Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 27 de Abril, 2011, 12:01

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Hasta ahora en presentado ejemplos de cómo describir el estado de un sistema físico usando un vector de estado. He empleado los ejemplos de:

La moneda cuántica
La pelotita cuántica

Y en el anterior post, he explorado cómo ese vector de estado cambia ante un cambio en la base. Pero los físicos también quieren manejar valores, no solamente vectores de estado. Un físico se pregunta por el valor de la temperatura, la energía, la posición, el momento, la velocidad de un sistema X. Pues bien, el formalismo del vector de estado también permite obtener valores.

Hemos visto que en las descripciones de nuestra moneda cuántica no manejamos "está en cara" o "está en ceca" como valores determinados, sino que manejamos amplitudes y probabilidades de los resultados de una medida (recordando siempre que una medida es un tipo de interacción del sistema con el resto del universo que no necesariamente implica un aparato de medida o un observador: hay "medidas" clásicas en el centro de una estrella). Para entender cómo los físicos comienzan a manejar valores, en lugar de probabilidades de "cara" o "ceca", veamos otro ejemplo, similar al de la moneda. Imaginemos un dado cuántico.

Para simplificar mis descripciones de vectores, en lugar de usar un dado con posibles resultados 1, 2, 3, 4, 5 o 6, tomemos un dado más simple: resultados posibles 1,2 o 3. Cada uno de esos valores es posible. Para describir el estado del dado, daremos un vector, con bases |1>, |2>, |3> con coeficientes que son las amplitudes de obtener los resultados 1, 2 o 3:

No podemos manejar: va a dar resultado 1, así simplemente. Pero podemos obtener cada una de

las probabilidades. La probabilidad de dar 1, era:

Es decir, multiplicar la amplitud c1 por su conjugado complejo. Entonces, podemos tomar un promedio ponderado por probabilidad del valor ESPERADO de nuestro dado cuántico llamándolo [v] (entre corchetes):

De ahora en más, usaré [x] para el valor esperado x (suma de los valores posibles ponderados por las probabilidades respectivas). Ejemplo, si nuestro vector de estado es:

El valor esperado será:

Vemos que como el valor 2 tiene la mayor probabilidad, tenemos un valor esperado resultante cercano a 2. Podemos expresar el valor esperado como:

Donde por primera vez aparece lo que vamos a ver que es un operador lineal: A. ¿Cómo se entiende esto? Este post apenas es el comienzo. Si expresamos nuestro cálculo del valor esperado en forma vectorial, tenemos:

Donde A ahora es una matriz: los elementos de su diagonal son los valores esperados para los vectores de base |1>, |2>, |3>. Si cambiásemos de base, seguramente esa matriz dejaría de ser diagonal, pero igualmente seguiría calculando el valor esperado de nuestro dado. Por ahora, no vamos a ver qué pasa si cambiamos de base, o qué es exactamente un operador lineal. Antes, quisiera aclarar igual algunos puntos:

Primero, una cosa es la matriz de arriba, y otra el operador A. El mismo operador tendrá dos matrices asociadas, si tenemos dos bases distintas. Lo mismo pasaba con los vectores |V>. El mismo vector puede tener dos juegos de coeficientes, uno para cada una de dos bases que elijamos.

Segundo (y esto me tomó un tiempo) los operadores lineales se usan para más de un propósito en todo este formulismo cuántico. El presentado acá es el uso de operador lineal para valores esperados. Veremos más adelante que hay operadores para describir la evolución en el tiempo del vector de estado.

Tercero, el operador lineal con matriz unidad para la base elegida, nos da:

Nos da ese valor 1, para cualquier base elegida, por ser vectores de estado.

Cuarto, una vez que tenemos [v], podemos comenzar a obtener:



Y en general, obtener cualquier función del valor esperado:

Todo a partir del vector de estado. Por ejemplo, al tener una cantidad para manejar, podemos preguntarnos por su evolución en el tiempo, y por su derivada. El físico clásico estará contento: puede comenzar a "mapear" esa cosa rara que es el vector de estado, a valores, como la posición esperada [x], y su velocidad esperada (derivada de [x] respecto al tiempo).

Y lo más notable de los vectores de estado (y de las funciones de estado que veremos más adelante) es que de la misma entidad (el vector de estado) podemos extraer OTROS valores esperados. Veremos que hay representaciones de estado que permiten obtener el valor esperado de posición, o de momento, o de energía, etc… desde la misma entidad de partida. Eso es lo notable de los vectores y funciones de estado: la cantidad de información que nos dan.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia