Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 22 de Enero, 2011, 19:19

Muchas veces he escrito sobre P.A.M. Dirac (por ejemplo, en El problema de explicar spin y estadística o Entrevista a P.A.M.Dirac). Fue un gran físico teórico, y con una personalidad muy particular (ver Dirac según Gamow). En esta semana, juntando material para mi recien comenzada serie de posts sobre física cuántica me encuentro con su obra Principles of Quantum Mechanics. En el prefacio de su primera edición (de 1930) descubro que ya tempranamente, Dirac otorga importancia al papel de la teoría de grupos (él los llama transformaciones) en cuestiones de física teórica. Leo:

The methods of progress in theoretical physics have undergone a vast change during the present century. The classical tradition has been to consider the world to be an association of observable objects (particles, fluids, fields, etc.) moving about according to definite laws of force, so that one could form a mental picture in space and time of the whole scheme. This led to a physics whose aim was to make assumptions about the mechanism and forces connecting these observable objects, to account for their behaviour in the
simplest possible way. It has become increasingly evident in recent times, however, that nature works on a different plan. Her fundamental laws do not govern the world as it appears in our mental picture in any very direct way, but instead they control a substratum of which we cannot form a mental picture without introducing irrelevancies. The formulation of these laws requires the use of the mathematics of transformations. The important things in the world appear as the invariants (or more generally the nearly
invariants, or quantities with simple transformation properties) of these transformations. The things we are immediately aware of are the relations of these nearly invariants to a certain frame of reference, usually one chosen so as to introduce special simplifying features which are unimportant from the point, of view of general theory.

Traduzco:

Los métodos para progresar en física teórica han sufrido un gran cambio durante el presente siglo [Dirac escribe en el siglo XX]. La tradición clásica ha sido considerar al mundo como una asociación de objetos observables (partículas, fluidos, campos, etc.) que se mueven de acuerdo a leyes definidas de fuerza, de tal forma que uno podía formarse una imagen mental de todo ese esquema en el espacio y el tiempo. Esto llevó a una física cuyo propósito era proponer mecanismos y fuerzas que conectan esos objetos observables para dar cuenta de su conducta, de la manera más simple. Cada vez es más evidente, sin embargo, que la naturaleza trabaja con un plan diferente. Sus leyes fundamentales no gobiernan el mundo como se nos aparece en nuestras imágenes mentales, de una forma directa, sino al contrario, ellas controlan un substrato del cual no podemos formar una imagen mental sin introducir detalles irrelevantes. La formulación de estas leyes requiere el uso de las matemáticas de las transformaciones. Las cosas importantes del mundo aparecen como los invariantes (o más generalme, los casi invariantes, o cantidades con propiedades que se transforma simplemente) de esas transformaciones. Las cosas de las que nos damos cuenta inmediatamente son las relaciones de esos casi invariantes en un cierto marco de referencia, usualmente uno elegido de forma de simplificar las características que no son importantes desde el punto de vista de la teoría general.

Qué interesante que Dirac destace los invariantes, y la búsqueda de leyes invariantes. Tengo que escribir sobre el tema, tanto en relatividad especial (una forma de hacer invariante a la mecánica clásica ante las transformaciones de Lorez; justamente, las leyes de Maxwell ya eran invariantes), como en cuántica. Como adelanté en Divulgación en Física no siempre está claro en los libros de divulgación el papel de los grupos en la física. Espero poder dar alguna luz sobre el tema. Ya comencé a escribir sobre grupos en Simetrías del cuadrado, Grupos, definición y primer ejemplo, Motivaciones de la teoría de grupos y sobre simetría en Simetría: primeros pasos.

Dirac justamente sigue con el tema:

The growth of the use of transformation theory, as applied first to relativity and later to the quantum theory, is the essence of the new method in theoretical physics. Further progress lies in the direction of making our equations invariant under wider and still wider transformations. This state of affairs is very satisfactory from a philosophical point of view, as implying an increasing recognition of the part played by the observer in himself introducing the regularities that appear in his observations, and a lack of arbitrariness in the ways
of nature, but it makes things less easy for the learner of physics. The new theories, if one looks apart from their mathematical setting, are built up from physical concepts which cannot be explained in terms of tilings previously known to the student, which cannot even be explained adequately in words at all. Like the fundamental concepts (e.g. proximity, identity) which every one must learn on his arrival into the world, the newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with their properties and uses.

El crecimiento del uso de la teoría de la transformación, aplicada primero en la relatividad y más tarde a la teoría cuántica, es la esencia de un nuevo método en física teórica. Se nota el progreso en la dirección de hacer que nuestras ecuaciones sean invariantes bajo transformaciones cada vez más generales. Este estado de cosas es muy satisfactorio desde un punto de vista filosófico, porque implica un reconocimiento creciente de la parte que juega el observidor por sí mismo introduciedo regularidades que aparecen en sus observaciones, y una falta de arbitrariedad en los modos de la naturalez, pero todo esto hace las cosas menos fáciles para el estudiante de física. Las nuevas teorías, si uno mira más allá de sus fundamentos matemáticos, están armadas de conceptos físicos que no pueden ser explicados en términos de elementos previamente conocidos por el estudiante, que no pueden ni siquiera ser explicadas en palabras. Como los conceptos fundamentales (ej. proximidad, identidad) que cada uno debe aprender desde su llegada al mundo, los nuevos conceptos de la física pueden ser realmente dominados solamente por una larga familiaridad con sus propiedades y usos.

Por ejemplo, ¿dónde había arbitrariedades? En la elección de un espacio absoluto, por Newton, por ejemplo (leer Espacio y Tiempo en Newton). La teoría general de la relatividad hasta nos libró de esos temas. Interesante cómo Dirac destaca que no estamos preparados para todos estos nuevos conceptos. Yo escribiría: como organismos, hemos evolucionado para entender un mundo no relativista, y no cuántico.

From the mathematical side the approach to the new theories presents no difficulties, as the mathematics required (at any rate that which is required for the development of physics -up to the present) is not essentially different from what has been current for a considerable time. Mathematics is the tool specially suited for dealing with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this field. For this reason a book on the new physics, if not purely descriptive of experimental work, must be essentially mathematical. All the same the mathematics is only a tool and one should learn to hold the physical ideas in one's mind without reference to the mathematical form. In this book I have tried to keep the physics to the forefront, by beginning with an entirely physical chapter and in the later work examining the physical meaning underlying the formalism wherever possible. The amount of theoretical ground one has to cover before being able to solve problems of real practical value is rather large, but this circumstance is an inevitable consequence of the fundamental part played by transformation theory and is likely to become more pronounced in the theoretical physics of the future.

Desde el lado matemático la aproximación a las nuevas teorías no presenta dificultades, porque las matemáticas requeridas (tanto como son requeridas para el desarrollo de la física, hasta el presente) no son esencialmente diferentes de las que han sido corrientes por un considerable tiempo. Las matemáticas son la herramienta especialmente adecuada para manejarse con conceptos abstractos de cuanquier tipo y no hay límite para su poder en este campo. Por esta razón, un libro sobre la nueva física, si no es puramente descriptivo de trabajo experimental, debe ser esencialmente matemático. Aun así las matemáticas son sólo una herramienta y uno debe aprender a captar las ideas físicas en su mente sin referencia a su forma matemática. En este libro yo he tratado de mantener la física al frente, comenzando con un capítulo enteramente físico y luego examinar el significado físico del formalismo subyacente en cuanto fuera posible. La cantidad de material teórico que uno debe cubrir antes de poder resolver problemas de real valor práctico es algo extenso, pero esta circunstancia es una inevitable consecuencia de la parte fundamental jugada por la teoría de la transformación y es probablemente se transforme de forma aún más pronunciada en el futuro de la física teórica.

Una notable anticipación de Dirac: hoy los grupos pululan por toda la física teórica de altas energías. Ha jugado un papel importante en las teorías electrodébil y unificación fuerte. Está detrás de la cromodinámica cuántica. Dirac revela su gran poder de ir a lo imporante: destaca un tema (recuerden, en 1930) que a multitud de otros se les podría haber pasado por alto.

Desde Galileo, las matemáticas acompañan a la física (hablo más allá de la simple cinemática, ya presente en las descripciones de los cielos, desde Aristarco por ejemplo). Lo que hemos ido descubriendo, es que los modelos mentales que tenemos sobre las apariencias de las cosas, no son la realidad: solamente una imagen ingenua de lo que es esa realidad física. Cuando tenemos que aventurarnos con ideas que van más allá de lo cotidiano, las matemáticas vuelven a aparecer con fuerza para ayudarnos en esa aventura. De ahí, mi intención de escribir en mi serie sobre física cuántica usando conceptos pero sin eludir el formalismo matemático. Pienso que solamente así se puede captar las ideas que van más allá de lo habitual.

With regard to the mathematical form in which the theory can be presented, an author must decide at the outset between two methods. There is the symbolic method, which deals directly in an abstract way with the quantities of fundamental importance (the invariants, etc., of the transformations) and there is the method of coordinates or representations, which deals with sets of numbers corresponding to these quantities. The second of these has usually been used for the presentation of quantum mechanics (in fact it has been used practically exclusively with the exception of Weyl's book Gruppentheorie und Quantenmechanik). It is known under one or other of the two names ' Wave Mechanics' and ' Matrix Mechanics' according to which physical things receive emphasis in the treatment, the states of a system or its dynamical variables. It has the advantage that the kind of mathematics required is more familiar to the average student, and also it is the historical method.

Con respecto a la forma matemática con la que la teoría puede ser presentada, un autor debe decidir entre dos métodos. Está el método simbólico, que se maneja directametne en una forma abstracta con las cantidades de fundamental importancia (los invariantes, etc. de las transformaciones) y está el método de coordenadas o representaciones, que se maneja con los conjuntos de números que corresponden a esas cantidades. Este segundo método ha sido usualmete el usado para la presentación de la mecánica cuántica (de hecho ha sido prácticamente el usado con exclusividad con la excepción del libro de Weil Teoría de Grupos y Mecánica Cuática). Este método es conocido con uno o dos de los nombres "Mecánica ondulatoria" y "Mecánica matricial" de acurdo a qué cosas físicas reciben émfasis en su tratamiento, los estados de un sistema o sus variables dinámicas. Ha tenido una ventaja: la clase de matemáticas requeridas es más familiar para el estudiante promedio, y ha sido también el método seguido por la historia de la disciplina.

Entiendo que Dirac se refiere a los caminos seguidos por Schrodinger (ondas) y Heinsenberg (matrices). Tengo que leer el libro de Weyl.

The symbolic method, however, seems to go more deeply into the nature of things. It enables one to express the physical laws in a neat and concise way, and will probably be increasingly used in the future as it becomes better understood and its own special mathematics gets developed. For this reason I have chosen the symbolic method, introducing the representatives later merely as an aid to practical calculation. This has necessitated a complete break from the historical line of development, but this break is an advantage through enabling the approach to the new ideas to be made as direct as possible.

El método simbólico, sin embargo, parece penetrar más profundamente en la naturaleza de las cosas. Nos permite expresar las leyes físicas de una manera concisa, y problemente será cada vez más usado en el futuro gracias al mejor entendimiento y desarrollo de las matemáticas especiales que requiere. Por esta razón he elegido el método simbólico, introduciendo las representaciones más adelante como una mera ayuda para los cálculos prácticos. Esto ha necesitado un corte completo de la línea de desarrollo histórico, pero este corte es un ventaja porque permite una manera de llegar a las nuevas ideas tan directa como es posible.

Saben que me interesa la historia de cada disciplina. Pero esta vez, en mi serie sobre física cuántica, he comenzado con ejemplos. Espero poder transmitir un poco del asombro y la magia que nos ha dado el último siglo de avances en física. Y también, espero seguir escribiendo sobre Dirac (tengo pendiente de lectura The Strangest Man, su biografía por Graham Farmelo (@grahamfarmelo)).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia