Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 17 de Mayo, 2011, 12:35

El tema de hoy es un gran tema, con interesante historia, y muy fructífero. Este artículo apenas será una introducción al mismo, concentrándome en las primeras propiedades que definen al concepto (me temo que dejaré la historia para posts aparte). Ya estuve explorando anillos en:

Anillos
Anillos Conmutativos
Ejemplos de Anillos Conmutativos

Quiero explorar un anillo conmutativo. Y elijo el más conocido de los anillos conmutativos: el anillo de los enteros. Un anillo con una cantidad infinita de elementos, que además no tiene divisores de cero. Es decir que si ab=0, entonces a o b es cero. Ya comenté en Pares e Impares que podemos "partir" los enteros en pares e impares. Designemos como (2) al conjunto:

Son los múltiplos de 2, los llamados enteros pares. Puedo entonces tener también:


Son los múltiplos de 3 y los múltiplos de 4. Hagamos el salto, y tenemos en general:

Será entonces (n) el conjunto de los números enteros múltiplos de n. Dado un n, podemos no solamente formar los conjuntos (n), sino también los conjuntos:

Por ejemplo, los pares son los (2)+0, y los impares son los (2)+1. Todos los enteros pertenecen a uno u otro de esos conjuntos. Hemos partido los enteros en dos. Podemos escribir, para un n determinado, que "a está relacionado con b" de esta forma:

Y vamos a tomar que el número a está relacionado con b, si y sólo si:

Es fácil ver que esa relación es reflexiva, simétrica y transitiva. Es decir:



Es una relación que se llama de equivalencia. Y parte al conjunto de los enteros en clases disjuntas (que no tienen ningún elemento en común). Y esas clases cubren todos los enteros:  es claro que todo número entero a pertenece a la clase (n)+a.  Es fácil ver que a está relacionado con b, si y sólo si a-b es divisible por n. Ahí tenemos una punta  a explorar.

Si bien todas esas clases son enteros, la única que contiene al elemento 0 (cero) es la clase (n), la de los propios múltiplos de n. Esa clase es, digamos, distinguida. Primero: la resta de dos elementos cualesquiera a, b que pertenezcan a (n) es divisible por n y entonces, a-b pertenece a (n). Esto indica que los elementos de (n) forman un subgrupo del grupo aditivo de los enteros. La suma de dos elementos de (n) es también un elemento de n. Eso no pasa siempre en las demás clases que encontramos (n)+x. Y no solamente esta propiedad tiene. Esa propiedad está relacionada con una de las dos operaciones del anillo: la suma. ¿Qué pasa con la multiplicación? Pues bien: también la multiplicación es cerrada en (n): es decir, así les gusta decir a los matemáticos cuando dado dos elementos de un conjunto, la operación a*b da un resultado que CAE de nuevo en el conjunto. Esto se pone interesante:  es como si (n) fuera una especie de "anillo en pequeño". Pero no es un anillo con unidad, en general. Pues (2), (3), (4), …(n) con n<>1, no tiene a 1 como elemento integrante. Entonces, por nuestra definición de anillo, (n) NO es anillo (para algunos autores, sería un anillo pero sin unidad).

Pero se queda ahí la cosa, vean algo curioso: no solamente a*b pertenece a (n) siendo a, b elementos de (n). TAMBIEN a*b pertenece a (n) si a es miembro de (n) y b es CUALQUIER entero. Los matemáticos escriben:

Vamos a ver que a partir de esas propiedades podemos obtener mucho. Cuando algo es fructífero en matemáticas es porque se puede aplicar de varias formas y conseguir resultados interesantes y no triviales. Por ahora parece que solo hicimos juegos de definiciones y fórmulas. Pero veamos de elevar el nivel de abstracción. Fijémonos en un anillo conmutativo cualquiera A. Definamos:

M es ideal, si M es subconjunto no vacío de Z, tal que

Y que cumple:

Vean que como A es conmutativo, MA = MA. Se puede definir ideales en anillos no conmutativos, y entonces se hablará de ideales a derecha y a izquierda (tengo que revisar cuál es cuál, según se pida MA=M o AM=M).

Es fácil ver que en cualquier anillo A, (a) es un ideal de A. El propio A es un ideal. Y el conjunto {0} (sólo el elemento 0) = (0) también es un ideal. Son el mayor y menor ideal, respectivamente, de A. Siendo A conmutativo, podemos definir:

Es fácil ver que cumple con las propiedades de ideal (traten de calcular x-y, siendo x=sa+tb, y=wa+zb). Esa expresión sa+tb ya la vimos en la demostración de máximo común divisor en el anillo de enteros. Si recuerdan la demostración, es fácil ver que:

Donde (a,b) es el máximo común divisor de a y b. De nuevo, algo curioso: combinamos dos ideales, cada uno generado por un solo número.  Podríamos esperar que el nuevo conjunto no fuera ideal, pero lo es. Y podría pasar que ese nuevo conjunto fuera generado por DOS elementos, pero nones. Es generado por uno solo. Apelando a la demostración que vimos en el caso del máximo común divisor, se puede mostrar que todos los ideales en el anillo de enteros son generados por un elemento.

Definamos también:

La intersección de dos ideales entero, es un ideal. Por ejemplo:

Se puede demostrar que la intersección de (a) y (b) es el ideal generado por (c) donde c es el mínimo común múltuplo de a y b.  Pero subamos la apuesta. Quiero definir suma y multiplicación de ideales cualesquiera, sean o no de la forma (a) (es decir, sean o no todos múltiplos de un número a, generador del ideal) (tenemos que ver que anillos que contienen ideales QUE NO son de la forma (a)). Sean D,E ideales del anillo conmutativo A, entonces, definamos:


Comprobemos que es ideal. Primero, no es vacío: 0 está en D, 0 está en E, 0+0 = 0 está en D+E. Segundo, si:



Como D es ideal, entonces la resta d-d" pertenece a D. De la misma forma, e-e" pertenece a E. Entonces a-b es el resultado de sumar un elemento de D y un elemento de E. Queda que a-b pertenece a D+E. Podemos tomar la intersección de dos ideales (ahora, estamos considerando ideales en cualquier anillo A, no necesariamente números enteros):

Si los elementos a, b son miembros de la intersección, también lo será a-b, por ser elemento tanto de D como de E, por ser ideales. Además, D intersección E no es vacío, porque el elemento 0 pertenece a todos los ideales.

Puede haber varios ideales en un anillo A, pero siempre están {0} y el propio anillo A. Habrá ideales incluidos completamente en otros, como en el caso entero (6) está incluido en (3): todos los múltiplos de 6 son también múltiplos de 3. Hablando de anillos generales A, la intersección de D y E está incluida en D y en E. Y la suma de D y E incluye a D e incluye a E. Los matemáticos dicen: los ideales de un anillo forman un retículo que va desde {0} hasta A, y donde los ideales se relacionan por la inclusión. Tenemos que explorar eso de retículo en otro post.

Vean cómo, con tan poco, pudimos definir tanto. Pero la definición no es todo en matemáticas. Tenemos que ver si todo esto sirve para algo interesante. También tengo que mostrar ejemplos concretos de ideales en otros anillos, y ejemplos de ideales que no sean de la forma (a) (es decir, que no sean solamente LOS MULTIPLOS de un tal elemento a). Otro tema es ver que, cuando hay homomorfismo f de anillos A, B (f una función de A a B) (y tenemos que ver qué es eso de homomorfismo ;-), aparece un ideal:  el de los elementos x de A tales que f(x) = 0, el cero de B. Pero no quiero adelantarme, ya tenemos bastante por hoy. Un punto más: a los ideales de la forma (a) (es decir, generados por un elemento), se los llama ideales principales.

Temas pendientes:
Ideales Principales
Anillo de Enteros como Dominio de Ideales Principales
Ideales que no son Ideales Principales
Ideales Maximales e Ideales Primos
Retículos

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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