Quiero completar un punto que comencé con post anteriores:

Ideales en Anillos
Máximo Común Divisor en el Anillo de Enteros

Veamos de demostrar una proposición del anillo de enteros:

Sea p primo. Si p | ab entonces p | a o p | b (donde | es "divide a")

Supongamos que p no es divisor de a. Entonces, el máxico común divisor (p, a) es 1 por ser p primo. Por lo que vimos en los anteriores posts, eso indica que hay enteros s, t tales que:

Entonces, multiplicamos por b quedando:

Ahora, p divide al primer sumando. También divide por hipótesis al segundo sumando (que es múltiplo de ab, divisible por p). Entonces b es divisible por p, como queríamos probar.

Este resultado simple es importante. Es la base para llegar a la demostración de la factorización única de un número entero. Si el número m admite dos factorizaciones en primos:

Donde los pi, qi son primos no necesariamente distintos. Entonces, por el resultado anterior, el p1 es divisor de algún qi de la derecha, y se pueden simplificar (puede que haya un factor +-1). Por repetición de ese procedimiento, se llega a que cada pi está entre los qi y viceversa (de nuevo, salvo unidades). Y la factorización es entonces única.

La propiedad de factorización única es una propiedad del anillo de enteros, y de otros anillos conmutativos (en cada anillo conmutativo hay que demostrarla). Pero notablemente, no es propiedad de todos. Si el anillo no tiene divisores de cero, se llama un dominio de integridad según vimos en el post

Anillos

En anillos generales, en lugar de "primos" se habla de "elementos irreducibles", elementos que no pueden ser expresados como producto de otros dos elementos (que no sean unidades, divisores de la unidad, como es por ejemplo -1 en los enteros). En realidad, en anillos generales, se habla de primos cuando p cumple con la proposición que demostramos arriba: p | ab entonces p | a o p | b, no importa si son irreducibles o no.

Ver también:

http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_element
http://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_element
http://en.wikipedia.org/wiki/Unique_factorization_domain

Temas pendientes:

Otros ejemplos de dominios con factorización única
Ejemplos de dominios sin factorización única

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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