Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 21 de Marzo, 2011, 6:10

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Luego de presentar ejemplos en esta serie como:

La moneda cuántica
La pelotita cuántica

Llegó el momento de presentar más en detalle algunos elementos matemáticos que he usado. El tema de este post será entonces introducir más formalmente la estructura de espacio vectorial, como se usa en física cuántica. Dejaré para otro post, fuera de esta serie, el tratamiento de esa esta estructura desde el punto de vista matemático, estructura muy rica, pero que debe su desarrollo principalmente a su aplicación temprana en la física newtoniana y siguiente.

¿Cuándo apareció este tema en esta serie? Desde el principio: cuando describí el experimento mental de una moneda cuántica, y expuse que su estado se puede expresar como combinación lineal de otros estados. Veamos cómo se liga eso a espacios vectoriales.

Llamamos espacio vectorial (hay autores que agregan "lineal") a un conjunto de elementos V:

Llamados vectores, sobre los que existe una operación de suma:

Operación binaria que dado dos vectores obtiene otro vector del mismo conjunto: se dice que es una operación cerrada en V.

(Para los que conocen espacios vectoriales en matemáticas, les parecerá extraña esta notación que uso: es debida a Dirac, y es la que se usa frecuentemente en física cuántica: veremos su extensión a covectores en un próximo post).

La adición de vectores es conmutativa:

La adición de vectores es asociativa:

Existe un vector:

Tal que su suma con cualquier otro vector, ya sea a izquierda o a derecha, lo deja inalterado:

Para todo vector, hay otro que es su inverso:

Todo esto indica que la suma de vectores forma un grupo conmutativo o abeliano (ver Grupos: definición y ejemplos)

No solamente hay vectores en un espacio vectorial. También hay un conjunto de números K (en términos más matemáticos K es un cuerpo), llamados escalares. Para nuestra discusión en esta serie, son números complejos. Hay una multiplicación de escalar por vector, que da otro vector:

Esa multiplicación cumple que es distributiva con la suma de vectores:

La multiplicación es distributiva con la suma de escalares:

La multiplicación de escalares es asociativa:

Se puede mostrar rápidamente que:




Se suele representar a los vectores como flechas:

Vean que en este tipo de representación las flechas comparten el mismo origen, no son "flechas" distribuidas sobre un espacio, plano o variedad (como sería en el caso de campo vectorial, también muy importante en el formulismo y conceptos físicos). Pero no quisiera insistir mucho en esta representación, si bien la usé en los anteriores posts. Tenemos que ir a acostumbrarnos a:

- Los escalares son números complejos, con lo que es fácil visualizar en el diagrama de arriba la multiplicación por un escalar (un número a) no real
- Veremos ejemplos muy usados de funciones como vectores, y que en lugar de poder expresarse en una combinación lineal de una cantidad finita o aún numerable, se arman sobre bases no numerables (imaginen por ahora, una función f(x) que dependa de la coordenada x, continua, que va a aparecer más adelante como "función de onda", en lugar de nuestro experimento de la bolita, donde el vector de estado era f(n), con n recorriendo los números de las posibles casillas). Pero no quisiera llegar todavía a ese caso, hasta que no avancemos más en todo esto, hasta que lo "extraño" de la física cuántica se nos haga más "familiar".
- Por qué tenemos que recurrir a espacios vectoriales (adelanto: el principio de superposición)
- Por qué los números son complejos (tenemos un largo camino para recorrer acá, siguiendo el camino de Schrodinger)

Llegados a este post en esta serie, los vectores que vimos fueron vectores de estado: y vamos a  concentrarnos en ellos. En esta nueva notación, el vector de estado de la moneda cuántica, presentado en Física Cuántica (Parte 1) Primer Ejemplo  podemos expresarlo como:

Donde |1> sería el vector de estado ceca, y |2> sería el estado de estado cara. Es una combinación lineal de otros vectores, en este caso, de vectores de base. Pero una cosa que distinguió a los vectores de estado de estos vectores de un espacio vectorial, es que tiene "longitud" unitaria. Falta que defina lo que es norma (la "longitud" en términos matemáticos) de un vector. Pero hemos visto que, en física cuántica, la norma al cuadrado de un vector de estado da 1.

Ahora que estamos armados de esta estructura más formal, tenemos que estudiar:

- Cómo un vector cualquiera, y luego, un vector de estado, cambia en otro, ya sea por el transcurso del tiempo, por el acto de una medida o por cambio en las condiciones del ambiente

- Cómo cambia su representación al cambiar los vectores de base

- Definir un producto de vectores (o mejor dicho, de vector con covector) para dar un número. Necesitamos, en una teoría física dar cuenta de cantidades observables, como momento, posición o cosas parecidas.

Fuente principal consultada: capítulo 1, Principles of Quantum Mechanics, de R.Shankar, excelente libro, detallado, que usa la notación de Dirac, y tiene una buena introducción a todos estos temas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia