Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 28 de Noviembre, 2011, 18:24

El año pasado conseguí la consolidación de mis libros. Ahora tengo varios libros de matemáticas a mi alcance, en mi cubil principal. Y es un gran placer tenerlos. Este fin de semana largo (en Argentina) pude leer las primeras páginas del excelente "Números Surreales" de D.E.Knuth. Leí solo las primeras páginas para, partiendo de algunas definiciones, desarrollar por mi cuenta el tema que plantea.

¿Cuál ese tema? Se basa en un trabajo de John Conway, notable matemático, muy conocido no sólo entre sus colegas sino también en el ambiente de las recreaciones y juegos matemáticos. Creo que es de él la frase: "Prefiero un buen problema/juego que diez papers mediocres". Hace unos años, Conway (motivado por el estudio de los finales del juego del go) desarrolló lo que se denonimó números surreales.

Knuth plantea en su libro (título en inglés: Surreal Numbers, how two ex-students turned on to pure mathematics and found total hapiness) que una pareja, Alice y Ben, aislados en una isla, encuentran una piedra escrita con los principios de Conway en los que se fundan este tipo de números. Quiero desarrollarlos en algunos posts, y que me acompañen en el camino. Veremos cómo "funcionan" las matemáticas, examinando un área nueva, partiendo de unos pocos principios. Seremos unos nuevos Euclides ;-)

Al principio, Alice y Ben encuentran este texto grabado en la piedra:

En el principio todo estaba vacío, y J.H.W.H.Conway empezó a crear números. Conway dijo: "Sean dos reglas que originen todos los números, grandes y pequeños. Esta será la primera regla: cada número se corresponde a dos conjunots de números preexistentes tales que ningún elemento del conjunto izquierdo es mayor o igual que algún elemento del conjunto derecho. Y la segunda regla será: un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primero". Y Conway examinó estas dos reglas que había creado y mira!, eran buenas.

Y el primer número fue creado mediante un conjunto izquierdo vacío y el conjunto derecho vacío. Conway llamó a este número "cero". Y dijo: "será la frontera que separe los números positivos de los negativos". Conway probó que cero era menor o igual que cero y vio que estaba bien. Y la tarde y la mañana fueron el día del cero. Al día siguiente, se crearon dos números más, uno con un cero como conjunto izquiredo, y otro con un cero como conjunto derecho. Y Conway llamó al primero "uno" y al otro "menos uno". Y probó que menos uno es menor y no igual a cero y que cero es menor y no igual que uno, y fue tarde...

Acá llegaba la rotura de la piedra. Entonces, veamos. Cada uno de estos números tiene DOS conjuntos de números (ya existentes, veremos que se pueden construir estos números por generaciones; en el texto se presenta la creación del 0, y luego del 1 y del -1, tendremos que seguir generando números). Llamaremos al primer conjunto el conjunto izquierdo, y al otro, el conjunto derecho. Podemos poner

x = <Xi : Xd>

diciendo el número x es el par de conjuntos Xi, Xd. Cada uno de esos conjuntos podrá tener 0, 1 o más números surreales. En el primer día, creamos:

0 = < : >

Pongo "nada" en lugar de {} como conjunto vacío. Arbitrariamente, por ahora, llamamos a este número el 0. Primer problema para hogar: probar que este número es válido. Vean que hay una primera regla:

Xi ~>= Xd

que es la forma en la que voy a escribir: ningún elemento de Xi es mayor o igual que algún elemento de Xd. Eso de "mayor o igual" hay que comenzarlo a tratar con cuidado. No tenemos que dejarnos llevar por nuestros conceptos de mayor, igual de números ordinarios. Por ejemplo, no sabemos si es una relación transitiva, aún. Pongo ~ como negación. Así que hay que probar que 0 cumpla con esa regla. También les pido demostra que

0 <= 0

Recuerden: tienen que usar sólo que está en la piedra, y en la lógica común. Para probar que cero es menor o igual a cero, hay que usar la segunda regla. Al llegar otro día, aparecen dos nuevos números:

1 = <0 : >
-1 = < :0>

Es decir, construimos números con el conjunto {0}, una vez a la izquierda y otra vez a la derecha. Vean que voy a escribir

<0 1: >

en lugar de

<{0 1}: >

simplemente porque ya sabemos que lo que hay entre < y > son dos conjuntos, de números surreales.

Les dejo otra tarea para el hogar. Demostrar:

-1 <= 0
0 <= 1

De nuevo, los 0,1,-1 de arriba no son los números comunes que conocemos. También pueden intentar probar que menos uno no es igual a cero y que cero no es igual a uno (hmmm, la piedra de Conway no lo dice, pero diremos que

x = y

si conseguimos demostrar:

x <= y
y <= x

ambas relaciones). Son estos nuevos números surreales, a los que hemos dados nombres arbitrarios. Tenemos que ir averiguando por qué el texto de Conway los nombra de esa manera. Ya llegaremos. Por ahora, practiquen viendo de probar lo de arriba, usando la regla 2, que dice:

x <= y

cuando, siendo x = <Xi : Xd>, y = <Yi : Yd> se cumple:

Xi ~>= y
x ~>= Yd

donde escribo "no hay elemento yd de Yd menor o igual a x" como "x ~>= Yd". Es la definición que tenemos de <= entre estos números.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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