Hace poco comencé a mencionar los números complejos por este blog:

Números complejos (Parte 1) Tutorial en video
Física cuántica (Parte 1) Primer ejemplo

Hoy encuentro una carta de Gauss (1777-1855) de 1811 a Bessel, que marca el nacimiento de la teoría de funciones, abarcando las complejas:

Zuvorderst wiirde ich jemand, der eine neue Function in die Analyse einfahren will, urn eine Erklarung bitten, ob er sie schlechterdings bloss auf reelle Grossen (reelle Werthe des Arguments der Function) angewandt wissen will, and die imaginaren Werthe des Arguments gleichsam nur als ein Uberbein ansieht - oder ob er meinem Grundsatz beitrete, dass man in dem Reiche der Grossen die imaginaren a + bv/----l = a + bi als gleiche Rechte mit den reellen geniessend ansehen miisse. Es ist hier nicht von praktischem Nutzen die Rede, sondem die Analyse ist mir eine selbstandige Wissenschaft, die durch Zuriicksetzung jener fingirten Grossen ausserordentlich an Schonheit and Rundung verlieren and alle Augenblick Wahrheiten, die sonst allgemein gelten, hochst lastige Beschrankungen beizufiigen genothigt sein wdrde ...

(pongo v/----l por raíz cuadrada de -1) Jeje... no sé alemán, así que acá va la traducción al inglés que tengo:

At the very beginning I would ask anyone who wants to introduce a new function into analysis to clarify whether he intends to confine it to real magnitudes (real values of its argument) and regard the
imaginary values as just vestigial - or whether he subscribes to my fundamental proposition that in the realm of magnitudes the imaginary ones a + bv/----l = a + bi have to be regarded as enjoying equal rights with the real ones. We are not talking about practical utility here; rather analysis is, to my mind, a self-sufficient science. It would lose immeasurably in beauty and symmetry from the rejection of any fictive magnitudes. At each stage truths, which otherwise are quite generally valid, would have to be encumbered with all sorts of qualifications...

Lo importante es que Gauss reconoce la importancia de los números complejos para el estudio de las funciones. Sin los números complejos, no tendríamos resultados "bellos y simétricos" en la búsqueda de soluciones a polinomions en una variable. No tendríamos la excelente extensión de la exponenciación del número e a exponentes complejos, y la notable relación de Euler, que une esa exponenciación con las funciones trigonométricas. Traduzco a español, libremente:

Desde el comienzo uno preguntaría a cualquiera que quiera introducir una nueva función en el análisis si intenta confirnarla a magnitudes reales (valores reales de sus argumentos [no complejos]) y considerar los valores imaginarios como un simple vestigio, o si él adhiere a mi proposición fundamental: que el dominio de las magnitudes las imaginarias como a + bv/----l = a + bi tienen que ser consideradas gozando los mismos derechos que las reales. Aquí no estamos hablando de utilidad práctica; mas bien, el análisis, para mi mente, es una ciencia auto-suficiente. Perdería sin medida en belleza y simetría si rechazáramos cualquiera de esas magnitudes ficticias. En cada paso las verdades, que en en otro caso serían generalmente válidas, tendría que ser anotadas con todo tipo de calificaciones/restricciones/anotaciones...

Si sólo tomáramos a los reales, en vez de tener la demostración que muestra a todo polinomio de grado n con n raíces (posiblemente complejas), tendríamos que ir viendo cuáles tienen menos soluciones, al descartar las complejas. Es interesante ver a Gauss viendo al "análisis" (aún no había un álgebra separada) como autosuficiente, y aunque era una persona dedicada también a las aplicaciones prácticas y a la física, afirma todo esto por el bien de las matemáticas.

Gauss todavía llama a los números complejos a+ib, imaginarios, como vestigio del rechazo de los mismos. Hoy llamamos mas bien imaginarias a los ib, y todavía usamos esa palabra. Los números reales se llamaron así, por ser considerados "reales", los que reprensentan magnitudes de la realidad. No se sabía qué reflejaban los complejos, y se los trataba de barrer bajo la alfombra. Así como los números negativos entraron en la historia para resolver ecuaciones como x + 2 = 0, los números complejos aparecen para poder resolver ecuaciones que no tienen soluciones en números reales.

Esta carta de 1811, no fue publicada hasta 1880. Puede que sus ideas maduraran desde años antes: recordemos que Gauss dió las primeras demostraciones de la existencia de n raíces, y no pudo dejar de notar la importancia de los números a+ib en la solución (aunque la primera de esas demostraciones, es lo bastante astuto para plantear f(a+ib)=0 en dos ramas f(a+ib) = g(a,b) + i h(a,b), y tratar desde ahí con g y con h). Por sus escritos, Gauss conocía el notable teorema integral de Cauchy.

Gauss escribe, seguramente después de 1831:

Complete knowledge of the nature of an analytic function must also include insight into its behavior for imaginary values of the arguments. Often the latter is indispensable even for a proper appreciation of the behavior of the function for real arguments. It is therefore essential that the original determination of the function concept be broadened to a domain of magnitudes which includes both the real and the imaginary quantities, on an equal footing, under the single designation complex numbers.

Traduzco:

El conocimiento completo de la naturaleza de una función analítica debe también incluir una visión de su conducta para valores imaginarios de los argumentos. Frecuentemente esto es indispensable aún para una apropiada apreciación de la conducta de esa función para argumentos reales. Es entonces esencial que la determinación del concepto de función sea ampliada a un dominio de magnitudes que incluuyan las cantidades reales e imaginarias, en igualdad de condiciones, bajo la designación de números complejos.

Como muestra el teorema de Cauchy, las funciones (no solo polinomios) extendidas al dominio complejo, con ciertas cualidades de continuidad y diferenciabilidad compleja, comienzan a mostrar regularidades notables. Tendré que mencionar en mi serie sobre números complejos, a las funciones holomorfas, y cómo notablemente, un entorno bien definido de una función holomorfa DETERMINA el valor de la función en TODO su dominio: la diferenciabilidad compleja, que contempla para el paso al límite, varias direcciones y caminos, contienen tan altas restricciones que impone esa conclusión. Pero es para asombro ver cómo esas condiciones que agrega, en forma local, se expanden globalmente por toda la función. El primero en llamarme la atención sobre esto, fue Penrose.

Encuentro estos textos de Gauss en "Theory of Complex Functions", Reinhold Remmert, Springer (si alguna vez alguien asalta los depósitos de Springer, ya tienen en mí al principal sospechoso ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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