Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Abril, 2011, 11:45

Ya escribí sobre anillos conmutativos en:

Anillos Conmutativos
Ejemplos de Anillos Conmutativos

Quiero exponer en este post, la definición más general de anillo (no solamente conmutativo). En primer lugar, un anillo es una estructura (A,+,*), con A conjunto, + operación binaria en A (dado dos elementos a, b de A, existe a+b  y también está en A), que forma grupo conmutativo (ver … ). Y la operación * binaria, que es asociativa:

a * (b * c) = (a * b) * c

con lo que podemos escribir directamente sin posibilidad de error:

a * b * c

Muchas veces escribiré directamente

abc

Además, la operación de multiplicación (llamada así por tradición), es distributiva con la suma:

a * (b + c) = ab + ac
(b + c) * a = ba + ca

Hasta ahí llega la definición de anillo. Hay bastantes variantes en la literatura para esta denominación, según el autor, el contexto y el énfasis que quiera darse a "anillo". Por ejemplo, he encontrado que un libro hasta menciona lo de arriba como "anillo asociativo" porque la multiplicación es asociativa, como insinuando que que consideran anillo a estructuras con multiplicación NO asociativa.

Vean que no puse que exista un elemento 1, unidad para la multiplicación. Cuando un anillo tenga un elemento 1 tal que

1 *a = a * 1 = a

Para todo elemento a, diremos que es un anillo con unidad. Si la multiplicación es conmutativa, diremos que es un anillo conmutativo.

Con toda esta definición y jerga, nuestro anillo conmutativo de … es un "anillo con unidad y conmutativo".
No siempre se exige que 1 sea distinto de 0 (la unidad para la operación de adición). Se admite un anillo A con solo elemento 0, se llama, justamente, anillo 0 (anillo cero). Van a encontrar, en la literatura sobre álgebra conmutativa, que los autores suelen llamar simplemente "anillo", a lo que acá en este post es "anillo conmutativo con unidad".

Si un anillo tiene 1 distinto de 0, Y NO TIENE divisores de 0, es decir:

a * b = 0

sólo se cumple si a o b o ambos son cero, ese anillo se llama dominio de integridad.

Un tema fundamental en anillos con unidad: no exigimos que para cada elemento a haya inverso para la multiplicación. Es decir, dado a, no siempre existe b que haga:

a * b = 1 = b * a

En tal caso, podemos decir que a y b "dividen" a la unidad. En una terminología algo confusa, se dice entonces que a, b son "unidades". Esto es esencial en los anillos: vean que exigimos existencia de división. Los anillos, entonces, son una abstracción de nuestro sistema de números más habitual sin división exigida: los enteros.

Fuentes consultadas:
Introducción al Algebra Conmutativa, M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, Editorial Reverté
Algebra Abstracta, José A. Vargas Mendoza, Editorial Limusa (acá encontré "anillo asociativo" para lo que en este post es "anillo")
Algebra Moderna, G.Birkhoff, S.Mac Lane, Editorial Vicens-vives

Temas pendientes:
Ejemplos de anillos no conmutativos
Ejemplos de dominios de integridad
Divisibilidad en anillos
Ideales

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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