Conocemos varios sistemas de números: naturales, enteros, racionales, reales, complejos. En algún momento presentaré también cuaterniones, octoniones y temas relacionados con el álgebra de Clifford. Tengo pendiente continuar con mi serie sobre números complejos. Pero antes quisiera presentar un paso fácil pero interesante: si tenemos sólo los números naturales y el cero (0, 1, 2, 3, ... ), su suma y multiplicación, ¿qué podemos hacer para extender ese sistema de números?

Veamos. Con estos números podemos jugar a despejar ecuaciones como:

4 + x = 6
2 + x = 8

pero no podemos conseguir soluciones para ecuaciones como:

3 + x = 1
5 + x = 2

Podemos extender nuestros números. Consideremos los pares

(a, b)

donde a, b son naturales o 0. Definimos la operación de suma como:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Deberíamos revisar que esta operación de suma (que no es la suma de naturales y 0, sino "otra" suma, sobre este nuevo tipo de número (a, b)) cumpla lo que se espera de ella. Por ejemplo, tiene neutro:

(a, b) + (0, 0) = (a, b)

Es conmutativa

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)

Vean que esta conmutatividad se basa en la conmutatividad de la suma original.

Podemos "entender" que los números naturales son los que toman la forma:

(a, 0)

Es decir, queremos preservar a los (a, 0) y que "funcionen" como los naturales originales. Pero ¿qué haremos con este tipo número:

(0, a)

Es el tema a resolver. Agregué ese segundo elemento del par, para poder manejar casos como

(2, 0) + x = (1, 0)

Quisiera que x (un par de números) sea el inverso de y:

(2, 0) = (1, 0) + y

donde queda que y es:

y = (1, 0)

El inverso de (a, 0) quiero que sea (0, a). Entonces:

(a, 0) + (0, a) = (a, a)

Pero esto nos trae un problema. Un inverso de la suma debería "anular" a su inverso, es decir:

x + y

siendo y inverso de x, debería dar el neutro de la suma, nuestro nuevo (0, 0). Y arriba nos dió (a, 0) + (0, a) = (a, a). Arreglamos esto, redefiniendo la igualdad de números: (a, b) es igual a (c, d) si existe m natural o 0 tal que

a + m = c, b + m = d

o

a = c + m, b = d + m

Esto no es tan extraño como parece. Recordemos que, en números racionales, 1/2 es igual a 2/4, aunque tienen distinta representación.

Hecho esto, tendríamos que definir la multiplicación entre nuestros nuevos números. Esperamos de esa multiplicación que cumpla

x(y + z) = xy + xz distributividad con la suma
xy = yz conmutatividad

donde x, y son números de la forma (a, b). La distributividad nos da una pista. Calcular la multiplicación:

(a, b) (c, d)

debe ser igual a

(a, b) [(c, 0) + (0, d)] = (a, b) (c, 0) + (a, b) (0, d)
 = (a, 0) (c, 0) + (0, b) (c, 0) + (a, 0) (0, d) + (0, b) (0, d)
 
Si queremos mantener que (a, 0) (c, 0) sea como ac, debera ser:

(a, 0)(c, 0) = (ac, 0)

Y si queremos mantener la unidad como neutro multiplicativo, deberá ser:

(1, 0) (a, b) = (a, b)
 
En realidad, debemos resolver de una vez:

[(1,0) + (0, 1)] [(1,0) + (0, 1)]

que es el cuadrado de

(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) = (0, 0) nuestro nuevo cero

Si desarrollamos el cuadrado será:

(0, 0) = (1,0) (1, 0) + (1, 0) (0, 1) + (0, 1) (1, 0) + (0, 1) (0, 1) =
(1, 0) + (0, 1) + (0, 1) + (0, 1)(0, 1)

(acá use que (1,0)(a,b) = (a,b) y la conmutatividad (a,b)(1,0) = (a,b)

Pero los dos primeros términos se anulan, queda

(0, 1) + (0, 1) (0, 1) = (0, 0)

Con lo que (0,1)(0,1) SERA el inverso de (0,1). Pero ya conocemos el inverso, es (1,0). Queda

(0,1)(0,1) = (1,0)

En nuestra notación "normal" de números enteros, es la notable (-1)(-1) = 1 (hasta Euler tuvo que apelar a algún complicado razonamiento para justificar esta igualdad ante sus contemporáneos)

Queda entonces que:

(a,b)(c,d) = (ac+bd,bc+ad)

Esta es la extensión que conseguimos para los naturales y el 0, siempre que mantegamos las propiedades
de suma, multiplicación (conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia de neutro).

Vemos que tenemos varios neutros de suma:

(0,0), (1,1), (2,2) ....

Y varios neutros de multiplicación:

(1,0), (2,1), (3,2)....

Por ejemplo, comprobemos que (2,1) es neutro de multiplicación:

(a,b)(2,1) = (2a+b,2b+a)

pero el resultado es igual a (a, b) por ser

2a+b = a + (a+b)
2b+a = b + (a+b)

y nuestra definición de igualdad.

Todo esto parece algo extraño. Pero me va a servir de preludio para otras extensiones de números. El sistema descripto acá termina definiendo el anillo conmutativo de los enteros, donde cada elemento tiene inverso de suma, propiedad que no tenían los simples naturales.

Curiosidad: podría haber definido pares (a,b) con suma igual que antes, y con multiplicación:

(a,0)(b,0) = (ab, 0)
(a,0)(0,b) = (0,b)(a,0) = (0,ab)
(0,a)(0,b) = (2ab, 0)   <-- noten el 2 como factor

hubiera obtenido una nueva multiplicación que también es conmutativa, y distributiva con la nueva suma.
Pero ya no tendríamos a (0,1) como divisor de (1,0), pues (0,1)(0,1) sería (2,0). La unidad de suma seguiría siendo (0,0).

¿Habrá forma de extender todo esto a ternas? ¿Y a n-uplas? Usando naturales y 0. ¿Y usando duplas, o n-uplas de enteros? Poco a poco va ir surgiendo, cuando trate alguno de estos temas, que hay un patró que se repite:

- Dado un anillo, extenderlo a otro anillo
- Dado un anillo, formar un campo que lo contenga
- Dado un cuerpo, extenderlo a un cuerpo más amplio
- Dada una estructura, extenderla, conservando sus propiedades
- Dada una estructura, extenderla, perdiendo alguna de sus propiedades

Si sigo algunos de esos patrones en próximos posts, me encontraré con enteros de Gauss, enteros y números algebraicos, teoría de Galois, cuaterniones y octoniones. Pero, paciencia! ;-)

Post relacionados:
Anillos Conmutativos
Anillos
Cuerpos y Campos

Temas pendientes:
El rechazo de los números negativos en la historia
Extender los enteros

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Angel "Java" Lopez
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Quería completar hoy algo que inicié cuando escribí:

Congruencias módulo m
Gauss y la congruencia por E.T.Bell

Veamos a qué me refiero. Tomemos el ejemplo más sencillo: los números pares y los números impares, del conjunto de los enteros. Sean los pares:

P = { .... -4, -2, 0, 2, 4, ... }

y los impares:

I = { .... -3, -1, 1, 3, ... }

No parece un gran avance. Pero es uno de los GRANDES pequeños pasos en matemáticas. Podemos operar con sumas y multiplicaciones. Tomando un número cualquiera de los P, y sumándolo a cualquier otro de los P, obtenemos un resultado par. Podemos escribir:

P + P = P

Esto se cumple para cualquiera dos números pares que tomemos. Tenemos una nueva operación binaria, una suma aplicada al conjunto:

{ P, I }

que es una partición de los enteros. Podemos ver que:

P + I = I + P = I
I + I = P

Tenemos entonces una operación binaria BIEN DEFINIDA sobre dos CLASES de números. Se dice que la operación está BIEN DEFINIDA sobre esas clases, si el resultado no depende de los números de partida. Cualquiera sean los dos pares que tomemos, P + P será un P.

Pero no solamente tenemos una bien definida suma, sino que también tenemos una bien definida multiplicación:

P * P = P
P * I = I * P = P
I * I = I

Podemos decir: P es el neutro para la suma, I es el neutro para la multiplicación.

Vemos que dos números n, m pertenecen a la misma clase, si y sólo si

n-m = 2k

para algún k entero. Esto es lo que destacó Gauss: la creación de clases módulo 2 (o módulo 3, módulo 4, etc..) y la extensión de las operaciones de suma y multiplicación al conjunto de esas clases.

Podemos escribir:

[0] = P = { n / n = 2k }
[1] = I = { n / n = 2k + 1}

Pero también podemos formar las clases módulo 3:

[0] = { n / n = 3k }
[1] = { n / n = 3k+1 }
[2] = { n / n = 3k+2 }

y formar las sumas y multiplicaciones (BIEN DEFINIDAS!) de [0], [1] y [2].

Es fácil comprobar que las operaciones así definidas forman anillo conmutativo sobre las clases de congruencia. Un poco más trabajoso es demostrar que forman cuerpo conmutativo si y sólo si son clases módulo p, con p número primo. Ayer comencé a escribir sobre cuerpos, así que ya llegará post con estas demostraciones.

Por ahora, destaco este gran avance: formar, sobre un conjunto, clases, e inducir operaciones bien definidas sobre esas clases, que comienzan a "funcionar" como "nuevos números". Tengo que escribir que lo mismo pasa cuando, dado un grupo G, y un subgrupo N con cierta característica (ser un subgrupo normal), formamos las clases Ng (g elemento cualquiera de G), y podemos definir un grupo sobre esas clases. Así, el G/N (las clases "módulo N") forman grupo. Lo mismo con un anillo A y un conjunto particular (un ideal I, cerrado para las sumas y restas, e invariante ante la multiplicación por A: AI = I = IA): las clases A/I tendrán operaciones inducidas de suma y multiplicación que harán de A/I un anillo, nuevamente. Lo que escribí arriba como [0],[1],[2] son entonces los elementos de Z/Z3, donde Z es el conjunto de los enteros, Z3 es el conjunto de los enteros múltiplos de 3. Veremos más adelante que Z3 es un ideal, así como todos los Zn, y que los únicos ideales del anillo conmutativo Z son de esa forma: generados desde un único elemento. Vean hasta dónde podemos llegar con pares e impares! ;-)

Lo que hacen todas estas manipulaciones es:

- Dado un conjunto con estructura (anillo, grupo, cuerpo, etc... ) formar un conjunto de clases que
preservan la estructura del conjunto original

¿Por qué los matemáticos operan así? Una razón es que esta operación permite "simplificar" el conjunto original (por ejemplo, todos los enteros) y concentrarse en un panorama (distinguir solo pares de los impares). Vamos a encontrar ese patrón muchas veces, así que es mejor destacarlo y tenerlo en cuenta. Quisiera en estos posts ir escribiendo sobre esos puntos: a veces, uno estudia matemáticas, pero se olvida de destacar cuáles son los puntos importantes, los fundamentos y patrones que subyacen en lo que se hizo en tal tema abstracto. Por ejemplo, la analogía de subgrupos normales e ideales recién fue puesta de manifiesto a comienzos del siglo XX por Emmy Noether. La estructura de grupo surgió luego de décadas de trabajo en el siglo XIX. La estructura de anillo también ha sido "descubierta" a fines de ese siglo.

Temas pendientes:
Zn como anillo conmutativo
Zp como cuerpo conmutativo
Ideales en anillos

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Angel "Java" Lopez
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En anteriores posts:

Anillos Conmutativos
Ejemplos de Anillos Conmutativos
Anillos

Escribí sobre definiciones y ejemplos de la estructura de anillo (vimos que hay variantes).  En mi post de física cuántica:

Física Cuántica: Espacios Vectoriales

apareció espacio vectorial, y ahí mencioné al pasar la estructura de cuerpo. Llegó el tiempo de escribir un poco más formalmente sobre el tema.

Como en el caso de anillo, en mis libros tengo distintas definiciones, no todas equivalentes. Sin embargo, no encontré tantas diferencias como en anillo. En un momento comentaré la principal diferencia. Primero, una definición de cuerpo.

De nuevo, como en anillo, cuerpo es una estructura matemática (K,+,*), con conjunto K, dos operaciones binarias + y * (tradicionalmente llamadas suma y producto). Como estructura, todo cuerpo es un anillo con unidad (según la definición que dí en Anillos). Es además, dominio de integridad (no necesariamente conmutativo) no nulo: es anillo con unidad, 1 <> 0, y no tiene divisores de 0.
¿Qué diferencia entonces a un cuerpo de un dominio de integridad no nulo? En el post anterior definí lo que eran unidades de un anillo con unidad: los divisores de 1. Pues bien, en un cuerpo, todos los elementos (excepto la unidad aditiva, el cero 0) son unidades. Esto quiere decir que:

a * b = 1 = b * a

tiene solución b para todo a que elijamos, siempre que a no sea cero. En otras palabras, todo a distinto de 0, tiene inverso multiplicativo.

Tengo reservado otro post para ejemplos de cuerpo. Por ahora, mencionaré que la estructura de cuerpo más conocida es la de los números reales. En realidad, estamos acostumbrados a ver a todos los sistemas de números como anillos (como los enteros) o como cuerpos (como los reales, complejos). Pero en la definición que estoy adoptando, hay una vuelta de tuerca más: yo no exijo en este post que cuerpo sea conmutativo.

Un cuerpo se dice conmutativo cuando su operación de multiplicación es conmutativa, es decir:

a * b = b * a

para todo a, b elementos del conjunto de base K. En la literatura en español, hay dos posturas:

- Llamar a los cuerpos conmutativos simplemente como cuerpos
- Llamar a los cuerpos conmutativos como campos

No sé quién inventó la denominación, pero tanto "anillo" (ring), como "cuerpo" (korp?) tiene su origen del alemán. Cuando se pasó al inglés, apareció directamente traducido como "field" (campo). En español se conservó la diferencia entre cuerpo y campo. Pero van a a ver que la mayor parte de la literatura se decanta por considerar a cuerpo como campo, es decir, cuerpo es cuerpo conmutativo.

Sin embargo, yo acá en esta serie de posts, voy a adoptar la postura minoritaria: voy a llamar cuerpo a cualquier cuerpo, sea o no conmutativo. Y dejaré campo o cuerpo conmutativo para denominar a los que tienen multiplicación conmutativa.

Actualización: Encuentro en "Advanced Number Theory" de Harvey Cohn (Editorial Dover), este fragmento (sección 7, capítulo 3) sobre el origen de la palabra "cuerpo" aplicada a matemáticas. Luego de explicar que Rienmann ya se había ocupado del tema sin haber dado una denominación, escribe:

... Dedekind introduced "Korper" (1871), in the sense of "body" or "embodiment" of elements arising from rational operations, wich for awhile was rendered in Latin "corpus" by British mathematicians, whereas French mathematicians used the cognate "corps", meaning body.

The word "field" seems to have been introduced by American algebraists who also used "realm" in the interim. Strangely enough, now, in both English and Russian, field and the cognate "polye" mean field in two senses, the algebraic sense discussed here and also the sense of vector field from physics.

Temas pendientes:
- Ejemplos de cuerpos (conmutativos, no conmutativos, finitos)
- Espacios vectoriales (donde usamos cuerpos)
- Módulos (como espacios vectoriales, pero usando anillos)

Fuentes consultadas:
Algebra Lineal y Geometría, A.R.Larotonda, Editorial Eudeba (aquí el autor distingue entre cuerpos conmutativos y no conmutativos)
Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois, Ana M. de Viola-Prioli, Jorge E. Viola-Prioli, Editorial Reverté (acá los autores toman cuerpo como cuerpo conmutativo)
Introducción al Algebra Conmutativa, M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, Editorial Reverté
Algebra Abstracta, José A. Vargas Mendoza, Editorial Limusa (acá encontré "anillo asociativo" para lo que en este post es "anillo")
Algebra Moderna, G.Birkhoff, S.Mac Lane, Editorial Vicens-vives

Nos leemos!

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Primer post de la serie
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Hasta ahora en presentado ejemplos de cómo describir el estado de un sistema físico usando un vector de estado. He empleado los ejemplos de:

La moneda cuántica
La pelotita cuántica

Y en el anterior post, he explorado cómo ese vector de estado cambia ante un cambio en la base. Pero los físicos también quieren manejar valores, no solamente vectores de estado. Un físico se pregunta por el valor de la temperatura, la energía, la posición, el momento, la velocidad de un sistema X. Pues bien, el formalismo del vector de estado también permite obtener valores.

Hemos visto que en las descripciones de nuestra moneda cuántica no manejamos "está en cara" o "está en ceca" como valores determinados, sino que manejamos amplitudes y probabilidades de los resultados de una medida (recordando siempre que una medida es un tipo de interacción del sistema con el resto del universo que no necesariamente implica un aparato de medida o un observador: hay "medidas" clásicas en el centro de una estrella). Para entender cómo los físicos comienzan a manejar valores, en lugar de probabilidades de "cara" o "ceca", veamos otro ejemplo, similar al de la moneda. Imaginemos un dado cuántico.

Para simplificar mis descripciones de vectores, en lugar de usar un dado con posibles resultados 1, 2, 3, 4, 5 o 6, tomemos un dado más simple: resultados posibles 1,2 o 3. Cada uno de esos valores es posible. Para describir el estado del dado, daremos un vector, con bases |1>, |2>, |3> con coeficientes que son las amplitudes de obtener los resultados 1, 2 o 3:

No podemos manejar: va a dar resultado 1, así simplemente. Pero podemos obtener cada una de

las probabilidades. La probabilidad de dar 1, era:

Es decir, multiplicar la amplitud c1 por su conjugado complejo. Entonces, podemos tomar un promedio ponderado por probabilidad del valor ESPERADO de nuestro dado cuántico llamándolo [v] (entre corchetes):

De ahora en más, usaré [x] para el valor esperado x (suma de los valores posibles ponderados por las probabilidades respectivas). Ejemplo, si nuestro vector de estado es:

El valor esperado será:

Vemos que como el valor 2 tiene la mayor probabilidad, tenemos un valor esperado resultante cercano a 2. Podemos expresar el valor esperado como:

Donde por primera vez aparece lo que vamos a ver que es un operador lineal: A. ¿Cómo se entiende esto? Este post apenas es el comienzo. Si expresamos nuestro cálculo del valor esperado en forma vectorial, tenemos:

Donde A ahora es una matriz: los elementos de su diagonal son los valores esperados para los vectores de base |1>, |2>, |3>. Si cambiásemos de base, seguramente esa matriz dejaría de ser diagonal, pero igualmente seguiría calculando el valor esperado de nuestro dado. Por ahora, no vamos a ver qué pasa si cambiamos de base, o qué es exactamente un operador lineal. Antes, quisiera aclarar igual algunos puntos:

Primero, una cosa es la matriz de arriba, y otra el operador A. El mismo operador tendrá dos matrices asociadas, si tenemos dos bases distintas. Lo mismo pasaba con los vectores |V>. El mismo vector puede tener dos juegos de coeficientes, uno para cada una de dos bases que elijamos.

Segundo (y esto me tomó un tiempo) los operadores lineales se usan para más de un propósito en todo este formulismo cuántico. El presentado acá es el uso de operador lineal para valores esperados. Veremos más adelante que hay operadores para describir la evolución en el tiempo del vector de estado.

Tercero, el operador lineal con matriz unidad para la base elegida, nos da:

Nos da ese valor 1, para cualquier base elegida, por ser vectores de estado.

Cuarto, una vez que tenemos [v], podemos comenzar a obtener:

Y en general, obtener cualquier función del valor esperado:

Todo a partir del vector de estado. Por ejemplo, al tener una cantidad para manejar, podemos preguntarnos por su evolución en el tiempo, y por su derivada. El físico clásico estará contento: puede comenzar a "mapear" esa cosa rara que es el vector de estado, a valores, como la posición esperada [x], y su velocidad esperada (derivada de [x] respecto al tiempo).

Y lo más notable de los vectores de estado (y de las funciones de estado que veremos más adelante) es que de la misma entidad (el vector de estado) podemos extraer OTROS valores esperados. Veremos que hay representaciones de estado que permiten obtener el valor esperado de posición, o de momento, o de energía, etc… desde la misma entidad de partida. Eso es lo notable de los vectores y funciones de estado: la cantidad de información que nos dan.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ya escribí sobre anillos conmutativos en:

Anillos Conmutativos
Ejemplos de Anillos Conmutativos

Quiero exponer en este post, la definición más general de anillo (no solamente conmutativo). En primer lugar, un anillo es una estructura (A,+,*), con A conjunto, + operación binaria en A (dado dos elementos a, b de A, existe a+b  y también está en A), que forma grupo conmutativo (ver … ). Y la operación * binaria, que es asociativa:

a * (b * c) = (a * b) * c

con lo que podemos escribir directamente sin posibilidad de error:

a * b * c

Muchas veces escribiré directamente

abc

Además, la operación de multiplicación (llamada así por tradición), es distributiva con la suma:

a * (b + c) = ab + ac
(b + c) * a = ba + ca

Hasta ahí llega la definición de anillo. Hay bastantes variantes en la literatura para esta denominación, según el autor, el contexto y el énfasis que quiera darse a "anillo". Por ejemplo, he encontrado que un libro hasta menciona lo de arriba como "anillo asociativo" porque la multiplicación es asociativa, como insinuando que que consideran anillo a estructuras con multiplicación NO asociativa.

Vean que no puse que exista un elemento 1, unidad para la multiplicación. Cuando un anillo tenga un elemento 1 tal que

1 *a = a * 1 = a

Para todo elemento a, diremos que es un anillo con unidad. Si la multiplicación es conmutativa, diremos que es un anillo conmutativo.

Con toda esta definición y jerga, nuestro anillo conmutativo de … es un "anillo con unidad y conmutativo".
No siempre se exige que 1 sea distinto de 0 (la unidad para la operación de adición). Se admite un anillo A con solo elemento 0, se llama, justamente, anillo 0 (anillo cero). Van a encontrar, en la literatura sobre álgebra conmutativa, que los autores suelen llamar simplemente "anillo", a lo que acá en este post es "anillo conmutativo con unidad".

Si un anillo tiene 1 distinto de 0, Y NO TIENE divisores de 0, es decir:

a * b = 0

sólo se cumple si a o b o ambos son cero, ese anillo se llama dominio de integridad.

Un tema fundamental en anillos con unidad: no exigimos que para cada elemento a haya inverso para la multiplicación. Es decir, dado a, no siempre existe b que haga:

a * b = 1 = b * a

En tal caso, podemos decir que a y b "dividen" a la unidad. En una terminología algo confusa, se dice entonces que a, b son "unidades". Esto es esencial en los anillos: vean que exigimos existencia de división. Los anillos, entonces, son una abstracción de nuestro sistema de números más habitual sin división exigida: los enteros.

Fuentes consultadas:
Introducción al Algebra Conmutativa, M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, Editorial Reverté
Algebra Abstracta, José A. Vargas Mendoza, Editorial Limusa (acá encontré "anillo asociativo" para lo que en este post es "anillo")
Algebra Moderna, G.Birkhoff, S.Mac Lane, Editorial Vicens-vives

Temas pendientes:
Ejemplos de anillos no conmutativos
Ejemplos de dominios de integridad
Divisibilidad en anillos
Ideales

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En el anterior post de esta serie, puse algunos ejemplos de sistemas y mecanismos, pero tomados del ambiente físico o químico. Veamos algunos tomados del ambiente de la vida.

En biología, encontramos como paradigmas de ser un sistema, a los organismos. Son ejemplos de tener: componentes (cosas compuestas de otras cosas), estructuras (relaciones que mantienen las partes), mecanismos (procesos de cambio ya establecidos). Hay mecanismos de digestión, respiración, transformación de la energía química en energía mecánica, fotosíntesis (en plantas), reproducción del material genético, transformación de ARN en proteínas, etc...

Tomemos un mecanismo básico: el de las enzimas. Estas funcionan no en solitario, sino, como otros catalizadores, con ayuda de un sustrato. Este sustrato se une al catalizador, por un tiempo más o menos breve forma un nuevo compuesto, y éste compuesto se divide de nuevo en catalizador y producto final. Es decir:

Sustrato + Catalizador -> Compuesto (de S y C) -> Catalizador + Producto

Este es un mecanismo que se repite y repite. Un tema a discutir: ¿cómo apareció este mecanismo? ¿cómo es que se formó el catalizador en la historia de la vida? Son temas todavía en investigación.

Pasemos de nuevo a los organismos. Tenemos un gran tema aquí: la evolución biológica. Se la sospechaba desde antes de Darwin. Pero éste fue quien explicó la evolución biológica con dos mecanismos: descendencia con modificación y selección natural. Mientras el segundo mecanismo podía ser observado, por lo menos en principio, los detalles del primero quedaron ocultos a Darwin, y fue objeto de críticas. Sólo con los trabajos de Mendel (contemporáneos a Darwin, pero muy poco conocidos), Vries, Morgan y varios otros, se comenzó a develar su detalle: las mutaciones génicas y la recombinación (cambios en el material genético por "simple mezcla" de los progenitores). Ambos mecanismos también pudieron explicarse, con el descubrimiento del ADN, enzimas transcriptores, y muchos detalles más aún en estudio, como mecanismos moleculares.

Hubo un énfasis en los genes, al comienzo. Por ejemplo, en Theodosius Dobzhansky. Definió la evolución biológica como un cambio en la frecuencia de ciertos alelos en una población. Pero ese no es el mecanismo, sino un efecto. El mecanismo reside en el cambio individual. Y estos cambios se producen, en principio, por el azar (el azar de tipo coincidencia). Son cambios en las trayectorias de las partes involucradas. Pero también, más allá del individuo, se produce la selección de organismos. Ejemplo: la sobreexplotación del atún ha provocado que desaparezcan en su población los peces que alcanzan cierto tamaño ANTES de llegar a la madurez sexual. La pesca hace que desaparezcan los individuos que alcanzan cierto tamaño. Los que llegan a ese tamaño, pero dejaron descendencia, aseguran las combinaciones que han colaborado con su desarrollo (que depende también de la existencia de comida abundante para los atunes que crecen mucho). Pero los que no dejaron descendencia, por haber crecido lo suficiente para ser capturados, pero sin haber alcanzado la madurez sexual, ésos desaparecen, y se llevan consigo cualquier combinación genética que hubiera facilitado ese tipo de desarrollo (por supuesto, debe existir esa combinación, no la podemos deducir).

También hay que incluir que los organismos no son entes pasivos de su entorno: también colaboran en la construcción de su hábitat. Tenemos entonces un entrecruzamiento de herencia biológica con herencia ecológica. Notamos entonces que la evolución biológica no es un solo mecanismo: son varios, concurrentes. Se ejecutan en varios niveles: molecular, celular, organismo, biopoblación y hasta ecosistema. En el último siglo ha habido bastante discusión sobre el tema, lo que ha llevado al florecimiento de la filosofía de la biología, un tema fascinante que recomiendo para comprender lo que vamos descubriendo de la realidad.

Por todo esto, es que he decidido extender esta serie, no parando en cosas, propiedades, hechos, y sus modelos, sino también abarcar con cierto detalle sistema y mecanismo. Si no tenemos claro los conceptos que se refieren a esos participantes de la realidad, vamos a tener dificultad en estudiarla, describirla, y tratar de entenderla. Prefiero el detalle claro, para que no queden pocas dudas de cuando estamos hablando de un tema.

Como antes, mi principal fuente ha sido la obra el beato Bunge:

A la caza de la realidad, La controversia sobre el realismo. Mario Bunge. Editorial Gedisa

Lo de este post se basa en el capítulo 5: Detrás de las pantallas, los mecanismos. Ver también  Emergencia y convergencia, novedad cualitativa y unidad del conocimiento, donde hay más detalle sobre sistema y sistemismo.

Quedan más ejemplos de sistemas y mecanismos a mencionar. Nos leemos!

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Me quedó pendiente del post anterior sobre anillos conmutativos mostrar ejemplos de ese tipo de estructura (también tengo que mostrar anillos en general, en un próximo post).

Las estructuras matemáticas como la de grupo, anillo, cuerpo, espacio vectorial, no nacen del aire, sino que han surgido como refinamiento en la historia de las matemáticas. En el caso de los anillos conmutativos, el precursor de todas esas ideas es el conjunto de los números enteros, habitualmente denominado Z. Recordemos: los números enteros son, no sólo los naturales (1, 2, 3, …) (que son los enteros positivos) sino también incluyen al 0 y a los números negativos.

Curiosamente, durante mucho tiempo, los números negativos (ya sea enteros o reales) no se consideraron números. Los seres humanos entraron a la aritmética entera con valores positivos (una cabra, dos cabras, .. .;-). Vean que hasta la aceptación del 0 (cero) como número fue problemática. Para los antiguos egipcios y griegos, no había soluciones enteras negativas a un problema planteado. Yo diría que la aceptación de los números negativos comenzaron a aceptarse desde los trabajos de Luca Paccioli y la formalización de la registración comercial, donde lo que uno debe puede tener un signo opuesto a los importes que a uno le deben.

Pero volvamos a los anillos conmutativos. No cuesta mucho, conociendo las propiedades de los enteros, demostrar que cumplen con los axiomas de anillos conmutativos. Más difícil es demostrar esas propiedades de enteros desde propiedades más básicas. No es el tiempo de este post tratar esa fundamentación. En el siglo XIX, se consideraban que las propiedades de los enteros se pueden deducir de las de los naturales, y éstas, eran "evidentes por intuición". Hubo que esperar a la formulación de Peano para ver que hasta los naturales podían ser armados formalmente (el propio Bertrand Russell comenzó a dedicarse más a las matemáticas, cuando conoció el trabajo de Peano y sus seguidores, a fines del siglo XIX).

Vean que en un anillo conmutativo, hay dos operaciones binarias (operación que toma dos elementos del conjunto A, y da un elemento de ese conjunto). Una, habitualmente llamada suma, es un grupo conmutativo de A. La segunda operación, llamada multiplicación, no tiene necesariamente inverso: en el caso de los enteros, podemos multiplicar dos enteros, pero no siembre hay entero x tal que x*a = 1, siendo 1 la unidad de la multiplicación.

