Hace unos días comenzaba a explorar un ejemplo concreto de grupo y simetría:

Simetrías del cuadrado (Parte 1)

El cuadrado en cuestión tenía los vértices numerados:

Había considerado solamente las rotaciones, lo que dió un grupo conmutativo, es más, era un grupo cíclico. Pero quedaron pendientes otras operaciones de simetría:

Podemos, en vez de rotar, "reflejar" el cuadrado, por el eje vertical, eje horizontal, o por las diagonales. Llamemos a las operaciones:

h : reflexión por eje horizontal
v : reflexión por eje vertical
d : reflexión por diagonal 1-3
g : reflexión por diagonal 2-4

Con un poco de paciencia, podemos construir la tabla de las operaciones:

Acá, si tenemos que calcular, digamos dh, es: primero, operamos h sobre el cuadrado, y luego aplicamos d. Es decir, si C es el conjunto de puntos del cuadrado

(dh)C = d(h(C))

Esto es una convención, bien podría decir "primero aplico la d y luego la h". ¿Cómo se busca el resultado de dh en la tabla? De nuevo, por convención, armé la tabla de tal forma que dh es: buscar la columna h, la fila d, y ver la intersección. Bien podría haber armado la tabla de otra forma.

¿Por qué esta vez tenemos que preocuparnos de cómo buscamos y aplicamos las operaciones? Porque esta vez el grupo (comprobar que las operaciones siguen siendo grupo), NO ES conmutativo. No siempre es ab = ba. Ver que dh = r, mientras hd = t.

Una curiosidad: vean que toda fila no tiene elementos repetidos, y toda columna tampoco. Si llamamos a este grupo G, queda:

aG = G para todo a perteneciente a los elementos de G

y así, cada elemento, podemos considerarlo como que define:

a : G --> G

una función para todo x de G, siendo

a(x) = ax

Esas funciones son biyectivas (sobreyectivas, porque cada elemento de G es alcanzado por algún ax, e inyectivas, porque ax = ay implica x = y). Todo esto no era evidente: vamos a ver que, entonces, todo grupo G puede considerarse como un subconjunto del conjunto de funciones biyectivas de G en G. Algo relacionado con esto, es que:

ax = y

como ecuación, dados a e y, tiene siempre solución: basta tomar

x = a'y

donde a' es el inverso de a, existente por los axiomas de grupo. Es decir, dado un elemento a fijo, todo otro elemento y de G es parte de la imagen de a: G --> G. Esto demuestra la sobreyectividad de a, tomada como función de G en G. Agregemos, si:

ax = ay

entonces

a'ax = a'ay
ex = ey
x = y

siendo de nuevo a' el inverso de a,  tal que

a'a = aa' = e

Hemos aplicado la distributividad (así pude escribir a'ax sin necesidad de distinguir entre (a'a)x y a'(ax)) y la existencia de inverso, dos de los axiomas de grupos que vimos en Grupos: definición y primer ejemplo. Se muestra así que cualquier elemento a, tomado como función de G en G, es inyectiva.

Bueno, bastante por hoy. Agrego: vean que el grupo R del anterior post (las rotaciones) está incluido en este nuevo grupo G que incluye las reflexiones. Vamos a ver que a R se le dice subgrupo de G. Tenemos que explorar cuáles subgrupos hay en G, y sus relaciones entre sí.

Otro punto: el grupo R era generado por un solo elemento, el r. Podemos escribir <r> al grupo generado por elemento r. Es un grupo cíclico y como todo grupo cíclico, es conmutativo. El grupo de hoy, G, no es conmutativo, entonces no es generado por un solo elemento. Pero notablemente, tenemos que llegar, en algún momento, a un resultado no trivial, para grupos finitos:

- Todo grupo finito H es subgrupo de un grupo G generado por sólo DOS elementos

Relacionado con esto, tenemos que ver la relación entre todo grupo finito, y algún grupo de permutaciones (funciones biyectivas de un conjunto finito X). Pero no quiero adelantarme, ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez