Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 7 de Marzo, 2011, 11:55

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Estuvimos visitando en los anteriores posts el ejemplo imaginario de una moneda cuántica. Tiene dos estados observables: cara o ceca. Es decir, cuando sacamos una foto (una medida) siempre la encontramos en cara o en ceca, nunca en otro estado. Pero vimos que el estado de la moneda es más complejo que eso:  es una combinación lineal de los estados de base. Tratamos también a los estados como vectores, ya sean los estados/vectores de base como los estados/vectores combinaciones lineales de ellos.

Pero no tratamos otros aspectos, como: ¿dónde está la moneda? Esto introduciría otro estado: la posición. Para ir acercándonos a este tipo de estado, hoy quiero presentar otro ejemplo imaginario: la pelotita cuántica.

En nuestro experimento mental,  tenemos una pelotita, y cuando la observamos, tomamos medida o sacamos foto, la encontramos en uno de los dos estados. O en la posición 1 (izquierda):

O en la posición 2 (derecha):

Pero su estado se describe, como nuestra moneda, como la combinación de dos estados de base:

Donde e1 es el estado de base "está en 1", y e2 es el estado de base "está en 2". Ya sabemos que esos coeficientes, llamados amplitudes son números complejos, y que se cumple:

El cuadrado del valor absoluto de cada amplitud da la probabilidad de encontrar la pelotita en 1 o en 2. Quiero intentar representar estos números complejos con colores. Es decir, para cada orientación en el plano complejo, quiero elegir un color, cubriendo la gama:

Tomo tres colores básicos azul, rojo y verde, en ángulos de 120 grados. El azul son reales positivos, la mezcla por igual de rojo y verde es real negativo, y así. Y con la altura de una barra quiero representar el módulo (longitud) del número complejo. Queda entonces que un vector de estado de la pelotita, lo puedo representar como:

Pero también podemos tener más posiciones:

O todavía más:

Podemos escribir el vector de estado como la suma de varios vectores de base:

Para que esas amplitudes ci sigan dando amplitudes, se debe seguir cumpliendo:

Tenemos que estudiar qué pasa si hay infinitas posiciones, o mejor aún: cuando las posibles posiciones toman valores continuos, reales, en vez de 1,2,3…. N.  Vamos a ver que surgen cosas interesantes, y no triviales.

Vean que podemos cambiar todos los colores (ángulos de las amplitudes en el plano complejo) y el vector de estado sigue representando LA misma situación física. Vean que las amplitudes no varían "abruptamente" de posición n a n+1. Hay una cierta parsimonia en esa distribución.

Si la pelotita tuviera más probabilidades de aparecer en la segunda casilla, podríamos tener un vector de estado como:

Y si al cabo de un tiempo, la pelotita tuviera más probabilidades de aparecer cerca de la cuarta casilla, tendríamos algo como:

Podemos decir, en el ámbito clásico: la pelotita se movió de 2 a 4. Pero vamos a ir aprendiendo que el concepto de posición y trayectoria clásica se difumina en el ámbito cuántico.

Si extrapoláramos al caso continuo, las amplitudes deberían tender a 0 en los extremos infinitos, para que la sumatoria de más arriba siga dando 1.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia