Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 14 de Febrero, 2011, 10:55

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En el primer post de esta serie presenté, basado en un ejemplo de Steven Weinberg, una moneda cuántica. Por supuesto, es una idealización, para ir adentrándome en esta serie que investiga qué sabemos del mundo cuántico, ese mundo que es la base de la realidad. Quiero en este post volver a una explicación más matemática: si no hacemos esto, no podré avanzar en temas más avanzados. Por ahora, no sabemos qué parte de la realidad funciona como la moneda cuántica, ni las razones (poderosas) que han llevado a los físicos a adoptar ese modelo.

Describí la moneda cuántica con un vector de estado:

Esta vez, tenemos dos vectores de base, e1 y e2. Entonces, el vector de estado se puede expresar como:

Y también podemos escribir ese vector como:

cuando estamos seguros con cuáles vectores de base estamos tratando (pues podemos cambiar de vectores de base, por ahora, seguimos con nuestros amigos, e1 como ceca, e2 como cara).

A los matemáticos les gusta poner el vector como:

Aclaré hacia el final que los coeficientes c1, c2 son números complejos. Con lo cual, la figura de más arriba no es totalmente fiel a lo que quiero presentar. Da la impresión de coeficientes c1, c2 reales. Pero no. En el modelo que vamos a manejar, esos coeficientes son números complejos. Recordemos un poco estos números (comencé la serie Números complejos).

Una cosa más: esos coeficientes complejos son por ahora números. En algún momento tendremos que estudiar cómo cambian en el tiempo. Por ahora, los tomamos como números, no como funciones del tiempo. En física cuántica esos coeficientes se llaman amplitudes (veremos más adelante que este nombre viene de las relaciones de todo este modelo matemático con las ondas clásicas de la física).

Un número complejo a+ib (donde i es la raíz cuadrada imaginaria de -1):

Acá estoy adoptando la representación de ese número en un plano complejo (no confundir con vectores). Nos va a server para este post, recordar lo que es el número complejo conjugado:

Y recordemos que la multiplicación de un número complejo por su conjugado es un valor real (a y b son reales):

¿A qué viene todo esto? Recordemos algo del anterior post: el vector de estado nos informa de algo: de las probabilidades de encontrar a la moneda en cara o ceca, cuando algo del resto del Universo interactúa en lo que se llama en cuántica "la medida". Podemos imaginar que cuando sacamos una foto de la moneda, el resultado es: o la moneda está en cara, o la moneda está en ceca. Y la probabilidad de que dé ceca NO ES la amplitud c1. Sino que es el cuadrado de su valor absoluto. Es:

Y la probabilidad de encontrarla en cara es:

Como en la foto esperamos que la moneda esté en cara O en ceca, la suma de ambas probabilidades es 1:

Esta es la "longitud" de todos los vectores de estado. No todas las combinaciones lineales de vectores de base e1, e2, dan un vector de longitud 1. Si alguna vez nos toca un vector así, que no tenga longitud unitaria, podemos dividirlo por el valor de su longitud, para obtener un vector de estado potable. Esto se llama normalizar al vector.

Pero si recordamos los números complejos, el cuadrado del valor absoluto de c1 es el resultado de multiplicar c1 por su conjugado (lo indico con asterisco):

Podemos considerar que a cada vector de estado, le corresponde un vector de estado conjugado:

Y podemos definir un producto * llamado interno, entre todos los vectores (sean de estado o no):

Vean que el producto * es una operación binaria sobre vectores QUE NOS DA un número complejo, porque los coeficientes son complejos. Pero resulta que si los vectores a multiplicar son uno el conjugado del otro, el resultado es un número real.

A los matemáticos les gusta representar esto como una multiplicación de matrices:

La matriz de la izquierda es un vector fila. Y la matriz de la derecha es un vector columna. El de la izquierda se obtiene del de la derecha, en dos pasos:

- Cambiando columnas por filas
- Cambiando los coeficientes por sus conjugados

Esta doble operación nos dá lo que los matemáticos les gusta llamar el adjunto: el conjugado transpuesto.

Bueno, ya es bastante por hoy. Les dejo meditar un poco sobre todo esto. Tenemos que ver: ¿qué pasa con los coeficientes y el vector de estado ante una medida? ¿Cómo cambian los coeficientes con el tiempo? ¿Cómo son los vectores de estado con n vectores bases? Veremos también que dos vectores de estado diferentes (con diferentes coeficientes) pueden representar LA MISMA realidad física. Es como si sobrara información en todo este formalismo. Pero no: es así la realidad y su funcionamiento. Y ¿qué pasa cuando tenemos más monedas? Y ¿qué pasa si en vez de n estados base, tenemos un continuo?

Hay mucho para explorar, pero para mí, es muy divertido! ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia