Publicado el 21 de Junio, 2011, 5:56
Quiero completar un punto que comencé con post anteriores: Ideales en Anillos Veamos de demostrar una proposición del anillo de enteros: Sea p primo. Si p | ab entonces p | a o p | b (donde | es "divide a") Supongamos que p no es divisor de a. Entonces, el máxico común divisor (p, a) es 1 por ser p primo. Por lo que vimos en los anteriores posts, eso indica que hay enteros s, t tales que:
Este resultado simple es importante. Es la base para llegar a la demostración de la factorización única de un número entero. Si el número m admite dos factorizaciones en primos:
La propiedad de factorización única es una propiedad del anillo de enteros, y de otros anillos conmutativos (en cada anillo conmutativo hay que demostrarla). Pero notablemente, no es propiedad de todos. Si el anillo no tiene divisores de cero, se llama un dominio de integridad según vimos en el post En anillos generales, en lugar de "primos" se habla de "elementos irreducibles", elementos que no pueden ser expresados como producto de otros dos elementos (que no sean unidades, divisores de la unidad, como es por ejemplo -1 en los enteros). En realidad, en anillos generales, se habla de primos cuando p cumple con la proposición que demostramos arriba: p | ab entonces p | a o p | b, no importa si son irreducibles o no. Ver también: http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_element Temas pendientes: Otros ejemplos de dominios con factorización única Nos leemos! Angel "Java" Lopez |