Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 21 de Febrero, 2011, 6:14

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Estuvimos viendo que para representar el estado de nuestra moneda cuántica, apelamos a un vector de estado:

Ese vector de estado vive en un espacio vectorial, que se pueden sumar, manteniendo la distributividad:< /p>

Y donde se pueden multiplicar por números complejos, manteniendo la linealidad:

No todos los vectores de ese espacio vectorial son vectores de estado. Definimos un producto interno * y vimos que los vectores de estado cumplen:

Como en otros espacios vectoriales más generales, podemos elegir vectores de base, cosa que hicimos desde el primer post. Así, el vector de estado de nuestra moneda se puede representar como:


Ahora bien, hay una sutileza: yo elegí a propósito, dos vectores de estado que son ortogonales de longitud 1 por el producto interno:



Y otra gran sutileza: elegí dos vectores de estado que representan las únicas "salidas" potables de una medida, de tomar una foto de la moneda: o sale cara o sale ceca. Podría haber tomado otros vectores de base: no ortogonales o que no estén tan claramente relacionados con los valores que podemos obtener ante una medida. Por ahora, seguimos con esta elección. Otro pequeño y sutil detalle: los vectores de base elegidos no cambian con el tiempo. Pero no nos preocupemos por eso todavía. Sólo quería puntualizar estos temas, para no olvidarlos.

Pero la "gran cosa" que le puse a todo este formalismo, es que si expresamos un vector de estado según los vectores de base, esos coeficientes ci que usamos arriba (que son números complejos) se llaman amplitudes (veremos que proviene de la terminología de física clásica de ondas). ¿Qué provecho podíamos sacar de semejantes números? La "gran cosa" es:  esos coeficientes nos dan la probabilidad de encontrar cara o ceca ante una medida. NO SON la probabilidad. Mas bien, la probabilidad de ceca es:

Donde multiplicamos c1 por su conjugado complejo. Y entonces, la probabilidad de cara es:

De ahí viene que el producto interno de un vector de estado por sí mismo, da 1: es la probabilidad sumada de todas sus posibles salidas en la medida. Es como decir: la probabilidad de que en una tirada de dado salga 1,2,3,4,5 o 6, es UNO.

Pero acá viene la sutileza que quería remarcar hoy. Veamos este vector de estado, expresado directamente con sus amplitudes (suponiendo conocidos los vectores de base, como es el caso ahora):

Dice que tiene 1 como amplitud de ceca, y 0 como amplitud de cara. Entonces, tomando el cuadrado de los valores absolutos de esas amplitudes, la probabilidad de ceca es 1, y la probabilidad de cara es 0.
Pero veamos ahora este otro vector:

Cosa rara, la amplitud de ceca es ahora i, la raíz cuadrada de -1. Y ¿cuánto dan las probabilidades? Multiplicando i por su conjugado –i da:

Queda que de nuevo, la probabilidad de ceca es 1, probabilidad de cara es 0.

Podemos tomar un caso más cuántico:

Las probabilidades son:


Igual que en el caso:

Donde las probabilidades son las mismas (comprueben).

En definitiva, tenemos esto, muy importante: Distintos vectores de estado REPRESENTAN la misma realidad física.

Cosa curiosa: parece que elegimos una representación de la naturaleza que tiene algo que "sale sobrando". ¿No habrá un vector de estado más simple? ¿Por qué tanta multiplicidad? Bueno, paciencia, veremos que esta multiplicidad en la representación es esencial para que este formuleo coincida con los resultados de los experimentos.

Mientras, recordemos la fórmula de Euler (tendré que tratarla en mi serie sobre números complejos):

Su conjugado es:

Sacando el producto de ambos, nos da:

Entonces, son números complejos de "longitud" 1 (si recuerdan el plano complejo, son los números que caen en la circunferencia unidad centrada en 0).

Sea que aplicamos a una amplitud cualquiera uno de estos números a nuestras amplitudes. Queda:

Da la misma probabilidad. Cambia la amplitud pero el resultado de probabilidad es el mismo.

Es decir, si hacemos una transformación:

NO CAMBIA la realidad física representada por los vectores de estado. Este es nuestro primer caso de "transformación gauge" (el por qué se llama gauge, y su historia, es un relato muy largo e interesante, que dará en algún momento, materia para post; anoto ahora que aparece por vez primer en física en una formulación de Weyl para la gravedad en 1918, pero donde usaba esa transformación, pero en vez de coeficiente Euler usaba un real positivo. Eso daba resultados no esperados en su teoría, que Einstein objetó. No fue hasta la década del 20 que Weyl aplicó la transformación que puse arriba.)

Vean que no necesariamente cambiamos los coeficientes usando la misma transformación. Todavía no tratamos cómo evoluciona un vector de estado en el tiempo, pero si le aplicamos transformaciones como las mostradas, el vector cambia y la realidad representada no. Un vector así se llama vector de estado estacionario (me costó bastante llegar a este concepto: yo creía que los vectores estacionarios NO CAMBIABAN sus amplitudes; pero no, pueden cambiar de AMPLITUD, lo que no cambia es la PROBABILIDAD resultante).

¿Qué representa un vector estacionario para una moneda cuántica? Que saquemos la foto ahora, o dentro de un minuto, las probabilidades de los resultados son los mismos. Yendo a la realidad física: no estamos sometiendo a la moneda a cambios, poniéndole campos magnéticos o eléctricos o a lo que sea que cambie el estado de una moneda cuántica. Es por eso que las probabilidades de cara/ceca no cambian en el tiempo. Si quieren un símil con la física cuántica: una moneda cuántica (con dos estados posibles de medida) con vector estacionario es similar a una partícula material, que tiene momento que no cambia con el tiempo, pues no hay fuerzas que actúen sobre esa partícula.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia