cambio, es más complicado o por lo menos distinto, afirmar "x existe" para Sancho Panza, la montaña dorada, y los demás. A ver, examinemos esto en detalle.

Alguien podría decir "Sancho Panza existe en la literatura española". Pero yo quiero ir delimitando la realidad. Y en mi postura, Sancho Panza no existe en la realidad. Podremos apelar a otro mundo (vean que no digo "otra realidad", prefiero usar otro término, para no dejar la puerta abierta a que "hay varias realidades"): el mundo de la literatura. El predicar la existencia en ese mundo, tiene otras reglas y propiedades.

Lo mismo del número 3. No existe en la realidad: sino, vengan y señálenme "ahí, ahí detrás de aquella cosa, está el número 3". No, existe en otro mundo, el mundo matemático. Y en ese mundo, el predicar "x existe" sigue otras reglas y procedimientos. Es otro mundo, y otros criterios de existencia. Hasta podría decir que todo mundo tiene su propio criterio de existencia.

Al parecer, no existe un número natural que no sea la suma de dos primos (la conjetura de Goldbach). Pero es claro, para un matemático que se maneje en el mundo matemático, que la existencia de tal número se dará mostrándolo.

Tanto Anubis, Sancho Panza, ese número y otros objetos, son objetos abstractos. Un electrón, este escritorio, la ciudad de Buenos Aires, son objetos concretos. Pero debería dar algú criterio para decir que un objeto es concreto. Calma, ya llegaremos. Por ahora, afirmo algo más fuerte:

Postulado 1: todo objeto es objeto concreto o es objeto abstracto. No hay otro tipo de objetos, ni hay objetos que sean concretos y abstractos a la vez.

Gráficamente:

Hay dos palabras que puedo usar en la jerga que adopto para esta serie de post:

objeto concreto = cosa
objeto abstracto = constructo

Queda entonces:

Decir entonces, "objeto concreto" es lo mismo que decir "cosa". Decir "cosa concreta" es redundante, se puede decir directamente "cosa". También usaré otra equivalencia:

objecto concreto = cosa = objeto material

Pues es bastante habitual en las posturas de las que parte la mía usar "objeto material" como sinónimo de "cosa" (al final del posts están mencionadas mis fuentes; hablo de mi postura, porque no quisiera adosar todo esto que escribo con mis palabras a otro; puede que haya diferencias o malas interpretaciones; por ahora sigo avanzando por este camino).

Pero nos queda un tema pendiente: ¿qué tenemos que pedir a un objeto, para considerarlo cosa? Si recordamos a Descartes, para él, las cosas tenían extensión, ocupaban lugar, eran res extensa. Pero hay cosas en la realidad, como un electrón, una biopoblación, una empresa, una sociedad humana, de la que no es fácil predicar extensión definida. Entonces, tenemos que buscar otra característica que nos guíe.

Y acá vuelvo a Platón. El tenía razón en separar lo mudable de lo inmutable (sus "Ideas"). Pero se equivocó al dar a estas últimas la existencia real. No, lo que realmente existe, es lo mudable. Todo objeto material, toda cosa, es mudable. Sea entonces:

Postulado 2: x es cosa = x es mudable

Por eso puedo afirmar: el número 3 no es cosa, no es objeto concreto. Es un concepto que no muta: si mutara, sería seguramente otro concepto, probablemente otro número. Pero acá, en la China, en Japón y Alfa Centaura, el número 3 es el mismo. Podemos nombrarlo de distintas formas, pero el referente final de las distintas expresiones que usemos, es inmutable. Permítaseme entonces, llegados a este punto, pasar a enunciar el principal ingrediente de lo que en mi jerga, es realidad (en contraposición a mundo matemático, mundo mental, otros mundos...) (alguien podría poner "mundo material" a lo que llamo realidad; pero prefiero usar una palabra fuerte, sin adjetivos, para seguir describiendo el realismo):

Postulado 3: las cosas existen en la realidad, los constructos no existen en la realidad

Es decir, si queremos ver si un objeto es real, tenemos que decidir entre si es cosa o constructo. Por supuesto, los constructos "habitan" las mentes de nosotros, organismos humanos, que somos cosas en la realidad. Pero no existen "por sí mismos". Son, digamos, subproductos, bastante especiales, de nuestro procesos mentales.

Como he puesto que "cosa" es sinónimo de "objeto concreto" y "objeto material", podría decir que esta mi postura es un realismo materialista. No admite existentes que no sean cosas, objetos concretos, objetos materiales. Otros realismos son dualistas: admiten cosas e ideas. Tal es, por lo que entiendo, la postura de Hegel, Marx y otros. No voy a seguir ese camino. Sigo por el camino: cosas existen en R=Realidad, constructos no.

Vamos a ver que las cosas no son los únicos ingredientes de la realidad: hay propiedades, relaciones, estados, eventos, procesos, todos materiales (podría decir todos concretos). Así como hay propiedades conceptuales. Ya daré ejemplos. Pero lo importante ahora es ver que la realidad son las cosas, existentes. Y veremos que lo demás que podemos decir que es concreto, está siempre relacionado, montado sobre cosa o cosas (no hay propiedad sin cosa, no hay proceso sin cosas que lo soporten).

Quisiera agregar una definición:

Materia = { x es objeto tal que x es mutable } = { x es objeto tal que x es material }

donde Materia abarca todos las cosas, pasadas, presentes y futuras. Curiosamente, materia, así, es una colección de objetos, pero es una colección conceptual, es un concepto. Materia no existe, es un concepto con el que agrupamos, en esta postura, lo que existe.

Fuentes principales, del beato Bunge:

A la caza de la realidad, La controversia sobre el realismo. Mario Bunge. Editorial Gedisa
Fundamentos de biofilosofía. Martín Mahner, Mario Bunge. Editorial Siglo Veintinuno

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Hace un tiempo comentaba el excelente libro "La física, aventura del pensamiento" de Einstein e Infeld:

El gran misterio, por Einstein e Infeld

Sigamos hoy leyendo algo de este libro. Ya al principio, los autores plantean un tema: ¿cómo explicar el movimientos de los cuerpos? ¿se mueven por sí mismos? ¿se mueven sólo mientras exista una "acción" sobre ellos? Veamos cómo termina surgiendo la experiencia y el modelo:

El problema del movimiento, uno de los más fundamentales, ha sido oscurecido durante miles de años por sus complicaciones naturales. Todos los movimientos que se observan en la naturaleza, por ejemplo, la caída de una piedra en el aire, un barco surcando el mar, un carro avanzando por una calle, son en realidad muy intrincados.

Caso muy frecuente en ciencia: se trata de explicar fenómenos que no son simples. Para poder avanzar, hay que hacer simplificaciones, empezar por algo más simple.

Para entender estos fenómenos es prudente empezar con los ejemplos más simples y pasar gradualmente a los casos más complicados. Consideremos un cuerpo en reposo en un lugar sin movimiento alguno. Si deseamos cambiar la posición de dicho cuerpo, es necesario ejercer sobre él alguna acción, como empujarlo o levantarlo o dejar que otros cuerpos, tales como caballos o máquinas, actúen sobre él.

Primera aparición de una causa externa para modificar el estado de movimiento de un cuerpo.

Nuestro concepto intuitivo del movimiento lo vincula a los actos de empujar, levantar, arrastrar. Múltiples observaciones nos inclinan a pensar que, para que un cuerpo se mueva con mayor rapidez, debemos empujarlo con más fuerza. Parece natural inferir que, cuanto mayor sea la acción ejercida sobre un cuerpo, tanto mayor será su velocidad. Un carro tirado por cuatro caballos marcha más de prisa que tirado por dos. La intuición nos enseña, pues, que la rapidez está esencialmente vinculada con la acción.

Entra en juego la intuición. ¿Podremos fiarnos de ella? De nuevo, como en el anterior post, los autores apelan a la analogía con el misterio policial:

Para los lectores de la literatura policial es un hecho familiar el que un falso indicio oscurece la investigación y pospone la solución del problema. El método de razonar dictado por la intuición resultó erróneo y condujo a ideas falsas, sostenidas durante siglos, respecto al movimiento de los cuerpos.

Como gran ejemplo de fuente de error basada en la intuición, nombran al estagirita:

La gran autoridad de Aristóteles fué quizá la razón primordial que hizo perpetuar este error durante siglos. En efecto, en su Mecánica puede leerse:

"El cuerpo en movimiento se detiene cuando la fuerza que lo empuja deja de actuar".

Esa aserción, tan acorde con nuestra experiencia e intuiciones, resultó ser errónea. Hoy nos parece evidente que es equivocada, pero porque ya tenemos unos siglos desde que sabemos eso. Pero por milenios, fue una verdad aceptada. Tenemos que esperar a Galileo (yo diría un poco antes, ya en la edad media surgen alternativas a Aristóteles) para que esto cambie. Aparece la actitud científica:

Una de las adquisiciones más importante en la historia del pensamiento humano, la que señala el verdadero punto inicial de la física, se debe a Galileo, al descubrir y usar el método de razonamiento científico. Este descubrimiento nos enseñó que no debemos creer, siempre, en las conclusiones intuitivas basadas sobre la observación inmediata, pues ellas conducen a menudo a equivocaciones.

Pero ¿de dónde surge la equivocación? Leo más adelante:

Supongamos que un hombre que conduce un carrito en una calle horizontal deje de repente de empujarlo. Sabemos que el carrito recorrerá cierto trayecto antes de parar. Nos preguntamos: ¿será posible aumentar este trayecto, y cómo? La experiencia diaria nos enseña que ello es posible y nos indica varias maneras de realizarlo: por ejemplo, engrasando el eje de las ruedas y haciendo más liso el camino. El carrito irá más lejos cuanto más fácilmente giren las ruedas y cuanto más pulido sea el camino.

Pero, ¿qué significa engrasar o aceitar los ejes de las ruedas y alisar el camino? Esto: significa que se ha disminuido las influencias externas.

Se han aminorado los efectos de lo que se llama roce o fricción, tanto en la» ruedas como en el camino. En realidad, esto constituye ya una interpretación teórica, hasta cierto punto arbitraria, de lo observado.

Lo de arriba es importante: no sólo tenemos experiencia, tenemos modelos, conceptos, teoría que aplicamos encima de esa experiencia.

Un paso adelante más y habremos dado con la clave verdadera del problema. Para ello imaginemos un camino perfectamente alisado y ruedas sin roce alguno. En tal caso no habría causa que se opusiera al movimiento y el carrito se movería eternamente. A esta conclusión se ha llegado imaginando un experimento ideal que jamás podrá verificarse, ya que es imposible eliminar toda influencia externa. La experiencia idealizada dio la clave que constituyó la verdadera fundamentación de la mecánica del movimiento.

Einstein hace hincapié en que la experiencia sola no nos llevó a las conclusiones de Galileo. También hay teoría, y experimento ideal, corrorborado (aunque no lo menciona) por aproximaciones que hizo Galileo, estudiando el movimiento en planos inclinados y otros.

Galileo llegó así a "descubrir" la inercia, mediante observación, experimento, y teoría:

Comparando los dos métodos expuestos, se puede decir que: Intuitivamente, a mayor fuerza corresponde mayor velocidad; luego, la velocidad de un cuerpo nos indicará si sobre él obran o no fuerzas. Según la clave descubierta por Galileo, si un cuerpo no es empujado o arrastrado, en suma, si sobre él no actúan fuerzas exteriores, se mueve uniformemente, es decir, con velocidad constante y en línea recta. Por lo tanto, la velocidad de un cuerpo no es indicio de que sobre él obren o no fuerzas exteriores. La conclusión de Galileo, que es la correcta, la formuló, una generación después, Newton, con el nombre de principio de inercia. Es, generalmente, una de las primeras leyes de la física que aprendemos de memoria en los colegios, y muchos la recordarán. Dice así:

"Un cuerpo en reposo, o en movimiento, se mantendrá en reposo, o en movimiento rectilíneo y uniforme, a menos que sobre él actúen fuerzas exteriores que lo obliguen a modificar dichos estados".

Concluyen:

Acabamos de ver que la ley de inercia no puede inferirse directamente de la experiencia, sino mediante una especulación del pensamiento, coherente con lo observado. El experimento ideal, no podrá jamás realizarse, a pesar de que nos conduce a un entendimiento profundo de las experiencias reales.

Quise detenerme en estos párrafos, para destacar que el método científico no se basa solamente en la experiencia cruda. Hay experimento y hay teoría. No es sólo una paciente recolección de datos: debe ser acompañada de otras cosas, como una explicación tentativa, experimento (tal vez no ideal, pero que ponga de manifiesto lo que pasaría en una circustancia ideal: Galileo usó planos inclinados para poder estudiar mejor la caída libre de los cuerpos), experimento mental (como cuando Galileo se imagina dentro de un cuarto en un barco, sin notar si el buque se mueve o no) y modelos.

Es claro, según la historia de la ciencia, en especial de la física, que los modelos y conceptos que ponemos para explicar los fenómenos no son perfectos. Casi siempre el modelo propuesto es apenas una aproximación a una mejor respuesta. Podría poner como ejemplo: ante una serie de fenómenos, se propone la explicación corpuscular de la luz. Otros fenómenos soportan mejor una explicación ondulatoria. Gran parte de la historia de la ciencia es el descubrimiento de nuevos fenómenos, su estudio en detalle, y la búsqueda de modelos explicativas, así como la propuesta de conceptos que nos ayuden a modelar la explicación (como el concepto de campo, fuerza, energía, etc...)

Fascinante tema el desarrollo de la ciencia humana.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Encuentro en estos días una nota al pie de página, en un escrito de Abdus Salam, su conferencia "La unificación de las fuerzas fundamentales". Es un fragmento de un libro de 1980, Infinite in all Directions, de Freeman Dysan. Leo:

Ahora es en general cierto que la gran mayoría de los hombres de ciencia de cada disciplina son unificadores. Y esto es especialmente cierto en la física. Newton y Einstein fueron supremos unificadores. Los grandes triundos de la física fueron triundos de unificación. Casi damos por descontado que el camino del progreso en la física será cada vez más al alcance de unos pocos principios fundamentales. Einstein tenía tanta confianza en lo acertado de este camino de unificación que al final de su vida casi no dedicó ningún interés a los descubrimientos experimentales que comenzaban a hacer más complicado el mundo de la física. Es difícil hallar entre los físicos voces serias que se opongan a la unificación.

El tema de la unificación de la física, y algo muy relacionado, la búsqueda de una TOE (Theory of Everything), ha acompañado gran parte de la historia moderna de esta disciplina. Algo ha ido apareciendo en anteriores posts míos: cuando comenté sobre Galileo, mencioné al pasar que él llevo a cabo parte de la unificación de los "cielos" con la Tierra (recordemos que para Aristóteles, cielo y tierra eran mundos separados con distintos movimientos naturales: en el cielo, el movimiento natural de las cosas era lo circular, y sin detención). El trabajo de Maxwell (y otros), llevó a la unificación de los fenómenos eléctricos y magnéticos. ¿Qué es unificar dos ramas de la física? Es dar cuenta de sus fenómenos y modelos desde una sola explicación.

¿Será posible la unificación, y una TOE, una teoría del todo, que explique todo los parámetros arbitrarios que hoy tenemos en teorías como el modelo estandard, y que unifique todas las fuerzas que encontramos en la naturaleza? No es fácil la respuesta. Por un lado, hay mucho esfuerzo puesto en conseguirla, y teorías como la de las supercuerdas y la supersimetría están tratando de llegar a ese objetivo. Pero aún no se ha llegado a buen puerto, luego de décadas de trabajo.

Hecha este comentario y breve introducción, espero comentar en futuros posts sobre la historia de la unificación. Como siempre, me interesa la historia de una disciplina. Abdus Salam, en la conferencia mencionada al principio, describe el recorrido de la historia de la física por el camino de la unificación. Y tengo más de un libro de divulgación sobre el tema de TOEs, notablemente uno de Steven Weinberg.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Encuentro en estos días este excelente fragmento de la película "Contacto" basada en libro de Carl Sagan, sobre el primer contacto nuestro con una civilización extraterrestre:

Excelente la secuencia, carrera en auto de la siempre bien puesta Jodie Foster (recuerdo la impecable Agent Starling en El silencio de los inocentes). Al comienzo aparece el personaje de  Matthew McConaughey, como el religioso interesado en la creación de todo (buen y respetuoso contrapunto de Sagan en el libro, con posturas cercanas al creacionismo).

Vean cómo tratan de descartar otras explicaciones. Como siempre, ante un fenómeno, la actitud científica es plantear una explicación, pero también ver cuán firme es ésta, por ejemplo, buscando otras alternativas. Un "fanático" hubiera aceptado directamente: es un mensaje extraterrestre.

Pero el punto que quiero destacar, es cómo termina: al encontrar en el mensaje la secuencia de primos, es lo que esperamos muchos: que las matemáticas sean el inicio de una conversación de este tipo. Luego, seguirían algunas definiciones lógicas, como igual, no igual, menor, mayor. Alguna definición de base (base 10? base 17?). Números de algunas relaciones físicas. Y así seguiría. Recordemos que Sagan fue uno de los que intervino en el diseño de los mensajes enviados en la Voyager 1. Les recomiendo también el libro Contacto, donde al final hay otro guiño de matemáticas y universo.

Arriesgo algo más: hasta debe haber civilizaciones extraterrestres, que al contactarnos, encontraran con sorpresa que nosotros resolvimos el último teorema de Fermat, y ellas no. Pero esta especulación puede ser simplemente orgullo humano.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ha llegado el momento de comenzar a escribir una serie de post, sobre realidad, realismo, y realismo científico. Ya escribí varios posts en estos años, pero es hora de ir escribiendo en orden, y más en detalle, y espero, más claro, lo que tengo de mi postura, y de otras cercanas.

