Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 11 de Enero, 2011, 10:24

Hace un tiempo, escribí:

Los fundamentos de la materia

Debería mejorar esa explicación, donde presento a los fermiones y bosones. Son partículas del modelo estándard que se comportan de dos formas distintas: unas obedecen a la estadística de Fermi-Dirac, y otras a la estadística de Bose-Einstein. ¿Qué es eso? Bueno, esas estadísticas describen cómo se comportan conjuntos de partículas del mismo tipo, mejor dicho, cómo se reparten las energías entre ellas en equilibro. Uno esperaría que todas las partículas, en último término, se comporten como los gases, repartiéndose su energía en forma similar. Pero no: en física cuántica encontramos esas dos formas, esas dos estadísticas, que provocan resultados distintos en el comportamiento de los fermiones y los bosones. Ejemplo de fermión: electrón. Ejemplo de bosón: fotón.

¿Cuál es la diferencia apreciable entre electrones y fotones? Los fotones, que componen la luz, pueden agruparse, aún en el mismo estado todos, como en el láser. Dos electrones no pueden estar en el mismo estado cuántico. Así, dos electrones en un átomo de helio, deben diferir en algo: no pueden ocupar el mismo orbital y tener los mismo números cuánticos (valores de las propiedades que los describen). Eso se llama el principio de exclusión de Pauli, y como explicaba en el post mencionado, eso explica la materia sólida: que los electrones de los átomos no se desplomen todos hasta la mínima energía. La materia que conocemos, se compone de fermiones: protones, neutrones, electrones.

Todo esto merece una explicación más detallada. Yo debería estudiar las fórmulas que describen a los fermiones y su diferencia con la de los bosones. Por ejemplo, la fórmula que describe un fermión, al girar en el espacio, va cambiando. Y notablemente, al girar 360 grados completos, la fórmula, en lugar de volver a ser la misma de partida, cambia de signo. Es lo que se llaman un "objeto espinorial". Desde los años veinte del siglo pasado, se propuso que un electrón tiene una propiedad, llamada spin (pueden leer sobre su descubrimiento por Goudsmit y Uhlenbeck, en The discovery of the electron spin, escrito por el propio Goudsmit). Notablemente, Dirac, tratando de compatibilizar la ecuación de Schrodinger (una de esas fórmulas de las que hablo acá) con la relatividad, escribe su famosa ecuación, que incluye una descripción de ese spin (propuesto por experimentos) y además, adelanta la existencia de antimateria.

Ese cambio de signo de las fórmulas (denominadas funciones de onda) "explicaría" que dos fermiones no existan en el mismo estado: el intercambio de dos ellos indistinguibles, en una fórmula que describa el estado combinado de ellos Phi(a,b), cambia de signo al intercambiar dos fermiones: Phi(a,b) = - Phi(b,a). En física cuántica, al describir el estado de algo, de un sistema por ejemplo, se debe tomar en cuenta todos los estados indistinguibles. Al describir el sistema (a,b), deberíamos tomar algo como el promedio de Phi(a,b) + Phi(b,a) = Phi(a,b) - Phi(a,b) = 0. Eso describiría nada. El principio de exclusión de Pauli, prohíbe esos sistemas (a,b) de fermiones intercambiables. Podría decir que es una consecuencia de la conservación de la energía y el cambio de signo en los objetos espinoriales.

(La idea de que toda la física cuántica evita la desaparición de la energía, me acompaña desde hace décadas. Un ejemplo, intuitivo: la función de onda de un electrón en un átomo, se "enrolla" en su orbital, de tal forma de caber en una cantidad entera de "vueltas". Si no se "enrollara" así, de una forma que quepa una cantidad entera de ondas en su orbital (todo esto es intuitivo, no es tan así, es una descripción para este ejemplo), la función de onda se combinaría consigo misma, produciendo interferencias, tantas que terminaría anulándose. La cuantificación surgiría como "consecuencia" de evitar eso. Podríamos poner la conservación de la energía/cosas como lo que explica que las ondas se "enrollan" de forma entera, para no provocar interferencia que las anule) (Es interesante recordar a Feynman, para quien el electrón libre (no "enrollado"), en realidad es una onda que viaja en una cavidad de paredes infinitas, también está "enrollado", pero en el infinito. Podríamos especular qué pasaría con esa descripción si el Universo es finito. Feynman alguna vez tuvo la idea, sembrada por Wheeler, creo: todos los electrones tienen las mismas características, porque son el mismo: viajando enrollado, hacia atrás y adelante en el tiempo).

¿Cómo es posible que la función de onda cambie de signo, y describa el mismo electrón? Pues bien, un tema para post: toda situación física es descripta, en términos de probabilidades, por el cuadrado de la amplitud (valor) de la función de onda. Es decir, Phi al cuadrado es lo que describe la realidad física. Entonces, tanto Phi como -Phi describen la misma situación. Como Phi es una función compleja (da valores que son números complejos), si multiplicamos Phi por un valor complejo k cualquiera con "longitud" 1, también kPhi describe la misma situación física. Tengo que escribir del tema, y de la notable superposición de ondas.

