Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 29 de Abril, 2011, 11:41

Quería completar hoy algo que inicié cuando escribí:

Congruencias módulo m
Gauss y la congruencia por E.T.Bell

Veamos a qué me refiero. Tomemos el ejemplo más sencillo: los números pares y los números impares, del conjunto de los enteros. Sean los pares:

P = { .... -4, -2, 0, 2, 4, ... }

y los impares:

I = { .... -3, -1, 1, 3, ... }

No parece un gran avance. Pero es uno de los GRANDES pequeños pasos en matemáticas. Podemos operar con sumas y multiplicaciones. Tomando un número cualquiera de los P, y sumándolo a cualquier otro de los P, obtenemos un resultado par. Podemos escribir:

P + P = P

Esto se cumple para cualquiera dos números pares que tomemos. Tenemos una nueva operación binaria, una suma aplicada al conjunto:

{ P, I }

que es una partición de los enteros. Podemos ver que:

P + I = I + P = I
I + I = P

Tenemos entonces una operación binaria BIEN DEFINIDA sobre dos CLASES de números. Se dice que la operación está BIEN DEFINIDA sobre esas clases, si el resultado no depende de los números de partida. Cualquiera sean los dos pares que tomemos, P + P será un P.

Pero no solamente tenemos una bien definida suma, sino que también tenemos una bien definida multiplicación:

P * P = P
P * I = I * P = P
I * I = I

Podemos decir: P es el neutro para la suma, I es el neutro para la multiplicación.

Vemos que dos números n, m pertenecen a la misma clase, si y sólo si

n-m = 2k

para algún k entero. Esto es lo que destacó Gauss: la creación de clases módulo 2 (o módulo 3, módulo 4, etc..) y la extensión de las operaciones de suma y multiplicación al conjunto de esas clases.

Podemos escribir:

[0] = P = { n / n = 2k }
[1] = I = { n / n = 2k + 1}

Pero también podemos formar las clases módulo 3:

[0] = { n / n = 3k }
[1] = { n / n = 3k+1 }
[2] = { n / n = 3k+2 }

y formar las sumas y multiplicaciones (BIEN DEFINIDAS!) de [0], [1] y [2].

Es fácil comprobar que las operaciones así definidas forman anillo conmutativo sobre las clases de congruencia. Un poco más trabajoso es demostrar que forman cuerpo conmutativo si y sólo si son clases módulo p, con p número primo. Ayer comencé a escribir sobre cuerpos, así que ya llegará post con estas demostraciones.

Por ahora, destaco este gran avance: formar, sobre un conjunto, clases, e inducir operaciones bien definidas sobre esas clases, que comienzan a "funcionar" como "nuevos números". Tengo que escribir que lo mismo pasa cuando, dado un grupo G, y un subgrupo N con cierta característica (ser un subgrupo normal), formamos las clases Ng (g elemento cualquiera de G), y podemos definir un grupo sobre esas clases. Así, el G/N (las clases "módulo N") forman grupo. Lo mismo con un anillo A y un conjunto particular (un ideal I, cerrado para las sumas y restas, e invariante ante la multiplicación por A: AI = I = IA): las clases A/I tendrán operaciones inducidas de suma y multiplicación que harán de A/I un anillo, nuevamente. Lo que escribí arriba como [0],[1],[2] son entonces los elementos de Z/Z3, donde Z es el conjunto de los enteros, Z3 es el conjunto de los enteros múltiplos de 3. Veremos más adelante que Z3 es un ideal, así como todos los Zn, y que los únicos ideales del anillo conmutativo Z son de esa forma: generados desde un único elemento. Vean hasta dónde podemos llegar con pares e impares! ;-)

Lo que hacen todas estas manipulaciones es:

- Dado un conjunto con estructura (anillo, grupo, cuerpo, etc... ) formar un conjunto de clases que
preservan la estructura del conjunto original

¿Por qué los matemáticos operan así? Una razón es que esta operación permite "simplificar" el conjunto original (por ejemplo, todos los enteros) y concentrarse en un panorama (distinguir solo pares de los impares). Vamos a encontrar ese patrón muchas veces, así que es mejor destacarlo y tenerlo en cuenta. Quisiera en estos posts ir escribiendo sobre esos puntos: a veces, uno estudia matemáticas, pero se olvida de destacar cuáles son los puntos importantes, los fundamentos y patrones que subyacen en lo que se hizo en tal tema abstracto. Por ejemplo, la analogía de subgrupos normales e ideales recién fue puesta de manifiesto a comienzos del siglo XX por Emmy Noether. La estructura de grupo surgió luego de décadas de trabajo en el siglo XIX. La estructura de anillo también ha sido "descubierta" a fines de ese siglo.

Temas pendientes:
Zn como anillo conmutativo
Zp como cuerpo conmutativo
Ideales en anillos

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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