Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 2 de Mayo, 2011, 6:12

En estos días estuve escribiendo, estudiando y practicando a demostrar propiedades de estructuras, como anillos, cuerpos, y espacios topólogicos, así como a leer sobre historia de las matemáticas (especialmente los excelentes volúmenes de Morris Kline: "El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días", editorial Alianza).

Es notable cómo se ha avanzado en matemáticas, en distintas épocas de la historia humana. Pero desde comienzos del siglo XIX, para poner una fecha aproximada, se ha ido dando el ascenso de la abstracción, al principio lentamente. Por ejemplo, con algunos trabajos de Gauss en clases de congruencias, los trabajos de Galois y Abel, hacia la segunda mitad del siglo los trabajos de Dedekind y muchos otros más, por ejemplo, Fréchet en topología y análisis funcional; luego Emmy Noether al comienzo de XIX, continuando abstracciones de Dedekind, algunos trabajos de Hilbert, finalmente el alzamiento de Bourbaki, y hasta la teoría de categorías con McLane, y las nuevas ideas de Gothrendieck en geometría algebraica. Y me quedo corto, dejando sin nombrar a muchos que colaboraron en el desarrollo de la abstracción en estos dos últimos siglos.

Por eso, quería compartir dos textos sobre el tema, que leí en estos tiempos, desde mi semana sabática. Uno, en el clásico de Munkres, "Topología":

La definición de espacio topológico, que ahora mismo está estandarizada, tardó mucho tiempo en ser formulada. Varios matemáticos -Fréchet, Hausdorff y otros- propusieron distintas definiciones a lo largo de muchos años en las primeras décadas del siglo veinte, pero fue bastante más tarde cuando los matemáticos establecieron la definición que parecía más apropiada. Querían, por supuesto, una definición que fuera lo más general posible, de manera que incluyera como casos especiales todos los distintos ejemplos que eran útiles en matemáticas -espacio euclídeo, espacio euclídeo de dimensión infinita y espacios de funciones, entre ellos- pero también querían que la definición fuese lo suficientemente estricta para que los teoremas habituales sobre estos espacios familiares se adaptaran a espacios topológicos en general. Este es siempre el problema cuando uno está intentando formular un nuevo concepto matemático, decidir lo general que podría ser su definición. La definición finalmente adoptada puede parecer un poco abstracta, pero a medida en que se trabaje con las distintas formas de construir espacios topológicos, se tendrá una mejor impresión de lo que el concepto significa.

Tengo que escribir sobre esa definición en mi serie sobre topología general. Otro texto, de Kuratowski, "Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología", en la introducción a su parte II, Topología:

¿Hasta qué punto debe procurarse la generalidad de los espacios considerados en Topológia para que sean útile en las aplicaciones, y no se hagan demasiado artificiales? La respuesta a esta pregunta depende de los fines a los que se destina un trabajo topológico. ... parece apropiado [en este libro] limitarnos a los espacios llamados métricos... La generalidad de estos espacios basta para la mayoría de sus aplicaciones más importantes; en particular, son espacios métricos los subconjuntos del espacio euclído n-dimensional, los espacios de sucesiones (de Hilbert y Fréchet), y el espacio de las funciones continuas; por otra parte, el concepto de espacio métrico es esencialmente simple y geométricamente claro.

Pues bien, Munkres toma otro camino: los espacios topológicos generales son presentados primeros, y luego los espacios métricos. Por otra parte, Kolmogórov y Fomín, en su "Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional", presentan primero los espacios métricos y luego pasan a los espacios topológicos, como mencioné en Topología General (Parte 1) Introducción.

Pero más allá de la topología, quería destacar dos puntos:

- La influencia de la historia en el desarrollo de las ideas. Lo que hoy leemos en los libros de texto, no siempre fue presentado de esa manera. Los textos de arriba destacan que la definición de espacio topológico tomó décadas. La aparición de la abstracción de la teoría de categorías también llevó su elaboración.

- Vean cómo ambos autores mencionan la "utilidad" de las definiciones, no ir demasiado lejos en la abstracción. Por ejemplo, hay quienes critican a la teoría de categorías por haber ido demasiado lejos en el camino de la abstracción (algunos hablan de "mathematical non-sense").

Post relacionados:

Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann
Gauss y la congruencia por E.T.Bell

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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