Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 21 de Mayo, 2011, 18:46

Cinco al hilo, no tanto. Fueron cuatro y estoy tratando con el quinto. Hablo de teoremas ;-) Ya saben que tuve mi primer semana sabática del año. Alguno de los entregables de esa semana (evidencia de lo que hice) ha ido apareciendo por acá, en forma de posts. Algunos de los temas eran matemáticos, como anillos o topología general. Pero durante esa semana sabática (sin clientes, sin reuniones, dedicada completamente a esos "commitments"), tuve un resfriado fuerte: estuve tres días y medio en cama. En ese estado, lo único que pude hacer fue leer algo, y pensar. Me dediqué a demostrar algún teorema de álgebra.

Siempre pienso que hay que tratar de demostrar los teoremas que uno lee en un libro, por propia cuenta. Aunque cueste trabajo, ese esfuerzo es útil para realmente entender del tema. Al tener bastante tiempo, pude dedicarme esos días de resfriados a un problema, un teorema de David Hilbert (supongo que de fines del siglo XIX) reformulado en términos de anillos noetherianos. Me entusiasmó tanto poder demostrar ese teorema (que me llevó su tiempo, como dos días de pensamiento con resfrío ;-)) que me atreví a otras demostraciones. En total, hasta el día de hoy, pude demostrar varios teoremas, pero muchos eran lemas simples. Quisiera escribir las demostraciones de cuatro teoremas principales que pude resolver, uno por post.

El primer teorema es el de teorema de la base de Hilbert: R[x,y,….z] el anillo de polinomios en variables x,y…z sobre R. Si todo ideal de R es de generación finita, entonces todo ideal de R[x,y,…z] también tiene generación finita. Se dice: si R es noetheriano (equivalente a todos sus ideales son de generación finita), entonces R[x,y,…z] es noetheriano. Encontré el teorema en las primeras páginas del libro "Curvas algebraicas" de William Fulton, Editorial Reverté. Luego de demostrarlo, buscando más info, lo encontré en el excelente "Introducción al Algebra Conmutativa" de Atiyah y Macdonald, de la misma editorial.

El segundo teorema, que me llevó casi una semana, ya fuera de la semana sabática, fue un clásico que conocí hace 30 años: todo número primo de la forma 4n+1 se puede expresar como la suma de dos cuadrados. Se lo conoce como el teorema de Fermat-Euler (aunque hay otros que también tienen ese nombre). Incidentalmente, encontré la fórmula de Euler: cómo multiplicar dos sumas de cuatro cuadrados, para obtener una suma de cuatro cuadrados. El punto que me costó de la demostración fue encontrar la forma de ir descendiendo desde un resultado al resultado final. Una de las cosas interesantes para escribir sobre todo esto, es las estrategias de demostración que se usan en muchas demostraciones. El "descenso" hasta un piso lo veremos en la demostración de este teorema.

El tercer teorema es uno que me costó menos, pero interesante también en su demostración. Se dice que un polinomio en R[x] es primitivo si el ideal generado por sus coeficientes es el propio R. Entonces, demostrar que p, q primitivos si y sólo si pq es primitivo también. Creo que se le llama el lema de Gauss.

El cuarto teorema tuvo la dificultad del tercero: el criterio de irreducibilidad de Eisenstein. Dado un polinomio p en Z[x], siendo Z los enteros; el criterio da unas condiciones para demostrar que no puede ser expresado por la multiplicación de dos polinomios en Q[x] donde Q son los racionales. Curiosamente, ese criterio es útil para analizar el polinomio ciclotómico (x^n+x^(n-1)+…+1). Eso me llevaría a Gauss, su construcción del polígono regular de 17 lados con regla y compás, y demás temas relacionados, pero no quise "meterme" en ese tema todavía.

Y el quinto teorema, que ya se me hizo un hueso duro de roer (llevo como dos semanas, unas dos, tres horas por día) es el Ultimo Teorema de Fermat, para n=3: x^3+y^3=z^3 no tiene soluciones en números naturales. He avanzado bastante, obteniendo relaciones que me dicen: no puede existir una terna con estas características, pero me falta el paso final, demostrar efectivamente la no existencia. En cuanto pueda también voy a escribir de este teorema, la solución errónea de Euler, el trabajo de Gauss, etc. También será la excusa para presentar un anillo que extiende a los enteros, muy simétrico y hermoso.

Temas pendientes: un post con la demostración de cada teorema (espero que el quinto también ;-)

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David Hilbert, por Richard Courant

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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