Publicado el 10 de Febrero, 2011, 11:34
Hace poco comencé a mencionar los números complejos por este blog: Números complejos (Parte 1) Tutorial en video Hoy encuentro una carta de Gauss (1777-1855) de 1811 a Bessel, que marca el nacimiento de la teoría de funciones, abarcando las complejas:
(pongo v/----l por raíz cuadrada de -1) Jeje... no sé alemán, así que acá va la traducción al inglés que tengo:
Lo importante es que Gauss reconoce la importancia de los números complejos para el estudio de las funciones. Sin los números complejos, no tendríamos resultados "bellos y simétricos" en la búsqueda de soluciones a polinomions en una variable. No tendríamos la excelente extensión de la exponenciación del número e a exponentes complejos, y la notable relación de Euler, que une esa exponenciación con las funciones trigonométricas. Traduzco a español, libremente:
Si sólo tomáramos a los reales, en vez de tener la demostración que muestra a todo polinomio de grado n con n raíces (posiblemente complejas), tendríamos que ir viendo cuáles tienen menos soluciones, al descartar las complejas. Es interesante ver a Gauss viendo al "análisis" (aún no había un álgebra separada) como autosuficiente, y aunque era una persona dedicada también a las aplicaciones prácticas y a la física, afirma todo esto por el bien de las matemáticas. Gauss todavía llama a los números complejos a+ib, imaginarios, como vestigio del rechazo de los mismos. Hoy llamamos mas bien imaginarias a los ib, y todavía usamos esa palabra. Los números reales se llamaron así, por ser considerados "reales", los que reprensentan magnitudes de la realidad. No se sabía qué reflejaban los complejos, y se los trataba de barrer bajo la alfombra. Así como los números negativos entraron en la historia para resolver ecuaciones como x + 2 = 0, los números complejos aparecen para poder resolver ecuaciones que no tienen soluciones en números reales. Esta carta de 1811, no fue publicada hasta 1880. Puede que sus ideas maduraran desde años antes: recordemos que Gauss dió las primeras demostraciones de la existencia de n raíces, y no pudo dejar de notar la importancia de los números a+ib en la solución (aunque la primera de esas demostraciones, es lo bastante astuto para plantear f(a+ib)=0 en dos ramas f(a+ib) = g(a,b) + i h(a,b), y tratar desde ahí con g y con h). Por sus escritos, Gauss conocía el notable teorema integral de Cauchy. Gauss escribe, seguramente después de 1831:
Traduzco:
Como muestra el teorema de Cauchy, las funciones (no solo polinomios) extendidas al dominio complejo, con ciertas cualidades de continuidad y diferenciabilidad compleja, comienzan a mostrar regularidades notables. Tendré que mencionar en mi serie sobre números complejos, a las funciones holomorfas, y cómo notablemente, un entorno bien definido de una función holomorfa DETERMINA el valor de la función en TODO su dominio: la diferenciabilidad compleja, que contempla para el paso al límite, varias direcciones y caminos, contienen tan altas restricciones que impone esa conclusión. Pero es para asombro ver cómo esas condiciones que agrega, en forma local, se expanden globalmente por toda la función. El primero en llamarme la atención sobre esto, fue Penrose. Encuentro estos textos de Gauss en "Theory of Complex Functions", Reinhold Remmert, Springer (si alguna vez alguien asalta los depósitos de Springer, ya tienen en mí al principal sospechoso ;-) Nos leemos! Angel "Java" Lopez |