Recuerdo la primera vez que vi un desarrollo en serie para funciones coseno, seno y otras. Las encontré en las primeras páginas de las Tablas de Houel, un libro que obtuve en 1978/79, con tablas de logaritmos.

Hoy quiero jugar un poco con el tema de desarrollo en serie. Sea una función de x (real o complejo), y supongamos que sea desarrollable en serie, como:

Recordando la regla de derivación:

Puedo derivar f(x):

Y siguiendo

Puedo ir obteniendo las expresiones de las sucesivas derivadas. Pero ahora, haciendo x = 0, obtengo los coeficientes A, B, C …:

Y así… Queda entonces, reemplazando los coeficientes en el primer desarrollo de arriba:

Tengo que estudiar quien fue el primero en obtener este desarrollo, conocido como serie de Maclaurin.

http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html

Si partimos del punto a, en lugar de 0, obtenemos la serie de Taylor:

En cada caso que se plantee, hay que estudiar la convergencia de esa serie.

Temas pendientes: qué funciones da cuando las f y derivadas tienen valores determinados, como todos 1, o potencias de -1 (alternando signos), o cuando x es imaginario puro, etc…

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez