Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 7 de Mayo, 2011, 13:37

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El tema espacio vectoriales ya apareció en mi serie sobre física cuántica, pueden leer:

Física cuántica (Parte 5) Espacios Vectoriales

Pero quisiera plantear el tema desde el punto de vista matemático. El concepto de espacio vectorial nace por aplicaciones físicas, pero a lo largo de la historia fue evolucionando como estructura, llegando a tener nuevas "interpretaciones" matemáticas. Así que quiero repasar la estructura y sus principales propiedades y resultados.

Primero, un espacio vectorial tiene un cuerpo K (ver Cuerpos y Campos) y un conjunto V de vectores, tales que hay dos operaciones. Tenemos suma de vectores, una operación binaria +: V x V -> V que dado dos vectores nos da otro vector. Es conmutativa y asociativa

v + w = w + v
(v + w) + z = v + (w + z)

Esta operación tiene un elemento neutro, el vector 0 (no confundir con el escalar 0):

0 + w = w + 0 = w

Y cada vector tiene su inverso aditivo:

v + (-v) = 0

Podemos ver que los vectores y su suma forman un grupo conmutativo. Es interesante, desde el punto de vista matemático, estudiar los vectores con su suma solamente. Más adelante, en post fuera de esta serie, trataré módulos sobre el anillo de los enteros (donde la multiplicación se deriva de la suma, como v+v = 2v), y módulos sobre un anillo en general.

La segunda operación es multiplicación de elemento del cuerpo K, normalmente llamado escalar, por un elemento de V, dando otro vector, otro elemento de V:

k v = w

Se llaman justamente "escalares" en este contexto a los elementos del cuerpo K, porque se puede decir que "escalan" (hacen agrandar o achicar) los elementos de V. Esta es la primera vez que nos topamos con una operación binaria "mixta": los dos elementos no son del mismo tipo. Siempre hay que tener claro que k NO es un vector, sino un escalar, miembro de un cuerpo K. La multiplicación tiene la propiedad:

k ( l w) = (k l) w

Es decir, la multiplicación en el cuerpo K es compatible multiplicar dos veces a un vector. Parece una "asociatividad" pero hay que tener en cuenta que estamos tomando DOS multiplicaciones: la de multiplicar dos escalares y la de multiplicar escalar por vector. Por conveniencia, no distingo una de otra con una notación distinta, pero podría hacerlo. La unidad del cuerpo cumple como unidad en esta nueva multiplicación:

1 v = v

Ahora que tenemos las dos multiplicación, veamos que se espera de ellas combinadas. Se debe cumplir:

(k + l) w = k w + l w

Es decir, distributividad de la suma en el cuerpo con respecto a la suma en los vectores. Y también:

k (v+w) = k v + k w

Distributividad de la multiplicación de un escalar en la suma de vectores. Bueno, son un montón de condiciones. Pero nacieron de la necesidad de aplicar estos elementos en física. Por ejemplo, las fuerzas se pueden representar como vectores. Una fuerza se puede escalar (hacer el doble de fuerte, o la mitad, o multiplicada por cualquier real). Con el tiempo, se vió la necesidad de tener como escalares a los complejos también. Pero antes de llegar a todo eso, recordemos que es habitual presentar a los vectores como "flechas". Tenemos un vector como una flecha, sobre un punto fijo:

Podemos multiplicarlo por un escalar real mayor que 1:

O podemos multiplicarlo por un escalar real menor que 1:

La suma de vectores, como la tenemos definida arriba, es compatible con la regla del "paralelogramo":

Noten que siempre operamos sobre un punto fijo, el origen. También existe el concepto de campo vectorial: donde hay un vector aplicado a cada punto del espacio que se examina. Por ejemplo, asociar un vector "viento" a cada punto de un mapa de un territorio. Es un tema a tratar cuando llegue a fuerzas gauge en mis serie sobre física cuántica.

Estas representaciones de "vectores como flecha" nos van a servir para captar mejor las ideas involucradas en la estructura de espacio vectorial. De hecho, las he estado usando en mi serie sobre física cuántica AUN CUANDO los escalares en esos ejemplos son números complejos, en general. Pero es el precio a pagar para no caer en la abstracción absoluta. Igualmente, tenemos que recordar y aprender que los vectores no son "flechas": hay espacios vectoriales interesantes que van más allá de esa intuición. Por ejemplo, espacios de funciones, espacio de Hilbert, etc..

Temas pendientes:
Primeros ejemplos de espacios vectoriales
Módulos sobre enteros y sobre anillos en general, retículos
Dependencia lineal
Base en espacios vectoriales
Productos en espacios vectoriales

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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