Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 22 de Abril, 2011, 11:46

Me quedó pendiente del post anterior sobre anillos conmutativos mostrar ejemplos de ese tipo de estructura (también tengo que mostrar anillos en general, en un próximo post).

Las estructuras matemáticas como la de grupo, anillo, cuerpo, espacio vectorial, no nacen del aire, sino que han surgido como refinamiento en la historia de las matemáticas. En el caso de los anillos conmutativos, el precursor de todas esas ideas es el conjunto de los números enteros, habitualmente denominado Z. Recordemos: los números enteros son, no sólo los naturales (1, 2, 3, …) (que son los enteros positivos) sino también incluyen al 0 y a los números negativos.

Curiosamente, durante mucho tiempo, los números negativos (ya sea enteros o reales) no se consideraron números. Los seres humanos entraron a la aritmética entera con valores positivos (una cabra, dos cabras, .. .;-). Vean que hasta la aceptación del 0 (cero) como número fue problemática. Para los antiguos egipcios y griegos, no había soluciones enteras negativas a un problema planteado. Yo diría que la aceptación de los números negativos comenzaron a aceptarse desde los trabajos de Luca Paccioli y la formalización de la registración comercial, donde lo que uno debe puede tener un signo opuesto a los importes que a uno le deben.

Pero volvamos a los anillos conmutativos. No cuesta mucho, conociendo las propiedades de los enteros, demostrar que cumplen con los axiomas de anillos conmutativos. Más difícil es demostrar esas propiedades de enteros desde propiedades más básicas. No es el tiempo de este post tratar esa fundamentación. En el siglo XIX, se consideraban que las propiedades de los enteros se pueden deducir de las de los naturales, y éstas, eran "evidentes por intuición". Hubo que esperar a la formulación de Peano para ver que hasta los naturales podían ser armados formalmente (el propio Bertrand Russell comenzó a dedicarse más a las matemáticas, cuando conoció el trabajo de Peano y sus seguidores, a fines del siglo XIX).

Vean que en un anillo conmutativo, hay dos operaciones binarias (operación que toma dos elementos del conjunto A, y da un elemento de ese conjunto). Una, habitualmente llamada suma, es un grupo conmutativo de A. La segunda operación, llamada multiplicación, no tiene necesariamente inverso: en el caso de los enteros, podemos multiplicar dos enteros, pero no siembre hay entero x tal que x*a = 1, siendo 1 la unidad de la multiplicación.

(Un tema a tratar en próximo post sobre anillos en general: lo que describí en el anterior post como anillo conmutativo, para algunos autores es anillo conmutativo CON unidad) Pero veamos algún otro ejemplo de anillo conmutativo. El primero que se me ocurre, es:

Que designa a todos los números de la forma:

Siendo a, b enteros. Es fácil ver que se puede definir una suma, como operación binaria que obtiene un elemento de ese conjunto:

La multiplicación se puede definir como:


Con un poco de trabajo, se puede ver que la suma forma grupo conmutativo, y la multiplicación es asociativa, distributiva con respecto a la suma, y con unidad:

En vez de acudir a escribir la raíz cuadrada de 2 en cada caso, podemos manejar a estos elementos como pares de enteros:

(a, b)

Con

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

Y

(a, b) * (c, d) = (a*c + 2*b*d, a*d + c*b)

Acá hay un tema de notación: la suma de pares (esto es (a,b)+(c,d)) ES DISTINTA de la suma de enteros (a+b). Solamente por conveniencia y hábito, estoy usando el mismo signo + (mas) para ambas DIFERENTES operaciones.

De la misma forma, podemos formar anillos conmutativos con:

Donde n es un número natural no cuadrado perfecto. Como antes, habría que probar que cumplen con los axiomas de anillo conmutativo. Pero voy por más, puedo tener anillo conmutativo con:

Formado con elementos de la forma:

+ c + d

Siempre que n,m, nm no sean cuadrados perfectos, ni n y m compartan divisores primos distintos de 1,-1. Ejemplo: n=2, m=3. Y si quiero ponerme interesante, puedo tomar:

Con i cumpliendo formalmente con:

Es un anillo que es "igual" al de los números complejos con "coeficientes" enteros.

Pero avanzo más. Un ejemplo clásico de anillo conmutativo es:

Cuyos elementos son las expresiones formales:

Con coeficientes ai pertenecientes a un anillo conmutativo A, teniendo sólo una cantidad finita de coeficientes distintos de 0. Son los llamados polinomios formales en x. Vean que no asignamos a x un valor numérico, ni siquiera asociamos a x a ser entero o real o complejo, o lo que sea. Solamente manejamos x y sus "potencias", poniendo como multiplicación:

Y respetando que sólo se suman los términos en x con igual potencia.

Puedo ver otro ejemplo de anillo en las clases de congruencia, módulo m (ver Congruencias módulo m). Vean que cuando m=8 (no primo), hay elementos divisores de 0:

Es un tema a recordar: hay los anillos (conmutativos o no) que tienen "divisores de cero". En esos anillos no se puede cancelar a * c = a * b, aun cuando a no es cero, porque eso no implica que c = b, pues en a * (c-b) = 0 puede que los términos de la multiplicación NO SEAN 0, entonces no se puede deducir de esa igualdad que tengamos c-b  = 0. En cambio, veremos que el anillo de clases de congruencia módulo p (p primo, como p = 7), es un anillo SIN divisores de cero (se llama entonces dominio de integridad). Es más, todo elemento distinto de 0 tiene inverso multiplicativo (es un cuerpo conmutativo).

Temas pendientes:
Anillos en general, Dominios de Integridad
Anillos ordenados
Polinomios formales (en detalle)
Ejemplos de Anillos no Conmutativos
Divisibilidad en el anillo de enteros, y otros anillos
Cuerpos

Y más ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez