Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Marzo, 2011, 13:22

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En el anterior post presenté más formalmente a los espacios vectoriales, que hemos de alguna forma usado en toda la serie. Pero además presenté la notación de Dirac, donde los vectores aparece como elementos entre | y >, como |V>, |W>.

Pero en física, además de vectores, manejamos números, cantidades de observables. Las operaciones que vimos en espacios vectoriales (suma de vectores, multiplicar un escalar (número complejo en nuestro caso) por un vector) siempre nos dan vectores. ¿Cómo aparece una cantidad en este formalismo?
Algo ya apareció cuando vimos en La moneda cuántica una definición de productor interno. Veamos de nuevo el tema, más en detalle. (Pueden leer también Inner product space).

Pero antes, ¿y por qué esa notación de parte de Dirac? ¿por qué no representar simplemente los vectores por letras, sin usar | y >? Veamos la justificación.

En espacios vectoriales, en general (en matemáticas, no solamente en física), se consideran operaciones (funciones) que dado un vector consiguen un escalar:

Se plantea en particular, el estudio de las funciones que son lineales con los vectores:


Se puede mostrar que esas funciones también forman espacio vectorial. Se llama el espacio vectorial dual. Y sus elementos se llaman covectores. Y acá viene algo interesante:  se puede asociar a cada vector:

A una de esas funciones covectores, y Dirac la escribe como:

Es decir, por cada vector original, tenemos una función covector! No es trivial el tema. ¿Pero cómo obtenemos un número? En esta nueva notación tenemos:


De ahí la notación de Dirac! Vean cómo encajan los <W| con los |V> como si encastraran. De ahora en más, cada vez que veamos <W|V> eso no es un vector, es una operación entre covector y vector que produce un número. Se podría definir esa operación de muchas formas. Pero se espera que cumpla con:

Es decir, que la multiplicación de un covector por su vector produzca un número real no negativo. Esto es importante para nuestro interés en la física. En general (no siempre) nos interesan obtener valores reales, no complejos, para nuestras mediciones. En la realidad, aparecen valores reales para los observables.
Todo esto es muy lindo, pero muy formal. No tenemos una forma de entender cómo se obtiene un covector desde el vector, y cómo se calcula el producto interno. Eso se ve mejor si consideramos a un vector como combinación lineal de dos vectores de base, como en nuestro ejemplo de moneda cuántica:

Alguna vez lo representamos gráficamente como un vector columna:

(Nota matemática: si nos pusiéramos más formales, debería poder discutir todo esto sin apelar a una base, y menos a una base finita. Pero acá, en esta serie, me interesa más aplicar estos conceptos como se manejan en física cuántica; dejaré para otra serie, el examinar los espacios vectoriales en forma más abstracta. Recuerdo que la primera vez que me topé con los covectores y espacios duales fue en el excelente Algebra Lineal de Larrotonda, editorial Eudeba, que aún conservo).

Sean los vectores |V> y |W> expresados como combinaciones lineales de una base de dos vectores:


Tomamos como <W| a (vean que tenemos covectores de base, y coeficientes conjugados):

Multiplicamos <W| con |V> y aplicando linealidad:

Uau! Pero acá viene algo más. Si, como hasta ahora, tomamos vectores de base tales que:

Es decir, son vectores de estado (<V|V>=1) y se dicen que son ortogonales <i|j> =0 para i<>j.

Queda simplificado:

Volvamos a la representación gráficamente. Sean los vectores |V>  y |W> en representación vectores columnas:

Pues bien, el covector <W| es un vector fila, obtenido del original |W> pero  con sus coeficientes conjugados (es decir, si c1 = a+ib, su conjugado es a-ib):

Y "definimos" el producto interno de covector  <W| y vector |V> como el producto de los vectores:

Que nos da la expresión de arriba:

Este producto produce para <V|V>:

Si nos fijamos en esta "definición", vemos que tomar el producto interno en sentido inverso da el conjugado del original:

Y acá aparece otra cualidad de la notación de Dirac. Hasta ahora, habíamos manejado coeficientes, amplitudes v1, v2. Se pueden expresar como multiplicación del vector por los covectores base:


Entonces podemos escribir:

Vean que esta vez las amplitudes, coeficientes los he puesto A LA DERECHA de cada vector base |i>
En forma más genérica, podemos expresar un vector por la suma:

Donde i recorre todos los vectores de base. ¿Cómo expresar el covector como suma de covectores base? Así:

Vean que esta vez coloqué las amplitudes A LA IZQUIERDA de los vectores base. Eso permite que esta "pieza" termine hacia la derecha con un <W| (covector) que se puede "enganchar" con un |V> vector. La notación de Dirac termina siendo un juego de encastre! ;-)

Todavía nos dá más. Si revisamos todo lo que sabemos, nos da que la multiplicación de dos vectores se puede expresar como:

Pero como <i,j> = 1 si i=j, =0 si i<>j, simplificamos a:

Dirac diría: hay que considerar el | (barra vertical) como una "abreviatura" de:

Siempre y cuando hayamos elegido vectores de base de estado y ortogonales. Siempre podemos reemplazar la barra vertical por esa expresión sumatoria.

Ahora algo importante. Hay algo más de significado físico. Hasta ahora, no habíamos considerado físicamente números como <W|V>. Habíamos considerado las amplitudes como <1|V> o <2|V> que nos daba la amplitud de encontrar, en una medida, el resultado base 1 o 2 (ceca o cara en nuestro ejemplo de la moneda cuántica). Llegó el momento de crecer, y aprender uno de los postulados que vamos a manejar en física cuántica:

<W|V> es la amplitud de pasar al estado W estando en el estado V.

Hay bastante para discutir sobre eso de "pasar". Pero por ahora basta agregar esa afirmación. Físicamente, esa amplitud <W|V> es una característica de la realidad. Y no importa los vectores de base (ortogonales y de estado, eso sí) que pongamos, <W|V> nos da el mismo número:

Para reafirmar lo dicho:

 Podemos tomar vectores para expresar otros vectores como combinación lineal de los primeros
 Si con esos vectores podemos expresar TODOS los vectores, tenemos una base del espacio vectorial (matemáticamente, habría que agregar que son linealmente independientes, pero por ahora nos basta)
 Hasta ahora hemos elegido vectores de base que además son:
 Vectores  de estado <i|i> =1
 Ortogonales <i|j> = 0  si i<>j

Y nos interesamos por los vectores de estado. Que dan también:

<W|V> es la amplitud (NO la probabilidad) de "pasar" del estado V al W

Bueno, ha sido bastante por hoy. Ya exploramos un poco cómo obtener cantidades a partir de los vectores. Nos faltan algunas otras formas derivadas de estas. Próximos temas: cómo transformar vectores (por ejemplo, en el tiempo); cómo obtener algún valor útil de todo este formulismo.

Ah! ¿y por qué el título Bra y Kets para este post? Pues Dirac, ingenioso, nombró <W| como un Bra, y un |V> es un Ket. Entonces <W|V> es un Bra-Ket, que en inglés "bracket" es la combinación <...>, "poner entre brackets" es algo parecido a "poner entre paréntesis", pero en lugar de () los brackets son los <>. Ver Bra-Ket notation.  Vean también que las amplitudes de los bras van a la izquierda, mientras las amplitudes de los kets van a la derecha. En matemática, los coeficientes van generalmente de un solo lado. Pero Dirac quiso usar esta notación para poder "enganchar" expresión con expresón, como estuvimos viendo.  Noten que multiplicar por un escalar a un Ket, y pasarlo al dual, IMPLICA conjugar ese escalar. Esa es la "otra vuelta de tuerca" a recordar.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia