Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Abril, 2011, 16:51

En esta semana sabática estuve preparando un post sobre topología general. Investigando en mis libros, recordé un pasaje de Ian Steward, de su excelente "De aquí al infinito" (Editorial Crítica). Es un libro estupendo, con capítulos sobre distintos demas de las matemáticas. Tiene más de uno sobre topología, y con resultados no triviales (es el primer libro donde encontré los polinomios de Jones, por ejemplo). En una parte explica cómo la topología fue tratada por Poincaré para encarar problemas de dinámica (pueden leer mi post Poincaré y la topología). Pero luego de ese primer "casamiento" entre topología y física a fines del siglo XIX, la topología entró en una etapa de "sólo es tema para matemáticos". Leo a Steward:

En las décadas de 1930 y 1940, Leftchetz aplicó la topología a la geometría algebraica, y Marston Morse a la geometría diferencial (en un trabajo que desde entonces ha sido siempre importante en numerosas aplicaciones científicas). Pero no eran muchos los que consideraban a la topología como Lo Que Todo Físico Joven Debe Saber. De hecho, en la década de 1950, toda esta actividad se había alejado considerablemente de la física. Era necesario que lo hiciera: ésta era la dirección que llevaba la topología. Por ello, la topología se centró en sí misma para resolver sus problemas internos. Los físicos pronto perdieron todo interés por ella: les parecía más o menos igual de importante que el sabio Gautama sentado con las piernas cruzadas bajo un árbol, meditando sobre la naturaleza del sufrimiento. Para alguien que no sea especialista, resulta excesivo el grado de introspección requerida para poner orden en la topología.

Interesante. Recordemos que mucha matemática se vió impulsada (o incluso creada) por la necesidad física (lo producido con Newton y su cálculo como ejemplo), así como que mucha matemática fue creada y luego después encontró su lugar en alguna parte de la física (desde las cónicas de los griegos a Kepler, desde las matrices a Heisenberg). Y ahora, Steward recuerda un pasaje de un libro que leí hace décadas, de Alexander Solzhenitsyn, "El primer círculo": excelente novela, pintura del mundo que le tocó vivir al propio Solzhenitsyn como preso en la URSS de Stalin. Un instituto de detenidos, todos científicos, matemáticos, trabajando para mejorar aparatos de inteligencia para el gobierno. Solzhenitsyn va introduciendo personaje tras personaje, trazando partes de sus vidas alrededor de esta prisión para disidentes útiles (recuerdo el capítulo sobre Stalin, donde lo destroza, y un cuento dentro de la novela, sobre la aparición de una estatua de Buda en una de las celdas). Se supone que uno de los protagonistas, Lev Rubin, era el propio Solzhenitsyn. Escribe Stewart:

Así, Alexander Solzhenitsyn, que tenía una formación matemática suficiente para reconocer ese ensimismamiento, pero carecía de sentido de la historia para entender las razones del mismo, escribía en El primer círculo:

Nerzhin, con los labios firmemente apretados, no prestaba ninguna atención, hasta el punto de poder resultar grosero: ni siquiera se molestó en preguntar qué era exactamente lo que Verenyov había escrito sobre esta árida rama de las matemáticas en la que él mismo había hecho un pequeño trabajo para uno de sus cursos. De repente sintió lástima por Vereyov. La topología pertenecía a la estratósfera del pensamiento humano. Se podría llegar a pensar que pudiera ser de algún uso en el siglo XXIV, pero por el momento ...

No me preocupan el sol ni las estrellas,
no veo más que al hombre en medio de la tormenta

Hoy hay varios puntos de contactos entre topología y física, tal vez más alimentada por los grupos topológicos (grupos de Lie, sus álgebras, su relación con el modelo estándar de partículas y campos cuánticos, etc..), pero hay relación al fin. También en dinámica la topología volvió a hacer sentir su influencia. Por ejemplo, en 1963, usando argumentos topológicos, Kolmogorov, Vladimir Arnol'd y Jurgen Moser consiguieron atacar el problema "¿es el sistema solar estable?". Su respuesta: "Probablemente". Es lo que se llama la teoría KAM, por las iniciales de sus creadores.

Así, que de una u otra manera, la topología ha vuelto a cruzarse con la física, de maneras que Solzhenitsyn no pudo imaginarse.

A estudiar:
Topology and physics, a historical essay
Geometry, topology and physics
Topology, Geometry and Gauge Fields
Intro to KAM Theory
Physics and Topology at Physics Forums

y "el Penrose" que tiene tanto de estos temas.

En el foro de física, mencionan:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Knots_and_physics.html

http://www.iop.org/EJ/abstract/0034-4885/33/2/303
Group theory and topology in solid state physics
J Killingbeck 1970 Rep. Prog. Phys. 33 533-644

http://physics.harvard.edu/~dtlarson/tutorial05/
How to Talk to a Physicist: Groups, Symmetry, and Topology
Daniel Larson

http://arxiv.org/abs/hep-th/9109030
Topology Change in General Relativity
Gary T. Horowitz

http://www.citeulike.org/user/mukundn/article/416002
On the mathematical foundations of electrical circuit theory
Smale S - J. Differential Geometry, Vol. 7 (1972), pp. 193-210.

http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html
The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences
Eugene Wigner

Este último, un clásico que tengo pendiente de leer.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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