Como siempre, escribir un post es, para mí, un ejercicio de dar un entregable, un "outcome" a una actividad, algo palpable como salida de algo que se hizo. Así que si nadie lee esto, no es problema. Lo importante es pasar en limpio, y de forma que permanezca, lo que uno piensa y descubre.

Mi preocupación sobre el tema de realidad y realismo viene de lejos, casi tres décadas. Pensé que el realismo esta firmemente entendido en general, pero me despierto en este siglo del tercer milenio, en medio de posturas irrealistas o difusas. Venga esta serie de posts para ir aclarando mi postura, y espero, sirva de algo para abrir discusiones.

Pero para discutir de un tema, es necesario ponerse de acuerdo en algunas cosas: por ejemplo, ¿de qué estamos hablando cuando decimos "realidad"? Ese ponerse de acuerdo no tiene por qué ser eterno, pero si en un discurso no aclaramos a qué nos referimos, lo más probable es que quien esté interesado en el mismo tema tenga, quizás, un concepto levemente diferente sobre algo que estamos referenciando. Si eso sucede, llegará el momento de no entender el discurso original, o de llegar a discrepancias que no son de fondo, sino de interpretación. No poner en claro algunas definiciones, es como redactar un ensayo "Sobre la pirifilación de rembos", sin aclarar qué es "pirifilación" y qué es "rembo". Como siempre insisto: una definición no tiene que quedar "escrita en piedra", pero sirve para ir entendiéndose y poniendo en claro una postura, y cualquier diferencia con otra.

Para poner un ejemplo más: si un geómetra parte de Euclides, y acepta el postulado de las paralelas, y otro geómetra parte de otra geometría sin ese postulado, pero no se aclaran entre sí esos puntos de partidas, al rato estarán refutando cada uno los teoremas del otro, cuando en realidad, la confusión está en el inicio del camino: la falta de aclaración de los puntos de partida.

Por lo que leí y veo, muchos confunden "realidad" con "imagen de la realidad" (o "imagen, modelos, conceptos que formamos de la realidad"). Y entonces se cae en el "la realidad es como yo la veo", haciendo énfasis en los "puntos de vista", y que hay "tantas realidades como personas". Espero explicar en esta serie de posts, que esas frases son mucho más aceptables, si cambiamos "realidad" por "imagen de realidad", o "imagen, conceptos, modelos de la realidad". No hay que confundir el territorio con el mapa.

Hecha esta introducción, paso a enumerar algunos temas que tendré que tratar. Primero, definir realidad, desde una postura ontológica. Es decir, una ontología, una descripción de lo que vamos a manejar, de lo que existe en la realidad, con algún criterio para determinar qué es lo que existe y qué es lo que no existe. Por supuesto, toda ontología es humana, perfectible, y habrá que ver qué grado de correspondencia tiene con lo que realmente es el caso, como diría Aristóteles. Una postura ontológica apenas roza otra postura: el realismo gnoseológico, la teoría del conocimiento de la realidad. Trataré de separarlas, aunque como ambas posturas son posturas humanas, es difícil mantener siempre esa separación. ¿Por qué, entonces, ese ejercicio de separación? Justamente, para que quede más clara las diferencias entre el concepto de realidad que vamos a explorar, de las imágenes, modelos, representaciones y conceptos que luego formamos.

El problema, siempre presente, es que cuando decimos "realidad" en una ontología, nos referimos a un concepto, modelo y representación, que puede no ser el "correcto". Pero teniendo claro ese punto, luego podemos avanzar, y viendo si ese concepto, modelo, representación es adecuado para lo que queremos discutir. No podemos avanzar, si no ponemos alguna piedra algo firme en el camino. Luego se verá si la reemplazamos por otra, o la vamos mejorando.

Ningún concepto de realidad se puede demostrar, como un teorema. El solipsismo es irrefutable. O bien, todo el Universo podría haberse creado hace cinco minutos, y no nos daríamos cuenta: sería indistinguible de uno que haya existido desde miles de millones de años. Cualquier indicio de su edad, hasta nuestros recuerdos, podrían haber sido implantados por un demonio a lo Descartes, o mejor aún, a lo Borges (del cual saqué esta idea, inspirada en el Omphalos de Gosse). Lo que uno hace en una postura realista es poner, como Euclides, una serie de puntos de partida, lo más clara posible, y luego, explorar a donde nos lleva todo esto. Veremos qué es realidad, qué es cosa, hecho, propiedad, fenómeno, objeto, estado y cambios de estado, realismo ingenuo, y algo de realismo científico. Y justificar algunas elecciones en base a nuestro conocimiento actual y experiencia.

Un camino largo, del cual éste es el primer paso. Esta es la serie:

¿Qué es la realidad? (Parte 1) Introducción
¿Qué es la realidad? (Parte 2) Cosas y Objetos
¿Qué es la realidad? (Parte 3) Cosas y Propiedades
¿Qué es la realidad? (Parte 4) Energía
¿Qué es la Realidad? (Parte 5) Las propiedades de una cosa
¿Qué es la realidad? (Parte 6) Clases de Propiedades
¿Qué es la realidad? (Parte 7) Comentarios
¿Qué es la realidad? (Parte 8) Hechos
¿Qué es la realidad? (Parte 9) Propiedades y Predicados, Hechos y Proposiciones
¿Qué es la realidad? (Parte 10) Eventos, Procesos y Espacios de Estado
¿Qué es la realidad? (Parte 11) Elementos ontológicos y conceptuales
¿Qué es la realidad? (Parte 12) Ingresa el sujeto
¿Qué es la realidad? (Parte 13) Cosa, apariencia, modelo
¿Qué es la realidad? (Parte 14) Materialismo
¿Qué es la realidad? (Parte 15) Realismo
¿Qué es la realidad? (Parte 16) Sujeto y Objeto

Mientras, les recuerdo anteriores posts relacionados con el tema

La realidad como única

Bases para un realismo
Hechos y conocimientos de los hechos
Realidad y apariencia
Más apariencia y realidad
Realidad independiente del sujeto
Bunge enumerando posturas no realistas
Reduccionismo en la realidad y en el conocimiento
Euler contra el irrealismo
Realidad y apariencia, en Bunge
No sé si se dan cuenta
El fanerón en Aristóteles

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Para este sábado, comparto con Uds. esta "joyita" de video matemático:

Leo en la explicación de la página en Youtube:

There are many ways to draw an ellipse. This short film represents just few of them. Every virtual model is based on ellipse properties. For example, the first one utilizes the fact the the sum of the distances from a point on an ellipse to its foci is a constant. The last one is based on the trigonometric parametrization of an ellipse (a.cos α, b.sin α).

The 3D animation is programmed and rendered entirely in Elica ( http://www.elica.net ) by Pavel Boytchev. The song Swingato is composed and performed by Johnny Owl ( http://www.johnnyowl.com ). Subsidiary sound effects are provided by Pacific Digital Video ( http://www.pacdv.com ), Gabriel Ross ( http://www.grsites.com ), James Greever, and Pavel Boytchev. Film aging is implemented with video filters created by MSU Video Group ( http://graphics.cs.msu.su ) and Pavel Boytchev. Digital image manipulation is done by Pavel Boytchev.

As a proof that the film is generated by software, there is a wireframe version of it ( http://www.youtube.com/watch?v=Q-2_Wh... ). More virtual devices are listed in the playlist "Mathematical devices" ( http://www.youtube.com/elicateam#g/c/... ).

Es notable que la elipse, una de las cónicas estudiadas por los griegos, más de un milenio después, tuviera tan ligada a la física newtoniana, a las leyes de Kepler y demás. Así como la parábola con las trayectorias de Galileo.

El siglo pasado, en matemáticas, ha sido el siglo del ascenso de las estructuras, con todo un apoyo en el álgebra abstracta, pero la geometría, sus intuiciones, de alguna forma siempre vuelve. Un tema que estoy estudiando es la geometría algebraica, donde las "dos ramas" se relacionan de nuevo, dando nuevos y poderosos métodos (se alimenta de estructuras, anillos, módulos, ideales, esquemas, topología, categorías... es prácticamente el zumo destilado de gran parte de las matemáticas...). Ha avanzado con grandes pasos en la segunda mitad del siglo pasado (y que de alguna manera, ha servido al fin para la demostración del último teorema de Fermat). Pero todavía me falta estudiar como para postear algo.

Por ahora, disfrutemos de este video.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Sigo comentando sobre Lewis Mumford, su libro "La condición del hombre". Ya escribí sobre él en:

La condición del ser humano: leyendo a Lewis Mumford
Conciencia de la muerte, en Lewis Mumford
El ser humano, por Lewis Mumford (Parte 1)

Hoy leo y comento:

Durante el último siglo la naturaleza del hombre ha sido redefinida por la investigación científicia: mucho de lo que hasta entonces permanecía en el reino de lo mítico o lo político ha sido sustanciado por el análisis detallado y unido de generaciones más amplias que las establecidas por cualquier mito aislado o institución religiosa.

Mumford escribe en el siglo XX. Hay que proseguir esa investigación, pero vamos avanzando. ¿Cómo la ciencia ha ido dando respuestas a estas preguntas? Traté algo el tema en ¿Por qué?

Con Carlos Darwin comprendemos que la naturaleza del hombre continúa la de la creación anmal; el pasado biológico de muchos organismos contribuidores ha dado forma a los órganos de su proppio cuerpo: sus necesidades, sus impulsos han delineado los canales para su propia conducta. Con cada impulso que ha seguido corrió el riesgo de volver a la norma de su pasado animal: éste es su "pecado original", a cuyo peso no puede nunca escapar aunque lleva en sí como compensación todas las vitalidades del mundo animal y todos los procesos primitivos de cooperación, lealtad y amor sexual que han sido los fundamentos de su vida superior.

¿Cómo es la naturaleza humana? Comenté mi postura en El organismo humano. Es interesante que Mumford mencione a la lealtad y cooperación como procesos primitivos animales heredados, en lo que coincido. Otra postura (que tendré que comentar en algún momento) es la de Thomas Huxley, que ve en esas cualidades lo netamente humano, negado a lo animal, que en permanente competencia y lucha. La postura de Huxley se ha basado en su defensa de la evolución biológica, pero pienso que sólo vio un aspecto. Alguien que tempranamente lo combatió fue Peter Kropotkin: tendría que comentar su "La ayuda mutua", que fue formando en sus años de investigación en Siberia.

En próximos posts, comentaré la posición de Mumford sobre el trabajo, el ser humano como animal manual, y la formación de la civilización.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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A principios de 1902, Einstein todavía no había ingresado en la oficina de patentes de Berna (tengo que escribir cómo llegó ahí). En febrero de ese año, fijó su residencia en Berna. Para mantenerse, daba clases particulares. Había publicado un aviso, anunciando sus clases de física a tres francos la hora. Un rumano, Maurice Solovine, estudiante de filosofía en la Universidad de Berna, leyó el aviso. Como tenía intereses muy amplios, se dirigió a la dirección indicada y le explicó a Einstein que no estaba satisfecho con sus estudios de filosofía, y quería encarar una materia más sólida como la física. Einstein se sintió impresionado por el estudiante rumano, y comenzó una discusión de dos horas por distintos temas. Cuando al fin Solovine tuvo que marcharse, Einstein lo acompañó la calle y siguieron discutiendo por media hora más. Quedaron en celebrar la primera clase al día siguiente. Pero en esa reunión, lo único que hicieron fue seguir con la discusión. Al tercer día Einstein dijo que le parecían más interesantes esas discusiones que unas clases de física. Desde ese entonces, se reunieron periódicamente, no solo para discutir de física sino también de filosofía. Al tiempo, se les unió Konrad Habicht, matemático amigo de Einstein. Los tres bautizaron a esas reuniones "Academia Olympia". Eran reuniones de amigos, pero en vez de jugar a las cartas, se veían para hablar de los temas que les interesanban, física, filosofía, literatura (por ejemplo, el Quijote), o cualquier otro que les interesara. En general, Einstein llevaba la iniciativa. Se reunían en su departamento, y tras una cena liviana, se quedaban discutiendo hasta altas horas de la noche, provocando a veces las quejas de los vecinos. Leían en común libros, obras filosóficas y científicas.

Einstein era un hombre solitario, y en esas reuniones encontró con quien hablar y discutir de los temas que le interesaban.

Las reuniones duraron unos pocos años. Habicht dejó Berna en 1904, para acabar convirtiéndose en maestro de su ciudad natal, Schaffhausen, donde Einstein había pasado un tiempo como profesor particular (supongo que ahí se conocieron). Solovine dejó Berna en 1905, llegando a fijar residencia en París. Trabajó como editor y escritor, y fue traductor oficial de las obras de Einstein al francés.

En una carta a Solovine, en recuerdo de la Academia, Einstein escribió:

"To the immortal Akademie Olympia.

In your short active life you have amused yourself about all in childish joy what was clear and clever. Your members have created you to laugh about your big, old and arrogant sisters. How much they have hit bull"s eye with this I have learnt through many years of thorough watching.

All three of us members have proved at least as lasting. Even if they are already a bit doddery something of your happy and lively light shines on our lonely path of life; because you haven"t grown old with them and you"ve grown up like a salad plant going to seed.

To you is aimed our truth and devotion until the last erudite breath! The now only corresponding member

Princeton 3. IV. 53."

Fuentes consultadas: la biografía de Einstein de Banesh Hoffmann, que comenté en anteriores posts, y:

http://en.wikipedia.org/wiki/Olympia_Academy
http://www.einstein-website.de/z_biography/olympia-e.html

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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En estos días, gracias a un tweet de la buena de @graciadelcielo, encuentro este video, de una entrevista de Richard Feynman, mencionado en el post:

Homínidos: Richard Feynman, sobre el conocimiento

Excelente discurso, con el que estoy de acuerdo. Transcribo y comento:

Si Ud. espera que los científicos le proporcionen todas las respuestas a las fabulosas cuestiones sobre qué somos, dónde vamos, cuál es el sentido del Universo y esas cosas, entonces creo que uno podría fabricar fácilmente ciertas soluciones y sacarle un jugo místico al problema.

La ciencia está para investigar la realidad, incluidos nosotros. Pero no para dar todas las respuestas, menos sobre el sentido de nuestra vida. Nos puede mostrar cómo son las cosas (incluidos nosotros), pero nada sobre qué hacer con nuestra vida. De ahí que tengamos que apoyarnos en la filosofía, sin olvidar lo descubierto por la ciencia.

Investigar no es ser complacientes con la naturaleza. La gente me dice ¿estás buscando las leyes completas de la física? No, no estoy haciendo eso. Simplemente estoy tratando de saber algo más acerca del mundo. Si resulta que hay una ley definitiva y simple que lo explica todo ¡si es así será muy agradable descubrirla! Si en cambio resulta que la naturaleza es como una cebolla con millones de capas y terminas agotado y cansado de ir descubriendo esas capas ¡entonces es así como será!

Concuerdo. Muchos piensan que la ciencia busca la simplicidad. Yo veo que busca explicar la realidad: en el caso de la física, si resulta que al final ese aspecto es simple, así será. Sino, habrá que admitir que no sea simple. Hay ideas sobre la incorporación de la "historia" en la explicación de lo que es ahora: bien podría ser nuestro Universo una rama posible y no necesaria de la historia de la realidad.

Pero sea como sea, esa será su naturaleza y ella aparecerá de la forma que ES. Por tanto, cuando vayamos a investigar no deberíamos presuponer qué estamos tratando de hacer, sino solamente intentar conocer algo más sobre ello.

Dicho esto, no me puedo creer las historias especiales que se han establecido sobre nuestra relación con el Universo porque parecen ser ¡muy locales! ¡muy provincianas! ¡La Tierra! ¡Todo vino a suceder en la Tierra! ¡Uno de los aspectos de Dios vino a la Tierra, fíjate! ¡Y mira la cantidad de cosas que hay ahí afuera! ¿Cómo es posible? Hay una gran desproporción.

Veo que la ciencia nos ha ido sacando de ese centro, desde Copérnico en adelante. Pero siempre se cuela el ser humano como centro. No hay que renegar de eso, sólo tomarlo en cuenta, en la justa medida y circunstancia.

Y otra cosa tiene que ver con la cuestión de cómo te puedes fiar de que algo es cierto. Si te fijas en todas las teorías de las creencias, todas las diferentes teorías que hay sobre eso, entonces empiezas a darte cuenta. Una vez has empezado a dudar, que para mí es una parte muy fundamental de mi alma, dudar y preguntarme cosas. Para mí dudar y preguntarme cosas es un poco más difícil ... que creer.

Eso es el espíritu escéptico: no negar, sino dudar.

¡Puedo vivir con dudas! Y con incertidumbre, y no sabiendo. Pienso que es mucho más interesante vivir no sabiendo que tener respuestas que puedan estar equivocadas. Tengo respuestas aproximadas y convicciones posibles en diferentes grados de certidumbre sobre varias cosas pero no estoy absolutamente seguro de nada, y acerca de muchas cosas no sé absolutamente nada.

Esa es la actitud que cultivo, prefiero la verdad al alivio, como escribíó Huxley (ver enlaces al final)

Pero no tengo que tener imperiosamente una respuesta. No me siento asustado por no saber cosas, por "hallarme perdido en un universo misterioso sin ningún propósito" que es como realmente es, hasta lo que ahora por ahora puedo decir, posiblemente. Eso no me asusta.

De nuevo, excelente.

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