Pero hay algo más: ya sabemos que tenemos fermiones y bosones. Unos al rotar pasar a Phi, y otros a -Phi, los dos valores posibles para que al final se describa la misma situación física. Uno podría esperar que hubiera partículas de los dos tipos en la naturaleza, o de uno solo. Pero hay de las dos. Hay fermiones y bosones. Y acá lo notable: todos los fermiones tienen spin, con valor semi entero (los electrones tienen spin 1/2, mejor dicho, puede tomar valores -1/2, 1/2) (es todo un tema en física cuántica explicar que los spin tiene valores determinados, no pueden valer cualquier cosa, un número real, por ejemplo). Y todos los bosones, tiene spin entero (ejemplo, una partícula de spin 1, podrá tomar valores -1 , 0 , 1). No es evidente esa relación entre la integridad (ser entero o no) de los spin, y la estadística a la que obedecen esas partículas. No hay una explicación fácil.

Leo a Richard Feynman (Volumen III, de sus Lectures, capítulo 4, al final de la sección 1):

Esto conduce a una pregunta interesante: ¿Por qué las partículas con espín semientero son fermiones cuyas amplitudes se suman con signo menos, mientras que las partículas con spán entero son bosones cuyas amplitudes se suman con el signo positivo? Pedimos disculpas por no poder darles una explicación elemental. Pauli ha dado una explicación partiendo de argumentos complicados de la teoría cuántica de campos y de la relatividad. Ha demostrado que necesariamente las dos deben ir juntas, pero no hemos podido encontrar un modo de reproducir sus argumentos a un nivel elemental. Parece ser uno de los pocos lugares de la física donde hay una regla que se puede enunciar muy simplemente, pero que para la cual nadie ha encontrado una explicación simple y fácil. La explicación está sumergida profundamente en la mecánica cuántica relativista. Esto significa probablemente que no tenemos una comprensión completa del principio fundamental involucrado. Por el momento la tendrán que tomar simplemente como una de las reglas del universo.

Recomiendo la lectura de las excelentes Lectures de Feynman (o verlas en Project Tuva) y de el notable El camino a la realidad, de Penrose. Espero poder escribir del tema, para ir aclarando algunos puntos: dar ejemplos de las fórmulas que mencioné y encontrar alguna explicación potable de la relación spin estadística.

Luego de la muerte de Dirac, en 1984, el St. John's College de Cambrigde comenzó a organizar unas conferencias anuales en su memoria. En la primera de ellas, hablaron Steven Weinberg y Richard Feynman. Pueden encontrarlas en el libro "Las partículas elementas y las leyes de la física", editorial Gedisa. En su conferencia, Feynman explica la relación entre spin y estadística, y al parecer (todavía tengo que entender su argumento) demuestra que tiene que existir.

Vean la interesante discusión (no todas las respuestas son acertadas o claras):

Why Pauli's Exclusion Principle?

La mejor respuesta que encontré ahí está en la tercer página: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=82253&page=3 y es del usuario dustball. Lean la respuesta completa ahí:

The Fermi exclusion principle can be explained by saying that electrons are spinorial objects, i.e. the wave function of an electron is multiplied by -1 when the observer (or an electron itself) undergoes a full (2pi) rotation.... The standard explanation uses relativistic quantum field theory and is much more technical. There is still quite a bit of a controversy about the spin-statistics connection, and the papers are still written about it.... From a practical point of view the issue is well settled since the experimental support for the exclusion principle is overwhelming. Historically the idea that electrons are spinorial came from the observation of the splitting of the spectral lines in the magnetic field, and each line splits into 2, so the electron must be described by a 2-dimensional irreducible projective representation of the rotation (or Lorentz) group. The representations of these groups are all known, and the spinoriality of the electron is forced upon us as soon as we accept the basic dogmas of quantum mechanics....

Un experimento en:

Testing the Spin-Statistics Theorem

Artículos que tendré que leer (y entender ;-)

Spin & Statistics in Nonrelativistic Quantum Mechanics
Symmetrizing the Symmetrization Postulate

Pueden buscar en Google: Spin Statistics Theorem, para estudiar y mantenerse al tanto del problema.

Un libro a leer:

Pauli and the Spin-Statistics Theorem

Sobre objetos espinoriales, y algo de Dirac y su ecuación:

Dirac belt trick
Dirac (technical details)
The Dirac equation
The Dirac equation (otra explicación)

Ahí van a ver aparecer el spin, objetos
espinoriales, y las notables álgebras de Clifford (donde los elementos base son todos del tipo a * a = -1, de nuevo el cambio de signo que mencioné).

Algunos enlaces:

http://delicious.com/ajlopez/spinor
http://delicious.com/ajlopez/pauli
http://delicious.com/ajlopez/dirac
http://delicious.com/ajlopez/clifford

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia