Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 7 de Septiembre, 2011, 6:00

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En topología general se manejan conceptos cercanos a los de la geometría. Por ejemplo, se tienen "puntos" en "espacios". Lo que vamos a ver es que esos "puntos" con conceptos que se manejan de manera similar a los puntos del plano o del espacio, pero la topología les da un sabor más general. Comencemos a explorar el tema.

Podemos tomar como ejemplo, un punto en el plano, digamos en el espacio RxR (real de dos dimensiones). Pero no sólo interesa el punto. En topología interesa los puntos cercanos. Entonces, tomemos nuestro punto de ejemplo (recuerden, es un ejemplo concreto, no el concepto general al que queremos llegar), pero no sólo el punto sino sus cercanos:

Vean que tomo un punto y todos los que están a una distancia, digamos, menor a una distancia R. Tomamos menor que R, no menor o igual que R; los puntos a distancia R quedan afuera del conjunto. De ahí que haya usado un controno punteado. Esto es un primer ejemplo, un punto de partida: en topología no importa tanto la distancia, sino, digamos por ahora, el concepto de punto cercano. Llamemos a estos puntos (el elegido y sus cercanos < R) el conjunto C. Esto es importante: lo que vamos a comenzar a manejar son conjuntos de puntos, no puntos aislados. ¿Qué característica interesante tiene el conjunto que tomamos? Pues que cada punto elemento puede rodearse de un conjunto de puntos cercanos TOTALMENTE incluido en C:

Técnicamente, estamos trabajando en un espacio (el plano) de puntos con distancia (una métrica). El conjunto C es lo que se llama una Bola abierta de radio R (las bolas cerradas son los puntos <= R, vean que ahí sí se toma menor o igual). Notemos que se cumple con la condición: todo punto y (ye) de la bola B(x,r) tiene una bola B(y,r2) totalmente incluida en B(x,r).

Demos el siguiente paso: vamos a considerar conjuntos de puntos cercanos a x, de cualquier forma:

Incluso podemos tomar conjuntos con contorno incluido:

Lo que nos va a interesar es decir que el conjunto D es entorno de x si y sólo si hay una bola abierta B(x,r) totalmente incluida en el conjunto D:

Notemos que el conjunto D con contorno incluido (línea llena), no es entorno de sus puntos de contorno: cualquier bola que quisiéramos adosarle, caería en parte "afuera" del conjunto D:

Bueno, pero todo esto está manejado a nivel intuitivo. No tenemos bien definido eso de "puntos cercanos". Tenemos bola abierta, pero basado en distancia métrica. Tenemos algún concepto de entorno de x, al ser un conjunto que contiene una bola abierta de x. En el próximo post entraremos en algo más formal. Esto nos posibilitará hablar de "puntos" de "espacios" arbitrarios (no solamente geométricos) y desembarazarnos de la métrica para llegar a lo esencial de lo que se pide en topología general. Más adelante formalizaremos eso de "métrica" y veremos que los espacios métricos son un caso particular de espacios topológicos, tal vez los más fáciles de representar como en los ejemplos de arriba.

Veremos cómo el formalismo de la topología general (y de las matemáticas) se basa en conceptos intuitivos, pero va más allá de ellos. En la historia de las matemáticas aparecieron problemas que iban en contra de la intuición que obligaron a apelar a formalismos, a métodos más firmes de exploración de ideas. En topología pasó eso: problemas de teoría de conjuntos, la definición de dimensión, funciones continuas en análisis que no eran diferenciables, problemas de ecuaciones diferenciales, todo contribuyó a armar el edificio topológico que apenas comenzamos a explorar.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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