Publicado el 16 de Abril, 2011, 17:43
Quisiera comenzar una serie de posts sobre el tema Topología General. Hay varias razones para esta serie. Primero, es un tema matemático que me parece muy interesante. Por un lado, exhibe una faceta de abstracción que permite "jugar a las matemáticas" sin tener en miras una aplicación concreta, aún sin ejemplos en firme. Segundo, es un tema que me lo vengo encontrando desde hace casi tres décadas, y es tiempo ya de "pasar en limpio" lo que he estudiado y sigo investigando el tema. Recordando a Richard Feynman, "si uno no puede explicar algo, es que todavía no lo entiende". Es bueno (aunque trabajoso) pasar en posts esta explicación (así como he encarado otras, como el realismo en ¿Qué es la Realidad?, la física cuántica y estructuras matemáticas como en anillos conmutativos o simetrías del cuadrado. Tercero: la topología general y el concepto de continuidad están en la base de otras ramas de las matemáticas, como espacios métricos y análisis matemático, tanto en derivadas como en integrales. Cuarto: si bien la topología tiene varias ramas, la topología general y la estructura de espacio topológico han tenido una rica historia, con algunos encuentros iniciales con la física. Pero en el siglo XX apareció un Cuando pensé en esta serie, tuve que decidir cómo plantear los temas. Por una lado, podía comenzar por conceptos intuitivos de continuidad y seguir a partir de ahí. Otra aproximación al tema sería partir de espacios métricos, y luego recién de haber presentado esos temas, pasar a la abstracción de la métrica, pasar a "puntos cercanos" y espacios topológicos en general. Este último es el camino tomado por Kolmogorov y Fomin en "Elements of Theory of Functions and Functional Analysis" http://www.amazon.com/Elements-Theory-Functions-Functional-Analysis/dp/0486406830 Me decidí por comenzar abstractamente, con definiciones de espacio topológicos. Esto tiene la ventaja de ejercitar el juego matemático abstracto, pero también pierde un poco el foco intuitivo, también importante para entrenar en matemáticas. Espero dar ejemplos y contraejemplos que permitan no flotar sólo en lo abstracto. En estos días, encuentro la introducción de "Topology: Point Set and Geometric", de Paul L. Shick, que escribe:
Voy a seguir el camino de "primero los espacios topológicos", no por las mismas razones de Schick. Si bien el entrenarse en demostraciones formales es importante, pienso que en los libros se olvida el tema "juguemos con las matemáticas": dado unas reglas de juego, ¿qué podemos hacer? ¿qué podemos hacer con esto? Así que trataré de presentar una base de juego (espacios topológicos) e ir explorando qué podemos hacer con eso: ¿cómo podemos construir topologías? ¿Habrá algo que nos sirva de ladrillos de base para construirlas? Si tenemos dos topologías sobre un mismo conjunto ¿podemos compararlas? Y así. No voy a pretender dar un curso completo. Pero me gustaría visitar varios temas más o menos a fondo. Un posible camino será: espacios topológicos, bases, subbases, distintos ejemplos, continuidad, transformaciones continuas, homomorfismos, sucesiones y límite, recubrimientos, espacios métricos, conexión y compacidad, axiomas de separación. Principales fuentes a consultar: Tal vez aparezcan post fuera de la serie, sobre historia de la topología, vidas de matemáticos que aportaron al tema, y temas de topología algebraica, combinatoria y otros. Justamente, ayer escribí sobre un texto de Stewart recordando una predicción de Solzhenitsyn sobre la aplicación de la topología en física. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |