Angel "Java" Lopez en Blog

28 de Abril, 2011


Publicado el 28 de Abril, 2011, 11:45

En anteriores posts:

Anillos Conmutativos
Ejemplos de Anillos Conmutativos
Anillos

Escribí sobre definiciones y ejemplos de la estructura de anillo (vimos que hay variantes).  En mi post de física cuántica:

Física Cuántica: Espacios Vectoriales

apareció espacio vectorial, y ahí mencioné al pasar la estructura de cuerpo. Llegó el tiempo de escribir un poco más formalmente sobre el tema.

Como en el caso de anillo, en mis libros tengo distintas definiciones, no todas equivalentes. Sin embargo, no encontré tantas diferencias como en anillo. En un momento comentaré la principal diferencia. Primero, una definición de cuerpo.

De nuevo, como en anillo, cuerpo es una estructura matemática (K,+,*), con conjunto K, dos operaciones binarias + y * (tradicionalmente llamadas suma y producto). Como estructura, todo cuerpo es un anillo con unidad (según la definición que dí en Anillos). Es además, dominio de integridad (no necesariamente conmutativo) no nulo: es anillo con unidad, 1 <> 0, y no tiene divisores de 0.
¿Qué diferencia entonces a un cuerpo de un dominio de integridad no nulo? En el post anterior definí lo que eran unidades de un anillo con unidad: los divisores de 1. Pues bien, en un cuerpo, todos los elementos (excepto la unidad aditiva, el cero 0) son unidades. Esto quiere decir que:

a * b = 1 = b * a

tiene solución b para todo a que elijamos, siempre que a no sea cero. En otras palabras, todo a distinto de 0, tiene inverso multiplicativo.

Tengo reservado otro post para ejemplos de cuerpo. Por ahora, mencionaré que la estructura de cuerpo más conocida es la de los números reales. En realidad, estamos acostumbrados a ver a todos los sistemas de números como anillos (como los enteros) o como cuerpos (como los reales, complejos). Pero en la definición que estoy adoptando, hay una vuelta de tuerca más: yo no exijo en este post que cuerpo sea conmutativo.

Un cuerpo se dice conmutativo cuando su operación de multiplicación es conmutativa, es decir:

a * b = b * a

para todo a, b elementos del conjunto de base K. En la literatura en español, hay dos posturas:

- Llamar a los cuerpos conmutativos simplemente como cuerpos
- Llamar a los cuerpos conmutativos como campos

No sé quién inventó la denominación, pero tanto "anillo" (ring), como "cuerpo" (korp?) tiene su origen del alemán. Cuando se pasó al inglés, apareció directamente traducido como "field" (campo). En español se conservó la diferencia entre cuerpo y campo. Pero van a a ver que la mayor parte de la literatura se decanta por considerar a cuerpo como campo, es decir, cuerpo es cuerpo conmutativo.

Sin embargo, yo acá en esta serie de posts, voy a adoptar la postura minoritaria: voy a llamar cuerpo a cualquier cuerpo, sea o no conmutativo. Y dejaré campo o cuerpo conmutativo para denominar a los que tienen multiplicación conmutativa.

Actualización: Encuentro en "Advanced Number Theory" de Harvey Cohn (Editorial Dover), este fragmento (sección 7, capítulo 3) sobre el origen de la palabra "cuerpo" aplicada a matemáticas. Luego de explicar que Rienmann ya se había ocupado del tema sin haber dado una denominación, escribe:

... Dedekind introduced "Korper" (1871), in the sense of "body" or "embodiment" of elements arising from rational operations, wich for awhile was rendered in Latin "corpus" by British mathematicians, whereas French mathematicians used the cognate "corps", meaning body.

The word "field" seems to have been introduced by American algebraists who also used "realm" in the interim. Strangely enough, now, in both English and Russian, field and the cognate "polye" mean field in two senses, the algebraic sense discussed here and also the sense of vector field from physics.

Temas pendientes:
- Ejemplos de cuerpos (conmutativos, no conmutativos, finitos)
- Espacios vectoriales (donde usamos cuerpos)
- Módulos (como espacios vectoriales, pero usando anillos)

Fuentes consultadas:
Algebra Lineal y Geometría, A.R.Larotonda, Editorial Eudeba (aquí el autor distingue entre cuerpos conmutativos y no conmutativos)
Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois, Ana M. de Viola-Prioli, Jorge E. Viola-Prioli, Editorial Reverté (acá los autores toman cuerpo como cuerpo conmutativo)
Introducción al Algebra Conmutativa, M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, Editorial Reverté
Algebra Abstracta, José A. Vargas Mendoza, Editorial Limusa (acá encontré "anillo asociativo" para lo que en este post es "anillo")
Algebra Moderna, G.Birkhoff, S.Mac Lane, Editorial Vicens-vives

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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