Angel "Java" Lopez en Blog

Hace un tiempo definí y di un ejemplo sencillo de grupo, en:

Grupos: definición y ejemplo

Veamos ahora otro ejemplo, simple pero jugoso, como veremos. Sea un cuadrado:

Numeramos los vértices, pero el cuadrado es todo lo "verde": no solamente los vértices y los lados. Si giramos a ese cuadrado 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj, y llamamos a esa operación r obtenemos:

Si repetimos esa operación y llamamos rr = s (o sea, aplicamos r (la de la derecha), y luego otra r (la de la izquierda), obtenemos otra operación que llamamos s):

Si de nuevo aplicamos r, y llamamos a la operación t:

Si aplicarámos otra vez r, llegaríamos a la posición inicial, que podemos llamar la que se consigue aplicando la operación e (la identidad). Haciendo una tabla de multiplicación:

Algunos puntos:

- Esas operaciones, e, r, s, t, forman grupo, por lo que vimos en el post mencionado al comienzo
- Es un grupo conmutativo, pues ab = ba para cualesquiera operaciones
- Es un grupo cíclico, generado por r: ¿qué es esto? Que todas las operaciones se obtienen de repetir r, rr, rrr, y así, hasta rrrr = e y luego vuelve el ciclo.
- No es difícil ver que un grupo cíclico es conmutativo ¿se atreven a demostrarlo?

Todas estas operaciones son transformaciones del cuadrado en sí mismo, y de alguna forma, muestran las simetrías que tiene. Ya introduje un poco el tema simetría en:

Simetría: primeros pasos

Estas transformaciones que estamos considerando son:

- biyectivas: todo punto del cuadrado es cubierto por la transformación (sobreyectiva) y si el punto x y el punto y son transformados en el punto z, entonces x = y (inyectiva)
- mantienen las distancias de dos puntos cualesquieras. Es decir, sea d(x,y) la distancia de dos puntos del cuadrado inicial, d(x, y) = d(a(x), a(y)) para cualquier operación a que tenemos en el grupo.

Llamemos a el grupo encontrado, grupo R, de rotaciones del cuadrado. De alguna forma, todas estas transformaciones mantiene "la forma" del cuadrado. Los puntos cambian, la posición de los vértices, pero "la forma" permanece. Si no etiquetáramos los puntos vértices, no distinguiríamos un cuadrado de otro. De alguna forma, las simetrías aparecen cuando aplicamos una transformación T a un objeto matemático x, y queda:

Tx = x

(si consideramos que x "no cambia de forma"). Veremos más adelante otros ejemplos inspirados en la geometría, y otros más abstractos.

No todas las biyecciones de los puntos del cuadrado mantienen las distancias. Notemos también que hay un punto que se aplica a sí mismo en TODAS las transformaciones consideradas: el punto central. Pero esas operaciones no son las únicas que cumplen con la biyección y mantenimiento de la métrica. Tenemos también como operaciones para "agrandar" a este grupo R, las reflexiones por diagonales, y ejes vertical y horizontal.

Tarea para el hogar: armar la tabla de multiplicación con estas operaciones adicionales, ver que es grupo, y ya no será conmutativo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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