Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 30 de Abril, 2011, 12:14

Conocemos varios sistemas de números: naturales, enteros, racionales, reales, complejos. En algún momento presentaré también cuaterniones, octoniones y temas relacionados con el álgebra de Clifford. Tengo pendiente continuar con mi serie sobre números complejos. Pero antes quisiera presentar un paso fácil pero interesante: si tenemos sólo los números naturales y el cero (0, 1, 2, 3, ... ), su suma y multiplicación, ¿qué podemos hacer para extender ese sistema de números?

Veamos. Con estos números podemos jugar a despejar ecuaciones como:

4 + x = 6
2 + x = 8

pero no podemos conseguir soluciones para ecuaciones como:

3 + x = 1
5 + x = 2

Podemos extender nuestros números. Consideremos los pares

(a, b)

donde a, b son naturales o 0. Definimos la operación de suma como:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Deberíamos revisar que esta operación de suma (que no es la suma de naturales y 0, sino "otra" suma, sobre este nuevo tipo de número (a, b)) cumpla lo que se espera de ella. Por ejemplo, tiene neutro:

(a, b) + (0, 0) = (a, b)

Es conmutativa

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)

Vean que esta conmutatividad se basa en la conmutatividad de la suma original.

Podemos "entender" que los números naturales son los que toman la forma:

(a, 0)

Es decir, queremos preservar a los (a, 0) y que "funcionen" como los naturales originales. Pero ¿qué haremos con este tipo número:

(0, a)

Es el tema a resolver. Agregué ese segundo elemento del par, para poder manejar casos como

(2, 0) + x = (1, 0)

Quisiera que x (un par de números) sea el inverso de y:

(2, 0) = (1, 0) + y

donde queda que y es:

y = (1, 0)

El inverso de (a, 0) quiero que sea (0, a). Entonces:

(a, 0) + (0, a) = (a, a)

Pero esto nos trae un problema. Un inverso de la suma debería "anular" a su inverso, es decir:

x + y

siendo y inverso de x, debería dar el neutro de la suma, nuestro nuevo (0, 0). Y arriba nos dió (a, 0) + (0, a) = (a, a). Arreglamos esto, redefiniendo la igualdad de números: (a, b) es igual a (c, d) si existe m natural o 0 tal que

a + m = c, b + m = d

o

a = c + m, b = d + m

Esto no es tan extraño como parece. Recordemos que, en números racionales, 1/2 es igual a 2/4, aunque tienen distinta representación.

Hecho esto, tendríamos que definir la multiplicación entre nuestros nuevos números. Esperamos de esa multiplicación que cumpla

x(y + z) = xy + xz distributividad con la suma
xy = yz conmutatividad

donde x, y son números de la forma (a, b). La distributividad nos da una pista. Calcular la multiplicación:

(a, b) (c, d)

debe ser igual a

(a, b) [(c, 0) + (0, d)] = (a, b) (c, 0) + (a, b) (0, d)
 = (a, 0) (c, 0) + (0, b) (c, 0) + (a, 0) (0, d) + (0, b) (0, d)
 
Si queremos mantener que (a, 0) (c, 0) sea como ac, debera ser:

(a, 0)(c, 0) = (ac, 0)

Y si queremos mantener la unidad como neutro multiplicativo, deberá ser:

(1, 0) (a, b) = (a, b)
 
En realidad, debemos resolver de una vez:

[(1,0) + (0, 1)] [(1,0) + (0, 1)]

que es el cuadrado de

(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) = (0, 0) nuestro nuevo cero

Si desarrollamos el cuadrado será:

(0, 0) = (1,0) (1, 0) + (1, 0) (0, 1) + (0, 1) (1, 0) + (0, 1) (0, 1) =
(1, 0) + (0, 1) + (0, 1) + (0, 1)(0, 1)

(acá use que (1,0)(a,b) = (a,b) y la conmutatividad (a,b)(1,0) = (a,b)

Pero los dos primeros términos se anulan, queda

(0, 1) + (0, 1) (0, 1) = (0, 0)

Con lo que (0,1)(0,1) SERA el inverso de (0,1). Pero ya conocemos el inverso, es (1,0). Queda

(0,1)(0,1) = (1,0)

En nuestra notación "normal" de números enteros, es la notable (-1)(-1) = 1 (hasta Euler tuvo que apelar a algún complicado razonamiento para justificar esta igualdad ante sus contemporáneos)

Queda entonces que:

(a,b)(c,d) = (ac+bd,bc+ad)

Esta es la extensión que conseguimos para los naturales y el 0, siempre que mantegamos las propiedades
de suma, multiplicación (conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia de neutro).

Vemos que tenemos varios neutros de suma:

(0,0), (1,1), (2,2) ....

Y varios neutros de multiplicación:

(1,0), (2,1), (3,2)....

Por ejemplo, comprobemos que (2,1) es neutro de multiplicación:

(a,b)(2,1) = (2a+b,2b+a)

pero el resultado es igual a (a, b) por ser

2a+b = a + (a+b)
2b+a = b + (a+b)

y nuestra definición de igualdad.

Todo esto parece algo extraño. Pero me va a servir de preludio para otras extensiones de números. El sistema descripto acá termina definiendo el anillo conmutativo de los enteros, donde cada elemento tiene inverso de suma, propiedad que no tenían los simples naturales.

Curiosidad: podría haber definido pares (a,b) con suma igual que antes, y con multiplicación:

(a,0)(b,0) = (ab, 0)
(a,0)(0,b) = (0,b)(a,0) = (0,ab)
(0,a)(0,b) = (2ab, 0)   <-- noten el 2 como factor

hubiera obtenido una nueva multiplicación que también es conmutativa, y distributiva con la nueva suma.
Pero ya no tendríamos a (0,1) como divisor de (1,0), pues (0,1)(0,1) sería (2,0). La unidad de suma seguiría siendo (0,0).

¿Habrá forma de extender todo esto a ternas? ¿Y a n-uplas? Usando naturales y 0. ¿Y usando duplas, o n-uplas de enteros? Poco a poco va ir surgiendo, cuando trate alguno de estos temas, que hay un patró que se repite:

- Dado un anillo, extenderlo a otro anillo
- Dado un anillo, formar un campo que lo contenga
- Dado un cuerpo, extenderlo a un cuerpo más amplio
- Dada una estructura, extenderla, conservando sus propiedades
- Dada una estructura, extenderla, perdiendo alguna de sus propiedades

Si sigo algunos de esos patrones en próximos posts, me encontraré con enteros de Gauss, enteros y números algebraicos, teoría de Galois, cuaterniones y octoniones. Pero, paciencia! ;-)

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Extender los enteros

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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