Publicado el 26 de Abril, 2011, 11:45
Ya escribí sobre anillos conmutativos en: Anillos Conmutativos Quiero exponer en este post, la definición más general de anillo (no solamente conmutativo). En primer lugar, un anillo es una estructura (A,+,*), con A conjunto, + operación binaria en A (dado dos elementos a, b de A, existe a+b y también está en A), que forma grupo conmutativo (ver … ). Y la operación * binaria, que es asociativa: a * (b * c) = (a * b) * c con lo que podemos escribir directamente sin posibilidad de error: a * b * c Muchas veces escribiré directamente abc Además, la operación de multiplicación (llamada así por tradición), es distributiva con la suma: a * (b + c) = ab + ac Hasta ahí llega la definición de anillo. Hay bastantes variantes en la literatura para esta denominación, según el autor, el contexto y el énfasis que quiera darse a "anillo". Por ejemplo, he encontrado que un libro hasta menciona lo de arriba como "anillo asociativo" porque la multiplicación es asociativa, como insinuando que que consideran anillo a estructuras con multiplicación NO asociativa. Vean que no puse que exista un elemento 1, unidad para la multiplicación. Cuando un anillo tenga un elemento 1 tal que 1 *a = a * 1 = a Para todo elemento a, diremos que es un anillo con unidad. Si la multiplicación es conmutativa, diremos que es un anillo conmutativo. Con toda esta definición y jerga, nuestro anillo conmutativo de … es un "anillo con unidad y conmutativo". Si un anillo tiene 1 distinto de 0, Y NO TIENE divisores de 0, es decir: a * b = 0 sólo se cumple si a o b o ambos son cero, ese anillo se llama dominio de integridad. Un tema fundamental en anillos con unidad: no exigimos que para cada elemento a haya inverso para la multiplicación. Es decir, dado a, no siempre existe b que haga: a * b = 1 = b * a En tal caso, podemos decir que a y b "dividen" a la unidad. En una terminología algo confusa, se dice entonces que a, b son "unidades". Esto es esencial en los anillos: vean que exigimos existencia de división. Los anillos, entonces, son una abstracción de nuestro sistema de números más habitual sin división exigida: los enteros. Fuentes consultadas: Temas pendientes: Nos leemos! Angel "Java" Lopez |