Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 6 de Mayo, 2011, 12:26

En mis anteriores posts:

Simetrías del cuadrado (Parte 2)
Simetrías del cuadrado (Parte 1)

presenté el grupo de las simetrías del cuadrado, como ejemplo clásico de estructura de grupo:

Grupos, definición y ejemplo

Veamos que en todo grupo, podemos tomar un subconjunto de los elementos de su conjunto base, y ver
que, la operación binaria original limitada a este subconjunto, sigue siendo grupo. Esto se
llama subgrupo del grupo original.

El subgrupo que encontramos primero es el compuesto sólo por la unidad:

Se dice que es de orden 1 (se llama orden a la cantidad de elementos del grupo). Con los elementos que "al cuadrado" dan la unidad, formamos los subgrupos de orden 2:

No me molesto en buscar subgrupos de orden 3 (¿por qué?). Los subgrupos de orden 4:

No hay más subgrupos, más que el grupo completo. Vemos que algunos subgrupos son subgrupos de otros. Hay un orden parcial por inclusión, siendo el "mímino" el grupo unidad, y el "máximo" el propio grupo de partida. Esos se llaman grupos impropios de G. Los demás son los subgrupos propios.

¿Cómo es que podemos probar que un H es subgrupo de G? ¿Por qué pude afirmar tan categóricamente que no hay subgrupos de orden 3 en el grupo de simetrías del cuadrado? Podemos plantear una analogía: los subgrupos son a los grupos, como los divisores a un número entero. Pero para llegar a eso, tendríamos que tener algo como: si G es grupo, H, N subgrupos de G, deberíamos poder formar a G "multiplicando" H y N. Pero vamos a ver que no siempre es posible esto, y tener una idea de qué es eso de "multiplicar" dos subgrupos. ¿Habrá grupos sin subgrupos propios? Serían una especie de grupos "primos". Bueno, vamos a ver que los subgrupos interesantes son los llamados subgrupos normales. Pero eso es tema para otro post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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