Angel "Java" Lopez en Blog

16 de Abril, 2011


Publicado el 16 de Abril, 2011, 17:43

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Quisiera comenzar una serie de posts sobre el tema Topología General. Hay varias razones para esta serie. Primero, es un tema matemático que me parece muy interesante. Por un lado, exhibe una faceta de abstracción que permite "jugar a las matemáticas" sin tener en miras una aplicación concreta, aún sin ejemplos en firme. Segundo, es un tema que me lo vengo encontrando desde hace casi tres décadas, y es tiempo ya de "pasar en limpio" lo que he estudiado y sigo investigando el tema. Recordando a Richard Feynman, "si uno no puede explicar algo, es que todavía no lo entiende". Es bueno (aunque trabajoso) pasar en posts esta explicación (así como he encarado otras, como el realismo en ¿Qué es la Realidad?, la física cuántica  y estructuras matemáticas como en anillos conmutativos o simetrías del cuadrado. Tercero: la topología general y el concepto de continuidad están en la base de otras ramas de las matemáticas, como espacios métricos y análisis matemático, tanto en derivadas como en integrales.

Cuarto: si bien la topología tiene varias ramas, la topología general y la estructura de espacio topológico han tenido una rica historia, con algunos encuentros iniciales con la física. Pero en el siglo XX apareció un
nuevo "twist", vuelta de tuerca: el uso de grupos topológicos, grupos continuos (de Lie) y álgebras de Lie aparecieron en teorías gauges, teorías cuánticas de campo, modelo estándar de partículas y teorías de cuerdas. Eso hace que, no sólo en matemáticas sino también en física, me tope cada tanto con la topología general. En este siglo, me reencuentro con la relación de la topología general con la física y matemáticas gracias a "el Penrose", ver Al fin una fórmula.

Cuando pensé en esta serie, tuve que decidir cómo plantear los temas. Por una lado, podía comenzar por conceptos intuitivos de continuidad y seguir a partir de ahí. Otra aproximación al tema sería partir de espacios métricos, y luego recién de haber presentado esos temas, pasar a la abstracción de la métrica, pasar a "puntos cercanos" y espacios topológicos en general. Este último es el camino tomado por Kolmogorov y Fomin en "Elements of Theory of Functions and Functional Analysis" http://www.amazon.com/Elements-Theory-Functions-Functional-Analysis/dp/0486406830

Me decidí por comenzar abstractamente, con definiciones de espacio topológicos. Esto tiene la ventaja de ejercitar el juego matemático abstracto, pero también pierde un poco el foco intuitivo, también importante para entrenar en matemáticas. Espero dar ejemplos y contraejemplos que permitan no flotar sólo en lo abstracto.

En estos días, encuentro la introducción de "Topology: Point Set and Geometric", de Paul L. Shick, que escribe:

1. An introductory topology course has to cover enough point-set topology to prepare the students adequately for ideas they're likely to encounter in analysis, geometry and other ares.

2. An introductory topology course can't do just point-set topology, for two reasons: (a) this leaves out the more intuitive geometric aspects of the field in favor of the more classical point-set areas, ignoring the portions of topology most applicable to other fields of mathematics; and (b) often students completing a point-set topology course feel that they've learned a number of topics, but that the course (and field) lacks a "big theorem" that forms a capstone for their study.

3. An introductory topology course should start with the axiomatic definition of a topology on a set, rather than using metric spaces or the topology of Rn to "ease" the students into the subject, for three reasons: (a) the metric approach leaves out too many important examples (such as function spaces); (b) students who see only the metric approach, or who see this first, tend to develop more simplistic intuition than students who learn the more general definition first; and (c) the more general approach allows the student to learn how to write precise proofs in a brand new context, and invaluable experience for math majors. The important examples or R and Rn (in their usual topologies) should be presented only after the general definitions. Metric spaces should be covered (much) later.

Voy a seguir el camino de "primero los espacios topológicos", no por las mismas razones de Schick. Si bien el entrenarse en demostraciones formales es importante, pienso que en los libros se olvida el tema "juguemos con las matemáticas": dado unas reglas de juego, ¿qué podemos hacer? ¿qué podemos hacer con esto? Así que trataré de presentar una base de juego (espacios topológicos) e ir explorando qué podemos hacer con eso: ¿cómo podemos construir topologías? ¿Habrá algo que nos sirva de ladrillos de base para construirlas? Si tenemos dos topologías sobre un mismo conjunto ¿podemos compararlas?  Y así.

No voy a pretender dar un curso completo. Pero me gustaría visitar varios temas más o menos a fondo. Un posible camino será: espacios topológicos, bases, subbases, distintos ejemplos, continuidad, transformaciones continuas, homomorfismos, sucesiones y límite, recubrimientos, espacios métricos, conexión y compacidad, axiomas de separación.

Principales fuentes a consultar:
Topología. de James R. Munkres. Tengo una edición de Prentice Hall
Elementos de Teoría de Funciones y Análisis Funcional, de Kolmogorov, Fomin, editorial Mir
Grupos continuos, de Pontrjaguin
Topología general, de Kelley, editorial Eudeba
Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología, del gran Kazimierz Kuratowski, editorial Vicens
Los cuatro tomos de Topología, de García Marrero, Margalef Roig, Olano de Lorenzo, Outerelo Domínguez, Pinilla Fernando y otros, Editorial Alhambra (mi primer encuentro serio con el tema, a principios de los ochenta)

Tal vez aparezcan post fuera de la serie, sobre historia de la topología, vidas de matemáticos que aportaron al tema, y temas de topología algebraica, combinatoria y otros. Justamente, ayer escribí sobre un texto de Stewart recordando una predicción de Solzhenitsyn sobre la aplicación de la topología en física.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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