(Un tema a tratar en próximo post sobre anillos en general: lo que describí en el anterior post como anillo conmutativo, para algunos autores es anillo conmutativo CON unidad) Pero veamos algún otro ejemplo de anillo conmutativo. El primero que se me ocurre, es:

Que designa a todos los números de la forma:

Siendo a, b enteros. Es fácil ver que se puede definir una suma, como operación binaria que obtiene un elemento de ese conjunto:

La multiplicación se puede definir como:

Con un poco de trabajo, se puede ver que la suma forma grupo conmutativo, y la multiplicación es asociativa, distributiva con respecto a la suma, y con unidad:

En vez de acudir a escribir la raíz cuadrada de 2 en cada caso, podemos manejar a estos elementos como pares de enteros:

(a, b)

Con

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

Y

(a, b) * (c, d) = (a*c + 2*b*d, a*d + c*b)

Acá hay un tema de notación: la suma de pares (esto es (a,b)+(c,d)) ES DISTINTA de la suma de enteros (a+b). Solamente por conveniencia y hábito, estoy usando el mismo signo + (mas) para ambas DIFERENTES operaciones.

De la misma forma, podemos formar anillos conmutativos con:

Donde n es un número natural no cuadrado perfecto. Como antes, habría que probar que cumplen con los axiomas de anillo conmutativo. Pero voy por más, puedo tener anillo conmutativo con:

Formado con elementos de la forma:

+ c + d

Siempre que n,m, nm no sean cuadrados perfectos, ni n y m compartan divisores primos distintos de 1,-1. Ejemplo: n=2, m=3. Y si quiero ponerme interesante, puedo tomar:

Con i cumpliendo formalmente con:

Es un anillo que es "igual" al de los números complejos con "coeficientes" enteros.

Pero avanzo más. Un ejemplo clásico de anillo conmutativo es:

Cuyos elementos son las expresiones formales:

Con coeficientes ai pertenecientes a un anillo conmutativo A, teniendo sólo una cantidad finita de coeficientes distintos de 0. Son los llamados polinomios formales en x. Vean que no asignamos a x un valor numérico, ni siquiera asociamos a x a ser entero o real o complejo, o lo que sea. Solamente manejamos x y sus "potencias", poniendo como multiplicación:

Y respetando que sólo se suman los términos en x con igual potencia.

Puedo ver otro ejemplo de anillo en las clases de congruencia, módulo m (ver Congruencias módulo m). Vean que cuando m=8 (no primo), hay elementos divisores de 0:

Es un tema a recordar: hay los anillos (conmutativos o no) que tienen "divisores de cero". En esos anillos no se puede cancelar a * c = a * b, aun cuando a no es cero, porque eso no implica que c = b, pues en a * (c-b) = 0 puede que los términos de la multiplicación NO SEAN 0, entonces no se puede deducir de esa igualdad que tengamos c-b  = 0. En cambio, veremos que el anillo de clases de congruencia módulo p (p primo, como p = 7), es un anillo SIN divisores de cero (se llama entonces dominio de integridad). Es más, todo elemento distinto de 0 tiene inverso multiplicativo (es un cuerpo conmutativo).

Temas pendientes:
Anillos en general, Dominios de Integridad
Anillos ordenados
Polinomios formales (en detalle)
Ejemplos de Anillos no Conmutativos
Divisibilidad en el anillo de enteros, y otros anillos
Cuerpos

Y más ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Volvamos al experimento mental de la moneda cuántica. Recordemos, el estado de una moneda cuántica puede expresarse por un vector de estado, que es combinación lineal de dos vectores de base, que llamamos Ceca y Cara, o con la notación de Dirac, como |1> y |2>:

Ahora, cuando hay una medida, digamos, cuando sacamos una foto de la moneda (haya o no observador para ver la foto), nuestra moneda cuántica, que estaba en una superposición de estados, SALTA a uno de los dos estados observables, digamos a cara:

(Nota: los estados de base que estoy usando COINCIDEN con los estados observables, tomando la foto desde arriba; no necesariamente todos los estados de base que usemos tienen que corresponder a estados observables (los resultados posibles de una medida), o tienen que ser ortogonales (su producto interno <1|2>  = 0))

¿Pero que pasa si giramos nuestra cámara a otro lado? Por simplicidad, digamos que la moneda está en el estado "puro" cara respecto del eje horizontal, si giramos la cámara, ¿Qué podemos decir de las fotos que tomamos?

Bueno, acá agrego algo que no les conté, sobre la moneda cuántica: todos los estados que estuve describiendo, se refieren a medidas/tomadas de fotos DESDE ARRIBA. Si giramos la cámara, no tenemos las mismas probabilidades de resultados. Es decir, ahora, si tomamos fotos desde un costado, los estados resultantes son Cara o Ceca ENFRENTADO (perpendiculares) a la línea que va desde la cámara a la moneda. Es decir, el resultado CARA desde un costado NO es el CARA desde arriba.
Pero si un estado de moneda da cara con foto desde ARRIBA, ¿qué podemos esperar de tomar la foto de costado? ¿Dará cara también? Pues no. El girar la cámara equivale a girar los vectores de base, y las probabilidades para un mismo estado |V> cambiarán, gráficamente:

Uno podría esperar que si giramos la cámara 30 grados, los vectores de base giraran 30 grados. Pues, he aquí parte de la magia cuántica y la aparición de nuestro primer objeto espinorial (ya definiré más abajo qué es): LOS VECTORES DE BASE NO GIRAN IGUAL (no la misma cantidad de grados) QUE LA CAMARA.

Es notable ¿Cómo es eso? Para intentar explicarlo, simplifiquemos el estado inicial y final. Tomemos como estado inicial el estado Cara puro, con Foto tomada desde arriba. Sería en nuestra notación de Dirac:

|v> = 0 |1> + 1 |2>

O gráficamente:

Cuando giramos la cámara hasta enfocar la moneda desde abajo:

Esperamos OBTERNER EL MISMO estado inicial pero desde otro punto. Esta vez, esperamos obtener  un claro resultado CECA, como antes, "desde arriba" esperábamos obtener un claro resultado CARA. Es lo que esperaríamos de un universo simétrico, que no se ve afectado por la rotación del laboratorio o cámara. Sean los nuevos estados de base |1"> y |2"> para "cara foto desde abajo", y "ceca foto desde abajo". Tendría que darnos el resultado:

|v> = 1 |1"> + 0 |2">

Pero entonces, si vamos a hacer esa operación gráficamente, el mismo estado |v> ("cara puro desde arriba"), daría  ahora "ceca puro desde abajo", tendríamos (vean que no cambio el vector V sino que giro los vectores de base):

Los vectores de base, para ser coherentes con lo que esperamos, se giran solamente 90 grados. Si seguimos girando la cámara 180 grados más, volvemos a la posición original, el vector |v> sigue siempre siendo "el mismo", pero nuestros vectores de base son ahora:

Vean que las amplitudes del vector de estado pasaron de ser (0, 1) cuando "foto desde arriba" a (1, 0) cuando "foto desde abajo"  y luego a (0, -1) cuando "foto desde arriba" de nuevo. Desde el punto de vista físico, no podemos distinguir entre el estado de base |-2> y el |2>: lo que importa son el módulo de sus amplitudes. Cualquier  a|2> es indistinguible de -a|2> o de a|-2>  o de –a|-2> (tomando al coeficiente a como amplitud real o compleja). Queda entonces que un giro de 360 en el universo, gira a la expresión del vector de estado en 180 grados: (0,-1) es el REFLEJO de (0,1).

Si quieren verlo de otra forma: todo este juego de rotar el laboratorio 360 grados es equivalente a haber rotado el vector de estado 180 grados, dejando los vectores de base fijos:

No importa entender todo esto ahora. Sirva como preludio a este tipo de magia: algo que gira 360 grados y da algo distinto de su original, se llama, en esta jerga, objeto espinorial.

Claro, alguien podría estar impaciente: ¿qué es todo esto de jugar con la moneda cuántica, y todo este pase de magia que parece que hacemos con estos giros? Bueno, ya llegaremos a relacionar todo esto con lo que se descubrió en experimentos de la realidad. Por ahora, les adelanto que todo este ejercicio de la moneda cuántica lo baso en el espín de un electrón. Veremos que la experiencia (no el experimento mental) muestra que la medida de ese espín EN UNA DIRECCION sólo da ½ o -1/2 (como nuestro cara y ceca). Notablemente, muchos libros de divulgación no aclaran que los valores posibles son EN UNA DIRECCION. De aquí que esta vez, en este post, me tomé el trabajo de describir qué pasa (en mi mundo imaginario mental) cuando giramos el laboratorio y la moneda sigue igual.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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De vez en cuando me encuentro con la idea de que las Matemáticas son "cosas de números". Quisiera explorar el gran reino de las Matemáticas, para mostrar cuán lejos está la verdad de esa afirmación.  Tanto en español como en inglés, Matemáticas es plural (notablemente, en inglés también tenemos en plural physics y economics, por poner otros ejemplos). Eso indica de alguna manera que hoy, las Matemáticas son un campo amplio. ¿De qué tratan las Matemáticas, entonces, si no es solamente "cosas de números"?

Este es el primer post de una larga respuesta a esa pregunta. Una respuesta que podría encararse de distintas formas: mostrando la historia de su desarrollo, comentando las vidas de los matemáticos más destacados, comentando los problemas y resultados más representativos. Algo de todo eso se verá en esta serie, espero. Pero el principal hilo rector será visitar las Matemáticas como si fuera un palacio o edificio muy especial: dando una descripción general de sus áreas, luego visitando cada una de sus salas, encontrándonos con viejos temas conocidos, con nuevos y fabulosos resultados, con historia y magia en cada rincón.

Como cuando exploramos un territorio, tendremos lugares preferidos: pero también habrá encanto en los poblados menos visitados, o en los caminos menos trazados y conocidos. Y encontraremos también, una especie de unidad, una relación entre lugares disímiles, que a veces nos harán pensar si ese territorio no es producto de la naturaleza, sino un lugar perfectamente trazado por alguien, un todopoderoso ser matemático, que nos dejó el laberinto planteado. 

La división más clara a encarar para explorar este inmenso territorio es por tema. Comenzaré por las grandes ramas, describiéndolas, y luego, cuando el tiempo y el momento sean propicios, exploraremos las ramas derivadas. Espero mostrar que la historia de cada rama abarca, en general, milenios, y cientos de matemáticos, destacados y conocidos, así como más ignotos y perdidos en la historia (aunque, probablemente, esas notas de historia aparezcan en post más detallados fuera de esta serie).

Para mí, las Matemáticas son el gran logro de la historia humana: si alguna vez nos comunicamos con otros seres en el Universo, seguramente compartiremos las Matemáticas. Y quizás, hasta llegue el momento en que seamos conocidos en la Galaxia, no por nuestras guerras y desastres, sino por estas joyas del conocimiento humano. Mi principal fuente será el excelente "Princeton Companion to Mathematics", editado por Timothy Gowers y otros, con artículos de decenas de matemáticos, historiadores y estudiosos del tema. Debe ser EL libro a leer si uno quiere saber de qué tratan las matemáticas de hoy, que son el fruto de una larga y notablemente entretenida (por lo menos para mí ;-) historia.

Es un largo camino a encarar: espero que alcance para recorrerlo una cantidad numerable de posts ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ya presenté, en esta serie sobre la realidad, los temas de sistema, y algo de mecanismos. Pienso que cuando se explica o expone algo, no sólo hay que dar definiciones, sino también ejemplos. Hay tanto escrito sin definiciones y ejemplos (lo que lleva a cualquier interpretación), que siempre trato de difundir esa actitud de darlos. Quiero, entonces, en este post, dar algunos ejemplos de sistemas y mecanismos, para cumplir con lo que pregono. Ya en el anterior post enumeré someramente sistemas, pero es tiempo de entrar en más detalle. Comenzaré con algunos ejemplos sencillos, más adelante en otro post aparecerán ejemplos más complejos.

Primero, vayamos al átomo. En la jerga de esta serie, un átomo es una cosa (Aristóteles hubiera aceptado que es un sustancia). Y como cosa, esta vez es una cosa compuesta. Y no solamente cosa compuesta de otras cosas (simples o compuestas) sino que no es un simple rejunte: es un sistema. Las partes están relacionados. Es por eso que no hay descripción de la "conducta" de un electrón en el átomo: se describe el sistema atómico. Esto no obsta que hablemos, en nuestros modelos, de "electrón": hay una cosa X, ahí en la realidad, que permanece y se transforma, ya sea como electrón ligado, o luego evoluciona y actúa como electrón libre. No sólo hay "nube electrónica" (como diciendo: "no hay más electrones"), sino que todo nuestros modelos e investigaciones indican que en esa nube, sigue habiendo electrones: basta estudiar los espectros de los átomos, su estructura fina, el principio de exclusión de Pauli, y más, para ver que todos nuestros modelos indican: hay un X, que en algunos casos forma parte del sistema que llamamos "átomo", y otras veces evoluciona "libremente", como "electrón". Distinto es el caso de los fotones: son producidos y destruidos (o podríamos decir, emitidos y absorbidos) desde electrones, pero no son parte del sistema "átomo". El caso de emisión de un fotón por un electrón indica que es uno de los casos paradigmáticos de cambio en una cosa, el electrón X, sin relación causal: hay azar, y lo que sabemos, indica que ese azar es objetivo, no un azar derivado de un mecanismo que no conocemos, dentro de un electrón, sino parte del azar fundamental que tenemos que aceptar en la realidad.

¿Qué mecanismo encontramos en el sistema átomo? Muchos, que explican: el mantenimiento (y posible desintegración) del núcleo, así como la permanencia y distribución de los electrones. Vean cómo la ciencia ha buscado ese mecanismo: la historia de buscar la explicación del átomo, así como la historia de buscar su estructura, es un ejemplo a estudiar con gran provecho. Y debería ser un caso testigo de cómo llegar a investigar la realidad.

Sigamos. ¿Qué otro sistema y mecanismo puedo nombrar? Veamos las agrupaciones de átomos. Como partes, tenemos los átomos: vemos cómo una cosa puede ser un sistema, y ser parte a la vez de otro sistema. Para la formación y mantenimiento de ese sistema, encontramos dos mecanismos claros. Uno, es el que encontramos en la sal, el cloruro de sodio en disposición de cristal. Cada átomo de sodio cede un electrón a un átomo de cloro. El átomo de sodio es entonces un sistema alterado, un ion positivo, y el átomo de cloro es un ion negativo. Un cristal de sal mantiene su forma por las atracciones entre esos iones.

En cambio, hay otros átomos que forman moléculas, no perdiendo o ganando electrones, sino compartiéndolos. Forman los llamados enlaces covalentes. Por ejemplo, el metano CH4 (un átomo de carbono y cuatro de hidrógeno). El mecanismo de mantenimiento del sistema se basa, entonces, en ese tipo de enlace.

Y hasta hay establecimiento de relaciones estructurales más complejas. Tenemos el caso de los átomos de hidrógeno ligados a átomos como el óxigeno del agua. Al compartir electrones con el oxígeno, cada átomo de hidrógeno queda como exponiendo una carga positiva hacia afuera, que se atrae con carga negativa que expone el átomo de oxígeno. Esa asimetría provoca que se formen enlaces de hidrógeno, que son más debiles que los anteriores.

Pueden encontrar más información detallada de estos ejemplos en: Chemistry, un accesible artículo que los explica.

Notablemente, en la realidad, encontraremos multitud de sistemas. Prácticamente, cuando nos fijamos en una cosa, encontramos un sistema o varios. ¿Por qué? Bueno, es parte de lo que quiero tratar en mi serie ¿Qué está haciendo el Universo? Pero es fácil, en principio, encontrar una explicación inicial (a ir puliendo y explorando): las "cosas" en las que nos fijamos, son cosas que perduran (sean átomos, moléculas, organismos, sistemas solares o galaxias). Y las cosas que perduran, perduran porque forman sistemas con mecanismos que los mantienen. Ante la gran mutabilidad de los elementos de la realidad (recordemos, propiedad fundamental de los objetos concretos), el Universo (como la instancia final de "gran sistema" de la realidad, una postura que tengo que explorar en esta serie: el sistemismo) nos muestra lo que hay conseguido perdurar. Lo cual no indica un propósito, sino una conclusión de perogrullo: perdura lo que ha encontrado el camino de perdurar. No hay que buscar en ello nada místico, así como no hay que asombrarse de encontrar el orden surgiendo del caos. Solamente, una consecuencia de lo que venimos estudiando: la realidad, sus elementos, y su estructura.

Mi fuente principal sigue siendo la obra el beato Bunge:

A la caza de la realidad, La controversia sobre el realismo. Mario Bunge. Editorial Gedisa

Especialmente, capítulo 5: Detrás de las pantallas, los mecanismos. Recoimiendo también  Emergencia y convergencia, novedad cualitativa y unidad del conocimiento, donde aborda con más detalle el tema sistemas y sistemismo.

Próximos temas: más ejemplos de sistemas y mecanismos, por ejemplo, sistemas sociales.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Quisiera comenzar una serie de posts sobre el tema Topología General. Hay varias razones para esta serie. Primero, es un tema matemático que me parece muy interesante. Por un lado, exhibe una faceta de abstracción que permite "jugar a las matemáticas" sin tener en miras una aplicación concreta, aún sin ejemplos en firme. Segundo, es un tema que me lo vengo encontrando desde hace casi tres décadas, y es tiempo ya de "pasar en limpio" lo que he estudiado y sigo investigando el tema. Recordando a Richard Feynman, "si uno no puede explicar algo, es que todavía no lo entiende". Es bueno (aunque trabajoso) pasar en posts esta explicación (así como he encarado otras, como el realismo en ¿Qué es la Realidad?, la física cuántica  y estructuras matemáticas como en anillos conmutativos o simetrías del cuadrado. Tercero: la topología general y el concepto de continuidad están en la base de otras ramas de las matemáticas, como espacios métricos y análisis matemático, tanto en derivadas como en integrales.

Cuarto: si bien la topología tiene varias ramas, la topología general y la estructura de espacio topológico han tenido una rica historia, con algunos encuentros iniciales con la física. Pero en el siglo XX apareció un
nuevo "twist", vuelta de tuerca: el uso de grupos topológicos, grupos continuos (de Lie) y álgebras de Lie aparecieron en teorías gauges, teorías cuánticas de campo, modelo estándar de partículas y teorías de cuerdas. Eso hace que, no sólo en matemáticas sino también en física, me tope cada tanto con la topología general. En este siglo, me reencuentro con la relación de la topología general con la física y matemáticas gracias a "el Penrose", ver Al fin una fórmula.

Cuando pensé en esta serie, tuve que decidir cómo plantear los temas. Por una lado, podía comenzar por conceptos intuitivos de continuidad y seguir a partir de ahí. Otra aproximación al tema sería partir de espacios métricos, y luego recién de haber presentado esos temas, pasar a la abstracción de la métrica, pasar a "puntos cercanos" y espacios topológicos en general. Este último es el camino tomado por Kolmogorov y Fomin en "Elements of Theory of Functions and Functional Analysis" http://www.amazon.com/Elements-Theory-Functions-Functional-Analysis/dp/0486406830

Me decidí por comenzar abstractamente, con definiciones de espacio topológicos. Esto tiene la ventaja de ejercitar el juego matemático abstracto, pero también pierde un poco el foco intuitivo, también importante para entrenar en matemáticas. Espero dar ejemplos y contraejemplos que permitan no flotar sólo en lo abstracto.

En estos días, encuentro la introducción de "Topology: Point Set and Geometric", de Paul L. Shick, que escribe:

1. An introductory topology course has to cover enough point-set topology to prepare the students adequately for ideas they're likely to encounter in analysis, geometry and other ares.

2. An introductory topology course can't do just point-set topology, for two reasons: (a) this leaves out the more intuitive geometric aspects of the field in favor of the more classical point-set areas, ignoring the portions of topology most applicable to other fields of mathematics; and (b) often students completing a point-set topology course feel that they've learned a number of topics, but that the course (and field) lacks a "big theorem" that forms a capstone for their study.

3. An introductory topology course should start with the axiomatic definition of a topology on a set, rather than using metric spaces or the topology of Rn to "ease" the students into the subject, for three reasons: (a) the metric approach leaves out too many important examples (such as function spaces); (b) students who see only the metric approach, or who see this first, tend to develop more simplistic intuition than students who learn the more general definition first; and (c) the more general approach allows the student to learn how to write precise proofs in a brand new context, and invaluable experience for math majors. The important examples or R and Rn (in their usual topologies) should be presented only after the general definitions. Metric spaces should be covered (much) later.

Voy a seguir el camino de "primero los espacios topológicos", no por las mismas razones de Schick. Si bien el entrenarse en demostraciones formales es importante, pienso que en los libros se olvida el tema "juguemos con las matemáticas": dado unas reglas de juego, ¿qué podemos hacer? ¿qué podemos hacer con esto? Así que trataré de presentar una base de juego (espacios topológicos) e ir explorando qué podemos hacer con eso: ¿cómo podemos construir topologías? ¿Habrá algo que nos sirva de ladrillos de base para construirlas? Si tenemos dos topologías sobre un mismo conjunto ¿podemos compararlas?  Y así.

No voy a pretender dar un curso completo. Pero me gustaría visitar varios temas más o menos a fondo. Un posible camino será: espacios topológicos, bases, subbases, distintos ejemplos, continuidad, transformaciones continuas, homomorfismos, sucesiones y límite, recubrimientos, espacios métricos, conexión y compacidad, axiomas de separación.

Principales fuentes a consultar:
Topología. de James R. Munkres. Tengo una edición de Prentice Hall
Elementos de Teoría de Funciones y Análisis Funcional, de Kolmogorov, Fomin, editorial Mir
Grupos continuos, de Pontrjaguin
Topología general, de Kelley, editorial Eudeba
Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología, del gran Kazimierz Kuratowski, editorial Vicens
Los cuatro tomos de Topología, de García Marrero, Margalef Roig, Olano de Lorenzo, Outerelo Domínguez, Pinilla Fernando y otros, Editorial Alhambra (mi primer encuentro serio con el tema, a principios de los ochenta)

Tal vez aparezcan post fuera de la serie, sobre historia de la topología, vidas de matemáticos que aportaron al tema, y temas de topología algebraica, combinatoria y otros. Justamente, ayer escribí sobre un texto de Stewart recordando una predicción de Solzhenitsyn sobre la aplicación de la topología en física.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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En esta semana sabática estuve preparando un post sobre topología general. Investigando en mis libros, recordé un pasaje de Ian Steward, de su excelente "De aquí al infinito" (Editorial Crítica). Es un libro estupendo, con capítulos sobre distintos demas de las matemáticas. Tiene más de uno sobre topología, y con resultados no triviales (es el primer libro donde encontré los polinomios de Jones, por ejemplo). En una parte explica cómo la topología fue tratada por Poincaré para encarar problemas de dinámica (pueden leer mi post Poincaré y la topología). Pero luego de ese primer "casamiento" entre topología y física a fines del siglo XIX, la topología entró en una etapa de "sólo es tema para matemáticos". Leo a Steward:

En las décadas de 1930 y 1940, Leftchetz aplicó la topología a la geometría algebraica, y Marston Morse a la geometría diferencial (en un trabajo que desde entonces ha sido siempre importante en numerosas aplicaciones científicas). Pero no eran muchos los que consideraban a la topología como Lo Que Todo Físico Joven Debe Saber. De hecho, en la década de 1950, toda esta actividad se había alejado considerablemente de la física. Era necesario que lo hiciera: ésta era la dirección que llevaba la topología. Por ello, la topología se centró en sí misma para resolver sus problemas internos. Los físicos pronto perdieron todo interés por ella: les parecía más o menos igual de importante que el sabio Gautama sentado con las piernas cruzadas bajo un árbol, meditando sobre la naturaleza del sufrimiento. Para alguien que no sea especialista, resulta excesivo el grado de introspección requerida para poner orden en la topología.

Interesante. Recordemos que mucha matemática se vió impulsada (o incluso creada) por la necesidad física (lo producido con Newton y su cálculo como ejemplo), así como que mucha matemática fue creada y luego después encontró su lugar en alguna parte de la física (desde las cónicas de los griegos a Kepler, desde las matrices a Heisenberg). Y ahora, Steward recuerda un pasaje de un libro que leí hace décadas, de Alexander Solzhenitsyn, "El primer círculo": excelente novela, pintura del mundo que le tocó vivir al propio Solzhenitsyn como preso en la URSS de Stalin. Un instituto de detenidos, todos científicos, matemáticos, trabajando para mejorar aparatos de inteligencia para el gobierno. Solzhenitsyn va introduciendo personaje tras personaje, trazando partes de sus vidas alrededor de esta prisión para disidentes útiles (recuerdo el capítulo sobre Stalin, donde lo destroza, y un cuento dentro de la novela, sobre la aparición de una estatua de Buda en una de las celdas). Se supone que uno de los protagonistas, Lev Rubin, era el propio Solzhenitsyn. Escribe Stewart:

Así, Alexander Solzhenitsyn, que tenía una formación matemática suficiente para reconocer ese ensimismamiento, pero carecía de sentido de la historia para entender las razones del mismo, escribía en El primer círculo:

Nerzhin, con los labios firmemente apretados, no prestaba ninguna atención, hasta el punto de poder resultar grosero: ni siquiera se molestó en preguntar qué era exactamente lo que Verenyov había escrito sobre esta árida rama de las matemáticas en la que él mismo había hecho un pequeño trabajo para uno de sus cursos. De repente sintió lástima por Vereyov. La topología pertenecía a la estratósfera del pensamiento humano. Se podría llegar a pensar que pudiera ser de algún uso en el siglo XXIV, pero por el momento ...

No me preocupan el sol ni las estrellas,
no veo más que al hombre en medio de la tormenta

Hoy hay varios puntos de contactos entre topología y física, tal vez más alimentada por los grupos topológicos (grupos de Lie, sus álgebras, su relación con el modelo estándar de partículas y campos cuánticos, etc..), pero hay relación al fin. También en dinámica la topología volvió a hacer sentir su influencia. Por ejemplo, en 1963, usando argumentos topológicos, Kolmogorov, Vladimir Arnol'd y Jurgen Moser consiguieron atacar el problema "¿es el sistema solar estable?". Su respuesta: "Probablemente". Es lo que se llama la teoría KAM, por las iniciales de sus creadores.

Así, que de una u otra manera, la topología ha vuelto a cruzarse con la física, de maneras que Solzhenitsyn no pudo imaginarse.

A estudiar:
Topology and physics, a historical essay
Geometry, topology and physics
Topology, Geometry and Gauge Fields
Intro to KAM Theory
Physics and Topology at Physics Forums

y "el Penrose" que tiene tanto de estos temas.

En el foro de física, mencionan:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Knots_and_physics.html

http://www.iop.org/EJ/abstract/0034-4885/33/2/303
Group theory and topology in solid state physics
J Killingbeck 1970 Rep. Prog. Phys. 33 533-644

http://physics.harvard.edu/~dtlarson/tutorial05/
How to Talk to a Physicist: Groups, Symmetry, and Topology
Daniel Larson

http://arxiv.org/abs/hep-th/9109030
Topology Change in General Relativity
Gary T. Horowitz

http://www.citeulike.org/user/mukundn/article/416002
On the mathematical foundations of electrical circuit theory
Smale S - J. Differential Geometry, Vol. 7 (1972), pp. 193-210.

http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html
The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences
Eugene Wigner

Este último, un clásico que tengo pendiente de leer.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ya en anteriores posts de esta serie esta serie sobre la realidad, mencioné sistema, pero sin haberlo tratado en detalle. Ver que el tema quedó insinuado en:

Alicia en el país de los mecanismos
Cosas, Agregación, Combinación

¿A qué me refiero con sistema? Primero, permítamente mencionar algunos ejemplos:

- un ser humano, como organismo, es un sistema
- un átomo es un sistema
- una familia es un sistema
- una molécula es un sistema
- un cardumen de peces es un sistema
- la lógica matemática es un sistema
- la sociedad de mi barrio es un sistema
- una empresa es un sistema

Ejemplos que no son sistemas:

- Todos las casas amarillas
- Las personas que se sentaron en tal banco de la plaza esta última semana
- El modelo que tenemos de la molécula de ADN
- El número 0

Entonces, ¿a qué me refiero con sistema? Primero:

- Todo sistema es un objeto

Es decir, o es un objeto conceptual o un objecto concreto (objeto material, cosa). Ver Cosas y objetos.

Segundo:

- Todo sistema es un objeto compuesto

Está compuesto de otros objetos, que pueden ser simples o a su vez, pueden ser sistemas. Ejemplo: una molécula de agua es un sistema que podemos considerar compuesto de átomos que a su vez son sistemas.

Vean que digo que sistema es objeto. Entonces, tenemos

- Hay sistemas conceptuales y sistemas materiales

según su objeto sea un constructo o una cosa (objeto concreto). Ejemplo de sistema conceptual que dí más arriba: la lógica matemática.

Como un sistema es un objeto compuesto, tenemos sus partes, como uno de sus elementos. Pero un sistema tiene algo más:

- Las partes de un sistema están relacionadas por vínculos de distintos tipos

Las partes tienen algún vínculo: no son un conjunto, una colección de objetos (ej. casas), con alguna propiedad (ser amarillas). Son algo más que un simple "rejunte". Mantienen vínculos. Y podemos decir que esos vínculos nos dan la estructura del sistema.

- Los sistemas no están aislados, están en un ambiente, de otros objetos de su mismo tipo (conceptuales, si el sistema es conceptual; materiales, si el sistema es material). Y mantienen relaciones con algunos de esos objetos del ambiente.

Hasta ahora, podemos hacer un modelo de un sistema X:

Modelo(X) = C(X), S(X), E(X)

donde

C(X) = sus componentes
S(X) = sus vínculos, que le dan su estructura (structure)
E(X) = su ambiente, con el que está en parte relacionado (environment)

Para poner una imagen:

Por ejemplo, el sistema de la lógica matemática no está aislado, sino que se relaciona con otros sistemas conceptuales. Un organismo tiene componentes (órganos, células, otros sistemas como el nervioso), relaciones (cómo el sistema nervioso se conecta con el muscular, etc...), y un ambiente (un organismo no está aislado, sea ameba o ser humano actúa, vive en un ambiente).

Pero si vamos a los sistemas que encontramos en la realidad, los sistemas materiales, hay un elemento importantísimo a agregar. Recordemos: los objetos materiales los llamamos cosas. Las cosas cambian. Entonces, los sistemas cambian. Y gracias a su composición y vínculos/estructura, todo modelo que armemos de sistema material X, tendrá también:

Modelo(X) = C(X), S(X), E(X), M(X)

donde

M(X) modelo de los mecanismos de cambio legal del sistema

Vean que distingo entre sistema X y el modelo Modelo(X) que nos hacemos del sistema. Entre mecanismo y el modelo de los mecanismos (bien podemos tener un modelo imperfecto, o no tener claro el mecanismo de un sistema). Pero, sepamos o no a fondo el detalle del sistema nervioso de nuestro organismo, éste no permanece inalterado por la eternidad, sino que está constantemente cambiando: sus componentes, como cosas con propiedades, cambian, y esos cambios no son por que sí, sino que son productos de procesos, que pueden ser causales o aún estocásticos (más raros estos últimos), ver Cambios, causas y azar.

Como otras veces, mi fuente principal es la obra el beato Bunge:

A la caza de la realidad, La controversia sobre el realismo. Mario Bunge. Editorial Gedisa

Esta vez, Capítulo 5: Detrás de las pantallas, los mecanismos. También abrevé en su libro Emergencia y convergencia, novedad cualitativa y unidad del conocimiento, misma editorial.

Próximos temas: ejemplos de sistemas materiales (naturales, sociales), más mecanismos, función vs mecanismo, ley vs. mecanismo, explicación por mecanismo (vs. cobertura legal, por ejemplo), sistemismo, diferencias con el holismo.

Nos leemos!

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Hace ya tiempo que no me tomo una semana sabática. Por fin, arreglé todo para tomarme una (espero que sea la primera semana de este año; lo habitual es que me tome dos semanas por año), desde hoy, Viernes 8 de Abril hasta Lunes 18 de Abril, inclusive. Me tomo viernes inicial y lunes final, para tener algún tiempo tranquilo si quiero viajar algún fin de semana.

Una semana sabática mía es leer, estudiar, escribir sobre temas que me interesan, generando un entregrable para cada actividad. Tengo que escribir un post en mis blogs técnicos (en inglés y en español) sobre las actividades a realizar en estos días. En este post de hoy, quiero enumerar lo que planeo hacer en esta semana larga. Esta la lista de entregables (llevaría más tiempo describir los pasos para llegar a esos entregables):

- Escribir dos posts de mi serie ¿Qué es la realidad?
- Escribir post sobre Las ramas de las matemáticas
- Escribir dos post de mi serie Física cuántica
- Escribir post de ejemplos de anillos conmutativos
- Escribir post sobre clases en matemáticas, para completar las ideas presentadas en Gauss y la  congruencia, por E.T.Bell y Congruencias módulo m
- Escribir post introductorio a cuerpos
- Escribir post inicial de una nueva serie sobre Espacios Vectoriales
- Escribir post de mi serie Simetrías del cuadrado
- Escribir post de mi serie Números complejos
- Escribir post inicial de serie Topología General
- Escribir un post de mi serie Ciencia y Religión
- Escribir un post de mi serie Los caminos a la realidad

Algunos de estos temas se relacionan con la serie que tengo que proseguir ¿Qué está haciendo el Universo? La serie sobre el realismo es un despliegue de algunos temas para entender lo que escribiré sobre el Universo. La serie sobre física cuántica es parte también de ese tema "final". Los temas de matemáticas son los que me interesan, pero también son "riachos" que llegarán a aportar algo a los temas del Universo, lo que está haciendo, y la realidad en general. 

No necesariamente serán publicados los posts en esta semana sabática. Los iré publicando a lo largo de los días. Quisiera no publicar más de un post por día (sea de estos temas de arriba, o de mis temas técnicos).

Semana sabática significa también: no atender a clientes. Estaré aquí en Buenos Aires, pero puede que me vaya algunos días a Mar del Plata. Depende de mi dependencia de algunos libros de mi biblioteca y de cómo vaya completando esos entregables a lo largo de los días.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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En 1933, el nazismo llega al poder en Alemania. Gran parte del desarrollo de la física cuántica teórica de esos tiempos se había desarrollado en Alemania o cercanías. Muchos científicos alemanes dimitieron de sus cargos (como Schrodinger, y en el caso de los matemáticos, Hermann Weyl) porque no estaban de acuerdo con el clima creado por el Tercer Reich. Otros, como Heisenberg, siguieron trabajando para su país (el trabajo de Heisenberg durante la guerra da para toda una serie de posts: la guerra del uranio). Muchos físicos teóricos emigraron (recordemos a Einstein). Uno podría pensar que esos emigrados fueron recibidos con entusiasmo en sus destinos, pero no parece haber sido tan así. Hoy me encuentro con este texto de Paul Hoch

This is all very well, and was to be very important as a foundation for the growth of theoretical physics in America in the subsequent decades. But in 1933 the number of theoreticians on the physics sta¨ at those institutions considered to be the main centres of this discipline in America was -with the possible exception of the University of Michigan- tiny compared to those primarily engaged in experimentation, and rarely exceeded one or occasionally two permanent staff.

If one is going to write a dispassionate history of the transmission of this new branch of knowledge, one has to bring into the equation not only those factors facilitating it but also those opposing it. The predominant attitude to physics in Britain and America at that time was that it wasÐand should be almost as matter of morality -an experimental science (at Oxford it was still known as "experimental philosophy''). Cambridge had a considerable mathematical aspect to its physics at least since Maxwell, which embraced in part the work of Kelvin, Rayleigh and J. J. Thomson among others. However, by the 1930s it was assumed even within this tradition that Cavendish physicists did their own experiments and that those not doing experiments were not physicists and belonged to the mathematics faculty. This was still the case in the early 1930s, even for the Stokes Lecturer in Mathematical Physics, Ralph Fowler, and for his most promising students Nevill Mott and Alan H. Wilson, all of whom were attached to mathematics. [Moreover, Fowler's] own main interests were within statistical and older mathematical physics, rather than, for example, in the new "German'' quantum mechanics and its application to solids, in which such visitors to Germany and Denmark as Wilson and Mott were to play a considerable part. In the years after 1933 a great number of refugee theoreticians obtained temporary accommodation at Cambridge including Hans Bethe, Max Born, Rudolf Peierls and P. P. Ewald, among others. But none of these was able to obtain a post on the permanent staff and all went elsewhere.

Es decir, no parece haber habido centros de actividad de física teórica que los recibiera. Solamente con el tiempo, y con la colaboración que dieron en la segunda guerra, algunos de estos físicos teóricos fueron aceptados por sus comunidades adoptivas. Noten que "los que no hacían experimentos no era físicos y se los asociaba a la facultad de matemáticas". Pero a principios de 1930, no parece haber sido fácil su situación. Mi fuente (citada al final) hasta menciona que había sentimientos antisemíticos en las facultades, especialmente en EE.UU. Es nueva para mí la expresión "'German' quantum mechanics".

Este texto es de "Flight into self absorption and xenophobia" publicado en Enero de 1990 en Physics World que pueden encontrar aquí (necesitan acceso). El abstract:

The year after 1933 saw a remarkable growth and transformation of physics in Britain and America. Following the rise of a Nazi government in Berlin, over a hundred German-speaking and predominantly Jewish physicists emigrated to other countries, especially to the English speaking ones. Their reception in Britain and America was to be strongly influenced by the disparity between the then predominantly experimental physics – center on Rutherford's nuclear physics school at Cambridge and Lawrence Bragg's crystallography at Manchester – and the quantum theoretical work done in the main German center of Gottingen, Munich and Berlin, with which many of them has been previously associated.

No encontré referencias sobre Paul Hoch. El fragmento mencionado lo encontré en: "The Historical Development of Quantum Theory", Volumen 6 The Completion of Quantum Mechanics 1926-1941, de Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg. Estos autores mencionan el antisemitismo de las facultades, pero no encontré si eso se menciona en el artículo original de Hoch.

Hoch olvida a Dirac. Un artículo de Nicholas Kemmer publicado en Marzo de 1990: Dirac's Attraction.

The article 'Flight into self-absorption and xenophobia' by Paul Hoch (January p23-6) recalls a chapter in recent history that is still vivid in my memory. There is very little in the article that I would want to correct or emphasise differently, except for one omission that to me seems glaring: the name of Paul Dirac is missing.

Tengo que estudiar la biografía de Dirac. Un libro a leer es la biografía que de él escribió @grahamfarmelo "The strangest man".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ya comenté en Primeros contactos con la ciencia: Tecnirama lo que influyó en mi infancia el tener esos diez tomos de fascículos de Tecnirama, revista de ciencia y técnica. En esas páginas me encontré por primera vez con temas que aún me acompañan. Fue, a todas luces, una gran influencia en la formación de lo que me gusta estudiar, aprender y aplicar. Mi generación es una que creció con la llegada del hombre a la Luna, con la aparición del modelo estándar de partículas elementales, con Asimov, Gamow, Gould, Dawkins, Gardner, y más.

Pero en mi infancia, todavía no había llegado a tantas lecturas. Tecnirama era mi fuente principal de todo lo que me interesaba. Un tema que presentaba en más de un artículo, era cómo volaban los aviones, en particular, leí un artículos de aviones jet, y los distintos tipos de motores que tenían (recuerdo aún hoy la palabra "estratorreactor" ;-).

Un domingo, en la casa de un amigo de mi padre, el hijo de éste (yo un niño, él ya mayor de veinte años) de éste me preguntó sobre el tema. Yo, animado, comenté varias cosas de lo que había leído: como siempre, me entusiasma hablar de lo que aprendo. Pero, luego de algunas preguntas, mi interlocutor me señaló algo: yo sabía mucho de estratorreactores y jets, pero me faltaba algo: conocer el principio de acción y reacción sobre lo que todo esto se basaba.

Tenía razón. Me mosqueó un poco descubrir esa falta en lo que creía saber. Desde entonces, he tratado de buscar siempre, en cada tema, los fundamentos del mismo. No me preocupa tanto saber de cada detalle, como tener claro, muy claro, las bases de una rama del conocimiento. No siempre me es posible, pero por lo menos, trato el esfuerzo. Eso me ha llevado a revisar, leer, releer, y volver a revisar cada cosa que estudio. Es una forma larga de aprender, pero me satisface cuando llego a realmente entender el núcleo, fundamento y base de un tema. Que me quede clarito como huevo de tero ;-).

Por ejemplo, si estudio grupos en matemáticas, puedo no recordar o demostrar los teoremas de Silow, pero sí trato de recordar lo importante de los grupos: las transformaciones, los morfismos entre grupos, grupos operando sobre conjuntos, y subgrupos normales; cómo construir grupos desde otros; cómo los subgrupos normales revelan las simetrías del grupo. Ahí está, al final, el quid: las simetrías.

Con el tiempo, también adopté otra estrategia: interesarme por el desarrollo histórico del tema. Quizás se me haya plantado con la lectura del excelente "Evolución de la Física" de Einstein e Infeld (lo mencioné en El gran misterio). O por el mejor libro de mi biblioteca (del que tengo post pendiente).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Sigo comentando sobre el azar, en esta serie sobre la realidad. En el anterior post presenté dos clases de azar: coincidencia (de dos líneas de vida de cosas, por ejemplo) y el desorden. Veamos la tercer clase de azar: el azar espontáneo.

Esta clase de azar no puede mostrarse, modelarse como emergente de otro proceso. El caso más conspicuo es el azar que encontramos en la física cuántica. La ciencia siempre ha tratado de dar modelos de la realidad, y en este punto, la física que surgió desde principios del siglo XX, no ha dado con modelos de mecanismos, sino que el modelo exitoso sigue basándose en probabilidades. El estado de un sistema (leer mi post Física cuántica, Primer Ejemplo) se describe por amplitudes, que derivan en probabilidades de encontrar a un sistema en un estado dado, ante una medida. En el caso de ese post, la moneda cuántica se describe, no como "estando en cara" o "estando en ceca", sino como una combinación lineal de ambos estados. Ante una medida (no necesariamente un aparato clásico, y menos un observador), la moneda cuántica de nuestro experimento mental pasa a "cara" o a "ceca". Pero no hay nada en la física cuántica que nos de un mecanismo para explicar porqué encontramos "cara" en un resultado. Sólo sabemos que si se miden 100 monedas en el mismo estado, aproximadamente x de ellas estarán en "cara" y a 100-x las encontraremos en "ceca". Tenemos probabilidades. Tenemos modelo determinístico: el formulismo cuántico sirve para dar el desarrollo del estado de un sistema en el tiempo y en el espacio. Y determina: cuando se haga una medida en la moneda, hay tanta probabilidad de "cara" y tanta probabilidad de "ceca". Pero el resultado es producto del azar (sujeto a las probabilidades del modelo determinista), espontáneo hasta donde sabemos, no reducible a un mecanismo.

Einstein llegó a pensar que este estado de cosas mostraba que el formalismo de la física cuántica era incompleto: como los resultados de la mecánica estadística, lo que describía el formalismo era un resultado probabilístico, pero Einstein tenía la convicción que era un formalismo digamos transitorio, que podría reemplazarse por una explicación por mecanismo (por ejemplo, como se explica la ley de los gases por la acción y mecánica de las moléculas implicadas). Podría decir: se esperaba que la física cuántica, su formalismo, quedara explicado por "engranajes ocultos", modelos de otros niveles de la realidad que explicaran los resultados del modelo.

Esta esperanza, luego de décadas de estudio y experimentos, no ha llegado a buen puerto. Hasta hay experimentos, derivados de ideas de Bell, que descartan, hasta donde sabemos, la existencia de "variables ocultas" para explicar lo que nos da la realidad cuántica.

Quiero mencionar algunos puntos, antes de terminar. La evolución biológica se ha ido desarrallando desde las dos primeras clases de azar: coincidencia y desorden (siendo el tercero el espontáneo). Una mutación parece ser el resultado de un azar del tipo 1: la coincidencia del genoma con una acción del ambiente que provoca su alteración (como dos bolas de billar que tienen su línea de vida, cada una independiente, y por coincidencia se encuentran). La evolución humana tiene un ingrendiente de tipo 3: tenemos creatividad (conceptual, tecnológica, artística, ideológica, social). Una idea original no es un acto reflejo: es producto de un mecanismo mental, pero no parece ser un resultado totalmente determinado por los estímulos externos. Es un tema a estudiar (parte del fascinante tema de la mente) pero por ahora, afirmo la existencia de ese tipo de espontaneidad: aparecen ideas, que si pudiéramos repetir las condiciones iniciales de la mente, no surgirían siempre. Como la moneda cuántica, su aparición o no aparición termina teniendo un componente de azar espontáneo, tipo 3. Notemos que las ideas son ideas de individuos, dentro de una sociedad. Esto da pie para el siguiente párrafo.

Podemos decir algo común de las tres clases de azar: "irregularidad individual debajo del orden de un agregado". De alguna forma, leyes probabilísticas en lo pequeño llevan a regularidades estadísticas en lo grande.

No muchos filósofos se dieron cuenta de tener que incorporar en la descripción de la realidad al azar. Siempre parecía que podía "barrerse debajo de la alfombra". Pero tampoco podemos llegar al extremo de Pierce que llegó a afirmar que el azar es lo fundamental. Popper llegó a exigir el reemplazo del determinismo por el indeterminismo. Pero hay tema aquí: "indeterminismo" sugiere el tipo de mundo de "Alicia en el país de las maravillas". No es así. Los cambios siguen pautas legales (no cualquier cosa, no hay cambios "ilegales"). Pero hay pautas que no son causales. Hay cambios en una cosa que no provienen de intercambio de energía con otra cosa (formando el "ladrillo" elemental de la relación causal). Hay cambios espontáneos en la cosa (la moneda cuántica pasa a "cara").

Lo que sí tenemos que hacer es ampliar el determinismo para admitir el azar, en especial el azar objetivo espontáneo. Determinismo no tendrá que ser sólo leyes causales, sino que también tendrá que incluir leyes probabilísticas, o por lo menos, la acción del azar espontáneo. Es un tema de la ciencia encontrar a éste: inexplicable por modelo subyacente o mecanismo.

Como otras veces, mi fuente ha sido el beato Bunge:

A la caza de la realidad, La controversia sobre el realismo. Mario Bunge. Capítulo 4 "La causalidad y el azar: ¿aparentes o reales?" En especial, la sección 2: "Azar, tipos"

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Venga hoy, igual que ayer, un problema de matemáticas.

Sea un grafo con nodos, en forma de árbol (no tiene ciclos), con una jerarquía: hay nodos "padres" de otros:

Marcamos cada nodo con una letra (el color no importa, lo puse para animar el blog ;-). Podemos enumerar sus nodos, como en:

A B C D E .....

El problema es ¿Cuántas formas de enumerar un árbol hay, siempre y cuando cada nodo aparezca DESPUES de sus padres y ascendientes? Es decir, en el ejemplo de arriba, H debe enumerarse (aparecer en la lista) pero NO ANTES de A o de C, que son sus ascendientes.

Ejemplos válidos (parciales):

A B E F G ....
A B G F E ....  (no importa el orden de los hermanos)
A B C H I ...  (se pueden enumerar los hijos de C antes de los de B)
A B G C I ... (se pueden mezclar las enumeraciones de descendientes: no hace falta enumerar todos los descendientes de B antes de los de C, no importa)
A D J C I H M B F K .... (creo que ya quedaron las principales variantes)

Vean que no planteo la pregunta para un árbol en particular. ¿Pueden encontrar el resultado para un árbol de n nodos? ¿Importará "la forma" del árbol?

En un futuro post, escribiré mis primeros intentos de solución, y finalmente, la solución que encontré.

(Nota para informáticos: el problema fue planteado por A.V. en una lista de programación Smalltalk. ¿Cuántas formas hay de escribir en un archivo el código de las clases de una jerarquía, siempre que cada clase NO aparezca ANTES de sus superclases?) Simpático problema ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Hace unos días me enteré de este problema, vía una lista de correo de programación en lenguaje Logo (en http://groups.google.com/group/logoes). El problema fue publicado por el diario ElPais.com en su versión online:

Una hormiga amenazada

Pueden leer ahí el planteo y hasta un video explicando el problema. Yo quiero plantearlo acá, y más adelante, en otro post, tratar algunas formas de solucionarlo.

Sea el cubo y sus aristas, numeradas para distinguirlas:

En el vértice 1 tenemos una hormiga (como ven, mis habilidades de dibujo son limitadas ;-). La hormiga siempre avanza desde un vértice por una de las tres aristas que tenga disponibles. Así, su primer avance puede ser desde 1 hasta 2, o desde 1 hasta 3, o desde 1 hasta 4. Elige cualquiera de esas opciones, con igual probabilidad (1/3 para cada destino). Luego, prosigue. Si está en el vértice 4, puede pasar a 1, 6, o 7, de nuevo, cada camino con igual probabilidad.

Pero en los vértices 7 y 8, alguien deja puesto veneno para hormigas. Si la hormiga llega ahí, muere.

El problema es: si la hormiga parte de 1, ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?

Les dejo pensando la respuesta. Les propongo también extender el problema: ¿qué pasa con otros poliedros? ¿Y otros grafos? ¿Vivirá la hormiga con más probabilidad si sólo un vértice tiene veneno? Varíen el grafo, y la cantidad de vértices con veneno. ¿Qué pasa?

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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