Publicado el 6 de Mayo, 2011, 12:26
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En mis anteriores posts: Simetrías del cuadrado (Parte 2) presenté el grupo de las simetrías del cuadrado, como ejemplo clásico de estructura de grupo: Veamos que en todo grupo, podemos tomar un subconjunto de los elementos de su conjunto base, y ver El subgrupo que encontramos primero es el compuesto sólo por la unidad:
Se dice que es de orden 1 (se llama orden a la cantidad de elementos del grupo). Con los elementos que "al cuadrado" dan la unidad, formamos los subgrupos de orden 2:
No me molesto en buscar subgrupos de orden 3 (¿por qué?). Los subgrupos de orden 4:
No hay más subgrupos, más que el grupo completo. Vemos que algunos subgrupos son subgrupos de otros. Hay un orden parcial por inclusión, siendo el "mímino" el grupo unidad, y el "máximo" el propio grupo de partida. Esos se llaman grupos impropios de G. Los demás son los subgrupos propios. ¿Cómo es que podemos probar que un H es subgrupo de G? ¿Por qué pude afirmar tan categóricamente que no hay subgrupos de orden 3 en el grupo de simetrías del cuadrado? Podemos plantear una analogía: los subgrupos son a los grupos, como los divisores a un número entero. Pero para llegar a eso, tendríamos que tener algo como: si G es grupo, H, N subgrupos de G, deberíamos poder formar a G "multiplicando" H y N. Pero vamos a ver que no siempre es posible esto, y tener una idea de qué es eso de "multiplicar" dos subgrupos. ¿Habrá grupos sin subgrupos propios? Serían una especie de grupos "primos". Bueno, vamos a ver que los subgrupos interesantes son los llamados subgrupos normales. Pero eso es tema para otro post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
